Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2429 Systeemien Identifiointi 5 harjoituksen ratkaisut Esitetään ensin systeemi tilayhtälömuodossa Tiloiksi valitaan x ( θ θ ia T ulostulo y θ sekä sisäänmeno on u e a Näin saadaan ẋ ẋ 2 B x + u ẋ 3 K b R L L L y ( x Systeemi on siis lineaarinen aikainvariantti systeemi jolloin se voidaan kirjoittaa yleisesti matriisimuodossa ẋ(t Ax(t + Bu(t missä tilat x(t R n ohukset u(t R m A R n n sekä B R n m Tällainen systeemi on täydellisesti ohttava joss ohttavuusmatriisin (n mnmatriisi Q c ( B AB A 2 B A n B rangi (lineaarisesti riippumattomien pysty/vaakavektoreiden m äärä on n Intuitiivisesti täydellisesti ohttavuudessa on kysymys siitä että voidaanko systeemi ohta äärellisessä assa mielivaltaisesta alkutilasta mielivaltaiseen lopputilaan Lineaarisille järjestelmille tämä voidaan ekvivalentisti mieltää se voidaanko systeemi ohta äärellisessä assa origoon Tässä tehtävässä saadaan ohttavuusmatriisiksi Q c ( B AB A 2 B L [ B L + R L L R L 2 K b + R L 3 Tämän rangi on n 3 jos Tämä ehto on fysikaalisesti täytetty joten kone on käytännössä täydellisesti ohttava Kun systeemin ulostulona on y(t Cx(t niin tarkkailtavuusmatriisi yleisessä muodossa on Q o ( C A C [A n ] C L ]
jonka rangin tulee olla n jotta ulostulot olisivat tarkkailtavia ts jotta mittaustulosten y(t ohusten u(t avulla voidaan rekonstruoida systeemin alkutila x( Tässä tehtävässä jonka rangi on n 3 jos tarkkailtava Q o B mikä on fysikaalisesti OK järjestelmä on Valitaankin nyt ulostuloksi asennon sian nopeus jolloin C ( jolloin Q o B B 2 2 B 2 K b R jonka rangi on 2 eikä systeemi ole enää täydellisesti tarkkailtava Tämä on intuitiivisestikin selvää koska pelkän pyörimisnopeuden perusteella ei voida jäljittää pyörähdyskulmaa absoluuttisesti - vain pyörähdyskulman muutos voidaan jäljittää 2 Tässä tehtävässä ẋ 2 x 2 joten se elää omaa elämäänsä riippumatta ohuksesta u toisesta tilasta x joten systeemi ei ole täydellisesti täydellisesti ohttava Tässä tapauksessa ohttavuusmatriisi on jonka rangi on Q c ( Tehtävä on tyypillinen esimerkki tapauksesta jossa ohuksilla ei voida vaikuttaa kaikkiin tiloihin eikä systeemi siten ole täydellisesti ohttava Kuitenkin on olemassa tilo joista systeemi voidaan ohta origoon äärellisessä assa Nämä tilat saadaan konstruoitua ohttavuusmatriisin sarakkeiden lineaarikombinaationa Siten kaikki muotoa olevat tilat (eli x-akseli 3 Tässä tehtävässä nyt ( α + β A B ( ( ( ( α n 2 sekä m Tällöin ohttavuusmatriisi on Q c ( B AB ( 2
jonka rangi on n 2 joten systeemi on täydellisesti ohttava Yksi esimerkkitulkinta systeemille on yksulotteinen autosysteemi jossa u on kaasun/rrun asento joka antaa autolle kiihtyvyyden ẋ 2 x on auton paikka yksiulotteisella ajoradalla Kokeile simuloida autosysteemiä Matlabilla ks las5t3m Yritä valita ohus siten että saat auton haluamaasi tilaan (analyyttisesti tämä tehtäisiin dynaamisen optimoinnin menetelmin! Tehdään nyt annettu lineaarimuunnos tilamuuttujille: ( α z x α β β josta saadaan x ( α β Siten uusilla tilamuuttujilla saadaan ( α ż(t ẋ(t β ( ( ( α α x(t + β β ( ( α z(t + β α β A z(t + B u(t z ( β α β α ( Tälle systeemille saadaan ohttavuusmatriisiksi z u(t (alkuperäisestä systeemistä u(t (lausumalla x z:n avulla Q c ( B A B ( α β jolla on edelleen n 2 lineaarisesti riippumatonta pysty (vaaka -vektoria kunhan α β Siten systeemi on edelleen ohttava 4 Harmoninen värähtelijä voidaan kuvata tkuva-aikaisena systeeminä yhtälöllä ( ( ( ( ẋ x + u(t ẋ 2 Nyt diskretoidaan tämä jolloin saadaan systeemi x 2 x(k + Ãx(k + Bu(k missä Ã eah B h eaτ Bdτ Eksponenttitermille pätee e Ah I + Ah 2 Merkitään lineaarisen diskreettiaikaisen systeemimme kerroinmatriise ( cos(ωh sin(ωh A sin(ωh cos(ωh B ( cos(ωh sin(ωh 3
Aikainvariantille diskreetille systeemille ohttavuusmatriisi n äyttää samalta kuin tkuva-aikaisellekin Siten tässä tehtävässä Q c ( B AB ( cos(ωh cos(2ωh + cos(ωh sin(ωh sin(2ωh sin(ωh Koska Q c on neliömatriisi voidaan sille laskea determinantti jonka avulla nähdään onko matriisi rangia n vai ei Nyt det(q c ( cos(ωh(sin(2ωh sin(ωh sin(ωh(cos(ωh cos(2ωh systeemi on täydellisesti ohttava jos tämä ei ole nolla Mikäli ωh nπ niin determinantiksi tulee nolla koska sin(nπ Tässä tehtävässä havaittavuusmatriisi ( Q o cos(ωh sin(ωh jonka determinantti on myös nolla kun ωh nπ koska sin(nπ jolloin systeemi ei ole tarkkailtava Oskillaattori on täydellisesti ohttava havaittava Näytteenotto kuitenkin voi hävittää sekä ohttavuuden että havaittavuuden silloin kun systeemi värähtelee näytteenottotaajuudella Tällaisia värähtelyjä kutsutaan piilovärähtelyiksi 5 a Nyt siis on haetaan parametria v (nopeus mallille y t v + e y 7 t 7 v + e 7 missä y i on kappaleen paikka mittauksessa i anhetkellä t i e i on mittaukseen sisältyvä virhetermi Malli voidaan kirjoittaa matriisimuodossa eli missä y tv + e y Ax + e y ( 2 3 4 2 8 T A ( 57 9 5 9 2 45 55 78 T Tehtävänä on nyt ratkaista paramteri x se virheiden neliösumma e T e minimoituu jolloin saadaan optimointitehtävä min(ax y T (Ax y x Tällaiselle tehtävälle voidaan ratkaisu esittää suljetussa muodossa ˆx (A T A A T y mikäli tarvittava käänteismatriisi on olemassa Numeerisen arvon tälle voit laskea Matlab-funktiolla las5t5m 4
b Nyt estimoidaan lisäksi alkutilaa y Tällöin tarkasteltava malli on y t v + y + e y 7 t 7 v + y + e 7 joka on matriisimuodossa y tv + y + e Merkitään jolloin eli y x ( v t t 7 y T y Ax + e x + e joten parametrin x PNS-estimaatti ˆx saadaan kuten a-kohdassa Numeeriset arvot voit laskea tällekin Matlabilla 5