HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b) x + z = 5 c) 3x + 2y + 2z = 2 3x + 2y = 20 3x y z = 0 x 2y + z = 1 x + 2y + 7z = 0 d) x + 3y + 6z = 0 x + 4y + 5z = 0 3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 f) 3x 2 + 2x 1 2x 3 = 3 x 1 + 4x 3 2x 2 = 1 2. Ratkaise yhtälöryhmät x + y + z + u = 0 x + y + z u = 0 a) x + y z + u = 0 x y + z + u = 0 x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3 3. Millä vakion a R arvoilla yhtälöryhmällä { { x + y = 5 2x + 2y = a a) 2x + ay = 4, b) 3x + 6y = 5 ei ole ratkaisuja? 4. Millä reaalilukuvakioiden h ja k arvoilla yhtälöryhmällä on ratkaisuja? { 2x y = k 4x + 2y = h 5. Millä vakion a R arvoilla yhtälöryhmillä x + 2y + z = a 2 (1 a)x + z = 0 a) x + y + 3z = a b) ay + z = 0 3x + 4y + 7z = 8 y az = 0 on ratkaisuja? Määrää nämä ratkaisut. x + y + z = 1 c) x + 2y + 4z = a x + 4y + 10z = a 2 6. Tutki seuraavan yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärää vakioiden h ja k ei arvoilla. Määritä myös ratkaisut. 6x 1 x 2 + 6x 3 + hx 4 = 0 3x 1 + 5x 2 + kx 3 + 5x 4 = 1 3x 1 + 4x 2 + kx 3 + 4x 4 = 1 5x 1 x 2 + 5x 3 + hx 4 = 0 3x 1 + 7x 2 + kx 3 + 7x 4 = h 2
7. Määrää seuraavien matriisien asteet 1 2 3 2 1 0 2 1 3 1 4 2, 1 3 1 2 3 1 4 3 1 4. 2 3 4 7 3 3 8 1 7 8 8. Määrää seuraavien matriisien asteet vakion c R eri arvoilla: 1 1 1 1 1 2 4 8, 1 3 9 27 1 4 16 64 1 3 5 2c 1 1, 1 2 4 1 1 1 1 1 2 4 c 1 4 10 c 2 9. Määritellään seuraavassa luvulle a R sellainen arvo, että matriisin 3 1 1 4 a 4 10 1 A = 1 7 17 3 2 2 4 3 aste on pienin mahdollinen. Mikä on tällöin matriisin A aste. 10. Ratkaise avaruudessa R 3 vektoriyhtälö (0, 1,2) T + 3X = (2, 1,1) T. 11. Esitä pisteiden ( 3,2) T ja (4, 1) T kautta kulkevan suoran yhtälö muodossa a) Z = X + tu, t R, b) ax + by = c. 12. Millä arvoilla h vektori (3, 5,h) T on vektorien (1,3, 1) T ja ( 5, 8,2) T määräämässä origon kautta kulkevassa tasossa? 13. Määrää pisteiden (1,0,1) T ja (2,5, 3) T kautta kulkevan suoran yhtälö. 14. Mitkä suorista (x,y,z) T = (0,1,0) T +t(1,1,1) T ja (x,y,z) T = (0,2,0) T +t(1,1,2) T leikkaavat suoraa (x,y,z) T = (2,6,4) T + t( 1,2,1) T? Määrää myös mahdolliset leikkauspisteet. 15. Esitä pisteiden a) (1,1,0) T,(0,1,1) T,(0,2,1) T ja b) (1,1,0) T,(1,0,1) T,(0,1,1) T kautta kulkevan tason yhtälö parametrimuodossa ja normaalimuodossa. Onko piste (2,5,1) T jommassa kummassa näistä tasoista? 16. Tutki kuuluuko vektori X joukkoon L({(1,2,1) T,(1, 1, 2) T }), kun a)x = (3,1, 2) T, b)x = (1,1,1) T. 17. Ratkaise matriisiyhtälö AX = B, kun.
a) A = 1 4 1 2 8 3 ja i) B = 1 0, ii) B = 3 2, 2 7 4 1 0 b) A = 4 3 2 5 6 3 ja i) B = 0 0, ii) B = 3 7. 3 5 2 0 5 18. Määrää yhtälöryhmän AX = 0 ratkaisujen virittäjävektorit, kun 19. Tutki, ovatko vektorit 5 2 0 8 8 4 1 2 8 9 A = ja X R 5. 5 1 3 5 19 8 5 6 8 5 a) (1,1,3) T,(1,3,1) T,(1,2,3) T R 3, b) (1,2,3,4) T,(i, i,1,4) T,(2i,4i,6i,8i) T C 4 lineaarisesti riippumattomia. 20. Tutki, ovatko seuraavat vektorit lineaarisesti riippumattomia: a) (1,2,3) T,(4,5,6) T,(7,8,9) T R 3, b) (1,1, 1) T,(1,2,1) T,(0,1,1) T R 3. 21. Tutki seuraavien vektoreiden lineaarista riippumattomuutta: a) (1, 1,1,2) T,(1,0,1, 1) T,(0,1,1,0) T R 4, b) (1,1,2) T,( 1,1,1) T,(3, 1,0) T R 3. 22. Olkoot A = 1 2 ja B = 1 3 2 1. Laske AB ja BA. 0 1 23. Olkoot A = 1 2 2, B = 3 4 5 D = 2 0 1 1 3, C =, 3 2 5 2 1 i 1, E = 1 1 2 3 1 4. 1 i 5 6 0 Laske, mikäli mahdollista, A T, (A + B)C, DB, BC, (A 3B)E, E(5A 7B), C 1, D 1. 24. Olkoot A = ( 1 2 ) 1 0 1 0 ja B = 1 7 0. 0 3 0
Ratkaise matriisi X yhtälöstä a) 2(X A) = 3(B + X) 4(A + 2B), b) AX = B. 25. Laske (A + B) T, kun A = A T + B T? 1 2 1 ja B = 1 1 3 26. Todista, että (AB) T = B T A T, mikäli AB on määritelty. 27. Määrää A 1 (mikäli mahdollista), kun A on 2 1 1 1 a) b) 3 2 3 3 28. Määrää A 1 (mikäli mahdollista), kun A on 1 3 a) b) 1 i 0 1 1 2 3 i 0 i 4 1 2 0 c) 2 4 0 i 0 3 1 1. Onko (A + B) 1 2 1 T = 2 1 3 1 4 2 1 5 29. Millä luvun a R arvoilla A 1 on olemassa, kun A = 1 1 0 1 0 0? 1 2 a 30. Olkoon A säännöllinen neliömatriisi. Osoita, että transpoosi A T on säännöllinen ja että (A T ) 1 = (A 1 ) T. 1 1 1 1 31. Laske A 1 1 2 1 2, kun A=. 1 1 2 1 1 3 3 2 32. Tutki, millä ehdolla diagonaalimatriisi. a 11 0 0... 0 0 0 a A = 22 0... 0 0.......... 0 0 0... 0 a nn on säännöllinen. Määrää tällöin A 1. a 3 33. Millä reaaliluvun a arvoilla matriisi A = on säännöllinen? Mikä on 2 a 5 tällöin A 1? cos θ sin θ 34. Osoita, että A 1 = A T, jos A =, missä θ R. sin θ cos θ
35. Määrää A 1 (mikäli mahdollista), kun 1 2 a) A = b) A = 1 i 0 i 0 i 1 3 0 i 0 c) A = 1 2 3 4 5 6 d) A = 1 1 2 1 1 2 7 8 9 2 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 e) A = f) A = 1 1 0 1 1 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36. a) Osoita, että muotoa a + b 2, a,b Q, olevat reaaliluvut muodostavat rationaalikertoimisen vektoriavaruuden. b) Osoita, että C on reaalikertoiminen vektoriavaruus. 37. Osoita, että M = {X = (x,y,z) T R 3 2x 3y + 7z = 0} on avaruuden R 3 aliavaruus. 38. Olkoon a) M = {(a 1,a 2,a 3 ) T R 3 a 1 + 2a 2 + 3a 3 = 0} b) M = {(a 1,a 2,a 3 ) T R 3 a 1 + a 2 + a 3 = 1}. Tutki, onko M vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. 39. Tutki, onko a) U = {X = (a 1,a 2,a 3,a 4 ) T R 4 a 1 a 3 = a 2 + a 4 = 0} vektoriavaruuden R 4 aliavaruus,. b) U = {X F(R) X(1) = 0} vektoriavaruuden F(R) aliavaruus, c) U = {X = (a 1,a 2 ) R 2 a 2 = a 2 1} vektoriavaruuden R 2 aliavaruus, d) U = {X = (a 1,a 2 ) R 2 a 1 0} vektoriavaruuden R 2 aliavaruus. 40. Olkoon V = {X C 2 (R) X (t)+3x (t) = 0}. Osoita, että V on funktioavaruuden C 2 (R) aliavaruus. Tutki, onko U = {X X(t) = ae 3t, a R} avaruuden V aliavaruus. 41. Esitä pisteiden (1,1,0) T, (0,1,1) T ja (0,2,1) T kautta kulkevan tason yhtälö muodossa a) Z = X + su + tv, s,t R, b) ax + by + cz = d. Onko tämä taso avaruuden R 3 aliavaruus? Onko piste (2,5,1) T tässä tasossa?
42. Tarkastellaan polynomiavaruuden P 4 aliavaruutta L({1 + t,t 2 + t 3,1 t 4 }). Ovatko polynomit a) 1 + 3t + t 2 + t 3 + 5t 4, b) 3 2t + t 3 4t 4 tämän aliavaruuden alkioita? 43. Olkoot X 1, X 2 ja X 3 lineaarisen avaruuden V lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Tutki, ovatko vektorit X 1 +X 2, X 1 +X 3 ja X 2 +X 3 lineaarisesti riippumattomia. 44. Olkoon X 1 (t) = 1, X 2 (t) = sint ja X 3 (t) = sin 2 t. Tutki, ovatko avaruuden F(R) vektorit X 1,X 2,X 3 lineaarisesti riippumattomia. 45. Tutki seuraavien vektoreiden lineaarista riippumattomuutta: a) 1 + t, 2 + t 2,...,n + t n P n b) e t,e 2t,e 3t C(R) c) sin t,2sin 2 t 1,cos 2t C(R) 46. Olkoon U avaruuden R 4 aliavaruus, jonka virittävät vektorit X 1 = (1,1,1,1) T, X 2 = (1, 1,1, 1) T ja X 3 = (1,3,1,3) T. Määrää dimu ja aliavaruuden U jokin kanta. 47. Tarkastellaan yhtälöryhmää { x + 3y + 4z = 0 2x + y z 2u = 0 a) b) x y + 3u = 0 x y + z = 0 5x + 7y 3z + 2u = 0 Määrää yhtälöryhmän ratkaisujen muodostaman vektoriavaruuden dimensio ja jokin kanta. 48. Määritä jokin nollavaruuden Nul A kanta, kun A on tehtävän 18 matriisi. 49. a) Ovatko polynomiavaruuden P 2 vektorit f 1 (t) = 1+t, f 2 (t) = 5+t ja f 3 (t) = 2+t 2 lineaarisesti riippumattomia? b) Olkoon U = {f P 3 f(0) = f(1) = 0}. Osoita, että U on avaruuden P 3 aliavaruus ja määrää dimu. 50. Olkoon E = {U 1,U 2 } eräs vektoriavaruuden V kanta ja olkoot V 1 = U 1 + U 2 ja V 2 = U 1 + cu 2 missä c 1. Osoita, että myös F = {V 1,V 2 } on avaruuden V kanta ja määrää vektorin 4U 1 3U 2 koordinaatit tämän kannan suhteen. 51. Määrää diml(s) ja jokin aliavaruuden L(S) kanta, kun a) S = {X R 4 X = (a,b,a b,a + b) T,a,b R}, b) S = {X R 5 X = (c,0,0,c 3,c 2 ) T,c R},
c) S = {X R n X = (a,b,a,b, ) T, a,b R}, d) S = {X R n X = (x 1,x 2,,x n ) T,x 1 + x 2 + + x n = 0}. 52. Osoita, että M = {X P 3 1 0 X(t)dt = 0} on polynomiavaruuden P 3 aliavaruus. Määrää dimm ja jokin aliavaruuden M kanta. 53. Millä arvoilla α R vektorit (0,1,1) T, (3,3,2) T ja (2,7,α) T muodostavat avaruuden R 3 kannan? Mitkä ovat vektorin (3,2,1) T koordinaatit tämän kannan suhteen? 54. Määrää aliavaruuden L(S) dimensio ja jokin kanta vakion α R eri arvoilla, kun a) S = {(1,3,5) T, (2α,1,1) T, (1 α,2,4)} T, b) S = {(1,1,1,1) T, (5,2,α 1,3) T, (1,2,4,3) T, (4,3,α,2)} T. 55. Tutki, millä lukujen a, b ja c arvoilla vektorit (1,1,1,1) T, (a 2,1,1,1) T, (a,b 2,1,1) T ja (a,b,c 2,1) T muodostavat avaruuden R 4 kannan. 56. Tutki, millä vakion a R arvoilla joukko {(1,1, 1) T,(2,1,1) T,(1,1,a) T } avaruuden R 3 kanta. Määrää vektorin (1,2,3) T koordinaatit tässä kannassa. 57. Määrää yhtälöryhmän x 1 x 2 + 3x 4 = 0 2x 1 + x 2 x 3 2x 4 = 0. 5x 1 + 7x 2 3x 3 + 2x 4 = 0 ratkaisujen määrämän avaruuden R 4 aliavaruuden jokin kanta ja dimensio. 58. Määrää avaruden R 4 aliavaruuden jokin kanta ja dimensio. U = {X = (a 1,a 2,a 3,a 4 ) T R 4 a 1 a 3 = a 2 + a 4 = 0} 59. Olkoon U = {X P 4 X(1) = 0, X(2) = 0} ja V = {X P 4 X(1) = X(2)}. Tutki, ovatko U ja V avaruuden P 4 aliavaruuksia. Jos ovat, määrää niille jokin kanta ja laske dimensiot dim U ja dim V. 60. Olkoon S = {1+4t 2t 2 +t 3, 5+6t+t 3, 1+9t 3t 2 +2t 3, 5+7t 5t 2 +2t 3 } P 3. Määrää diml(s). 61. Olkoon M = L{(4,1,1) T, (3,0,2) T, (5,2,0) T }. Määrää sellainen aliavaruus N R 3, että a) R 3 = M N, b) R 3 = M + N, mutta summa ei ole suora.
62. Olkoon P kaikkien R-kertoimisten polynomien muodostama vektoriavaruus ja Onko P = U V? U = {X P X(0) = X (0) = 0}, V = {X P tx (t) X (t) = 0 t R}. 63. Olkoot V = L({(0,1,1,1) T, (0,0,i,i) T, (0,1 + i,0,0) T }) ja W = L({(1,0,0,0) T, (3 i,0,0,0) T }) avaruuden C 4 aliavaruuksia. Määrää V + W ja tutki, onko tämä summa suora. 64. Olkoon M vektoreiden (9,0,3) T,(4,1,1) T ja (3,0,1) T virittämä avaruuden R 3 aliavaruus. Määrää sellainen aliavaruus N R 3, että M N = R 3. 65. Määrää avaruuden R 4 aliavaruuksien U = L{(1,1,1,1) T,(1, 1,1 1) T,(1,3,1,3) T } ja V = L{(1,2,0,2) T,(1,2,1,2) T,(3,1,3,1) T } summan ja leikkauksen dimensiot dim(u + V ) ja dim(u V ). { x + 2y z = 2 66. a) Yhtälöryhmän ratkaisujoukko on H. Esitä H muodossa H = x + y = 0 X 0 + M, missä X 0 R 3 ja M on avaruuden R 3 aliavaruus. { x1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 1 b) Suorita vastaava tarkastelu yhtälöryhmälle 2x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2. 67. Esitä taso x 2y + 3z = 5 muodossa X 0 + M, missä X 0 R 3 ja M on avaruuden R 3 aliavaruus.