Harjoitus 2 (27.3.214) Tehtävä 1 7 4 8 1 1 3 1 2 3 3 2 4 1 1 6 9 1 Kuva 1: Tehtävän 1 graafi. Aikaisimmat aloitushetket selvitetään kaavoilla v[] = v[p] d[p] l. max i p 1 {v[i] + a i (i, p) E} = v[l] + a l Muodostetaan taulukko, jossa numerointi on jo kunnossa. Töitä ei tarvitse uudelleennumeroida, koska tehtävänannossa kunkin työn edeltäjällä on aina pienempi järjestysnumero. p 1 2 3 4 6 7 8 9 v[p] 1 2 2 4 8 d[p] 1 2 4 4 7 3 Esimerkiksi osatöiden 3 ja 9 aikaisimmat aloitushetket on laskettu seuraavasti: v[3] = max { +, + 1} = v[9] = max { + 3, 2 + 1, 2 + 2, 4 + 3} = 8. Myöhäisimmät aloitushetket saadaan kaavoilla T = 1 l[n + 1] T l[k] Nyt voidaan kirjoittaa taulukko min {l[j] a k (k, j) E}. k+1 j n+1 k 9 8 7 6 4 3 2 1 l[k] 1 7 3 9 8 7 7 6 2 2 r[k] 9 8 9 9 9 3, 4 3 1 1
Taulukossa esimerkiksi osatöiden 4, 2 ja myöhäisimmät aloitushetket on laskettu seuraavasti: l[4] = min {9 1, 8 1} = 7 l[2] = min {7 1, 7 1} = 6 l[] = min {2, 6, 3 } = 2. Kriittisellä polulla tarkoitetaan koko projektin pisintä tietä. Tämän tehtävän kriittinen polku on d[9] = 3, d[3] = 1, d[1] = eli 1 3 9, ja sen kesto on 8 min. Aloitushetkien pelivarat lasketaan kaavalla jota käyttäen saadaan s[k] = l[k] v[k], k 9 8 7 6 4 3 2 1 s[k] 2 3 3 7 6 6 2 6 2 2 Osatöiden maksimaaliset pelivarat lasketaan kaavalla jota käyttäen saadaan s m [i] = min j {l[j] (i, j) E} v[i] a i, s m [] = min {2, 6, 3} = 2 s m [1] = 7 = 2 s m [2] = min {7, 7} 1 = 6 s m [3] = 1 3 = 2 s m [4] = min {8, 9} 1 1 = 6 s m [] = 1 2 2 = 6 s m [6] = 1 2 1 = 7 s m [7] = 7 4 = 3 s m [8] = 1 4 3 = 3. Osatöiden riippumattomat pelivarat lasketaan kaavalla s r [i] = max {, min j {v[j] (i, j) E} l[i] a i }, 2
jota käyttäen saadaan s r [] = max {, min {,, } 2 } = s r [1] = max {, 2 } = s r [2] = max {, min {, 1} 6 1} = s r [3] = max {, 8 7 3} = s r [4] = max {, min {2, 2} 7 1} = s r [] = max {, 8 8 2} = s r [6] = max {, 8 9 1} = s r [7] = max {, 4 3 4} = s r [8] = max {, 8 7 3} =. Tehtävä 2 Tarkastellaan luentomonisteen projektinvalvontaesimerkkiä 1.24. Työntekijöitä on koko ajan käytössä 7 henkeä. Muodostetaan osatöiden aikataulut neljällä eri tavalla. a) Valitaan mahdollisista osatöistä se, joka on kestoltaan lyhin. Tällöin saadaan taulukko tapaus aika mahdolliset työt valitaan resursseja alku 1 1 1 loppuu 3 2, 3 2 3 2 loppuu 3 3 7 3 loppuu 8 4,, 6, 7 7, 6, 1 + 2 + 2 = 7 loppuu 1 4 2 + 2 = 4 6 loppuu 11 4 4 2 + = 7 loppuu 1 8 4 loppuu 16 8 8 6 8 loppuu 22 9 9 missä = osatyöt, jotka ovat edeltäjien puolesta mahdollisia. Sarakkeessa aika alimpana oleva 22 on projektin kesto. b) Valitaan mahdollisista osatöistä se, joka on resurssivaatimuksiltaan pienin. Nyt saadaan taulukko 3
tapaus aika mahdolliset työt valitaan resursseja alku 1 1 1 loppuu 3 2, 3 2 3 2 loppuu 3 3 7 3 loppuu 8 4,, 6, 7 7, 6, 1 + 2 + 2 = 7 loppuu 1 4 2 + 2 = 4 6 loppuu 11 4 4 2 + = 7 loppuu 1 8 4 loppuu 16 8 8 6 8 loppuu 22 9 9 Projektin kesto on tässäkin tapauksessa 22, ja taulukko on sama kuin a-kohdassa. c) Valitaan mahdollisista osatöistä se, jonka myöhäisin aloitushetki on mahdollisimman pian. Osatöiden myöhäisimmät aloitushetket nähdään seuraavasta taulukosta: 1 2 3 4 6 7 8 9 l[j] 4 3 14 6 1 17 13 19 v[j] 3 3 6 6 6 6 13 19 Tämän perusteella saadaan taulukko tapaus aika mahdolliset työt valitaan resursseja alku 1 1 1 loppuu 3 2, 3 3 7 3 loppuu 6 2, 6, 7 2, 6, 7 3 + 2 + 1 = 6 2 ja 7 loppuvat 8 4, 2 + 2 = 4 6 loppuu 9 4 4 2 + = 7 4 loppuu 14 2 loppuu 1 8 8 6 8 loppuu 21 9 9 Projektin kesto on tällä kertaa 21. d) Valitaan mahdollisista osatöistä se, jonka maksimaalinen pelivara on pienin. Osatöiden maksimaaliset pelivarat lasketaan kaavalla s m [i] = min j {l[j] (i, j) E} v[i] a i, 4
jota käyttäen saadaan s m [] = = s m [1] = min {4, 3} 3 = s m [2] = min {14, 6} 3 2 = 1 s m [3] = min {14, 6, 1, 17} 3 3 = s m [4] = 19 6 = 8 s m [] = 13 6 7 = s m [6] = 13 6 3 = 4 s m [7] = 19 6 2 = 11 s m [8] = 19 13 6 =. Nyt saadaan sama ratkaisu kuin kohdassa c). Tehtävä 3 Muotoillaan edellinen tehtävä lineaariseksi optimointitehtäväksi kuten luentomonisteen sivuilla 26-27 on esitetty. Projektin kesto on korkeintaan T = n a i = 3 + 2 + 3 + + 7 + 3 + 2 + 6 = 31, i=1 ja meillä on käytettävissä yksi resurssi joka on työvoiman määrä. Tehtävässä n = 8, b ik = h i, missä i = 1,..., 8 ja R kt = 7, missä k = 1 ja t = 1,...,31. Tarkastellaan resursseja erikseen kullakin aikavälillä [t 1, t), missä t = 1,..., 31. Valitaan päätösmuuttujiksi 1, kun työ i alkaa hetkellä t, missä t =, 1,..., 31 a i x it =, muuten. Saadaan optimointitehtävä min s. t. 31 tx 9t 8 i=1 31 a j 31 a i h i t 1 l=max {,t a i } tx jt 31 a i x il 7, t = 1,..., 31 tx it a i, x it = 1, i =, 1,...,9 (i, j) E x it {, 1}, i =,..., 9, t =,...,3.
Kirjoitetaan rajoitteet vielä auki. (Ensimmäisiä rajoitteita on yhteensä 31 kpl) x 1 + 3x 2 + 7x 3 + x 4 + 2x + 2x 6 + x 7 + 6x 8 7 (t = 1) (x 1 + x 11 ) + 3(x 2 + x 21 ) + + 6(x 8 + x 81 ) 7 (t = 2) (x 1 + x 11 + x 12 ) + 3(x 21 + x 22 ) + + 6(x 8 + x 81 + x 82 ) 7 (t = 3). (x 1,28 + x 1,29 + x 1,3 ) + 3(x 2,29 + x 2,3 ) + + 6(x 8,26 + x 8,27 + x 8,28 + x 8,29 + x 8,3 ) 7 (t = 31) (Seuraavia rajoitteita on 14 kpl) 31 2 tx 1t 31 tx t tx 2t tx 1t 3 tx 3t tx 1t 3. 31 tx 9t 31 6 tx 8t 6 (Viimeisestä rajoitteesta tulee aukikirjoitettuna 1 kpl) 31 x t = 1 x 1t = 1. 31 x 9t = 1 Tehtävässä on päätösmuuttujia (n+2)t = 1 31 = 31 ja rajoitteita 31+14+1 =. Tehtävä 4 Laaditaan projektin osatöiden aikaisimmista aloitushetkistä, edeltäjistä ja myöhäisimmistä aloitushetkistä seuraava taulukko: 6
aikaisimmat edeltäjät myöhäisimmät v[s] = l[s] = min {, } = v[a] = d[a] = S l[a] = min {2 1, 1 1} = v[b] = d[b] = S l[b] = min {2 1, 1 1, 2 1} = v[c] = max { + 1, + 1} = 1 d[c] = A l[c] = 3 1 = 2 v[d] = max { + 1, + 1} = 1 d[d] = A l[d] = min {2 1, 4 1} = 1 v[e] = + 1 = 1 d[e] = B l[e] = min {2, 4 } = 2 v[f] = max {1 + 1, 1 + } = 2 d[f] = D l[f] = 3 = 2 v[g] = max {1 + 1, 2 + } = 3 d[g] = F l[g] = 2 = 3 v[h] = max {1 + 1, 1 + } = 2 d[h] = D l[h] = 1 = 4 v[i] = max {3 + 2, 2 + 1} = d[i] = G l[i] = 6 1 = v[f] = + 1 = 6 d[f] = I l[f] = 6 Projektin kesto on 6. Kriittinen polku on d[f] = I, d[i] = G, d[g] = F, d[f] = D, d[d] = A, d[a] = S eli S A D F G I f. A 1 C E H S 1 1 1 1 1 1 2 I 1 f B D 1 1 F G Kuva 2: Tehtävän 4 graafi. Tarkastellaan sitten joidenkin osatöiden kestojen muutosten aiheuttamia vaikutuksia. a) Oletetaan, että työ E kestääkin 1 päivää. Silloin aloitushetken pelivara s[e] = l[e] v[e] = 2 1 = 1. Jos siis osatyön E kesto kasvaa 1 päivällä, niin saadaan vaihtoehtoinen kriittinen polku S B E F G I f. b) Oletetaan, että työ H kestääkin 2 päivää. Silloin aloitushetken pelivara s[h] = l[h] v[h] = 4 2 = 1. Niinpä 1 päivän lisäys ei vaikuta projektin kestoon eikä kriittiseen polkuun. c) Oletetaan, että työt F ja G valmistuvat päivän etuajassa. Silloin projektin kesto lyhenee 2 päivää, sillä töiden C ja H pelivarat ovat s[c] = ja s[h] = 1. Kriittinen polku ei muutu. 7
Tehtävä Olkoon tilamuuttujat x n = pakattujen esineiden yhteispaino vaiheessa n, n = 1,..., N 1, esine n pakataan y n =, esinettä n ei pakata. Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {,1} ynwn xn f ( ) =. {y n u n + f n 1 (x n y n w n )}, x n W, n = 1,...,N (1) Lasketaan sovelluksena tapaus, jossa W = 7 ja N = 4. Seuraavissa taulukoissa kussakin vaiheessa n toinen ja kolmas sarake esittävät lausekkeen y n u n + f n 1 (x n y n w n ) arvoja y:n arvoilla ja 1. Neljäs ja viides sarake esittävät yhtälöistä (1) laskettua f:n lauseketta sekä sitä y:n arvoa jolla lauseke y n u n +f n 1 (x n y n w n ) saavuttaa maksiminsa. Otamme myös käyttöön merkinnän x n 1 = x n y n w n. Vaiheessa n = 1 saadaan taulukko x 1 y 1 = y 1 = 1 f 1 (x 1 ) y 1 (x 1 ) 1 2 3 4 4 4 1 4 4 1 6 4 4 1 7 4 4 1 Vaiheessa n = 2 saadaan taulukko x 2 y 2 = y 2 = 1 f 2 (x 2 ) y 2 (x 2 ) + 1 + 2 + 1 + 1 1 3 + 1 + 1 1 4 + 4 1 + 4 + 4 1 + 4 6 + 4 1 + 4 1 7 + 4 1 + 4 1 Vaiheessa n = 3 saadaan taulukko 8
Vaiheessa n = 4 saadaan taulukko x 3 y 3 = y 3 = 1 f 3 (x 3 ) y 3 (x 3 ) + 1 + 2 + 1 1 3 + 1 2 + 2 1 4 + 4 2 + 4 + 4 2 + 1 4 6 + 2 + 1 7 + 2 + 4 6 1 x 4 y 4 = y 4 = 1 f 4 (x 4 ) y 4 (x 4 ) + 1 + 1 + 1 1 2 + 1 1 + 1 3 + 2 1 + 1 2 1 4 + 4 1 + 2 4 + 4 1 + 4 1 6 + 1 + 4 7 + 6 1 + 6 1 Vaiheen n = 4 taulukosta näemme, että suurimmalla sallitulla yhteispainolla W = 7 päätösmuuttujan y 4 arvoksi tulee 1. Tästä voimme laskea x 3 :n arvon rekursiokaavalla x 3 = x 4 y 4 w 4. Tätä muuttujan x 3 arvoa voimme taas käyttää päätösmuuttujan y 3 määrittämiseen vaiheen n = 3 taulukosta. Näin jatkamalla rekursioketjun kulkemista takaperin vaiheeseen n = 1 saamme y 4 (7) = 1, x 3 = x 4 y 4 w 4 = 7 1 1 = 6 y 3 (6) =, x 2 = x 3 y 3 w 3 = 6 3 = 6 y 2 (6) = 1, x 1 = x 2 y 2 w 2 = 6 1 2 = 4 y 1 (4) = 1. Ratkaisu on siis, että kannattaa valita esineet 1, 2 ja 4, jolloin niistä saatava kokonaishyöty on 6. 9