3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista kertaluvun alentamisella eli muuttamalla DY sopivalla muuttujanvaihdoksella alempiasteiseksi DY:ksi: ) y"= f(x,y ) eli yhtälössä ei esiinny y-termiä dy Olkoon z = z(x) = y (x) = dx d y dz => y (x) z (x) eli z y dx dx Korvataan y z:lla ja y z:lla. kertaluvun DY.

Esimerkki 3.0. Ratkaise alkuarvotehtävä y" = x(y ) y(0) =, y (0) = Sijoitetaan z = y, z = y" => z = xz Separoimalla dz z xdx x C z z = x z + C z (x + C )z = y z x C

Alkuehto: y (0) = C => C = ½ 3 y dy dx x Integroimalla y dx arctan x C x Alkuehto y(0) = arctan 0 + C = => C = Ratkaisu: y = arctan x

) y" = f(y,y ) eli yhtälössä ei esiinny x-termiä 4 Riippumattomaksi muuttujaksi y (koska x ei esiinny yhtälössä). Riippuvuus x:stä otetaan derivoinnissa huomioon ketjusääntöä käyttäen. dy Olkoon z = z(y) = y (x) = dx d y dz dz dy => y (x) z (y)z(y) eli z z y dx dx dy dx Korvataan y z:lla ja y z z:lla. kertaluvun DY.

Esimerkki 3.0. Ratkaise DY 5 yy" = 4(y ) y 4 (y ) y Sijoitukset y" = z z, y = z => z z 4 z y dz z 4 y z = e C y 4 dy ln z = 4 ln y + C = ln (y 4 ) + C

Takaisin y-muuttujaan: 6 y = z = C y 4 dy C y 4 4 dx dy y C dx 3 3 y Cx C y -3 = 3C x 3C = D x + D y = (D x + D ) -/3 = 3 Dx D D, D vakioita

TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 7 Toisen kertaluvun lineaarinen DY: y" + p(x)y + q(x)y = r(x) Yhtälö on lineaarinen y:n, y:n ja y":n suhteen, p, q ja r mitä tahansa x:n funktioita. Jos r(x) = 0 tarkasteluvälillä I, yhtälö on homogeeninen: y" + p(x)y + q(x)y = 0 muulloin epähomogeeninen. Funktiot p ja q ovat yhtälön kertoimia. Ratkaisu: yhtälön toteuttava funktio y jollain avoimella välillä I = (a, b).

3. Homogeeniset lineaariset DY:t 8 Homogeeninen lineaarinen DY: y" + p(x)y + q(x)y = 0 Lause 3.. Ratkaisujen superpositioperiaate: Jos y ja y ovat homogeenisen DY:n ratkaisuja, niin myös niiden lineaari-kombinaatiot C y + C y ovat ratkaisuja.

9 Funktiot y ja y ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I, jos k y (x) + k y (x) = 0 välillä I toteutuu vain arvoilla k = k = 0 y ja y eivät ole suoraan verrannolliset keskenään välillä I y / y vakio välillä I Funktiot ovat lineaarisesti riippuvia jos ed. yhtälö voi toteutua muillakin kuin arvoilla 0 y, y ovat suoraan verrannolliset y = ay tai y = by joillakin vakioilla a tai b.

0 Derivoituvien funktioiden y ja y Wronskin determinantti on y y W(y, y ) yy yy y y Lause 3.. Ol. että p(x) ja q(x) jatkuvia välillä I. Kaksi homogeenisen DY:n ratkaisua y ja y ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos Wronskin determinantti W(y,y ) 0 välillä I.

Lause 3..3 Homogeenisen DY:n y" + p(x)y + q(x)y = 0 yleinen ratkaisu avoimella välillä I on y = C y + C y missä C, C mielivaltaisia vakioita y, y lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja (eli eivät keskenään verrannollisia). Lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja kutsutaan kantaratkaisuiksi ja ne muodostavat DY:n ratkaisujen kannan.

Esimerkki 3.. y" y = 0 Funktiot y = e x y = e -x toteuttavat DY:n. y / y = e x vakio joten funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat ratkaisujen kannan.

3 Toinen tapa lineaarisen riippumattomuuden toteamiseksi: x x e e x x x x W(y, y ) e e e e x x e e 0 DY:n yleinen ratkaisu on y = C e x + C e -x

4 Toisen kertaluvun DY:n yleisen ratkaisun vakioiden ratkaisemiseen tarvitaan kaksi ehtoa. Alkuarvotehtävä: Yhtälö y" + p(x)y + q(x)y = 0 ja alkuehdot y(x 0 ) = K 0, y (x 0 ) = K Reuna-arvotehtävä: Yhtälö y" + p(x)y + q(x)y = 0 ja reunaehdot y(x ) = K, y(x ) = K

5 Esimerkki 3.. Ratkaise y" + y = 0 ehdoin y(0) = 3, y (0) = -0,5 Ratkaistaan tehtävä ns. yritteellä: Kokeillaan toteuttavatko cos x ja sin x DY:n y" = -y y = cos x y = -sin x y " = -cos x = -y y = sin x y = cos x y " = -sin x = -y Funktiot y = cos x ja y = sin x ovat ratkaisuja. Ne ovat lineaarisesti riippumattomia, koska y /y = tan x vakio millään avoimella välillä I.

6 Yleinen ratkaisu on y = C cos x + C sin x Alkuehdot: y(0) = C = 3 y (x) = -C sin x + C cos x y (0) = C = -0,5 Alkuarvotehtävän ratkaisu (yksityisratkaisu): y = 3 cos x 0,5 sin x

Yksinkertaisissa tapauksissa yksi ratkaisu voidaan löytää esim. yritteen avulla. Jos yksi ratkaisu on löydetty, toinen kantaratkaisu löydetään seuraavasti: 7 Kertaluvun alentaminen toisen kantaratkaisun löytämiseksi Olkoon y homogeenisen DY:n y" + p(x)y + q(x)y = 0 tunnettu ratkaisu. Etsitään sellainen funktio u(x) vakio, että y = uy on ratkaisu. y = u y + uy y" = u"y + u y + u y + uy " = u"y + u y + uy "

8 Sijoitetaan yhtälöön: => u"y +u y +uy "+p(u y +uy )+quy = 0 y u"+(y +py )u +(y "+py +qy )u = 0. u:n kerroin = 0, koska y on ratkaisu => y u"+(y +py )u = 0 Jakamalla y :llä saadaan y u" py y u 0

9 Merkitään v = u (kertaluvun alentaminen!) Saadaan. kl:n separoituva DY v y py y v 0 dv y => pdx v y y => ln v ln y pdx ln pdx => v y e pdx

0 Yksi kantaratkaisu riittää! v = u => u vdx ja ratkaisu y y vdx missä v y e pdx

Esimerkki 3..3 Etsi kantaratkaisut DY:lle (x x)y" xy + y = 0 kun yksi ratkaisu on y = x. Tarkistetaan, että y = x on DY:n ratkaisu: y = x, y =, y " = 0 sijoitus yhtälöön: (x x)0 x + x = 0 toteutuu.

Etsitään funktio u = u(x) siten, että y = uy on ratkaisu eli toteuttaa yhtälön. y = uy = ux y = u x + u y" = u"x + u + u = u"x + u Sijoitetaan yhtälöön u eliminoituu: (x x)(u"x + u ) x(u x + u) + ux = 0 (x x)(u"x + u ) u x = 0 :x (x )(u"x + u ) u x = 0 (x x)u" + (x )u u x = 0 (x x)u" + (x )u = 0

3 Kertaluvun alentaminen: muuttujanvaihdolla v = u saadaan. kertaluvun separoituva DY: (x x)v + (x )v = 0 v v x x x dv v x x x dx Oik. puoli Betan kaavalla tai osamurtohajotelmalla.

Osamurtohajotelma: 4 x x x A x B x A(x ) x x Bx (A B)x x x A A + B = A = => A =, B = dv ( v x x ) dx ln v = ln x + ln x Integroimisvakiota ei tarvita. x ln v ln x x v x x x

5 Yleisen ratkaisun vakio määrää etumerkin, itseisarvoja ei tarvita. v = u Integroidaan puolittain. x x u = ln x + /x y = uy = x ln x + on toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu (y /y vakio). Yleinen ratkaisu: y = C y + C y = C x + C (x ln x + ) kun x > 0 (tai jollakin avoimella välillä I joka ei sisällä 0:aa)

3. Vakiokertoimiset homogeeniset differentiaaliyhtälöt 6 Vakiokertoiminen. kertaluvun homogeeninen DY on muotoa Yrite: y = e x y" + ay + by = 0 a, b vakioita Sijoitetaan yrite ja derivaatat y = e x y"= e x => e x + ae x + be x = 0 Saadaan ed. DY:n karakteristinen yhtälö. + a + b = 0

7 Karakteristisen yhtälön + a + b = 0 ratkaisut: a a 4b Diskriminantin D = a 4b arvosta riippuen kolme tapausta: Tapaus : Kaksi erillistä reaalijuurta, Tapaus : Reaalinen kaksoisjuuri Tapaus 3: Kaksi kompleksista juurta

8 Tapaus : Kaksi erillistä reaalijuurta, Jos a 4b > 0, ratkaisut y y e e x x muodostavat kannan. Yleinen ratkaisu: y C e x Ce x

9 Esimerkki 3.. Ratkaise alkuarvotehtävä y" + y y = 0 y(0) = 4, y (0) = -5

30 Tapaus : Reaalinen kaksoisjuuri Jos a 4b = 0, yhtälöllä kaksoisjuuri = -a/, jolloin yksi ratkaisu on y x (a / )x e e Toinen ratkaisu kertaluvun alentamisella: Sijoitetaan y = uy y = u y + uy y " = u"y + u y + u y + uy " = u"y + u y + uy " yhtälöön y" + ay + by = 0.

3 u"y +u y +uy "+a(u y +uy )+buy = 0 => y u"+(y +ay )u +(y "+ay +by )u = 0. u:n kerroin = 0, u :n kerroin = 0 => y +ay = -(a/)e -(a/)x +ay = -ay +ay = 0 => y u" = 0 => u" = 0 => u = c => u = c x + c Valitaan u = x (eräs edellisen kanssa lin. riippumaton ratkaisu).

3 Toinen kantaratkaisu on y x (a / )x xe xe Yleinen ratkaisu: y C e x x x Cxe (C Cx) e Esimerkki 3.. Ratkaise y y + 0,5y = 0

33 Tapaus 3: Kaksi kompleksista juurta Jos a 4b < 0, karakteristisen yhtälön juuret a a 4b a i b 4 a jotka ovat toistensa kompleksikonjugaatteja. Jos merk. = -a/, a 4 b juuret ovat i, i Kompleksiset ratkaisut: e x ja e x.

DY:lle voidaan muodostaa reaaliset kantaratkaisut: 34 Jos z = s + it, kompleksinen eksponentiaalifunktio on e z = e s+it = e s e it = e s (cos t + i sin t) e e x xix e x e (cos( x) i sin( x)) x xix e x e (cos( x) i sin( x)) Näiden summa / ja erotus /(i) ovat reaalisia ratkaisuja y y x e cos( x) x e sin( x) jotka eivät ole suoraan verrannollisia eli ovat lin. riippumattomia. Ne muodostavat siis ratkaisujen reaalisen kannan.

35 Yleinen ratkaisu: y e x (Acos( x) Bsin( x)) Esimerkki 3..3 Etsi yleinen ratkaisu DY:lle y 4y + 3y = 0

36 YHTEENVETO: Vakiokertoimisen, homogeenisen. kl:n differentiaaliyhtälön y + ay + by = 0 ratkaisut Tapaus Karakteristisen yhtälön juuret reaaliset kaksoisjuuri = -a/ 3 kompleksiset ± i Yleinen ratkaisu y Ce y (C y e x Ce x Cx) e x x (A cos x B sin x)

37 3.3 Euler-Cauchy-differentiaaliyhtälö Euler-Cauchy-differentiaaliyhtälö x y" + axy + by = 0 () Yrite y = x m y = mx m- y" = m(m-)x m- sijoitus yht. () x m(m-)x m- + axmx m- + bx m = 0 m(m-)x m + max m + bx m = 0

38 Kun x 0, voidaan jakaa termillä x m : m(m-) + am + b = 0 m + (a-)m + b = 0 Ratkaistaan m.

39 Tapaus : Kaksi reaalijuurta m m m m Kantaratkaisut: y, y x x m m Yleinen ratkaisu: y C x C x

40 Tapaus : Kaksoisjuuri m = (-a)/ Yksi ratkaisu on y = x m Toinen ratkaisu kertaluvun alentamisella: y = uy, jne. Toiseksi kantaratkaisuksi saadaan y = (ln x) y. Yleinen ratkaisu: y = (C + C ln x) x m

4 Tapaus 3: Kompleksiset juuret Kompleksiset juuret m, = ± i Yleinen ratkaisu: y = x (A cos( ln x) + B sin( ln x))

4 Esimerkki 3.3. Ratkaise DY:t a) x y" +,5xy 0,5y = 0 b) x y" 5xy + 9y = 0

43 3.4 Epähomogeeniset. kertaluvun differentiaaliyhtälöt Epähomogeeninen. kl:n DY on y" + p(x)y + q(x)y = r(x) missä r 0. Ratkaisussa tarvitaan homogeenisen DY:n y" + p(x)y + q(x)y = 0 ratkaisua.

44 Lause 3.4. Epähomogeenisen DY:n y + p(x)y + q(x)y = r(x) yleinen ratkaisu on missä y(x) = y h (x) + y p (x) y h (x) = C y (x) + C y (x) on vastaavan homogeenisen DY:n yleinen ratkaisu y p (x) on mikä tahansa epähomogeenisen DY:n yksityisratkaisu

45 Kaavalla saadaan kaikki epähomogeenisen DY:n ratkaisut, antamalla vakioille C ja C sopivat arvot. Epähomogeenisen DY:n minkä tahansa kahden ratkaisun erotus on homogeenisen DY:n ratkaisu. Ongelma: Miten löydetään epähomogeenisen DY:n yksityisratkaisu y p? Voi olla vaikeaa yleiselle tapaukselle.

46 3.4. Määräämättömien kertoimien menetelmä eli yritemenetelmä Ratkaistaan vakiokertoimista epähomogeenista differentiaaliyhtälöä y" + ay + by = r(x) Periaate: Kun r(x) on funktio, jonka derivaatta on samankaltainen kuin funktio itse (esim. eksponenttifunktio, potenssifunktio, sin/cos-funktiot) voidaan käyttää samantyyppistä yritettä, jossa on mukana tuntemattomia vakioita. Vakiot määrätään siten, että DY toteutuu.

47 DY: y + ay + by = r(x) Yritteen valinta: r(x) ke ax kx n tai n:nnen asteen polynomi (n=0,,, ) k cos(x), k sin(x) ke ax cos(x), ke ax sin(x) yrite y p (x) ce ax k n x n +k n- x n- + +k x+k 0 c cos x + c sin x e ax (c cos x + c sin x)

48 Vaihe : Ratkaise ensin homogeeninen DY y + ay + by = 0 Vaihe : Epähomogeenisen DY:n y + ay + by = r(x) yksityisratkaisun y p määrääminen yritteen avulla:

49 a) Perussääntö: Jos r(x) on jokin taulukon funktioista, valitse sitä vastaava yrite y p ja määritä kertoimet sijoittamalla y p derivaattoineen DY:öön. b) Modifikaatiosääntö: Jos y p :n termi (summassa) on jokin homogeenisen yhtälön y" + ay + by = 0 ratkaisu, kerro tätä tyyppiä vastaava y p x:llä (tai x :lla, mikäli ratkaisu vastaa karakteristisen yhtälön kaksoisjuurta. c) Summasääntö: Jos r(x) on summa taulukon ensimmäisen sarakkeen funktioista, valitse yritteeksi (toisen sarakkeen) vastaavien yritteiden summa.

50 Huomautuksia: Ensin ratkaistaan vakiokertoiminen homogeeninen DY. Jos yrite on väärä tai siinä on liian vähän termejä, seuraa ristiriita. Jos siinä on likaa termejä, ylimääräiset kertoimet menevät nolliksi. Modifikaatiosääntöä sovelletaan taulukon eri rivejä vastaaviin yritteisiin erikseen ja vasta tämän jälkeen summasääntöä. Muihinkin funktiotyppeihin yrite voi onnistua, esim. e ax x n. Periaate (jos ei yo. taulukkoa käytettävissä): Laske oikean puolen funktion r(x) derivaattoja DY:n kertalukuun asti (. kertaluvun tapauksessa r, r, r ). Kokoa yrite niistä funktioista joita näissä derivaatoissa esiintyy.

5 Esimerkki 3.4. Ratkaise seuraavat alkuarvotehtävät määräämättömien kertoimien menetelmällä. a) y" + y = 0,00x y(0) = 0, y (0) =,5 Homogeenisen DY:n ratkaisu: Karakteristinen yhtälö + = 0 => = => = ± i y h = A cos x + B sin x

5 Epähomogeenisen DY:n y" + y = 0,00x yksityisratkaisu yritteellä => y p = ax + bx + c y p = ax + b y p " = a Sijoitukset DY:öön: a + ax + bx + c = 0,00x x:n eri potenssien kertoimet oltava samat molemmilla puolilla: a = 0,00 b = 0 a + c = 0 => c = 0,00

53 y p = 0,00x 0,00 Epähomogeenisen DY:n yleinen ratkaisu on y = y h + y p eli Alkuehdot: Ratkaisu: y = A cos x + B sin x + 0,00x 0,00 y(0) = 0 => A 0,00 = 0 => A = 0,00 y = 0,00 sin x + B cos x + 0,00 x y (0) = B =,5 y = 0,00 cos x +,5 sin x + 0,00x 0,00

54 b) y + 3y +,5y = 0e -,5x y(0) =, y (0) = 0 Homogeenisen DY:n ratkaisu: Karakteristinen yhtälö + 3 +,5 = 0 3 9 9 =>, 5 (kaksoisjuuri) y h = (C + C x) e -,5x Yrite ce -,5x ei kelpaa, koska se on homogeenisen yhtälön ratkaisu, samoin cxe -,5x. (Kokeile esim. y p = ce -,5x => vasen puoli tulee 0:ksi)

Valitaan y p = cx e -,5x => y p = cxe -,5x,5cx e -,5x = c(x,5x ) e -,5x 55 Sijoitukset: y p " = c[( 3x)e -5,x + (x,5x )(,5)e -,5x ] = c( 6x +,5x ) e -,5x c( 6x +,5x ) e -,5x + 3c(x,5x ) e -,5x +,5 cx e -,5x = 0e -,5x => c( 6x +,5x ) e -,5x + c(6x 4,5x ) e -,5x +,5 cx e -,5x = 0e -,5x => c( 6x +,5x + 6x 4,5x +,5x ) e -,5x = 0e -,5x => ce -,5x = 0e -,5x => c = 5

y p = 5x e -,5x 56 Yleinen ratkaisu: y = (C + C x) e -,5x 5x e -,5x = (C + C x 5x ) e -,5x Alkuehdot: y(0) = => C = y = (C 0x)e -,5x + (C + C x 5x )(,5)e -,5x y (0) = 0 => C,5C = 0 => C =,5 Ratkaisu: y = ( +,5x 5x ) e -,5x

c) y + y + 5y = e 0,5x + 40 cos 0x 90 sin 0x 57 y(0) = 0,6, y (0) =40,08 Homogeenisen DY:n ratkaisu: Karakteristinen yhtälö + + 5 = 0 => = ± i y h = e -x (A cos x + B sin x) Epähomogeenisen DY:n yksityisratkaisu y p yritteellä => y p = ce 0,5x + a cos 0x + b sin 0x y p = 0,5ce 0,5x 0a sin 0x + 0b cos 0x y p " = 0,5ce 0,5x 00a cos 0x 00b sin 0x

58 Sijoitukset DY:öön y" + y + 5y = e 0,5x + 40 cos 0x 90 sin 0x => => 0,5ce 0,5x 00a cos 0x 00b sin 0x + (0,5ce 0,5x 0a sin 0x + 0b cos 0x) + 5(ce 0,5x + a cos 0x + b sin 0x) = oik. puoli 0,5ce 0,5x 00a cos 0x 00b sin 0x + ce 0,5x 0a sin 0x + 0b cos 0x + 5ce 0,5x + 5a cos 0x + 5b sin 0x = oik.puoli 6,5ce 0,5x + ( 95a + 0b) cos 0x + ( 95b 0a) sin 0x = e 0,5x + 40 cos 0x 90 sin 0x

6,5ce 0,5x + ( 95a + 0b) cos 0x + ( 95b 0a) sin 0x 59 = e 0,5x + 40 cos 0x 90 sin 0x Eri termien kertoimet samat molemmilla puolilla: 6,5c = => c = /6,5 = 0,6 95a + 0b = 40 => b = + 9a/4 0a 95 b = 90 => a = 0, b =, c = 0,6 y p = 0,6e 0,5x + sin 0x

60 Yleinen ratkaisu: y = y h + y p y = e -x (A cos x + B sin x) + 0,6e 0,5x + sin 0x Alkuehdot: y(0) = A + 0,6 = 0,6 => A = 0 => y = e -x B sin x + 0,6e 0,5x + sin 0x y = e -x B sin x + e -x B cos x + 0,08e 0,5x + 0 cos 0x y (0) = B + 0,08 + 0 = 40,08 => B = 0 Ratkaisu: y = 0 e -x sin x + 0,6e 0,5x + sin 0x

6 3.4. Parametrien variointimenetelmä (vakion variointimenetelmä) Määrätään epähomogeenisen DY:n y" + p(x)y + q(x)y = r(x) yksityisratkaisu y p kun homogeenisen DY:n ratkaisu tunnetaan. y h (x) = C y (x) + C y (x)

6 Korvataan vakiot C ja C sellaisilla funktioilla u ja u, että funktio y p (x) = u (x)y (x) + u (x)y (x) on DY:n ratkaisu. Tuloksena ratkaisu y r y r dx y yp (x) y W W dx missä W = y y y y on ratkaisujen y ja y Wronskin determinantti.

63 Toinen muoto (yleisestä kaavasta luvussa 4.3.): missä W W y p (x) y r dx y r dx (36) W W W = kantaratkaisujen Wronskin determinantti W j = Wronskin determinantti jossa j:s sarake (j =,) korvattu sarakkeella [0 ] T : y y 0 y W W = -y ' y y y ' ' y 0 W = y ' y

64 Esimerkki 3.4. Ratkaise DY y" + y - y = + e -x

65 Esimerkki 3.4.3 Ratkaise alkuarvotehtävä y" + 4y = 6 cos x y(0) = 0, y (0) = 0 sekä määräämättömien kertoimien menetelmällä että vakion varioinnilla. Kyseessä. kertaluvun vakiokertoiminen, epähomogeeninen DY. Yleinen ratkaisu: y = y h + y p missä y h on homogeenisen DY:n yleinen ratkaisu y p epähomogeenisen DY:n yksityisratkaisu

66 Ratkaistaan ensin HY (homogeeninen yhtälö) y" + 4y = 0 Karakteristinen yhtälö + 4 = 0 Juuret: = ± i y h = A cos x + B sin x

Yksityisratkaisun y p määrääminen: 67 Tapa : Määräämättömien kertoimien menetelmä (sopii vakiokertoimiselle DY:lle kun oikean puolen funktio on sopivaa muotoa) Perussäännön mukaan yrite olisi muotoa a cos x + b sin x, mutta molemmat termit ovat HY:n ratkaisuja. Modifikaatiosääntö: kerro x:llä. Yrite: y p = x (a cos x + b sin x) y p = a cos x + b sin x + x ( a sin x + b cos x) y p " = a sin x + b cos x a sin x + b cos x + x( 4a cos x 4b sin x) = 4a sin x + 4b cos x 4x(a cos x + b sin x)

Sijoitetaan nämä yhtälön y" + 4y = 6 cos x vasemmalle puolelle ja merkitään yhtäsuureksi kuin oikea puoli. 68 4a sin x+4b cos x 4x(a cos x+b sin x) + 4x (a cos x+b sin x) = 6 cos x => 4a sin x + 4b cos x = 6 cos x Funktioiden sin x ja cos x kertoimet: => 4a = 0 4b = 6 => a = 0, b = 4 y p = 4x sin x

Tapa : Vakion variointi 69 Kantaratkaisujen y = cos x ja y = sin x Wronskin determinantti W = cosx sin x sin x cos x = cos x + sin x = W = 0 sin x cosx = - sin x W = cosx sinx 0 = cos x W W r dx y yp y W W r dx sin x = cos x 6cosx dx sin x cosx 6cosx dx

= 8cosx sin x cosx dx 8sin x cos x dx 70 sin x = x sin4x 8cosx 8sin x 4 8 (Betan kaavoilla) = cosx sin x 4xsin x sin x sin 4x (yht. tekijä sin x) = sin x ( cos x sin x + 4x + sin 4x) = sin x( cos x sin x + 4x + sin x cos x) = 4x sin x (y p voi näyttää erilaiselta riippuen trigonometristen funktioiden esittämisestä!)

7 Yleinen ratkaisu: y = y h + y p = A cos x + B sin x + 4x sin x Alkuehdot: y(0) = 0 => A = 0 y = -A sin x + B cos x + 4 sin x + 8x cos x y (0) = 0 => B = 0 Ratkaisu: y = 4x sin x