0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i j) (4i 8 j) = ( ) 4 1 ( 8) = 8+ 8 = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) a b = 6, eivät ole kohtisuorassa b) a b = 0, ovat kohtisuorassa

169 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i j + k) ( i + 4 j + 5 k) = 3 ( ) 1 4 + 5 = 6 4 + 10 = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (i 4 j + 3 k) (5i + j + k) = 5 4 + 31 = 10 8 + 3 = 5 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) a b = 0, ovat kohtisuorassa b) a b = 5, eivät ole kohtisuorassa

170 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (i 3 j) ( 8i 1 j) = ( 8) 3 ( 1) = 16 + 36 = 0 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i + j k) (3i + j + 5 k) = 13 + 1 15 = 3+ 5 = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) eivät ole kohtisuorassa b) ovat kohtisuorassa

171 a) Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. a b = 0 (i 5 j) ( ti + 6 j) = 0 t 56 = 0 t = 30 t = 15 b) Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. a b = 0 ( ti + j k ) (ti + tj + 4 k ) = 0 t t+ t 14 = 0 t + t 4 = 0 : t + t = 0 Käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. 1 1 41( ) 1 9 1 3 ± ± ± t = = = 1 1+ 3 1 3 t = tai t = t = 1 tai t = Vastaus a) t = 15 b) t = tai t = 1

17 a) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. a b = 0 ( ti + j 3 k ) (4i + tj + k ) = 0 4t+ t 3 = 0 6t = 6 t = 1 b) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se laskimella. a b = 0 ( ti 5j + k ) ( ti + tj + 3 k ) = 0 t t 5t+ 3= 0 t 5t+ 6= 0 t = tai t = 3 Vastaus a) t = 1 b) t = tai t = 3

173 Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Muodostetaan vektorit, jotka määräävät kolmion ABC sivut. AB = (5 1) i + (3 0) j + ( 1 ) k = 4i + 3j 3k AC = (4 1) i + (1 0) j + (7 ) k = 3i + j + 5k BC = (4 5) i + (1 3) j + (7 ( 1)) k = i j + 8k Lasketaan sivuvektorien pistetulot. AB AC = (4i + 3 j 3 k ) (3i + j + 5 k ) = 4 3+ 31 35 = 1 + 3 15 = 0 Koska pistetulo AB AC = 0, niin sivut AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Siten kolmion kulma A on suora ja kolmio on suorakulmainen. (Koska suorakulma löydettiin heti, muiden sivuvektorien pistetuloja ei tarvitse laskea.)

174 a) Kulma B on suora, jos sivuvektorit BA ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan sivuvektorit BA ja BC. BA = ( 3) i + ( t 0) j + (4 ( 1)) k = 5i + tj + 5k BC = (1 3) i + ( 0) j + ( 3 ( 1)) k = i j k Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. BA BC = 0 ( 5i + tj + 5 k ) ( i j k ) = 0 ( 5) ( ) + t ( ) + 5 ( ) = 0 10 t 10 = 0 Kulma B on suora, jos t = 0. t = 0

b) Kulma C on suora, jos sivuvektorit CA ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan sivuvektori CA. Sivuvektori BC laskettiin jo a- kohdassa. CA = ( 1) i + ( t ( )) j + (4 ( 3)) k = 3 i + ( t+ ) j + 7k Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. CA BC = 0 ( 3 i + ( t+ ) j + 7 k) ( i j k) = 0 ( 3) ( ) + ( t + ) ( ) + 7 ( ) = 0 Kulma C on suora, jos t = 6. 6 ( t + ) 14 = 0 t 1 = 0 t = 6 Vastaus a) t = 0 b) t = 6

175 Lasketaan ensin vektorin a + b pituuden neliö a + b. a + b = ( a + b) ( a + b) = a a + a b + b a + b b = a a + a b + a b + b b = a + a b + b = 3 + 13 + 7 = 84 (Laskussa käytettiin tietoja a = 3, b = 7 ja a b = 13.) Vektorin a + b pituus on a + b = 84 = 1. Vastaus 1

176 Lasketaan ensin vektorin a 5b pituuden neliö a 5b. a 5b = (a 5 b) (a 5 b) = a a + a ( 5 b) 5b a 5 b ( 5 b) = 4a a 10a b 10a b + 5b b = 4 a 0a b + 5 b = 4 ( 5) 0 ( ) + 5 ( 3) = 135 (Laskussa käytettiin tietoja a = 5, b = 3 ja a b =.) Vektorin a 5b pituus on a 5b = 135 = 3 15. Vastaus 3 15

177 Vektorit FG ja FE ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Määritetään vektorit FG ja FE neliön kärkipisteestä A lähtevien sivuvektorien AB ja AD avulla. Nämä kelpaavat kantavektoreiksi, koska ne ovat erisuuntaiset ja kumpikaan ei ole nollavektori. FG = FA + AG 1 = DA + AB 3 3 1 = AD + AB 3 3 1 = AB AD 3 3 FE = FD + DE 1 = AD + DC 3 3 1 = AD + AB 3 3 1 = AB + AD 3 3

Lasketaan vektorien FG ja FE pistetulo. 1 1 FG FE = ( AB AD) ( AB + AD) 3 3 3 3 1 1 1 1 = AB AB + AB AD AD AB AD AD 3 3 3 3 3 3 3 3 4 1 = AB AB + AB AD AD AB AD AD 9 9 9 9 = AB + 0 0 AD 9 9 = 0 = AB AD 9 9 Laskussa käytettiin tietoa, että AB AD = 0 (ja AD AB = 0). Tulos seuraa siitä, että neliön sivuvektorit AB ja AD ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lopputulos taas seuraa siitä, että neliön sivuina vektorit AB ja AD ovat yhtä pitkät eli AB = AD. Koska pistetulo FG FE = 0, niin vektorit FG ja FE ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

178 a) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö. a b = 0 (3i + 4 j ) ( si + tj ) = 0 3s+ 4t = 0 Vektorit a ja b ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla niillä vakioiden s ja t (reaaliluku)arvoilla, jotka toteuttavat yhtälön 3s+ 4t = 0. Tällaiset arvot ovat esimerkiksi 1 1 s = 4 ja t = 3 tai s = ja t =. 3 4 b) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö. a b = 0 (i 3 j ) ( si + tj ) = 0 s 3t = 0 Vektorit a ja b ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla niillä vakioiden s ja t (reaaliluku)arvoilla, jotka toteuttavat yhtälön s 3t = 0. Tällaiset arvot ovat esimerkiksi 0 s = 3 ja t = tai s = 10 ja t =. 3

c) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö. a b = 0 ( xi + yj ) ( si + tj ) = 0 xs + yt = 0 Vektorit a ja b ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla niillä vakioiden s ja t (reaaliluku)arvoilla, jotka toteuttavat yhtälön xs + yt = 0. Tällaiset arvot ovat esimerkiksi s = y ja t = x. Vastaus a) esimerkiksi s = 4 ja t = 3 b) esimerkiksi s = 3 ja t = c) esimerkiksi s = y ja t = x

179 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i + 3 j k) (6i 4 j 3 k) = 1 6+ 3 ( 4) ( 3) = 6 1 + 6 = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (6i + 5 j + k) ( i 4 k) = 6 ( ) + 5 0 + 1 ( 4) = 1 + 0 4 = 16 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) a b = 0, ovat kohtisuorassa b) a b = 16, eivät ole kohtisuorassa

180 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i 3 k) (4i j) = ( i + 0 j 3 k) (4i j + 0 k) = 1 4 + 0 ( ) 3 0 = 4+ 0+ 0 = 4 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. 3 1 1 5 a b = ( i + j k) ( i j k) 4 3 6 1 3 1 5 = 1 + ( 1) ( ) 3 4 6 1 3 5 = + 3 4 1 4 9 5 4 9+ 5 = + = 1 1 1 1 = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) eivät ole kohtisuorassa b) ovat kohtisuorassa

181 a) Kulma A on suora, jos sivuvektorit AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan sivuvektorit AB ja AC. AB = ( 1) i + (1 ( 1)) j + (1 0) k = i + j + k AC = (3 1) i + ( t ( 1)) j + ( 0) k = i + ( t+ 1) j + k Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. AB AC = 0 ( i + j + k) ( i + ( t+ 1) j + k) = 0 1 + ( t + 1) + 1 = 0 + t + + = 0 Kulma A on suora, jos t = 3. t = 3

b) Kulma B on suora, jos sivuvektorit AB ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan sivuvektori BC. Sivuvektori AB laskettiin jo a-kohdassa. BC = (3 ) i + ( t 1) j + ( 1) k = i + ( t 1) j + k Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. AB BC = 0 ( i + j + k) ( i + ( t 1) j + k) = 0 11 + ( t 1) + 11 = 0 1+ t + 1= 0 Kulma B on suora, jos t = 0. t = 0

c) Kulma C on suora, jos sivuvektorit AC ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Molemmat sivuvektorit AC ja BC laskettiin jo a- ja b- kohdissa. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. AC BC = 0 ( i + ( t+ 1) j + k) ( i + ( t 1) j + k) = 0 1 + ( t+ 1) ( t 1) + 1 = 0 + + = t 1 0 t = 3 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä luvun neliö on aina epänegatiivinen. (Yhtälöä voidaan tutkia myös laskimella.) Siten kulma C ei ole suora millään vakion t arvolla. Vastaus a) t = 3 b) t = 0 c) ei millään vakion t arvolla

18 Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Tarkastellaan vektoreita, jotka määräävät kolmion sivut. Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = ti 3 j k, b = ( t 1) i + tj 3k ja näiden erotusvektorista a b = ti 3 j k (( t 1) i + tj 3 k ) = ti 3 j k ( t 1) i tj + 3k = i ( t+ 3) j + k. Kolmion kulma on suora, jos kulmasta lähtevät tai siihen tulevat sivuvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Tarkastellaan erikseen kutakin kulmaa muodostamalla ja ratkaisemalla yhtälö kullekin vektoriparille. Ensimmäinen kulma: t t t a b = 0 ( ti 3 j k ) (( t 1) i + tj 3 k ) = 0 t ( t 1) 3t 1 ( 3) = 0 3 + 3= 0 t 4t+ 3= 0 Kulma on suora, jos t = 1 tai t = 3. t = 1 tai t = 3 (laskimella)

Toinen kulma: a ( a b) = 0 ( ti 3 j k ) ( i ( t + 3) j + k ) = 0 t 3 ( ( t+ 3)) 1 = 0 t+ 3t+ 9 = 0 t = 7 4 Kulma on suora, jos 7 t =. 4 Kolmas kulma: b ( a b) = 0 (( t 1) i + tj 3 k ) ( i ( t + 3) j + k ) = 0 ( t 1) 1 + t ( ( t+ 3)) 3 = 0 t t t = 1 3 6 0 t t = 7 0 Kulma ei ole suora millään vakion t arvolla. ei ratkaisua (laskimella) Kaiken kaikkiaan saatiin siis, että kolmio on suorakulmainen, jos 7 t = 1, t = 3 tai t =. 4 Vastaus t = 1, t = 3 tai 7 t = 4

183 Lasketaan ensin vektorin a + 3b pituuden neliö a + 3b. a + 3b = (a + 3 b) (a + 3 b) = a a + a 3b + 3b a + 3b 3b = 4a a + 6a b + 6a b + 9b b = 4 a + 1a b + 9 b = 4 6 + 1 30 + 9 8 = 1080 (Laskussa käytettiin tietoja a = 6, b = 8 ja a b = 30.) Vektorin a + 3b pituus on a + 3b = 1080 = 6 30. Vastaus 6 30

184 Lasketaan ensin a 5b. a 5b = (a 5 b) (a 5 b) = a a + a ( 5 b) 5b a 5 b ( 5 b) = 4a a 10a b 10a b + 5b b = 4 a 0a b + 5 b = 4 ( 7) 0 5 + 5 (3 5) = 1053 (Laskussa käytettiin tietoja a = 7, b = 3 5 ja a b = 5.) Siten a 5b = 1053 = 9 13. Vastaus 9 13

185 a) Vektori u = xi + yj + zk on kohtisuorassa vektoreita a = i + j + k ja b = i j + 3k vastaan täsmälleen silloin, kun molemmat pistetulot a u ja b u ovat nollia. Muodostetaan ja ratkaistaan syntyvät kaksi yhtälöä eli yhtälöpari. a u = 0 ( i + j + k ) ( xi + yj + zk ) = 0 x+ y+ z = 0 b u = 0 (i j + 3 k ) ( xi + yj + zk ) = 0 x y+ 3z = 0 Päädyttiin siis yhtälöpariin x+ y+ z = 0 x y+ 3z = 0.

Poistetaan saadusta yhtälöparista muuttuja y ja ratkaistaan muuttuja z muuttujan x avulla. x+ y+ z = 0 + x y+ 3z = 0 3 x + 4z = 0 z = 3 4 x 3 Sijoitetaan z = x esimerkiksi yhtälöparin ylempään 4 yhtälöön ja ratkaistaan muuttuja y muuttujan x avulla. x+ y+ z = 0 3 x+ y x = 0 4 y = 1 4 x 1 3 On siis saatu y = x ja z = x. Jos valitaan esimerkiksi 4 4 x = 4, saadaan y = 1 ja z = 3, joten vektoriksi u saadaan u = 4i j 3k.

b) Vektoreita a ja b vastaan kohtisuorat yksikkövektorit ovat a- kohdassa saadun vektorin u = 4i j 3k suuntainen 0 yksikkövektori u ja kyseisen yksikkövektorin vastavektori 0 0 u. Määritetään ensin yksikkövektori u. Vektorin u = 4i j 3k pituus on u = 4 + ( 1) + ( 3) = 16 + 1+ 9 = 6. Vektorin u suuntainen yksikkövektori on u = u u 0 1 1 4 1 3 = (4i j 3 k) = i j k. 6 6 6 6 Siten kysytyt yksikkövektorit ovat 0 4 1 3 u = i j k ja vastavektori 6 6 6 0 4 1 3 u = i + j + k. 6 6 6 Vastaus a) esimerkiksi u = 4i j 3k b) 4 1 3 i j k ja 6 6 6 4 1 3 i + j + k 6 6 6 HUOM. a-kohdassa kannattaa vielä tarkistaa suoralla laskulla, että yhtälöt a u = 0 ja b u = 0 toteutuvat, kun u = 4i j 3k.

186 Vektorit FE ja FB ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Määritetään vektorit FE ja FB neliön kärkipisteestä A lähtevien sivuvektorien AB ja AD avulla. Nämä kelpaavat kantavektoreiksi, koska ne ovat erisuuntaiset ja kumpikaan ei ole nollavektori. FE = FA + AE 3 1 = CA + AD 5 5 3 1 = ( CB + BA) + AD 5 5 3 1 = ( DA AB) + AD 5 5 3 1 = ( AD AB) + AD 5 5 3 = AB AD 5 5 FB = FA + AB 3 = CA + AB 5 3 = ( CB + BA ) + AB 5 3 = ( DA AB ) + AB 5 3 = ( AD AB ) + AB 5 3 = AB AD 5 5

Lasketaan vektorien FE ja FB pistetulo. 3 3 FE FB = ( AB AD) ( AB AD) 5 5 5 5 3 3 3 3 = AB AB AB ( AD) AD AB AD ( AD) 5 5 5 5 5 5 5 5 6 9 4 6 = AB AB + AB AD AD AB + AD AD 5 5 5 5 6 6 = AB + 0 0+ AD 5 5 = 0 6 6 = AB + AD 5 5 Laskussa käytettiin tietoa, että AB AD = 0 (ja AD AB = 0). Tulos seuraa siitä, että neliön sivuvektorit AB ja AD ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lopputulos taas seuraa siitä, että neliön sivuina vektorit AB ja AD ovat yhtä pitkät eli AB = AD. Koska pistetulo FE FB = 0, niin vektorit FE ja FB ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

187 Vektorit AD ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Määritetään vektorit AD ja BC kolmion kärkipisteestä A lähtevien sivuvektorien AB ja AC avulla. Nämä kelpaavat kantavektoreiksi, koska ne ovat erisuuntaiset ja kumpikaan ei ole nollavektori (ei haittaa, että vektorit ovat eripituiset). AD = AB + BD 16 = AB + BC 5 BC = BA + AC = AB + AC 16 = AB + ( BA + AC ) 5 16 = AB + ( AB + AC ) 5 9 16 = AB + AC 5 5

Lasketaan vektorien AD ja BC pistetulo. 9 16 AD BC = ( AB + AC) + ( AB + AC) 5 5 9 9 16 16 = AB ( AB) + AB AC + AC ( AB) + AC AC 5 5 5 5 9 9 16 16 = AB AB + AB AC AC AB + AC AC 5 5 5 5 9 16 = AB + 0 0+ AC 5 5 9 16 = AB + AC 5 5 1 ( 9 AB 16 AC ) = + 5 = 0 Laskussa käytettiin tietoa, että AB AC = 0 (ja AC AB = 0 ). Tulos seuraa siitä, että kolmion sivuvektorit AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lopputulos taas seuraa siitä, että vektorin AB pituus on 4 ja vektorin AC pituus 3, joten 3 AB = 4 AC eli 9 AB = 16 AC. Koska pistetulo AD BC = 0, niin vektorit AD ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

188 Kolmion OAB sivut määräytyvät vektoreista OA = a, OB = b ja näiden erotusvektorista a b. Kolmannen sivun pituuden neliö on a b = ( a b) ( a b) = a a + a ( b) b a b ( b) = a a a b a b + b b = a a a b + b = b, missä viimeinen vaihe seuraa annetusta ehdosta a a = a b. Tulos tarkoittaa, että vektorit a b ja b ovat yhtä pitkät, joten kolmion sivut AB ja OB ovat yhtä pitkät. Koska kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua, se on tasakylkinen.

189 Samasta pisteestä lähtevät vektorit a = i j + k, b = xi + j + 3k ja c = i + yj + zk voivat olla suorakulmaisen särmiön särmiä vain, jos ne ovat pareittain kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos kaikki pistetulot a b, a c ja b c ovat nollia. Muodostetaan ja ratkaistaan syntyvät kolme yhtälöä eli yhtälöryhmä. a b = 0 ( i j + k ) ( xi + j + 3 k ) = 0 x 11 + 13 = 0 x 1+ 3= 0 x = 1 a c = 0 ( i j + k ) ( i + yj + zk ) = 0 ( ) y+ z = 0 4 y+ z = 0 y+ z = 4 b c = 0 ( xi + j + 3 k ) ( i + yj + zk ) = 0 x+ y+ 3z = 0

Päädyttiin siis yhtälöryhmään x = 1 y+ z = 4 x + y + 3z = 0 jonka ratkaisuksi saadaan laskimella x = 1, Tällöin särmävektorit ovat 7 y = ja 1 z =. a = i j + k, b = xi + j + 3k = i + j + 3k, 7 1 c = i + yj + zk = i j + k. Vektorien (eli myös särmien) pituudet ovat a = + ( 1) + 1 = 6, b = ( 1) + 1 + 3 = 11, 7 1 66 66 4 c = ( ) + ( ) + ( ) = =. Suorakulmaisen särmiön tilavuus on särmien pituuksien tulo: 66 V = 6 11 = 33. Vastaus x = 1, 7 y = ja 1 z = ; tilavuus on 33

190 a) Olkoot a= ai x + ay j+ ak z ja b= bi x + by j+ bk z. Lasketaan pistetulo a b. a b= ( a i + a j+ ak) ( bi + b j+ bk) x y z x y z = ab + ab + ab x x y y z z reaalilukujen vaihdantalaki: = ba + ba + ba ab = ba x x y y z z x x x x jne. = ( bi + b j+ bk) ( a i + a j+ ak) = b a x y z x y z On osoitettu, että a b = b a.

b) Olkoot a= ai x + ay j+ ak z, b= bi x + by j+ bk z ja t jokin reaaliluku. Tällöin ta = t( a i + a j + a k ) = ta i + ta j + ta k. x y z x y z Lasketaan pistetulo ( ta) b. ( ta) b = ( ta i + ta j + ta k ) ( b i + b j + b k ) = tab ( + ab + ab) = ta ( b) x y z x y z = ta b + ta b + ta b x x y y z z x x y y z z On osoitettu, että ( ta) b = t( a b ).

Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 191 a) a b= abcos( ab, ) = 6 8 cos60 = 4 b) a b= abcos( ab, ) = 6 8 cos45 1 = 48 = 48 = 4 c) a b= abcos( ab, ) = 6 8 cos30 3 = 48 = 4 3 Vastaus a) 4 b) 4 c) 4 3

19 cos( ab, ) = a b a b ab 5 1 = = 10 10 1 = = 1 (, ) cos ( ) 10 Vastaus 10

193 a) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( i + j)( i + 3 j) = 1 + 13 = 5 a = + 1 = 5, b = 1 + 3 = 10 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 5 1 cos( ab, ) = = = a b 5 10 ab 1 = = 1 (, ) cos ( ) 45 b) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( 3i + 5 j) (i 6 j) = 3 + 5 ( 6) = 36 a = ( 3) + 5 = 34, b = + ( 6) = 40 = 10 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 36 9 cos( ab, ) = = = a b 34 10 85 ab 9 = = 85 1 (, ) cos ( ) 167,47... 167 Vastaus a) 45 b) 167

194 a) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (i + 4 j + 4 k) ( i + j k) = + 4 1 + 4 ( 1) = 4 a = + 4 + 4 = 36 = 6 b = + 1 + ( 1) = 6 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 4 cos( ab, ) = = = a b 6 6 3 6 ab = = 3 6 1 (, ) cos ( ) 74,06... 74,

b) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (3i j + 6 k) ( 5i 3 j k) = 3 ( 5) ( 3) + 6 ( 1) = 15 a = 3 + ( ) + 6 = 49 = 7 b = ( 5) + ( 3) + ( 1) = 35 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 15 cos( ab, ) = = a b 7 35 ab 15 = = 7 35 1 (, ) cos ( ) 111,35... 111, Vastaus a) 74, b) 111,

195 Merkitään kolmion kärkipisteitä A( 1, ), B(3, 1) ja C (7,3). Kolmion pienin kulma on lyhyimmän sivun vastainen kulma. Muodostetaan kolmion sivuja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. Sivu AB: AB = (3 ( 1)) i + ( 1 ) j = 4i 3j Sivu AC: AB = 4 + ( 3) = 5 = 5 AC = (7 ( 1)) i + (3 ) j = 8i + j Sivu BC: AC = 8 + 1 = 65 8,1 BC = (7 3) i + (3 ( 1)) j = 4i + 4 j BC = 4 + 4 = 3 = 4 5,7

Kolmion lyhyin sivu on AB, joten kolmion pienin kulma on C = ( AC, BC) = ( AC, BC). Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. AC BC = (8 i + j ) (4i + 4 j ) = 8 4 + 1 4 = 36 AC BC 36 9 cos( AC, BC) = = = AC BC 65 4 65 9 = = 65 1 ( AC, BC) cos ( ) 37,874... 37,9 Kolmion pienin kulma on 37,9. Vastaus 37,9

196 Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = 4i + 3j, b = i j ja näiden erotusvektorista a b = 4i + 3 j ( i j) = 4i + 3j i + j = 3i + 5 j. Lasketaan vektorien pituudet. a = 4 + 3 = 5 = 5 b = 1 + ( ) = 5 a b = + = 3 5 34 Lasketaan vektorien väliset pistetulot. a b = (4i + 3 j) ( i j) = 4 1+ 3 ( ) = a ( a b) = (4i + 3 j) (3i + 5 j) = 4 3 + 3 5 = 7 b ( a b) = ( i + j) (3i + 5 j) = 1 3+ 5 = 7 (Kuvan perusteella pistetulo b ( a b) antaisi väärän arvon.)

Lasketaan vektorien väliset kulmat. a b cos( ab, ) = = a b 5 5 ab = = 5 5 1 (, ) cos ( ) 100,30... 100 a ( a b) 7 cos( a,( a b)) = = a ( a b) 5 34 1 7 ( a,( a b)) = cos ( ) =,16... 5 34 b ( a b) b ( a b) 7 cos( b,( a b)) = = = b ( a b) b ( a b) 5 34 1 (,( )) = cos ( ) = 57,5... 58 b a b 7 5 34 Kolmion kulmat ovat, 58 ja 100. Vastaus, 58 ja 100

197 Suunnikkaan lävistäjät ovat vektorit a + b = 4i + j + i 5j ja = 6i 4j b a = i 5 j (4 i + j) = i 5j 4i j = i 6 j. Lasketaan lävistäjävektorien pistetulo ja vektorien pituudet. ( a + b) ( b a) = (6i 4 j) ( i 6 j) = 6 ( ) 4 ( 6) = 1 a + b = + = = 6 ( 4) 5 13 b a = + = = ( ) ( 6) 40 10 Lasketaan lävistäjävektorien välinen kulma. ( a + b) ( b a) 1 3 cos(( a + b),( b a)) = = = ( a + b)( b a) 13 10 13 10 3 a + b b a = = 13 10 1 (( ),( )) cos ( ) 74,74... 75 Vastaus 75

198 Tilannetta havainnollistaa oheinen kuva. Kuvaan on merkitty myös ylimääräiset vektorit BC ja CA, sillä niistä on apua b- ja c-kohtia ratkaistaessa. Kaikkien sivuvektorien pituus on 6, joten AB = AC = CA = BC = 6. a) Vektorien AB ja AC välinen kulma on 60, joten AB AC = AB AC cos( AB, AC) = 66cos60 = 18. b) Vektorien AB ja BC välinen kulma on 60 + 60 = 10, joten AB BC = AB BC cos( AB, BC) = 6 6 cos10 = 18.

c) Vektorien BC ja CA välinen kulma on 60 + 60 = 10, joten BC CA = BC CA cos( BC, CA) = 6 6 cos10 = 18. Vastaus a) 18 b) 18 c) 18

199 Sijoitetaan kirja koordinaatistoon siten, että kirjan selkä on positiivisella z-akselilla, selän alakulma origossa ja sivujen alalaidat positiivisilla x- ja y- akseleilla. Koordinaatiston yksikkö on 1 cm. Merkitään tarvittavia pisteitä kuvan mukaisesti. Kysytty kulma α = ( PA, PB). Muodostetaan lävistäjävektorit PA ja PB. PA = PO + OA = 3,8k + 18, 4i = 18, 4i 3,8k PB = PO + OB = 3,8k + 18, 4 j = 18, 4 j 3,8k

Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. PA PB = (18, 4i 3,8 k ) (18, 4 j 3,8 k ) = (18, 4i + 0 j 3,8 k) (0i + 18, 4 j 3,8 k) = 18,4 0 + 0 18,4 3,8 ( 3,8) = 566, 44 PA = 18, 4 + ( 3,8) = 905 PB = 18, 4 + ( 3,8) = 905 Lasketaan vektorien välinen kulma. PA PB 566, 44 566, 44 cos( PA, PB) = = = PA PB 905 905 905 PA PB 566, 44 = = 905 1 (, ) cos ( ) 51,51... 51,3 Kulman α suuruudeksi saadaan 51, 3. Vastaus 51, 3

00 Lasketaan ensin vektorien a = 4 j ja b = ti + j pistetulo ja vektorien pituudet. a b = 4 j ( ti + j) = (0i + 4 j) ( ti + j) = 0 t + 41 = 4 a = 4 = 4 b = t + 1 = t + 1 Jos vektorien a ja b välinen kulma on 60, kulman kosini on 1 cos( ab, ) = cos60 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se laskimella. a b= abcos( ab, ) 1 4= 4 t + 1 t = 3 tai t = 3 Vastaus t = 3 tai t = 3

01 a) a 3 b = ( 3)( a b) = 6( a b) = 6 abcos( ab, ) = 6 4 5 cos10 = 60 b) a 3 b = ( 3)( a b) = 6( a b) = 6 abcos( ab, ) = 6 4 5 cos135 1 = 10 ( ) = 10 = 60 c) a 3 b = ( 3)( a b) = 6( a b) = 6 abcos( ab, ) = 6 4 5 cos180 = 10 Vastaus a) 60 b) 60 c) 10

0 cos( ab, ) = a b a b ab 15 1 = = 3 5 1 = = 1 (, ) cos ( ) 45 Vastaus 45

03 a) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (10i + 1 j 9 k) ( 5i + 13 j 9 k) = 10 ( 5) + 1 13 9 ( 9) = 187 a = 10 + 1 + ( 9) = 35 = 5 13 b = ( 5) + 13 + ( 9) = 75 = 5 11 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 187 187 cos( ab, ) = = = a b 5 13 5 11 5 13 11 ab 187 = = 5 13 11 1 (, ) cos ( ) 51,8... 51

b) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (i 6 k) (4 j + k) = (i + 0 j 6 k) (0i + 4 j + k) = 0+ 0 4 6 = 1 a = + ( 6) = 40 = 10 b = 4 + = 0 = 5 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 1 3 cos( ab, ) = = = a b 10 5 10 5 ab 3 = = 10 5 1 (, ) cos ( ) 115,10... 115 Vastaus a) 51 b) 115

04 Kolmio on tylppäkulmainen, jos sen suurin kulma on suurempi kuin 90. Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Muodostetaan kolmion sivuja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. Sivu AB: AB = (4 1) i + (3 ( )) j + (5 3) k = 3i + 5 j + k AB = 3 + 5 + = 38 6, Sivu AC: AC = (3 1) i + ( 5 ( )) j + (5 3) k = i 3j + k AC = + ( 3) + = 17 4,1 Sivu BC: BC = (3 4) i + ( 5 3) j + (5 5) k = i 8 j + 0k = i 8 j BC = ( 1) + ( 8) = 65 8,1 Kolmion ABC pisin sivu on BC, joten kolmion suurin kulma on A = ( AB, AC).

Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. AB AC = (3i + 5j + k ) (i 3j + k ) = 3 5 3+ = 5 AB AC cos( AB, AC) = = AB AC 5 38 17 5 = = > 38 17 1 ( AB, AC) cos ( ) 101,3... 90 Koska kolmion suurin kulma on tylppä, on kolmio tylppäkulmainen.

05 Kolmion pienin kulma on lyhyimmän sivun vastainen kulma. Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = i j k, b = 3i + j + k ja näiden erotusvektorista a b = i j k (3 i + j + k) = i j k 3i j k = i j 3 k. Lasketaan vektorien pituudet. a = + ( 1) + ( ) = 9 = 3 b = 3 + 1 + 1 = 11 3, 3 a b = + + = ( 1) ( ) ( 3) 14 3,7 Kolmion lyhyin sivu on sivu, jonka vektori a määrää, joten kolmion pienin kulma on oheisen kuvan mukaan ( b,( a b)).

Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. b ( a b) = ( 3 i j k) ( i j 3 k) = 3 ( 1) 1 ( ) 1 ( 3) = 8 b ( a b) b ( a b) 8 cos( b,( a b)) = = = b ( a b) b ( a b) 11 14 1 (,( )) = cos ( ) = 49,859... 49,9 b a b Kolmion pienin kulma on 49,9. 8 11 14 Vastaus 49,9

06 Suunnikkaan lävistäjät ovat vektorit (vrt. teht. 197) 5 a + b = i + j + k + i j + k 7 = i + j + k ja 5 a b = i + j + k ( i j + k) 5 = i + j + k i + j k 3 = 3i + 3 j + k. Lasketaan lävistäjävektorien pistetulo ja vektorien pituudet. 7 3 ( a + b) ( a b) = ( i + j + k) ( 3i + 3 j + k) 7 3 1 = 1( 3) + 13 + = 4 a 7 57 57 4 + b = 1 + 1 + ( ) = = a 3 81 9 4 b = ( 3) + 3 + ( ) = =

Lasketaan lävistäjävektorien välinen kulma. 1 ( a + b) ( a b) 4 7 cos(( a + b),( a b)) = = = ( a + b)( a b) 57 9 3 57 7 a + b a b = = 3 57 1 (( ),( )) cos ( ) 71,99... 7 Vastaus 7

07 Lasketaan ensin vektorien a = i + j ja b = ti + j pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( i + j) ( ti + j) = 1 t + 1 = t + a = 1 + = 5 b = t + 1 = t + 1 Jos vektorien a ja b välinen kulma on 45, kulman kosini on 1 cos( ab, ) = cos45 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se laskimella. a b= abcos( ab, ) t+ = t + 5 1 1 1 t = 3 tai t = 3 Vastaus t = 3 tai 1 t = 3

08 Lasketaan ensin vektorien a = ti + tj + 4k ja b = 5i + 5k pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( ti + tj + 4 k ) ( 5i + 5 k ) = ( ti + tj + 4 k ) ( 5i + 0j + 5 k ) = t ( 5) + t 0 + 4 5 = 5t + 0 a = t + t + 4 = t + 16 b = ( 5) + 5 = 50 = 5 Jos vektorien a ja b välinen kulma on 60, kulman kosini on 1 cos( ab, ) = cos60 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se laskimella. a b= abcos( ab, ) 1 + = + 5t 0 t 16 5 t = 1 Vastaus t = 1

09 Sijoitetaan neliö koordinaatistoon siten, että kärki A on origossa ja sivut AB ja AD positiivisilla koordinaattiakseleilla. Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella a sekä neliön muita pisteitä kuvan mukaisesti. Kysytty kulma EDB = ( DE, DB). Muodostetaan vektorit DE ja DB. DE = DA + AE 1 1 = aj + ai = ai aj DB = DA + AB = aj + ai = ai aj

Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. 1 DE DB = ( ai aj ) ( ai aj ) 1 = a a a ( a) 1 = a + a 3 = a 1 5 a DE = a + a = a = 4 ( ) ( ) 5 DB = a + a = a = a ( ) Lasketaan vektorien välinen kulma. 3 DE DB a 3a 3 cos( DE, DB) = = = = DE DB a 5 a a 5 10 3 = = 10 1 ( DE, DB) cos ( ) 18,434... 18,4 Kulman EDB suuruudeksi saadaan 18,4. Vastaus 18,4

10 Sijoitetaan särmiö koordinaatistoon siten, että kärki E on origossa ja kolme kärkeä positiivisilla koordinaattiakseleilla. Merkitään särmiön kärkipisteitä kuvan mukaisesti. Kysytty kulma on ( AH, AC). Muodostetaan lävistäjävektorit AH ja AC. AH = AE + EH = 3i + 4k AC = AB + BC = 5j + 4k

Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. AH AC = ( 3i + 4 k ) (5j + 4 k ) = ( 3i + 0j + 4 k) (0i + 5j + 4 k) = 30 + 05 + 44 = 16 AH = ( 3) + 4 = 5 = 5 AC = 5 + 4 = 41 Lasketaan lävistäjävektorien välinen kulma. AH AC 16 cos( AH, AC) = = AH AC 5 41 16 = = 5 41 1 ( AH, AC) cos ( ) 60,01... 60 Kulman ( AH, AC) suuruudeksi saadaan 60. Vastaus 60

11 Sijoitetaan särmiö koordinaatistoon siten, että kärki D on origossa ja kolme kärkeä positiivisilla koordinaattiakseleilla. Merkitään muita tarvittavia särmiön pisteitä kuvan mukaisesti. Kysytty kulma on F ( JI, JF). Muodostetaan vektorit JI ja JF. JI = JH + HI = JH + 1 HA 1 = JH + ( HD + DA ) 1 1 1 = j + ( k + i ) = i j k JF = JG + GF = j + i = i + j

Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. 1 1 JI JF = ( i j k ) ( i + j ) 1 1 = ( i j k) ( i + j + 0 k) 1 1 = 1 11 0 = 1 1 1 6 6 4 JI = ( ) + ( 1) + ( ) = = JF = 1 + 1 = Lasketaan vektorien välinen kulma. 1 JI JF 1 cos( JI, JF) = = = JI JF 6 3 F 1 = = 3 1 ( JI, JF) cos ( ) 106,778... 106,8 Kulman F ( JI, JF) suuruudeksi saadaan 106,8. Vastaus 106,8