Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 1 of 13
Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1 + x + x 2 + x 3 + + x n +, kun x < 1 e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + sin x = x x3 3! + x5 x2n+1 5! + ( 1)n (2n+1)! + cos x = 1 x2 2! + x4 x2n 4! + ( 1)n (2n)! + M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 2 of 13
Sarjaratkaisut Kertaus Toisen kertaluvun lineaarinen DY y + a(x)y + b(x)y = c(x) voidaan ratkaista täydellisesti jos homogeeniselle DY:lle löytyy yksikin ratkaisu. y + a(x)y + b(x)y = 0 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 3 of 13
Sarjaratkaisut Sarjaratkaisu Jos a(x) ja b(x) ovat riittävän säännöllisiä, voidaan DY:n y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisu löytää Taylorin kehitelmän y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... avulla. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 4 of 13
Sarjaratkaisut Astrofyysikko Robert Emden päätyi laskuissaan 1900-luvun alussa differentiaaliyhtälöön xy + 2y + xy = 0 alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0. Fysikaalisen luonteensa perusteella DY:llä pitäisi olla kaunis ratkaisu. Tehdään ratkaisusta sarjakehitelmäyrite y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + = a n x n. n=0 Alkuehdot huomioiden päädytään lopulta ratkaisuun y(x) = sin x x. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 5 of 13
Sarjaratkaisut 114 Tarkastellaan valon diffraktioon liittyvä Airyn differentiaaliyhtälöä y + xy = 0 alkuehdoilla y(0) = 0 ja y (0) = 1. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 6 of 13
Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(x) ratkaiseminen: Etsitään homogenisoidun DY:n kaikki ratkaisut y 1, y 2,..., y n karakterisen polynomin nollakohtina. Etsitään eräs alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0. Yhdistettynä saadaan kaikki ratkaisut muodossa: C 1 y 1 + C 2 y 2 + C n y n + y 0. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 7 of 13
Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y (s). Edelleen voidaan löytää Laplace-muunnosta vastaava originaalifunktio y(x), joka on siis eräs yksittäisratkaisu. Yksittäisratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä Tehdään DY:n oikean puolen funktion b(x) perusteella valistunut, määräämättömiä kertoimia sisältävä yrite (arvaus) yksittäisratkaisun muodosta. Sijoittamalla yrite alkuperäiseen DY:hyn ratkaistaan määräämättömät kertoimet. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 8 of 13
Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y + 8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x + C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y + 8y = 4. Tehdään yrite y = A ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1/2. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x + C 2 e 4x 1/2. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 9 of 13
Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y + 8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax + B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x + 3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x + C 2 e 4x + x + 3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y + 8y = 5 cos 2x. Tehdään yrite y = A cos 2x + B sin 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 8 (cos 2x 3 sin 2x). Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x + C 2 e 4x + 1 8 (cos 2x 3 sin 2x). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 10 of 13
Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y + 8y = 4e 2x. Tehdään yrite y = Ae 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 6 e 2x. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x + C 2 e 4x 1 6 e 2x. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 11 of 13
Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y + 8y = 2e 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. Tehdään uusi yrite y = Axe 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = xe 2x. Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x + C 2 e 4x xe 2x. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 12 of 13
Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y + 8y = 8x + 2e 2x. Differentiaaliyhtälöiden y 6y + 8y = 8x ja y 6y + 8y = 2e 2x ratkaisut tunnetaan. Yhdistämällä nämä saadaan alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0 = x + 3/4 xe 2x. Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x + C 2 e 4x + x + 3/4 xe 2x. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 13 13 of 13