Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f() a b 0 1 2 tangentti = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) pienin arvo suurin arvo lok maksimi f ( 1 ) = 0 lok minimi f ( 2 ) = 0 ala = b a f()d Meillä on nt tarkoituksena tehdä vastaavat asiat usean muuttujan funktioille Ne ovat funktioita, joissa on useampia kuin ksi muuttuja Esimerkkejä kahden muuttujan funktioista voisivat olla f 1 (, ) = 2 + 2, f 2 (, ) = 1 + + +, f 3 (, ) = 2 + 2 1 + 2 + 2, ja kolmen muuttujan funktioista f 4 (,, ) = 2 + 3 + 4, f 5 (, ) = 1 + + + + Yleisesti n muuttujan funktiota voidaan merkitä f( 1,, n ) Siirtminen tutuista hden muuttujan funktioista kahden muuttujan funktioihin on suuri askel: vastaan tulee uusia ilmiöitä Sen sijaan siirrttäessä kahden muuttujan funktioista vielä useamman muuttujan funktioihin asiat eivät enää paljon muutu: uusia ilmiöitä ei oikeastaan enää tule, muuttujien lista vain pitenee Tämän vuoksi keskitmme lähes pelkästään kahden muuttujan funktioihin Olkoon siis f(, ) kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio Silloin f(, ) on määritelt joillakin :n ja :n arvoilla, ts sillä on määrittelalueena jokin (, )-tason alue A Merkitään f(, ) : A R 1
Tällaisillakin funktioilla on kuvaaja Se on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa R 3 = f(, ) Esimerkki Kun pallon pinnan htälöstä 2 + 2 + 2 = 1 ratkaistaan, = ± 1 2 2, saadaan kaksi funktiota, f 1 (, ) = 1 2 2, f 2 (, ) = 1 2 2, jotka ovat siis kahden muuttujan funktioita Funktion f 1 kuvaaja on pallon läpuolisko = 1 2 2, ja funktion f 1 määritteljoukko on (, )- tason mprä A = {(, ) R 2 2 + 2 1} Siis f 1 on kuvaus f 1 : A R A Seuraavassa kuviossa on merkitt joitakin kahden muuttujan funktioon f(, ) liittviä asioita Siinä on f:n määrittelalue A, josta on valittu kaksi pistettä ( 0, 0 ) ja ( 1, 1 ), ja on merkitt niitä vastaavat pisteet f:n kuvaajalta, siis pinnalta = f(, ) Lisäksi on piirrett pisteeseen (,, ) = ( 0, 0, f( 0, 0 )) tangenttitaso; sellaisia ei klläkään tällä kurssilla juurikaan käsitellä, mutta kerrottakoon silti, että tangenttitason htälö on = f( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ), missä nuo f ja f ovat osittaisderivaatat jotka tulevat möhemmin esille Kuvaan ei ole merkitt möhemmin käsiteltäviä ääriarvoihin liittviä asioita: lokaalisia ääriarvoja ja suurinta ja pienintä arvoa 2
pinta = f(,) f( 0, 0 ) f( 1, 1 ) ( 0, 0 ) A ( 1, 1 ) Alueen A ala on laskettavissa ns pintaintegraalina A 1dA, ja kuviossa tason ja pinnan = f(, ) välisen kappaleen tilavuus saadaan pintaintegraalina A f(, )da; möhemmin selitetään mitä tämä sana pintaintegraali tarkoittaa Pinnan hahmotteleminen tasoleikkauksilla Esimerkki 44 Monisteen esimerkissä 44 hahmotellaan funktion f(, ) = 2 + 2 kuvaajaa eli pintaa leikkaamalla pintaa sopivilla tasoilla = 2 + 2 1 Leikkaus tason = 0 eli -tason kanssa: { = 2 + 2 = 0 = = 2 = 2 Siis leikkauskärä -tasossa on tavallinen paraabeli = 2 2 Leikkaus tason = 0 eli -tason kanssa: { = 2 + 2 = = 2 = 0 Siis leikkauskärä -tasossa on paraabeli = 2 = 2 3
3 Leikkaus tason = k kanssa (eri k:n arvoilla): { = 2 + 2 = 2 + 2 = k = k Tasot = k ovat -akselia vastaan kohtisuoria tasoja Nähdään siis, että leikkauskärä sellaisessa tasossa on k-säteinen mprä, kun k 0 Leikkaus on thjä, kun k < 0 2 + 2 = k Näiden leikkausten avulla pinnan voi itselleen hahmotella Oheisessa kuvassa on muutama em leikkaustasoista Siitä pst näkemään nuo kaksi paraabelileikkausta ja mpräleikkauksiakin koko joukon; tasoja = k on piirrett kaksi k Kseessä on elliptinen paraboloidi, tarkemmin sanoen pörähdsparaboloidi Esimerkki (satulapinta) Samalla tavalla voi tutkia pintaa = 2 2 Leikkaukset tasojen = k ja = k kanssa ovat paraabelit = 2 k 2 ja = 2 + k 2, ja niitä näk ao kuvassa Leikkaukset tasojen = k kanssa ovat hperbelejä 2 2 = k; niitä ei ole merkitt kuvaan Pintaa sanotaan hperboliseksi paraboloidiksi eli satulapinnaksi 4
Raja-arvo ja jatkuvuus Monisteessa määritellään, ei aivan tarkasti, mitä tarkoittaa raja-arvo lim f(, ) = A (,) (a,b) Sen jälkeen määritellään, että funktion f(, ) jatkuvuus pisteessä (a, b) tarkoittaa, että tämä sisältää seuraavat asiat: 1 o raja-arvo on olemassa; lim f(, ) = f(a, b); (,) (a,b) 2 funktion arvo f(a, b) on olemassa; 3 ne ovat htä suuret Monisteessa mainitaan ilman todistuksia, että hden muuttujan tapauksesta tutut raja-arvon laskusäännöt ovat voimassa useammankin muuttujan tapauksessa ja että siksi esimerkiksi polnomifunktiot ovat jatkuvia, samoin rationaalifunktiot niissä pisteissä joissa nimittäjä ei ole nolla (esimerkki 411) Raja-arvojen (ja siis jatkuvuudenkin) tarkastelussa tulee kahden muuttujan tapauksessa esiin uudenlaisia ilmiöitä verrattuna hden muuttujan tilanteeseen Esimerkiksi hden muuttujan funktion raja-arvon lim f() a kohdalla riitti katsoa lähestmistä vain kahdelta suunnalta, oikealta ja vasemmalta, siis raja-arvoja lim f(), a+ lim f() a 5
Kahden muuttujan tapauksessa sen sijaan lähestmistapoja (, ) (a, b) on äärettömän paljon; voidaan lähestä suoraa pitkin tai kärää pitkin, miltä suunnalta tai millä tavalla tahansa, vaikka hppimällä Jotta rajaarvo lim f(, ) (,) (a,b) olisi olemassa, pitää kaikkien tällaisten lähestmisten antaa sama raja-arvo Ao huomautuksesta voi katsoa, miten tämä idea määritellään tarkasti Monisteessa on tästä asiasta kaksi esimerkkiä Esimerkissä 47 perustellaan raja-arvo lim (,) (0,0) Esimerkissä 48 nätetään, ettei raja-arvo lim (,) (0,0) 2 2 2 + 2 = 0 2 + 2 ole olemassa jo siitä sstä, että huomataan lähestmisten eri suoria pitkin antavan eri raja-arvot Seuraavassa on näiden funktioiden kuvaajat = 2 2 2 + 2 1/2 = 2 + 2-1/2 6
Ensimmäisestä kuvasta nähdään selvästi, että raja-arvo on 0, lähestpä (, ) origoa miten tahansa Toiselle pinnalle taas on ilmeistä, että eri suoria pitkin lähestttäessä saadaan eri raja-arvot; esimerkiksi suoralla = funktio on vakio 1 2 ja suoralla = funktio on vakio 1 2 Siispä ensimmäisestä funktiosta saadaan kaikkialla jatkuva funktio tädentämällä se seuraavasti, f 1 (, ) = 2 2 2 kun (, ) (0, 0), + 2 0 kun (, ) = (0, 0), mutta toisesta funktiosta ei saada jatkuvaa pisteessä (0, 0) millään tädentämisellä Huomautus Monisteessa raja-arvon määritelmää ei ole muotoiltu tarpeeksi ksitiskohtaisesti mitään tarkkaa kättöä varten (Tosin eihän tällä kurssilla määritelmää missään kätetäkään) Muistetaan, että hden muuttujan tapauksessa raja-arvo määriteltiin näin: lim a f() = A jos ɛ > 0 δ ɛ > 0 : f() A < ɛ kun 0 < a < δ ɛ Tarkka määritelmä kahden muuttujan funktiolle voitaisiin muotoilla seuraavasti: lim f(, ) = A jos (,) (a,b) ɛ > 0 δ ɛ > 0 : f(, ) A < ɛ kun 0 < ( a) 2 + ( b) 2 < δ ɛ Tuo neliöjuurilauseke tarkoittaa pisteen (, ) etäisttä pisteestä (a, b) Sanallisesti tämä määritelmä voitaisiin lausua juuri kuten monisteen määritelmässä 45 Huomautus Kaikissa raja-arvokäsitteissä on sama idea Edellisen huomautuksen kaksi raja-arvon määritelmää ovat analogisia, kun a ja ( a) 2 + ( b) 2 mmärretään argumenttipisteen ( tai (, )) etäistenä siitä pisteestä, jota se lähenee (a tai (a, b)) Aivan sama idea näk jo mainittujen rajaarvojen lisäksi mös mm meille jo tutuissa raja-arvoissa lim f() = A, lim a+ f() = A, lim ja niin edelleen ja nt siis tässä uudessa f() =, lim a f() = lim f(, ) = A (,) (a,b) sekä möhemmin esiin tulevissa lukujonon raja-arvoissa lim a n = A, n lim a n = n 7
Näissä kaikissa on sama idea joka vain saa eri tilanteissa eri ilmiasun Kun tämän on sisäistänt, pst itse kirjoittamaan määritelmän esimerkiksi raja-arvolle lim f(, ) = (,) (a,b) tai vaikkapa funktiojonon raja-arvolle lim f n() = g() n (jossa tosin ensin pitäisi sopia, miten kahden funktion välinen etäiss lasketaan) tai jollekin vielä eksoottisemmalle raja-arvolle Sellainen tarkka määritelmä on tietenkin välttämätön jos halutaan tutkia mitään tarkasti 8