HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin yhtälöryhmiin 1 Anna esimerkki vektoreista v 1, v 2 R n, joilla jono ( v 1, v 2, 0) on vapaa, tai osoita, että sellaisia ei ole 2 Kaikki tämän tehtävän yhtälöryhmät ovat lineaarisia ja homogeenisia (a) Mitä tarkoittaa se, että lineaarinen yhtälöryhmä on homogeeninen? (b) Erästä yhtälöryhmää vastaa seuraava porrasmatriisi: 2 1 3 0 0 1 0 0 0 0 8 0 Päättele suoraan matriisista, kuinka monta ratkaisua tällä yhtälöryhmällä on (c) Erästä yhtälöryhmää vastaa seuraava matriisi: 21 3 0 8 0 0 13 1 8 0 2 4 6 1 0 Päättele suoraan matriisista, kuinka monta ratkaisua tällä yhtälöryhmällä on 3 Tarkastellaan lineaarista homogeenista yhtälöryhmää, jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta Mitkä seuraavista väitteistä ovat varmasti totta? Mitkä voivat olla totta tai epätotta? Mitkä ovat varmasti epätosia? Perustele vastauksesi esimerkiksi kurssimateriaalin tiedoilla ja sopivilla esimerkeillä (a) Jos m > n, niin yhtälöryhmällä ei ole yhtään ratkaisua (b) Jos m > n, niin yhtälöryhmällä on tasan yksi ratkaisu (c) Jos m > n, niin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua (d) Jos m = n, niin yhtälöryhmällä ei ole yhtään ratkaisua (e) Jos m = n, niin yhtälöryhmällä on tasan yksi ratkaisu (f) Jos m = n, niin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua (g) Jos m < n, niin yhtälöryhmällä ei ole yhtään ratkaisua (h) Jos m < n, niin yhtälöryhmällä on tasan yksi ratkaisu (i) Jos m < n, niin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua 4 Oletetaan, että v 1, v 2, v 3 R n Oletetaan, että jono ( v 1, v 2, v 3 ) on vapaa Onko jono ( v 1 v 2, v 2 v 3, v 3 ) on vapaa?
Tehtäväsarja II Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 6 8 5 Tässä tehtävässä tarkastellaan joukkoa V = {(s 2t, 2s 4t, s + 2t) s, t R} (a) Osoita, että V on avaruuden R 3 aliavaruus etsimällä sille jotkin virittäjät (b) Etsi aliavaruudelle V jokin kanta (c) Mikä on aliavaruuden V dimensio? Havainnollista aliavaruutta V piirtämällä tai omin sanoin 6 Oletetaan, että ū, v, w R n Merkitään U = span(ū, ū + v, ū + v w) Osoita, että ū, v ja w ovat aliavaruuden U alkioita 7 Tässä tehtävässä tarkastellaan joukkoa W = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 2x 1 3x 2 +x 3 = 0} (a) Osoita, että W on avaruuden R 3 aliavaruus etsimällä sille jotkin virittäjät (b) Etsi aliavaruudelle W jokin kanta Mikä on dim(w)? (c) Kuuluuko vektori ū = (5, 6, 3) joukkoon W? Entä vektori v = (4, 2, 2)? (d) Määritä niiden c-kohdassa mainittujen vektoreiden, jotka kuuluvat aliavaruuteen W, koordinaatit edellä löytämäsi kannan suhteen Tehtäväsarja III Tutustu kurssimateriaalin lukuun 12, jossa selviää, mitä ovat matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit 8 6 Tehtävissä 8 12 tutkitaan matriisia A = 9 7 8 Merkitään v 1 = (1, 1) ja v 2 = (3, 3) (a) Laske tulot A v 1 ja A v 2 tulkitsemalla vektorit v 1 ja v 2 sarakevektoreina eli 2 1-matriiseina (b) Havainnollista vektoreita v 1 ja v 2 sekä a-kohdan tuloksia koordinaatistossa paikkavektoreina Selitä omin sanoin, mitä matriisilla A kertominen tekee vektoreille v 1 ja v 2 (c) Laske tulo Aū, missä ū = ( 1, 1) Vaikuttaako matriisilla A kertominen vektoriin ū samalla tavalla kuin vektoreihin v 1 ja v 2? (d) Mitä voit päätellä matriisin A ominaisarvoista ja -vektoreista tämän tehtävän 9 Merkitään w 1 = (2, 3) ja w 2 = ( 1; 1,5) (a) Laske tulot A w 1 ja A w 2 kuten tehtävässä 8 (b) Havainnollista vektoreita w 1 ja w 2 sekä a-kohdan tuloksia koordinaatistossa paikkavektoreina Selitä omin sanoin, mitä matriisilla A kertominen tekee vektoreille w 1 ja w 2 (c) Laske tulo Aē 2, missä ē 2 = (0, 1) Vaikuttaako matriisilla A kertominen vektoriin ē 2 samalla tavalla kuin vektoreihin w 1 ja w 2? (d) Mitä voit päätellä matriisin A ominaisarvoista ja -vektoreista tämän tehtävän
10 Oletetaan, että B on n n-neliömatriisi ja λ R (a) Mikä ehto matriisin B determinantin pitää toteuttaa, jotta yhtälöllä B x = 0 olisi muitakin ratkaisuja kuin x = 0? (b) Laske matriisin A λi determinantti (c) Mikä luvun λ täytyy olla, jotta yhtälöllä (A λi) x = 0 olisi muitakin ratkaisuja kuin x = 0? (d) Määritä yhtälön A x = λ x eli yhtälön (A λi) x = 0 ratkaisut c-kohdassa löytämiesi lukujen λ tapauksissa (e) Mitä voit päätellä matriisin A ominaisarvoista ja ominaisvektoreista tämän tehtävän 11 (a) Valitse yksi matriisin A ominaisarvoista Piirrä koordinaatistoon joukko, jonka muodostavat kaikki tähän ominaisarvoon liittyvät matriisin A ominaisvektorit (tuloksena on valitsemaasi ominaisarvoon liittyvä ns ominaisavaruus) Mitä matriisilla A kertominen tekee tämän joukon vektoreille? (b) Tee sama asia kuin b-kohdassa myös muille matriisin A ominaisarvoille 12 Merkitään D = 2 0 0 1 ja P = 1 2 1 3 (a) Laske potenssi D 3 Mitä huomaat? Mitä olisi D n? (b) Miten matriisi D liittyy edellisiin tehtäviin? (c) Etsi käänteismatriisi P 1 ja laske tulo P 1 AP Mitä huomaat? (d) Miten matriisi P liittyy edellisiin tehtäviin? (e) Miten matriisien D ja P sarakkeet liittyvät toisiinsa? (f) Onko matriisi A diagonalisoituva? Tehtäväsarja IV Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 5 ja 9 11 13 Erään yhtälöryhmän matriisi on saatu alkeisrivitoimituksilla muotoon 4 1 2 0 0 2 1 5 0 0 a b + 3 Määritä ne reaaliluvut a ja b, joilla yhtälöryhmällä (a) on tasan yksi ratkaisu; (b) ei ole yhtään ratkaisua; (c) on äärettömän monta ratkaisua 14 Oletetaan, että A on neliömatriisi, jolle pätee A 2 3A+I = O Osoita, että matriisi A on kääntyvä Voit tehdä sen näyttämällä, että matriisin A käänteismatriisi on 3I A
15 Oletetaan, että matriisi A on saatu muokattua matriisiksi 4 1 6 3 9 0 7 8 0 4 0 0 5 2 11 0 0 0 3 1 0 0 0 0 2 tekemällä alkeisrivitoimitukset R 1 R 3, R 2 +R 1, 1 2 R 4 ja R 5 3R 3 Mikä on det(a)? 1 1 1 16 Olkoon A = 2 c 3 2 2 0 (a) Mikä luvun c pitäisi olla, jotta matriisi A ei olisi kääntyvä? (b) Millaisilla erilaisilla tavoilla voit selvittää a-kohdan vastauksen? Luettele keksimiäsi tapoja Tehtäväsarja V Seuraavat tehtävät pohjautuvat tutkimukseen Gabriel, K R ja Neumann, J (1962), A Markov chain model for daily rainfall occurrence at Tel Aviv QJR Meteorol Soc, 88: 90 95, jossa tutkittiin sateita Tel Avivissa 27 talvikauden ajan vuosina 1923 1950 Oletetaan, että huomisen sateen todennäköisyydelle pätee seuraava: Jos tänään sataa, niin myös huomenna sataa todennäköisyydellä 0,662 Jos tänään sataa, niin huomenna ei sada todennäköisyydellä 1 0,622 = 0,338 Jos tänään ei sada, niin huomenna sataa todennäköisyydellä 0,250 Jos tänään ei sada, niin huomenna ei sada todennäköisyydellä 1 0,250 = 0,750 17 Kannattaa laskea tarvittavat matriisikertolaskut laskimella tai Wolfram Alphalla (a) Maanantaina Tel Avivissa ei sada ja haluat tietää, millä todennäköisyydellä keskiviikkona sataa Lasket matriisitulot 0,662 0,250 0 0,250 0,662 0,250 0,250 0,353 = ja = 0,338 0,750 1 0,750 0,338 0,750 0,750 0,647 Mikä on tämän perusteella keskiviikon sateen todennäköisyys? (b) Torstaina Tel Avivissa sataa Millä todennäköisyydellä sunnuntaina ei sada? 0,662 0,250 18 Tarkastellaan edellisen tehtävän matriisia A = 0,338 0,750 (a) Etsi matriisin A ominaisarvot (b) Yksi matriisin A ominaisarvoista on 1 Etsi sitä vastaavat ominaisvektorit (c) Matriisin A ominaisarvoa 1 vastaavat ominaisvektorit voidaan kirjoittaa esimerkiksi muodossa (0,25t/0,338; t), missä t R {0} Jos tämäntyyppisellä vektorilla kuvataan sateisen ja sateettoman päivän todennäköisyyksiä, pitää todennäköisyyksien summan olla yksi eli 0,25 t 0,338 + t = 1 Ratkaise tästä yhtälöstä t Kirjoita näkyviin sitä vastaava vektori (0,25t/0,338; t)
(d) Sunnuntaina Tel Avivissa ei satanut Luennoitsija halusi tietää, sataisiko siellä kahden viikon päästä, joten hän laski matriisitulon 14 0,662 0,250 0 0,338 0,750 1 0,425 0,575 Päättele tämän tiedon ja c-kohdan avulla, kuinka monta prosenttia talvikauden päivistä Tel Avivissa on todennäköisesti sateisia ja kuinka monta poutaisia