Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0 5,0 rad 0,890...rad 0,890rad 80 7 7 rad,6... rad,rad 80 c) 445 445 rad 7,766... rad 7,77 rad 80 a) 0,890 rad, rad c) 7,77 rad 80 4. a) 6, rad 6, 50,6... 5 80 0, 4 rad 0, 4,7... 4 80 c), 0 rad, 0 60, 5... 60 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r. b α r r 0,6 r 0 r 0,6r r 0,4r : 0,4 r 7,5 7,5 cm 6. a) sin 0,86... 0,8 8 cos 0, 090... 0, 09 5 c) tan 0, 96... 0, 94 7. a) Sinin arvo on sama kuin kehäpisteen y-koordinaatti. Kuvan perusteella sin 65 0,9. Laskimella sin 65 0,906... 60 65 95 a) 5 4 c) 60 Kuvan perusteella sin 95 0,9. Laskimella sin 95 0,906... 87
c) Kosinin arvo sama kuin kehäpisteen x-koordinaatti. Kuvan perusteella cos65 0,4 Laskimella cos65 0, 46... d) 80 65 5 tan0 0,8 c) Kuvan perusteella cos5 0, 4 Laskimella cos5 0, 46... 8. a) Tangentti on sama kuin tangenttisuoran ja kulman vasemman kyljen leikkauspisteen y-koordinaatti. sin 45 0,7 d) cos45 0,7 e) tan45 sin 0 0,6 f) cos0 0,8 88
9. a) Ratkaistaan ensin cos β yhtälöstä sin β + cos β + ( β ) 4 cos + ( cos β ) 6 5 ( cos β ) 6 cosβ ± 5 6 cosβ ± 5 4 Koska kulma β sijaitsee ensimmäisessä neljänneksessä, on kosinin arvo positiivinen. 5 cos β 4 0. a) β 60 Lasketaan tan β tarkka arvo sinin ja kosinin avulla. sin β tan β cosβ 4 5 4 4 4 5 5 tan β 5. β 60 sin x cosx + cosx sinx Kerrotaan ristiin. sin x sin x + cos cosx ( sin x) ( cosx) ( sin x) + ( cosx) Yhtälö on tosi. 89
. tan50 tan( 0 + 0 ) Kaavan mukaan tan0 tan0 tan( 0 + 0 ) + tan0 tan0 + Sievennetään nimittäjä + + + + Lavennetaanosoittajantermitsamannimiksiksi ) + + tan50. a) sin x 0,54 x,6... + n 60 x + n 60 x 80,6... + n 60 x 47,... + n 60 x 47 + n 60 n 0, ±, ±,... sin x 0, 6 x 5,07... + n 60 x 5 + n 60 x 80 5,07... + n 60 x 95,07... + n 60 x 95 + n 60 n 0, ±, ±,... 4. sin β 0,40 β,57... + n 60 : β,78... + n 80 β,8 + n 80 β 80,57... + n 60 β 56,4... + n 60 : β 78,... + n 80 β 78, + n 80 n 0, ±, ±,... β,8 + n 80 β 78, + n 80 90
5. Sijoitetaan s 4 cm yhtälöön. ( t ) ( t ) 48sin 75 4 :48 sin 75 0,5 75t 0 + n 60 :75 t 0,4 + n 4,8 75t 80 0 + n 60 75t 50 + n 60 :75 t + n 4,8 Ensimmäisen kerran hypyn korkeus on 4 cm kun 0,4s t. 7. a) Asteina: 0,5 α ± 8,7... + n 60 α ± 8 + n 60 Radiaaneina: 0,5 α ±,40... + n α ±, 4 + n Asteina: tanα 8 α 86,8... + n 80 α 87 + n 80 6. 5sinx 4 0 5sinx 4 :5 4 sin x 5 x 0,97... + n : x 0,09... + n x 0,+ n x 0,97... + n x,4... + n : x 0,78... + n x 0,74 + n Radiaaneina: tanα 8 α,55... + n α,5 + n a) α ± 8 + n 60 α ±, 4 + n α 87 + n 80 α,5 + n 8. a) cosx x ± + n 6 tan x 5 x + n 6 x 0,+ n tai x 0,74 + n 9. a) cos4x : cos4x 4x ± 70,5... + n 60 :4 x ± 7,6... + n 90 x ± 7,6 + n 90 9
tan x 5 tan x 7 x 8,86... + n 80 : x 40,9... + n 90 x 40,9 + n 90 a) x ± 7,6 + n 90 x 40,9 + n 90 0. v 0 47m s l 0 m β 8 Q 0,44 s m Sijoitetaan arvot yhtälöön. 0 0,44 47 ( tanγ tan8 ) 0 8,096 tanγ 8,096 tan8 8,096 tan γ 0 + 8,096 tan8 :8,096 0 + 8,096 tan8 tanγ 8,096 tan γ 0,70... γ 5,07... + n 80 γ 5 + n 80. x cos x 4 cos ( 4) cos( ) cos 0,5,5 cos 0,707... cos,5,5 cos 0,707... cos 0 0,5 0,5 cos 0,707... 0 0 cos Piirretään näiden perusteella funktion f ( x) cos x kuvaaja. 5 asteen kulmassa. Sijoitetaan yhtälöön h 0,0m. 0,0 4,0 cos t +,0 4,0 cos t,0 :4,0 cos t 0,5 t ±,094... + n t ± 5,... + n4 : t ± 8+ n4 Kun n 0, t 8h eli kello on 9.00.. Funktio sin x saa suurimmillaan arvon kohdassa,6. Tästä syystä tummansinisellä piirretty onsin x :n kuvaaja. Tällöin A. Funktio sin x saa suurimmillaan arvon, joten tummanpunaisella piirretty on sen kuvaaja. Tällöin A. Funktion sin x kuvaaja on tällöin piirretty tummanvihreällä eli A. Kello on 9.00 9
Funktio sin x saa pienimmän arvonsa kohdassa,6. Vaaleansininen kuvaaja on funktion sin x kuvaaja eli A. Oranssi kuvaaja kuvaa funktiota sinx eli A 4.,5 tan x 6 0 tan x 6 x 80,5... + n 80 : x 40,6... + n 90 x 40 + n 90 n 0, ±, ±,... a) x 4 + n 80 x 40 + n 90 Kuvaajan perusteella yhtälö tan x,5 6. a) Vaunu sijaitsee kauimpana, kun saa suurimman arvonsa. sin t 4 toteutuu esimerkiksi kohdassa, joka on :n 4 ja :n puolessa välissä. + 4 x 8 Yhtälön tan x ratkaisu x + n 8 x + n 8 5. a) cosx + 0, 0 cosx 0, : cosx 0, x ± 84,6... + n 60 : x ± 4,... + n 80 x ± 4 + n 80 sin t 4 t,5707... + n 4 t,57... + n 4,57... + n (samat kulmat) t,57... + n 4 4 t 6,8... + n8 : t 0,666... + n,66... n 0, ±, ±,... Ensimmäisen kerran kauimpana, kun t 0,666...s 0,67s Kun sin 4 t, niin funktio saa arvon 5,0 5,0 (cm). a) 0,67 s 5,0 cm 9
7. a) f 5,4 0 + 50sin 5,4 70,45... 70 (cm) f () t 55 0 + 50sin t 55 50sin t 5 :50 sin t 0,5 t 0,5... + n t,047... + n4 : t 0,... + 4n t 0,5... + n t,67... + n t 5,... + n4 : t,66... + 4n n 0, ±, ±,... Ensimmäisen kerran sormenpäiden etäisyys on 55 cm, kun aikaa on kulunut 0,...s 0,s. Toisen kerran etäisyys on 55 cm, kun aikaa on kulunut,66...s,7s. 8. a) A,4,6 sin8 5,40... 9. 0. 5,4 (m ) A sin4 9,7... 90 (cm ) a) 7,dm 5,4 cm 70 cm 90cm 76 5 sin α 70 4 70 sinα 70 :4 70 70 sinα 470 α 58,09... α 58 58 Kun n, saadut ajat ovat toisella kierroksella. c) Yhteen pyöräytykseen kuluu jakson verran aikaa eli 4s. a) 70 cm 0, s ja,7 s c) 4 s A 4,0km 4,km sin5 6,7...km 6,4 km 6,4 km 94
. Särmiön tilavuus V A h p. Korkeus h 7,5cm 8cm 8cm sin 0 8cm A p Tilavuus V 8cm 7,5cm 607,5cm 60cm 60cm. a) 84 x sin88 sin 8 x sin88 84 sin 8 : sin88 84 sin 8 x sin88 x 9,45... x 9 (cm) 6, x sin sin4 x sin 6, sin4 : sin 6, sin4 x sin x 0,65... x (dm) a) 9 cm dm Ratkaistaan ensin kulma β. 4 7 sin β sin 65 7sin β 4sin65 :7 4sin65 sin β 7 β 48,7... + n 60 β 80 48,7... + n 60,7... + n 60 Ei käy, koska β osana kolmiota, jonka toinen kulma on65.. β 48,7... Kulma γ saadaan kolmion kulmien summasta. 65 + 48,7... + γ 80 γ 66,7... Ratkaistaan sivun x pituus x 7 sin66,7... sin65 x sin65 7 sin66,7... : sin65 7 sin66,7... x sin65 x 7,0... (cm) Suunnikkaan ala A 4 cm 7,0...cm sin65 8,6...cm 0cm 0cm 95
4. α 80 85 75 0 Ratkaistaan sivun x pituus. x sin 0 sin75 x sin75 sin 0 : sin75 sin 0 x sin75 x 4,49... (cm) Kolmion ala A cm 4,49...cm sin85 5,97...cm 5cm 5cm 6. a) x 4 + 9 4 9 cos x 557 5 cos x 05,8... x ± 05,8... x ± 0,8... 7. Sivun pituus positiivinen, joten x +,, cos0 x,849... x ±,44... Sivun pituus positiivinen, joten a) 0 m,4 dm x 0m. x,4 dm. 5.,7,9 sinα sin 7,9 sinα,7 sin7 :,9,7 sin 7 sinα,9 α,88... ( + n 60 ) 4 α 80,88... + 60 α 46,... Ei käy Kolmas kulma β 80 7 4 74 ( n ) Muut kulmat 4 ja 74 6 4,5 + 5, 4,5 5, cos 6 47,9 46,8 46,8,9 :46,8,9 46,8 α 76,04... 76 4,5 5, + 6,0 5, 6,0 cos β 0,5 6,04 6,4 cos β 6,4 cosβ 4,79 :6,4 4,79 cos β 6,4 β 46,70... 47 γ 80 47 76 57 47, 57 ja 76 α 96
8. 40. a) b ja c e c) b, c ja e d) b x x, + 4,, 4, cos50 0,8... x ±,9... Pituus positiivinen, joten x,km e) d ja f 4. a) Vastavektori on samanpituinen, mutta vastakkaissuuntainen., km 9. Särmiön tilavuus V Ap h c) Selvitetään ensin pohjan ala. d) Yksikkövektorin pituus on. Alkuperäisen vektorin pituus on kolme, joten yksikkövektori on:, 40, 46 +,60, 46,60 cos,96 4,696 4,67 4,67,76 :4,67,76 4,67 α 54,... α 4. Kolmion ala A p,46m,60m sin54,... 0,947...m Tilavuudesta saadaan yhtälö 0,947... h,04 :0,947... h,097... h,0 (m),0 m 97
4. a) Siirretään vektorit alkamaan samasta pisteestä. c) a + b + c 0 Vektorien välinen kulma α on neliön sivun ja lävistäjän välinen kulma. α 45 d) 45. a) Kulma α 90 + 45 5 a) 45 90 44. a) 98
46. a e d f b d e + f 48. Tapion siirtymävektori 5a + 0b + t 4a + b t a 7b Pekan siirtymävektori a + 4b + p 4a + b p a b t a 7b p a b 49. c e d d b + a a + b 47. a) a b ja > 0, niin a b. a b ja 0 >, niin a b. c) a b Koska < 0, niin a b. d) 4a 5b 0 4a 5 b :4 5 a b 4 Koska 5 0 4 >, niin a b. a) on on c) ei d) on 50. e a b d a + b e a b 7i j r i j + t i + 4 j 7i j r i r j + t i + 4t j 7i j r + t i + r + 4t j Komponenttien oltava samat. r + t 7 r + 4t 99
r + t 7 r + 8t 9t 9 :9 t 5. k a 5b s a + b ka 0kb + sa sb ( ) ( 0 ) k+ s a + k s b 5. Sijoitetaan t yhtälöön r + 4t. r + 4 r 4 r r ( i j) ( i + 4j) 5i + 6 j k r i + k + s i + j k 5i + 6 j k r i + rk + si + s j sk 5i + 6 j k r + s i + s j + r s k Komponenttien tulee olla samat. r + s 5 s 6 r s s 6 : s Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan: r + 5 r Tutkitaan toteutuuko viimeinen yhtälö, kun r ja s. r s Tosi ( i + k) + ( i + j k) Jotta vektorit olisivat samat, on oltava voimassa ehdot: k+ s 5 0k s 0k+ 5s 5 0k s s 8 : s 4 Sijoitetaan s 4 ensimmäiseen yhtälöön. k + 4 k 7 :( ) 7 k k k, s 4 5. Vektorit yhdensuuntaiset, kun löytyy luku t 0, jolla on voimassa ehto v tu 6i 4 j + 4k t xi + 7j k 6i 4 j + 4k xt i + 7t j tk xt 6 7t 4 t 4 Jos 7t 4, niin t. Jos t 4, niin t. 00
Sijoitetaan t ensimmäiseen yhtälöön. x 6 4x 6 : 4 6 x 4 55. OA i + 4 j OB i + j Koska t < 0, vektorit ovat erisuuntaisia. x, vektorit ovat erisuuntaisia 54. Vektorin OA x-akselin suuntainen komponentti on kertaa niin pitkä kuin vektorin OB. Piirretään peräkkäin kaksi OB :n vastavektoria. a) a + b 4 + 5 5 4i j 4 b i j 5 5 5 c) a + b i + j + 4i j i j d) a b i + j 4i j i + j + 4i + j 7i + 5 j e) a 5,5b i + j 5,5 4i j a) a b 5 6i 4 j + i + 6,5 j 6i +,5 j c) a + b i j d) a b 7i + 5j e) a 5,5b 6i +,5j OA OB + ( i j) i 6j A (, 6) OA i + 4 j OB i + j Pisteen y-koordinaatti olisi 6. 0
56. Määritetään pisteen P paikkavektori. 57. AB i + j j AB AC 0 i + 6 j i + 7j AC + 7 58 BC 0 i + 6 j i + 4 j BC + 4 5 5 AB, AC 58, BC 5 OA 5i + j OB 4i j AB AO + OB OA + OB 5i j 4i j 9i j OP OB + BA OB + ( AB) OB AB 4i j + 6i + j Pisteen P koordinaatit ovat (,0 ) 58. a) b a i + j 5k i + j + k i + j 5k i j k i + j 6k a b i + j + k i + j 5k i + j + k + i j + 5k i j + 6k c) a + b i + j + k + i + j 5k i + j + k 4i + 6j 0k i + 7j 9k a + b + 7 + 9 9 a) i + j 6k i j + 6k c) 9 0
59. a) OA i j + 6k OB 5i j + k 60. OA + + 6 7 i j + 6k 6 OA i j + k 7 7 7 7 c) OB 5i j + k 5 70 OB + + a) OA i j + 6k, OB 5i j + k 6 OA i j + k 7 7 7 c) OB 70 a t + 6 Jos a 0, saadaan yhtälö t + 6 0 t + 6 00 t 64 t ± 8 t ± 8 6. a 0 i + j + 5 k i 5j + 4k b 5 i + 7 j + k 6i + 5j + 0k c i + j + 9 k i j + 8k Muodostetaan vektori a + b + c i 5j + 4k 6i + 5j + 0k + i j + 8k 6i j + k 6. a) OX 5i + j k OY i + j Olkoon piste P janan XY keskipiste. OP OX + XY Muodostetaan ensin vektori XY. XY XO + OY OX + OY 5i j + k i + j 4i + j + k OP OX + XY 5i + j k + 4i + j + k 5i + j k + i + j + k i + j k P (,, ) Keskipisteen koordinaatit saadaan päätepisteiden koordinaattien keskiarvona. 5+ + + 0 P,, P,, a) P (,, ) a + b + c + d 0eli 6i j + k + d 0. d 6i + j k d 6i + j k 0
6. a) a b 7 + 9 9 a + b 7 + ( 9) 0 a b 9 a b 0 α 6,56... 6 a) 9 6 64. Koska kolmio on tasakylkinen, on vektorien pituuksien oltava samat. a 4 + x 6+ x b ( 5) 5 5 a b 6 + x 5 x 9 x ± a b 5 Kun x a b 4 0+ 0+ 0 5 0 Kun x a b 4 0+ 0+ 0 5 0 Vektorien välinen kulma on 90. a) x ± 90 65. a b 0 x ( x) + x 0 x + x 0 x + 0 ( x ) x 0 tai x + 0 x : x Kun x 0, a 0i + 0 j 0 Kateetti ei voi olla nollavektori, joten x 0 ei käy. Kun x, a i j i j b i + j i + j a b 40 + 9 + 40 9 Hypotenuusan c pituus Pythagoraan lauseen mukaan. c a + b c c c 40 40 + 9 9 80 9 80 ± 9 Pituus positiivinen, joten 80 c,984...,0 9 x, hypotenuusan pituus,0 04
66. Harjoituskoe. a) Lävistäjät: a c + d i + j k 4i + j + 7k 6i + 4 j + 6k s i j b d + c 4i j 7k i + j k i + j 8k Lävistäjien pituudet a 6 + 4 + 6 88 b + + 8 7 t i + 4 j Pistetulo a b 6 + 4 + 6 8 5 Vektorien välinen kulma a b a b 5 88 7 α 0,78... α lävistäjät 6i + 4 j + 6k ja i + j 8k, kulma. v 5i j s + c) v 5 + 4 05
. a) sin x 0,54 x 0,5704... + n x 0,57 + n x 0,5704... + n x,57... + n x,6 + n n 0, ±, ±,... cosx,,8 cosx 0, x ±,66... + n : x ± 0,6... + n x ± 0,6 + n n 0, ±, ±,... c) tanx : tan x 6 x,405... + n : x 0,70... + n x 0,70 ++ n n 0, ±, ±,... a) x 0,57 + n tai x,6 + n x ± 0,6 + n c) x 0,70 ++ n. a) a b 4 4 a + 0 b + 4 0 Vektorien välinen kulma a b a b 4 0 0 α 7,86... 7 a + b i j i + 4 j i + j A ( 0,) OP OA + a + b j i + j i + j Piste P (, ) a) 7 (, ) 4. Lampun pohja Lasketaan kulma α kosinilauseella. 4 8 + 8 576 808 79 79 :79 0,99... α ± 7,96... + n 60 Koska α on kolmion kulma, α 7,96... 06
Kolmion ala A 8 sin7,96... 89,4... (cm ) Lampun tilavuus V A h 89,4... 7, 6,06... (cm ) 6,06...cm 5. a) x 0 s f,6dm, 4 dm, 4 l 0 5sin 0,5 (m) 60 6. 4i + j r i j + s i j 4i + j r i r j + si s j 4i + j r + s i + r s j Komponenttien tulee olla samat. r + s 4 r s s 6 s 6 Sijoitetaan s 6 yhtälöön r + s 4. r + 6 4 r 6 6( i j) 6( i j) f ( x) 5sin x :5 60 sin x 0,9 60 x,68... + n : 60 60 x,08... + n 0 x,68... + n 60 x,97... + n : 60 60 x 7,69... + n 0 Ratkaisuista välille [ 0,6 ] kuuluvat x,08... s s ja x 7,69... s 8s a),5 m s ja 8 s Harjoituskoe. a) Kulman suuruus radiaaneina α b,dm cm,5... r 5cm 5cm Kulman suuruus asteina 80,5... 87,85... 88 Sektorin ala α A r 60 87,85... 5 60 7,5 (cm ) 5 75 75 80 c) 4 4 80 44 5 5 a) 88, 70cm 5 c) 44 07
. a) sin x 0,66 x 4,9... + n 60 x 4 + n 60 x 80 4,9... + n 60 x 8,7... + n 60 x 9 + n 60 n 0, ±, ±,... 0,765 α ± 9,90... + n 60 α ± 40 + n 60 n 0, ±, ±,... c) sin x 0,87 x 60,45... + n 60 : x 0,... + n 80 x 0 + n 80 x 80 60, 45... + n 60 : x 0,... + n 80 x 0 + n 80 n 0, ±, ±,... 4. a) 4tan4α 7 0 4tan4α 7 :4 7 tan4α 4 4α 60,... + n 80 :4 α 5,06... + n 45 α 5 + n 45 n 0 α 5 käy n α 5 + 45 60 käy n α 5 + 45 05 käy n α 5 + 45 50 käy n 4 α 5 + 4 45 95 käy n 5 α 5 + 5 45 40 käy n 6 α 5 + 6 45 85 käy n 7 α 5 + 7 45 0 käy n 8 α 5 + 8 45 75 ei käy a) 7, 07 5, 60, 05, 50, 95, 40, 85, 0 a) x 4 + n 60 tai 9 + n 60 ± 40 + n 60 c) x 0 + n 80 tai x 0 + n 80. a) 4 tan x x 5,... + n 80 x 5 + n 80 n 0 x 5 ei käy n x 5 + 80 7 käy n x 5 + 80 07 käy n x 5 + 80 487 ei käy ( ) BA i + 4 5 j i + 9j BC 6 i + 5 j 8i + 4 j CA 6 i + 4 j 5i + 5j 08
BA BC 8 + 94 60 0 BC CA 8 5 + 4 5 0 0 BA CA 5 + 9 5 0 0 Kolmiossa ei ole yhtään 90 kulmaa, joten se ei ole suorakulmainen. BA + 9 90 BC 8 + 4 80 OP 670 j + 00i 50 j 00i + 50 j BA BC BA BC 60 90 80 α 45 Kolmion ala A BA BC sin 45 90 80 sin 45 0 (m ) a) ei ole 5. a 8i 6 j a + 8 6 0 Yksikkövektori a 8 i 6 j 0 4 i j 5 5 0m Tämän suuntaan kuljetaan 50 m eli pitkin vektoria 4 50 i j 00i 50 j 5 5 OP 00 + 50 0 400 557,... 560 (m) 560 m 6. a) a + b i + 4 j k + i 5 j k i j 5k a b i + 4 j k i 5j k i + 9 j k c) a b i + 4 j k i 5j k i + 4 j k 6i + 5j + 6k 7i + 9j + k a b + c 0 7i + 9j + k + c 0 c 7i 9j k a) i j 5k i + 9 j k c) 7i 9j k 09
7. ( ) AB i + j + 5 k i + j + 6k i + j + 6k r i k + s j + k i + j + 6k r i rk + s j + sk i + j + 6k r i + s j + s r k r s s r 6 Sijoitetaan r ja s viimeiseen yhtälöön. s r 6 6 6 6 tosi ( i k) + ( j + k). a) A (, 4) B ( 8, 4) C ( 5, ) a ( ) + ( 4) 5(m) b 8 + 4 80 8,944... (m) c 5 + 9 5,85... (m) ( ) AC 5 i + 4 j 8i + 6j c) AC 8 + 6 0 8i + 6 j 4 AC i + j 0 5 5 a) A(, 4), ( 8, 4) 5,00 m; 8,94 m; 5,9 m c) 4 i + j 5 5 B, C ( 5, ) Harjoituskoe. a) sin0,7 0,66... 0,6 sin x 0, 7 x,7... + n 60 x 80,7... + n 60 x 58,8... + n 60 c) cosβ 0,67 β ±,0... + n : β ±,5... + n a b. a) a b α 45 a + + 4 b 4 + 5 + 45 a b 4 + 5 0 Kulma α 90 a) 45 90 n 0 β,5..., n β,5... + 4,94... 4, n β,5... + ei käy a) 0,6 x + n 60 tai x 58 + n 60 c), ; 4, 0
4. a) at tan β an at tan45,5,5 at,5 tan 45 a,5 t 0,9m s tan β, 0 m s β 4,98... + n 80 Ratkaisuista kelpaa β 4,98... 4 6. A 89m 550m sin48 58995,8... m 5,89... ha 6ha 6 ha a) β a t,5 m s 4 5. 6i + 9 j 5k t 4i + 6 j 0k 4ti + 6t j 0tk Tutkitaan, ovatko komponentit samat. 4t 6 :4 6t 9 :9 0t 5 :( 0) 6 t 4 9 t 6 5 t 0 t:n arvo aina sama, joten vektorit ovat samansuuntaiset. Koneet nousevat samaan suuntaan. Nousevat samaan suuntaan.