Harjoituksia yhtälöryhmistä ja matriiseista 1. Ratkaise yhtälöpari (F 1 ja F 2 ovat tuntemattomia) cos( ) F 1 + cos( ) F 2 = 0 sin( ) F 1 + sin( ) F 2 = -1730, kun = -50 ja = -145. 2. Ratkaise yhtälöpari ja piirrä sitä vastaavat kaksi käyrää ja tarkista ratkaisusi kuvastasi. 3. a) Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + = 6-3w - 17x + y + 2z = 2 4w - 17x + 8y - 5z = 2-5x - 2y + z = 2 b) Ratkaise yhtälöryhmä a - 3b + 2c = 2 5a - 15b + 7c = 10 4a - 12b + 5c = 8 4. Matriisin käänteismatriisi A -1 on Ratkaise yhtälöryhmä -x 1 - x 2 - x 3 - x 4 = 0 x 1 + x 3 + x 4 = 0 2x 1 + x 2 + x 3-2x 4 = 1 -x 1 + 2x 2 - x 4 = 0
5. Tutki determinantin avulla onko yhtälöryhmällä yksikäsitteistä ratkaisua? 6. Ratkaise Gaussin eliminoinnilla (jos osaat, voit käyttää muitakin ratkaisukeinoja) yhtälöryhmä, jonka kerroinmatriisi on ja oikea puoli on [4 8-15] T. Tuntemattomien nimet voit keksiä itse. 7. Ratkaise yhtälöryhmä haluamallasi tavalla, mutta voit käyttää ratkaisussasi hyväksi alla olevaa yhtälöryhmän kerroinmatriisin käänteismatriisia.. 8. Ratkaise yhtälöryhmät a) b)
Käytä b-kohdassa hyväksi tietoa, että matriisin käänteismatriisi on. 9. Tasapainota kemiallinen reaktio 10. Erään biologisen jäteveden puhdistamon poistoveden fosforipitoisuuden todettiin riippuvan lämpötilasta (T) ja ph:sta yhtälön P = a + b T + c ph mukaisesti, kun T [10, 30] ja ph [4,8]. Mikä on yhtälön geometrinen tulkinta? Poistovirrasta tehtiin seuraavat mittaukset P T ph 0.5 25 6 0.6 20 6 0.3 25 7 0.4 20 7 Muodosta tämän perusteella lineaarinen yhtälöryhmä a:lle, b:lle ja c:lle. Onko saamasi yhtälöryhmä yli- vai alimääräytynyt ja mitä voit sanoa ratkaisujen lukumäärästä? Ratkaise myös a, b ja c. 11. Erään einesvalmisteen säilyvyyden (S [vrk]) arveltiin noudattavan likimain yhtälöä S = a + b s + c ph mukaisesti, kun suolapitoisuus s [0.5, 2] painoprosenttia ja ph [5,7]. a) Mikä on yhtälön geometrinen tulkinta? Eineksellä tehtiin säilyvyyskokeita, joista saatiin seuraavat tulokset S s ph 7 0,7 5 10 1,5 5 5 0,7 6 7 1,5 6
b) Ratkaise a, b ja c kolmesta ensimmäisestä yhtälöstä (Huom! a-kohdan vastaus saattaa antaa helpoimman tavan ratkaista a, b ja c) c) Toteuttavatko kaikkien neljän kokeen mittaustulokset b-kohdassa saamasi yhtälön? Mikä olisi mielestäsi paras tapa laskea a, b ja c käyttäen kaikkia mittaustuloksia? 12. a) Onko alla oleva yhtälöryhmä yli- vai alimääräytynyt (perustele!). b) Muodosta neljän alimman yhtälön muodostaman yhtälöryhmän kerroinmatriisi. c) Ratkaise b-kohdan yhtälöryhmä. Jos haluat, voit käyttää hyväksesi tietoa, että tämän yhtälöryhmän kerroinmatriisin käänteismatriisi on d) Toteuttaako ratkaisu 1. yhtälön? 13. Jaska Jogusen jogurttifirma päätti selvittää, miten vähärasvainen ja -sokerinen jogurtti saadaan maistumaan hyvältä. Sitä varten valmistettiin erilaisia jogurtteja seuraavan taulukon mukaisesti. Usean henkilön makuraati maistoi kutakin jogurttia ja ne arvioitiin asteikolla 0-10. Taulukossa on makupisteiden keskiarvot. jogurtti rasva sokeri mauste sakeutus aine makupisteet 1 0 10 1 2 6 2 4 10 1 2 8 3 0 15 1 2 7 4 0 10 2 2 8 5 0 10 1 4 8 Koska Jaska oli valmistunut EVTEK:stä, hän tiesi, että aineistoon kannattaa sovittaa lineaarista mallia, missä vakiot b i, i = 1,2,3,4 ovat tuntemattomia ja x 1 on rasvapitoisuus, x 2 on sokeripitoisuus, x 3 on maustepitoisuus ja x 4 on sakeutusaineen pitoisuus ko. jogurtissa. Muuttuja y on makupisteiden keskiarvo. a) Määritä tuntemattomat vakiot sopivan yhtälöryhmän avulla ja arvioi näin saadun lineaarisen mallin hyvyyttä.
b) Onko mallin perusteella mahdollista, taulukon mukaisten arvojen rajoissa, tehdä jogurttia, jonka rasvapitoisuus on nolla ja sokeripitoisuus 10 ja joka saa mallin mukaan 10 makupistettä? 14. Eräässä kemiallisessa reaktorissa tuotto (y) riippuu lämpötilasta (T), paineesta (p) likimäärin yhtälön mukaan, kun T [40, 140] ja p [1, 15]. Määritä vakiot a, b ja c sopivan yhtälöryhmän avulla, kun reaktorista tiedettiin seuraavat mittaustulokset: T p y 60 2 2220 120 2 2010 60 10 2230 Koeta myös järkeillä millä T:n ja p:n arvoilla saadaan suurin tuotto. 15. Erään panosreaktorin saantoprosentin (y) arveltiin riippuvan panoksen kestoajasta (t) ja lämpötilasta (T) yhtälön mukaan. Reaktorista saatiin seuraavat kokeelliset mittaustulokset t [min] T [ C] y [%] 200 50 57 300 50 65 200 90 77 300 90 65 a) Laske tulosten perusteella tuntemattomat kertoimet a, b, c ja d. Voit halutessasi käyttää hyväksi tietoa, että matriisin käänteismatriisi on. b) Kun tehtiin uusi panos, jonka kesto oli 150 min ja lämpötila 90 C, saatiin kokeellisesti saantoprosentiksi 82%. Esitä tämän perusteella oma arviosi yhtälön toimivuudesta eli siitä kuinka hyvin laskennallinen tulos (laske itse!) ja kokeellinen tulos sopivat yhteen.
16. Erään prosessin tuotto riippuu ph:sta ja lämpötilasta (T) lineaarisesti, kun 5 ph 9 ja 20 T 60. Toisin sanoen näiden rajojen sisällä Tuotto = + ph + T, missä, ja ovat tuntemattomia vakioita. Mittaustuloksista on saatu seuraava taulukko ph T Tuotto 7 35 50 8 35 45 7 40 60 a) Muodosta yhtälöryhmä ja ratkaise siitä, ja. b) Millä ph:lla ja lämpötilalla saadaan paras tuotto annettujen rajojen sisällä? 17. Ravinneseoksen valmistukseen on käytettävissä neljää eri raaka-ainetta (A, B, C ja D). Raaka-aineiden N-, P- ja K-pitoisuudet painoprosentteina on annettu alla olevassa taulukossa. N P K muuta raaka-aine A 50 0 40 10 raaka-aine B 0 20 40 40 raaka-aine C 0 50 0 50 raaka-aine D 25 35 20 20 seos 25 25 25 25 Voidaanko näistä raaka-aineista valmistaa ravinneseosta, jonka N-, P- ja K- pitoisuudet ovat kaikki 25% ja muuta kuin näitä on myös 25% (kuten taulukon rivillä seos )? Jos vastauksesi on myönteinen, niin mitkä ovat tällöin tarvittavat A:n, B:n, C:n ja D:n osuudet kokonaismäärästä? 18. Ratkaise oheisesta prosessikaaviosta tuntemattomat massavirrat.
19. Laske oheisesta prosessikaaviosta virrat F2-F5 ja R1-R2, kun syöttövirta F 1 on 100 kg/h ja kierrätysvirta R 1 on kaksi kolmasosaa virrasta F 2. Kierrätysvirta R 2 on kolme neljäsosaa virrasta F 4 ja F 5 on yksi viidesosa virtojen F 4 ja R 2 summasta. 20. Eräässä bioteknisessä tuotantolaitoksessa valmistetaan vitamiineja ns. jatkuvatoimisessa fermentorissa. Alla oleva kuva esittää prosessin osaa, jossa vitamiinit puhdistetaan fermentorin jälkeisestä tuotevirrasta F. Ensimmäinen laatikko kuvaa sentrifugia ja jälkimmäinen suodatinta. Virrat W, C, P ja R ovat tuntemattomia, mutta niiden koostumus tunnetaan: W C P R Vitamiineja [% ] 0 60 96 28,6 Vettä [%] 100 40 4 71,4 Ratkaise tuntemattomat virrat W, C, P ja R. Ohje: muodosta kummallekin laitteelle sekä vitamiinien että veden massatase eli sisään menevien virtojen summan tulee olla sama kuin ulos tulevien virtojen summan. Näin saat neljälle tuntemattomalle neljä yhtälöä.