LAUSELOGIIKKA. 1 Lauselogiikan kieli. 1.1 Lauselogiikan aakkosto. atomiset lauseet: A,A 1,A 2,...,B,B 1,...,C, Lauselogiikan kieli

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 1 LAUSELOGIIKKA 1. Lauselogiikan kieli 2. Lauselogiikan semantiikka 3. Semanttiset peruskäsitteet 4. Semanttinen taulu 5. Vaihtoehtoisia todistusjärjestelmiä 6. Normaalimuodot 7. Resoluutio 8. Laskennallisesta vaativuudesta -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 3 1.1 Lauselogiikan aakkosto atomiset lauseet: A,A 1,A 2,...,B,B 1,...,C,... negaatiosymboli: (ei) konjunktiosymboli: (ja) disjunktiosymboli: (tai) implikaatiosymboli: (jos... niin) ekvivalenssisymboli: (jos ja vain jos) sulut: () Symboleja,,, ja kutsutaan konnektiiveiksi, koska niiden avulla kytketään yksinkertaisempia lausekkeita (lauseita) monimutkaisemmiksi. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 2-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 4 1.2 Kielen määritelmä 1 Lauselogiikan kieli OlkoonP ei-tyhjä joukko atomisia lauseita. Lauselogiikan lauseenmuodostussäännöt: Lauselogiikan aakkosto 1. Jokainen atominen lause A P on lause. Kielen määritelmä Lauseiden muodostamisesta Sopimukset sulkujen käytöstä Esimerkki: rakenteinen induktio 2. Jos α ja β ovat lauseita, niin myös ( α), (α β), (α β), (α β), (α β) ovat lauseita. 3. vain edellä olevien sääntöjen perusteella muodostetut merkkijonot ovat lauseita. Näiden sääntöjen nojalla muodostettavissa olevien lauseiden joukkoa kutsutaan (atomisten lauseiden joukkoonp perustuvaksi) lauselogiikan kieleksil.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 5 Vaihtoehtoinen määritelmä -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 7 OlkoonP ei-tyhjä joukko atomisia lauseita. Esimerkki. Lauseen (( (A B)) C) jäsennyspuu on seuraava: Määritelmä. Atomisten lauseiden joukkoonp perustuva lauselogiikan kielil on merkkijonojen joukon (P {,,,,,(,)}) pienin osajoukko, joka on suljettu seuraavien vaatimusten suhteen: 1. Jos A P, niin A L. 2. Jos α L ja β L, niin ( α) L, (α β) L, (α β) L, (α β) L ja (α β) L. Jäsennyspuun juuressa oleva konnektiivi määrää, että annettu lause on muodoltaan implikaatio (tai implikaatio lyhyesti sanottuna). Vastaavasti määritellään lauseet, jotka ovat negaatioita, konjunktioita, disjunktioita ja ekvivalensseja. C Esimerkki. Jos P = {A, B}, niin esimerkiksi A, B,( A),(( A) B) ja ((( A) B) A) ovat kielenl lauseita. Sen sijaan merkkijonot ( ()) ja (A C) eivät olel :n lauseita. A B Lauseiden ominaisuuksia voidaan todistaa induktiolla lauserakenteen suhteen (tai lauseita vastaavien jäsennyspuiden rakenteen suhteen). -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 6 Jokaisella lauselogiikan lauseella on yksikäsitteinen jäsennyspuu. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 8 1.3 Lauseiden muodostaminen Määritelmä. Määritellään jäsennyspuut lauserakenteen mukaisesti: 1. Atomisen lauseen A P jäsennyspuu JP(A) on alla vasemmalla. 2. Negaation ( α) jäsennyspuu JP( α) on annettu keskellä. Jos lähtökohtana on joukko luonnollisen kielen lauseita, tunnistetaan atomiset lauseet eli väittämät, joita ei voida enää loogisessa mielessä pilkkoa osiin ja 3. Jos on jokin lauselogiikan binäärikonnektiiveista, lauseen (α β) jäsennyspuu JP(α β) on annettu oikealla. tunnistetaan konnektiivit ja muodostetaan vastaavat logiikan lauseet. A avoitteena voi olla myös jonkin järjestelmän määrittely suoraan logiikan lausein. ällöin JP(α) JP(α) JP(β) Yllä JP(α) ja JP(β) ovat lauseiden α ja β rekursiivisesti määräytyvät jäsennyspuut, jotka sijoitetaan kyseisten jäsennyspuiden alipuiksi. valitaan sopiva joukko järjestelmän ominaisuuksia kuvaavia atomisia lauseita ja määritellään näiden väliset suhteet/riippuvuudet logiikan lausein.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 9-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 11 1.4 Sopimukset sulkeiden käytöstä Esimerkki. Muotoillaan seuraava luonnollisen kielen lause lauselogiikan lauseena. Jos tiedosto on liian suuri, niin se tiivistetään tai poistetaan. Valitaan atomiset lauseet Uloimmat sulkeet tapana jättää pois: A B eikä (A B). Konnektiivien presedenssi eli sidontajärjestys: 1. on vahvin konnektiiveista. 2. ja ovat heikompia kuin, mutta vahvempia kuin ja. A = iedosto on liian suuri, B = iedosto tiivistetään ja C = iedosto poistetaan. Saadaan: jos A, niin B tai C. unnistetaan konnektiivit: (A (B C)). 3. ja ovat heikoimmat konnektiivit. Esimerkiksi: A B eikä ( A) B, A B B C eikä (A B) (B C), mutta (A B) (B C). Poikkeuksena ketjudisjunktiot/konjunktiot: kirjoitetaan A B C lauseiden A (B C) ja (A B) C sijaan. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 10 Esimerkki. Kuvataan seuraavaa yksinkertaista järjestelmää lauselogiikan lausein. Valitaan atomisiksi lauseiksi L = Lamppu palaa, K = Kytkin on suljettu ja P = Paristossa on riittävästi varausta. Määritellään järjestelmän sallitut tilat lauseilla (( P) ( L)) ja (P (L K)). -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 12 Lisähuomioita sulkeiden käytöstä Edellä tehdyt sopimukset (ketjukonjuktioita ja -disjunktioita lukuunottamatta) takaavat, että lauseen φ jäsennyspuu säilyy yksikäsitteisenä sulkeita vähennettäessä. Esimerkiksi merkkijonoa A B C ei pystytä jäsentämään lauseeksi (yksikäsitteisesti). arvitaan sulkeet: A (B C) tai (A B) C. Näillä lauseilla on yksikäsitteiset jäsennyspuut. Ketjudisjunktiokin A B C voidaan jäsentää kahdella tavalla: (A B) C tai A (B C). ulkitse nämä kaksi lausetta luonnolliselle kielelle! Jatkossa näille annetaan kuitenkin sama merkitys, joten on samantekevää kuinka jäsennys suoritetaan.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 13 1.5 Esimerkki: rakenteinen induktio -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 15 odistus. Perustapaus: φ on atominen lause A. Määritelmä. Lauseen alilauseet määräytyvät seuraavasti: Atomisen lauseen A ainoa alilause on A. Lauseen ( α) alilauseita ovat α:n alilauseet ja ( α). Lauseen (α β) alilauseita ovat α:n ja β:n alilauseet ja (α β). Lauseiden (α β), (α β) ja (α β) alilauseet määritellään samaan tapaan kuin (α β):n. Koska #φ = 1 määritelmän mukaan, Aφ = 1 ja Kφ = 0, väittämä pitää tässä tapauksessa paikkansa. Induktioaskel: φ on muotoa ( α). Määritelmän mukaisesti: #( α) = 1 + #α. Induktio-oletuksen perusteella: #α Aα + Kα. äten #( α) 1+Aα+Kα = Aα+(1+Kα) Esimerkki. Lauseen A B C alilauseet ovat A, B,C, B C ja A B C. = A( α)+(1+kα) = A( α)+k( α). Näin väittämä tuli todistetuksi muotoa ( α) oleville lauseille. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 14 Väite. Lauseen φ alilauseita on korkeintaan niin monta kuin on φ:ssä esiintyvien atomisten lauseiden lukumäärän ja φ:n konnektiivien lukumäärän summa. odistetaan väite induktiolla lauserakenteen suhteen. Otetaan lauseelle φ käyttöön seuraavat merkinnät: #φ: lauseen φ alilauseiden lukumäärä, Aφ: lauseessa φ esiintyvien atomisten lauseiden lukumäärä ja -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 16 Induktioaskel jatkuu: φ on muotoa (α β), missä on mikä tahansa binäärisistä konnektiiveista,, ja. #(α β) = 1+#α+#β #(α,β) 1+Aα+Kα+Aβ+Kβ #(α,β) (ind.-oletus) = Aα+Aβ #(α,β)+1+kα+kβ Aα+Aβ A(α,β)+K(α β) = A(α β)+k(α β). Kφ: lauseen φ konnektiivien lukumäärä. Näillä merkinnöillä väite saadaan muotoon #φ Aφ+Kφ. Esimerkki. Väittämä pitää paikkansa ainakin lauseen φ = (B C) (B C) tapauksessa: #φ = 4, Aφ = 2 ja Kφ = 3. Merkintä #(α,β) tarkoittaa lauseiden α ja β yhteisten alilauseiden lukumäärää ja A(α,β) lauseiden α ja β yhteisten atomisten lauseiden lukumäärää. ällöin pätee A(α, β) #(α, β). Näin ollen väittämä tuli todistetuksi kaikille lauseille φ.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 17-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 19 Huomio. Disjunktio (α β) on tosi α on tosi tai β on tosi. Disjunktio (α β) on siis tosi myös silloin, kun sekä α että β ovat tosia. 2 Lauselogiikan semantiikka Voidaan määritellä myös poissulkeva disjuktio (α β), joka on epätosi molempien disjunktien ollessa tosia. Perustotuustaulukot Konnektiivien keskinäisestä määriteltävyydestä Lauselogiikan totuusmääritelmä Vaihtoehtoinen totuusmääritelmä: valuaatiot α β (α β) E E E E E E (α β) on tosi joko α on tosi tai β on tosi. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 18 2.1 Perustotuustaulukot -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 20 Perustotuustaulukot (jatkoa) Perustotuustaulukoilla määritellään eri muotoa olevien lauseiden totuusarvot alilauseidensa funktiona. α β (α β) α β (α β) α E ( α) E α β (α β) E E E E E E E α β (α β) E E E E E E E E E E E E E E E E (α β) on tosi α on epätosi tai β on tosi jos α on tosi, niin β on tosi. Huomio. Implikaatio ei edellytä syy-seuraus-suhdetta. Esim. otuustaulukot on helppo sisäistää muistisääntöjen avulla: esim. (α β) on tosi α on tosi ja β on tosi. A = Ruotsi sijaitsee Aasiassa, B = Joulupukki on olemassa. Lause (A B) on tosi, koska A on epätosi.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 21 Perustotuustaulukoiden avulla voidaan muodostaa totuustaulukko mille tahansa lauseelle (tai jopa lausejoukolle). Esimerkki. utkittava lause: ( B (A B)) Alilauseet: A,B, B,(A B),( B (A B)) otuustaulukossa on 2 2 = 4 riviä ja 5 saraketta. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 23 Konnektiivien tyypillisiä määritelmiä Konnektiiveja voidaan määritellä toistensa avulla esim. seuraavasti: 1. (α β) lauseena ( α β) A B B (A B) ( B (A B)) 2. (α β) lauseena ( α β) E E 3. (α β) lauseena (α β) tai lauseena (α β) E E E 4. (α β) lauseena ( α β) tai lauseena (α β) E E E E E 5. (α β) lauseena ((α β) (β α)) tai lauseena (( α β) (α β)) Muistathan, että jokaisessa lauseessa φ on korkeintaan niin monta alilausetta kuin lauseessa φ on atomisia lauseita ja konnektiiveja! = Kaikkia peruskonnektiiveista,,,, ei välttämättä tarvita. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 22 2.2 Konnektiivien keskinäisestä määriteltävyydestä Esimerkki. arkastellaan lauseille (α β) ja ( α β) muodostettua yhteistä totuustaulukkoa. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 24 Konnektiivien riittävyys arvittaessa voidaan rajoittua seuraaviin konnektiiveihin: α β α β α β α β ( α β) E E E E E E E ja riittävät muiden konnektiivien (,,, ) määrittelemiseen, ja riittävät myös, E E E E ja riittävät myös ja E E E E (aina epätosi lause) ja riittävät myös. Koska lauseiden α β ja ( α β) sarakkeissa on identtiset totuusarvot, lauseet ovat semantiikan kannalta samaistettavissa. = Lause α β voidaan (tarvittaessa) määritellä syntaktisena lyhennysmerkintänä lauseelle ( α β). Huomio. oistaiseksi käsitellyt konnektiivit eivät ole ainoat mahdolliset. Esimerkiksi binäärikonnektiiveja, jotka kytkevät kaksi lausetta α ja β lauseeksi α β, voidaan olennaisesti määritellä 2 (22) = 16 erilaista.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 25 Yksittäisten konnektiivien riittävyys/riittämättömyys Huomio. On myös konnektiiveja, jotka riittävät yksinään muiden määrittelemiseen: -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 27 otuusjakelu voidaan ymmärtää yhden asiaintilan kuvauksena. Esimerkki. (vrt. aikaisempi lamppuesimerkki) Peircen nuoli: (α β) (α β) A 1 = {P}: Patterissa on riittävästi varausta. Shefferin viiva: (α β) (α β) Esimerkki. Implikaatio ei riitä yksinään muiden konnektiivien kuten esimerkiksi negaation määrittelemiseen. arkastellaan lauseita φ, jotka on muodostettu käyttäen ainoastaan konnektiivia, atomista lausetta A ja sulkeita aakkosina. Voidaan osoittaa rakenteisella induktiolla, että lauseen φ totuustaulun sarake on identtinen joko lauseen A tai lauseen A A kanssa. A 2 = {L,K}: Kytkin ei ole suljettu. Lamppu ei pala. Patterissa ei ole riittävästi varausta. Lamppu palaa. Kytkin on suljettu. Näistä jälkimmäinen on mitä ilmeisimmin fyysisesti mahdoton, mutta kuitenkin loogisesti mahdollinen asiaintila. Näinollen mikään lauseista φ ei voi ilmaista lausetta A. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 26 2.3 Lauselogiikan totuusmääritelmä Määritelmä. otuusjakelua on atomisten lauseiden joukonp osajoukko. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 28 Määritelmä. Seuraavassa määritellään milloin mielivaltainen lause φ L on tosi totuusjakelussaa (merk.a = φ) ja milloin φ on epätosi totuusjakelussa A (merk. A = φ). Ajatuksena on, että 1.A = A A A (atomisille lauseille A P ). A :n atomiset lauseet ovat tosia, 2.A = α A = α. P A :n atomiset lauseet ovat epätosia. 3.A = α β A = α jaa = β. Huomioita. 4.A = α β A = α taia = β. JosP on äärellinen, erilaisia totuusjakeluja on 2 P kappaletta. 5.A = α β A = α taia = β. Jokainen totuusjakelu vastaa yhtä totuustaulukon riviä (ja kääntäen). 6.A = α β jokoa = α jaa = β, taia = α jaa = β. Huomio. Esim. kohdan 3 nojallaa = α β A = α taia = β.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 29 Esimerkki. OlkoonA = /0 totuusjakelu. otuusmääritelmän nojalla: A = A,A = B,A = B,A = A B jaa = B (A B). -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 31 3 Semanttiset peruskäsitteet Vertaa tätä laskelmaa kalvon 21 totuustaulukon viimeiseen riviin. Mallin käsite otuusmääritelmän seurauksia Väite. JosA P on totuusjakelu, niin kaikille lauseille φ L, joko A = φ taia = φ. Merkitään At(φ):llä φ:ssä esiintyvien atomisten lauseiden joukkoa. oteutuvuus Pätevyys Looginen seuraavuus Looginen ekvivalenssi Peruskäsitteiden väliset yhteydet Väite. OlkoonA 1 P jaa 2 P kaksi totuusjakelua ja φ L lause. Loogisten seurauksien ominaisuuksia JosA 1 At(φ) =A 2 At(φ), niina 1 = φ A 2 = φ. Nämä voidaan todistaa induktiolla φ:n rakenteen suhteen. ietämyksen esittämisestä -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 30 2.4 Vaihtoehtoinen totuusmääritelmä: valuaatiot -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 32 (ätä määritelmää käytetään Neroden ja Shoren kirjassa). 3.1 Mallin käsite Määritelmä. ValuaatioV on konnektiivien totuustaulukkoja noudattava funktio kielenl lauseiden joukolta joukolle {,E}. Valuaatioilla ja totuusjakeluilla on seuraava yhteys: 1. OlkoonV valuaatio jaa = {A P V(A) = }. ällöin kaikille lauseille φ L pätee: A = φ V (φ) =. 2. JosA on totuusjakelu, niin on olemassa yksikäsitteinen valuaatiov siten ettäa = {A P V(A) = }. Määritelmä. otuusjakelu A P on lauseen α L malli, joss lause α on tosia :ssa elia = α. Esimerkki. otuusjakeluta 1 = {A},A 2 = {B} jaa 3 = {A,B} ovat malleja lauseelle A B. Määritelmä. otuusjakelu A P on lausejoukon Σ L malli (merk. A = Σ), joss kaikille lausejoukon Σ lauseille σ Σ pätee A = σ. Näin ollen lausejoukon Σ lauseet tulkitaan konjunktiivisesti.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 33 Esimerkki. Olkoon P = {P, L, K}. Laaditaan lamppuesimerkin lausejoukolle Σ = { P L,P (L K)} L totuustaulukko: P L K P L P L L K P (L K) E E E E E E E -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 35 oteutuvuuden tutkiminen totuustaulukolla: muodostetaan α:lle (Σ:lle) totuustaulukko ja tarkastetaan onko α tosi (kaikki Σ:n lauseet tosia) jollakin rivillä. Esimerkki. Onko A A toteutuva? Onko A B toteutuva? E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Malleja on siis neljä erilaista vastaten järjestelmän sallittuja tiloja. A A A A E E E E Ei. A B B A B E E E E E E E Kyllä. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 34 3.2 oteutuvuus Määritelmä. Lause α L (tai lausejoukko Σ L ) on toteutuva, joss ainakin yksi totuusjakelua P on sen malli. Huomio. Koska lauseiden totuusarvot määräytyvät niissä esiintyvien atomisten lauseiden totuusarvoista, voimme rajoittua totuusjakeluihin A At(φ), missä At(φ) on lauseessa φ esiintyvien atomisten lauseiden joukko, tai totuusjakeluihin A At(Σ) = {At(σ) σ Σ} selvittäessämme lauseen φ tai lausejoukon Σ malleja. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 36 Esimerkki. (Rajoiteohjelmointi) arkastellaan oheisen kuvan mukaisen kartan värittämistä kolmella eri värillä siten, että vierekkäisillä alueilla on eri värit. Oheiset lauseet kuvaavat kolmiväritystä vastaavat rajoitteet. 4 3 1 2 Jokaiselle alueelle i värin valitsevat lauseet: P i V i S i, (P i V i ), (V i S i ) ja (S i P i ). Jokaiselle alueparille i, j (i < j) rajoitteet: (P i P j ), (V i V j ) ja (S i S j ). otuusarvojakeluja (mallikandidaatteja) on yhteensä 2 12 = 4096 kpl! oteutumattomalla lauseella/lausejoukolla ei ole yhtään mallia. oisaalta alueet voidaan värittää 3 4 = 81 eri tavalla. Lauseen toteutuvuuden selvittäminen on yksi keskeisimmistä logiikkaan liittyvistä laskennallisista ongelmista. ämä lausejoukko on toteutumaton = kolmiväritys on mahdoton. Muistanet, että neljä väriä riittää aina tasograafin värittämiseen.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 37 3.3 Pätevyys -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 39 3.4 Looginen seuraavuus Määritelmä. Lause α L on pätevä/tautologia (merkitään = α), jos A = α kaikille totuusjakeluille A P. Määritelmä. Lause α L on lausejoukon Σ L looginen seuraus (merkitään Σ = α), jos A = α kaikille lausejoukon Σ malleille A P. Esimerkki. Olkoon P = {A} ja L vastaava kieli. Lause A A on pätevä, koska A A on tosi totuusjakeluissaa 1 = {} jaa 2 = {A}. Esimerkki. A seuraa loogisesti lausejoukoista {A} ja {A A}. 1. JosA = {A}, niin välttämättäa = A, jolloin myösa = A. Vastamallit 2. Ei löydy totuusjakelua A siten, että A = {A A}. arkastellaan mielivaltaista lausetta φ L. Jos φ on pätevä, A = φ kaikille totuusjakeluille A P. Jos φ ei ole pätevä, löytyy totuusjakelua siten, ettäa = φ. Jälkimmäisessä tapauksessa kutsumme totuusjakeluaa vastamalliksi (tai vastaesimerkiksi) lauseen φ pätevyydelle. Käytämme vastamallin käsitettä myös loogisen seuraavuuden yhteydessä. Jos Σ = φ, lausejoukolla Σ on mallia siten, muttaa = φ. Esimerkki. {A, B A} = B, koska löytyy vastamalli A = {A} siten, ettäa = {A,B A} jaa = B. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 38 Pätevyyden tutkiminen totuustaulukolla: muodostetaan α:lle totuustaulukko ja tarkistetaan, että α on tosi jokaisella rivillä. Esimerkki. Onko A B A pätevä? A B A B A B A Onko A B A pätevä? A B A B A B A -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 40 Loogisen seuraavuuden tutkiminen totuustaulukolla: muodostetaan lausejoukolle Σ {α} totuustaulukko, todetaan rivit, joilla kaikki Σ:n lauseet ovat tosia (Σ:n mallit) ja tarkistetaan, että α on näillä riveillä tosi. Esimerkki. odetaan {A,(A D)} = D ja {(A B)} = B vastaavista totuustaulukoista: E E E E E E E Kyllä. E E E E E E Ei. A D (A D) E E E E E A B (A B) E E E E E

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 41 Huomio. Kaikille lausejoukoille Σ pätee Σ = A A. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 43 Lauseiden loogisen ekvivalenssin selvittäminen: Esimerkki. utkitaan, onko lause L K looginen seuraus lamppuesimerkin lausejoukolle Σ = {P (L K), P L}. On. muodostetaan lauseille α ja β yhteinen totuustaulukko ja tarkastetaan, että α:lla ja β:lla on sama totuusarvo jokaisella rivillä. P L K P L P L L K P (L K) L K E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Esimerkki. Ovatko lauseet A B ja B A loogisesti ekvivalentit? A B A B A B B A E E E E E E E E E E Kyllä. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 42 3.5 Looginen ekvivalenssi -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 44 Esimerkki. Palataan johdannon esimerkkiin, jossa ongelmana oli selvittää laskevatko seuraavat kombinatoriset piirit samat funktiot: Määritelmä. Lauseet α L ja β L ovat loogisesti ekvivalentteja (α β), jossa = α A = β kaikille totuusjakeluillea P. Esimerkki. A ja A ovat loogisesti ekvivalentit, koska näillä on sama totuusarvo kaikissa totuusjakeluissa. Väite. Lauseet α L ja β L ovat loogisesti ekvivalentit, joss niillä on täsmälleen samat mallita P. A B C A B C Piirit voidaan esittää lauselogiikalla seuraavina lauseina φ = A (B C) ja ψ = (A ( B C)).

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 45 Esimerkki. Ratkaistaan ongelma osoittamalla, että piirejä vastaavat lauseet ovat loogisesti ekvivalentit. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 47 Esimerkki. Kirjoitetaan lamppuesimerkin järjestelmälle vaihtoehtoinen määritelmä Σ = {L P,P L K,P K L}. A B C A B C B C φ B C A ( B C) ψ E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Koska lauseita φ ja ψ vastaavat sarakkeet ovat identtiset, ne ovat loogiseseti ekvivalentit. ästä seuraa, että piirit laskevat samat funktiot. P L K L P P L P L K P K P K L E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E = Σ Σ, koska mallit ovat samat kuin alkuperäisellä määritelmällä Σ. E E E -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 46 Määritelmä. Lausejoukot Σ 1 L ja Σ 2 L ovat loogisesti ekvivalentit (merk. Σ 1 Σ 2 ), joss kaikille totuusjakeluillea P pätee seuraavaa: -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 48 3.6 Peruskäsitteiden väliset yhteydet A = σ 1 kaikille σ 1 Σ 1 A = σ 2 kaikille σ 2 Σ 2. Väite. Lausejoukot Σ 1 L ja Σ 2 L ovat loogisesti ekvivalentit, mikäli niillä on täsmälleen samat mallita P. OlkoonL atomisten lauseiden joukkoonp perustuva kieli. arkastellaan jatkossa tämän kielen lauseita. Lausejoukkojen loogisen ekvivalenssin selvittäminen: joko Looginen ekvivalenssi liittyy läheisesti pätevyyteen: todetaan, ettäa = Σ 2 kaikille lausejoukon Σ 1 malleillea ja α β = α β. todetaan, ettäa = Σ 1 kaikille lausejoukon Σ 2 malleillea, tai vaihtoehtoisesti todetaan, että Σ 1 = σ 2 kaikille lauseille σ 2 Σ 2 ja todetaan, että Σ 2 = σ 1 kaikille lauseille σ 1 Σ 1. odistus. α β A P s.e.a = α jaa = β, taia = α jaa = β A P s.e.a = α β = α β.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 49 Pätevyydellä ja loogisella seuraavuudella on kiinteät yhteydet. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 51 3.7 Loogisten seurauksien ominaisuuksia = α /0 = α. Seuraa helposti, koska kaikki totuusjakeluta P ovat tyhjän lausejoukon /0 malleja. Väite. (Kompaktius). Jos Σ = φ, niin on olemassa äärellinen osajoukko Σ Σ siten, että Σ = φ. odistus. Sivuutetaan. {φ 1,...,φ n } = φ = φ 1 φ n φ. odistus. {φ 1,...,φ n } = φ A P s.e.a on {φ 1,...,φ n }:n malli jaa = φ A P s.e. i {1,...,n} :A = φ i jaa = φ A P s.e.a = φ 1 φ n jaa = φ A P s.e.a = φ 1 φ n φ = φ 1 φ n φ. Määritelmä. Lausejoukon Σ L loogisten seurausten joukko on Cn(Σ) = {φ L Σ = φ}. Loogisten seurauksien joukolla Cn(Σ) on seuraavat perusominaisuudet: Σ Cn(Σ). Monotonisuus: Σ 1 Σ 2 = Cn(Σ 1 ) Cn(Σ 2 ). Cn(Cn(Σ)) = Cn(Σ). Σ Cn(Σ). -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 50 Pätevyyden ja loogisen seuraavuuden yhteys toteutuvuuteen: = α α on toteutumaton. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 52 Lisähuomioita loogisesta seuraavuudesta Jos Σ = φ, niin Cn(Σ) = Cn(Σ {φ}). odistus. Erikoistapaus seuraavasta. Σ = α Σ { α} on toteutumaton. odistus. Σ = α A P s.e.a = Σ jaa = α A P s.e.a = Σ { α} Σ { α} on toteutuva Σ { α} ei ole toteutumaton. Edellä esitetyt yhteydet mahdollistavat lauselogiikan päättelyongelmien väliset muunnokset. Esim. loogisen ekvivalenssin, pätevyyden ja loogisen seuraavuuden tutkiminen voidaan palauttaa toteutuvuuden tutkimiseen. Jos tavoitteena on lausejoukon koon minimointi, lausejoukon loogisia seurauksia ei siis kannata lisätä lausejoukkoon! Oletetaan, että Σ = φ ja että lausejoukko Σ halutaan laajentaa lausejoukoksi Σ siten, että Σ Σ ja Σ = φ. Apuna voidaan käyttää vastamallia/vastamallejaa, joillea = Σ ja A = φ: lausejoukkoon Σ lisättävän lauseen ψ tulisi sulkea pois vastamalli/vastamallejaa, ts.a = ψ. Lause φ toteuttaa myös tämän vaatimuksen, mutta lausetta φ ei välttämättä haluta liittää eksplisiittiseen tietämykseen. Esimerkki. Lamppuesimerkissä Σ = {P L K,P K L}, lause φ = L K, vastamallia = {L} ja lisättävä lause ψ = L P.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 53 3.8 ietämyksen esittämisestä -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 55 Jokainen lausejoukko Σ määrittää joukon malleja, eli totuusjakeluja A, joissa lausejoukon kaikki lauseet ovat tosia. Esimerkki. Lamppuesimerkin lausejoukolla Σ = { P L,P (L K)} L 4 Semanttinen taulu Konnektiivikohtaiset taulusäännöt on mallita 1 = {P,L,K},A 2 = {P},A 3 = {K} jaa 4 = {}. Semanttisen taulun määritelmä Lausejoukon Σ mallit puolestaan määräävät lausejoukon loogisten seurauksien joukon Cn(Σ). Esimerkki. Lamppuesimerkissä lausejoukon Σ loogisten seurausten joukko on Cn(Σ) = { L K,L P K, P P,...}. aulumenetelmän ominaisuuksia Loogisten ongelmien ratkominen taulumenetelmällä Esimerkkejä Atomisten lauseiden joukkoonp perustuvia lausejoukkoja Σ L voidaan olennaisesti määritellä 2 2 P erilaista. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 54 ietämyksen esittäminen: ongelmana rajata mallien joukko sopivat lauseet valitsemalla siten, että saadaan halutut loogiset seuraukset. Lähtökohtana olevan tyhjän lausejoukon /0 malleja ovat kaikki totuusjakelut. äten Cn(/0) on itse asiassa pätevien lauseiden joukko. Lauseiden lisääminen karsii mahdollisesti mallien joukkoa ja kasvattaa loogisten seurausten joukkoa (monotonisuus). oisessa ääripäässä lausejoukko Σ voi tulla ristiriitaiseksi, jolloin sillä ei ole yhtään mallia ja kaikki lauseet ovat tällöin lausejoukon loogisia seurauksia (eli Cn(Σ) = L ). Huomio. Kaikille lausejoukoille Σ pätee Cn(/0) Cn(Σ). Esimerkki. Lamppuesimerkissä Σ = L K, mutta lauseen P lisäämisestä seuraa Σ {P} = L K. Sen sijaan lausejoukko Σ {K P, L} on ristiriitainen/toteutumaton. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 56 4.1 Konnektiivikohtaiset taulusäännöt otuustaulukkoja käytetään lauseen φ totuusarvon laskemiseen, kun annettuna on atomisten lauseiden A At(φ) totuusarvot. Semanttisissa tauluissa idea on käänteinen: määrätään lauseen φ alilauseiden (ja lopulta atomisten lauseiden A At(φ)) totuusarvoja lähtien liikkeelle lauseen φ totuusarvosta (tosi tai epätosi). Esimerkki. Verrataan konjunktion totuustaulukkoa ja taulusääntöjä: α β (α β) E E E E E E E (α β) α β E(α β) Eα Eβ

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 57 Konnektiivien,, ja taulusäännöt ovat seuraavat: α (α β) (α β) (α β) -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 59 Ketjukonjunktioille ja -disjunktioille voidaan johtaa seuraavat säännöt: (α 1... α n ) (α 1... α n ) Eα α β α β Eα β α 1. α 1... α n α n E α E(α β) E(α β) E(α β) E(α 1... α n ) E(α 1... α n ) α Eα Eβ Eα Eβ α Eβ Eα 1... Eα n Eα 1. Ajatuksena on, että jokaiselle juurisolmusta lehtisolmuun johtavalle polulle kirjatut totuusarvovaatimukset ovat yhtäaikaa voimassa. Eα n Huomio. Jatkossa nämä ymmärretään lyhennysmerkintöinä! -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 58 Konnektiivien ja taulusäännöt ovat seuraavat: (α β) (α β) α Eβ Eα β α β Eα Eβ -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 60 aulusäännön instantiointi Esimerkki. arkastellaan lausetta ( A C D) A B: Lause on muodoltaan implikaatio α β, missä ehtona on lause α = A C D ja seurauksena lause β = A B. Korvataan α ja β kyseisillä lauseilla implikaation säännössä: E(α β) α β Eα Eβ E(α β) Huomio. Näistä taulusäännöistä voi todeta konnektiivien ja väliset suhteet: α β α β α β (α β). α Eβ Eα β (α β) Eα β (( A C D) A B) E( A C D) (A B) Huomio. Jatkossa on olennaista osata tunnistaa, mitä muotoa mikin lause on, koska taulusäännön valinta suoritetaan tällä perusteella.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 61 4.2 Semanttisen taulun määritelmä -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 63 Esimerkki. Muodostetaan semanttinen taulu lähtien liikkeelle juurisolmusta E(A B A B). Edellä määriteltiin jokaiselle lausetyypille omat taulusääntönsä. Yksittäinen taulusääntö tuottaa totuusarvovaatimuksia alilauseille lauseen totuusarvosta lähtien. 1. E(A B A B) 2. (A B) 1. Näitä vaatimuksia voidaan analysoida taulusäännöillä rekursiivisesti, kunnes saadaan atomisia lauseita koskevia totuusarvovaatimuksia. Seuraavaksi määriteltävät semanttiset taulut ovat rakenteeltaan puita, joiden 4. A 2. 5. EA 3. 5. EB 3. 3. E(A B) 1. 4. B 2. 5. EA 3. 5. EB 3. 1. solmujen asteluku on enintään kaksi ja 2. solmuina on muotoa φ ja Eφ olevia lausekkeita, jotka tulkitaan totuusarvovaatimuksiksi asianomaisille lauseille φ. Semanttisen taulun solmut on numeroitu luettavuuden parantamiseksi. Poluille lisättävät solmut numeroidaan juoksevasti. Yläindeksinä oleva numero kertoo, monennestako asianomaisen polun solmusta kyseinen solmu on saatu taulusääntöä soveltamalla. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 62 Määritelmä. Semanttinen taulu muodostetaan seuraavilla periaatteilla: Jokainen yksisolmuinen puu, jonka ainoana solmuna on juurisolmu φ tai Eφ, on semanttinen taulu. Monimutkaisempia tauluja muodostetaan seuraavalla tavalla: Olkoon τ semanttinen taulu. Jos P on jokin τ:n polku juurisolmusta lehtisolmuun, φ (Eφ) jokin τ:n solmu polulla P ja τ saadaan τ:sta liittämällä φ:n (Eφ:n) taulusääntö ilman juurisolmua polun P jatkoksi, niin τ on myöskin semanttinen taulu. τ P φ -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 64 Määritelmä. Olkoon τ semanttinen taulu, P polku juurisolmusta lehtisolmuun taulussa τ ja φ (Eφ) polun P solmu. 1. Solmu φ (Eφ) on hajoitettu polulla P, jos (a) φ on atominen lause, tai (b) solmun φ (Eφ) taulusäännön jonkun polun P jokainen solmu on polulla P. 2. Polku P on ristiriitainen, jos sillä esiintyy sekä α että Eα jollekin lauseelle α (tämän merkiksi kirjoitetaan usein polun loppuun). 3. Polku P on valmis, jos se on ristiriitainen tai jokainen sen solmuista on hajoitettu polulla P. 4. aulu τ on valmis, jos jokainen sen poluista on valmis. 5. aulu τ on ristiriitainen, jos jokainen sen poluista on ristiriitainen.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 65 Esimerkki. Palataan edelliseen esimerkkiin. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 67 aulumenetelmän virheettömyys 4. A 2. 1. E(A B A B) 2. (A B) 1. 3. E(A B) 1. 4. B 2. Olkoon φ L mikä tahansa lause ja τ juurisolmusta φ (Eφ) muodostettu valmis semanttinen taulu. Väite. Jos semanttisessa taulussa τ on ei-ristiriitainen polku P, niin A P ja A = φ (A = φ) jokaiselle totuusjakelulle A P joka täyttää seuraavat vaatimukset kaikille atomisille lauseille A P: jos A esiintyy polulla P, niin A A, ja 5. EA 3. 5. EB 3. 5. EA 3. 5. EB 3. aulun reunimmaiset polut ovat ristiriitaiset. Kaikki taulun polut ovat valmiita. aulu on valmis, muttei ristiriitainen. jos EA esiintyy polulla P, niin A A. odistus. Olkoon P mikä tahansa taulun τ ei-ristiriitainen polku jaa totuusjakelu, joka täyttää edellä mainitut vaatimukset atomisille lauseille. Polku P on valmis, koska taulu τ on valmis. odistetaana P induktiolla polun P solmujen rakenteen suhteen. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 66 4.3 aulumenetelmän ominaisuuksia Olkoon φ atomisten lauseiden joukkoonp perustuvan kielenl lause. Semanttisella taululla voidaan ratkaista seuraava looginen ongelma: onko olemassa totuusjakelua A P siten, että A = φ (A = φ)? odistamme jatkossa seuraavan ominaisuuden: Väite. Olkoon φ L mikä tahansa lause. Juurisolmusta φ (Eφ) muodostetussa valmiissa semanttisessa taulussa on ei-ristiriitainen polku, jos ja vain jos A = φ (A = φ) jollekin totuusjakelulle A P. Määritelmä. Semanttisen taulun τ polku P on yhteensopiva totuusjakeluna kanssa (merkitääna P), jos ja vain jos -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 68 Perustapaus: A P (EA P), missä A on P :n atominen lause. otuusjakelulle A asetettujen ehtojen perusteella A = A (A = A). Induktioaskel: Käydään läpi kaikki tapaukset (α β) P, E(α β) P, (α β) P, E(α β) P, (α β) P,... E(α β) P, jolloin α P ja Eβ P, koska P on valmis. Induktio-oletuksella A = α ja A = β. otuusmääritelmän perusteella tällöin A = α β. (α β) P, jolloin Eα P tai β P, koska P on valmis. Induktio-oletuksellaA = α jos Eα P, taia = β jos β P. otuusmääritelmän perusteella tällöin A = α β. 1. A = α jokaiselle polun P solmulle α, ja Muut tapaukset käsitellään samaan tapaan. 2. A = β jokaiselle polun P solmulle Eβ. KoskaA P ja φ P (Eφ P), niina = φ (A = φ).

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 69 Esimerkki. arkastellaan joukkoon P = {A, B} perustuvan kielen L lausetta (A B) (A B) sekä seuraavaa valmista semanttista taulua: E((A B) (A B)) -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 71 Induktioaskel: taulu τ saadaan taulusta τ soveltamalla taulusääntöä τ :n polun P solmuun γ tai Eγ (jollekin lauseelle γ). Induktio-oletuksen nojalla τ :ssa polku P siten, ettäa P. E(A B) EA EB E(A B) Ei-ristiriitaisia polkuja on kolme P 1, P 2 ja P 3 (vasemmalta oikealle). Sama totuusjakelu voi olla yhteensopiva usean ei-ristiriitaisen polun kanssa. Esimerkissä totuusjakelullea 1 = /0 päteea 1 P 1 jaa 1 P 2. Yhteensopivia totuusjakeluja voi olla myös useita (A 1 P 2 jaa 2 P 2, missäa 2 = {A}) tai näitä voi olla myös täsmälleen yksi (A 2 P 3 ). A EB Jos P P, niin P myös taulun τ polku. Jos P = P, niina P ja päädymme tapausanalyysiin: γ = α ja ( α) P: = A = α (koska A P) ja Eα lisätään P:n jatkoksi = A = α ja syntyvä τ:n polku on yhteensopivaa :n kanssa. γ = α ja E( α) P: = A = α (koska A P) ja solmu α lisätään P:n jatkoksi. = A = α ja syntyvä τ:n polku on yhteensopivaa :n kanssa. Muut tapaukset (vaihtoehdot lauseeksi γ) käsitellään vastaavasti. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 70 aulumenetelmän täydellisyys Olkoon φ L mikä tahansa lause ja τ juurisolmusta φ (Eφ) muodostettu (ei välttämättä valmis) semanttinen taulu. Väite. Jos A = φ (A = φ) jossain totuusjakelussa A P, niin semanttisessa taulussa τ on ei-ristiriitainen polku P siten, ettäa P. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 72 Edellä osoitettu taulumenetelmän ominaisuus voidaan todeta seuraavasta esimerkistä. Esimerkki. otuusjakelu A = {B} on yhteensopiva allaolevan semanttisen taulun oikeanpuoleisen polun kanssa. E((A B) A) odistus. Oletetaan A = φ (A = φ) jollekin totuusjakelulle A P. Käytetään induktiota semanttisen taulun τ rakenteen suhteen (vrt. semanttisen taulun induktiivinen määritelmä). (A B) EA Perustapaus: taulu τ koostuu ainoastaan juurisolmusta φ (Eφ). ällöin ainoa mahdollinen polku P juurisolmusta φ (Eφ) itseensä toteuttaa vaatimuksena P, koska φ (Eφ) on polun ainoa solmu. A B ätena = (A B) A,A = A B,A = A jaa = B.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 73 4.4 Loogisten ongelmien ratkominen taulumenetelmällä -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 75 Lausejoukon toteutuvuuden tutkiminen Lauseen toteutuvuuden tutkiminen Lause φ L on toteutuva totuusjakelua P s.e.a = φ juurisolmusta φ muodostetussa valmiissa semanttisessa taulussa on ainakin yksi ei-ristiriitainen polku P. Jokaisesta ei-ristiriitaisesta polusta P voidaan konstruoida lauseelle φ mallejaa seuraavasti. Jos atomiselle lauseelle A P pätee A P, niin A A EA P, niin A A A P ja EA P, niin voidaan valita joko A A tai A A. Äärellinen lausejoukko Σ = {φ 1,...,φ n } L on toteutuva lause φ 1 φ n L on toteutuva juurisolmusta (φ 1 φ n ) muodostetussa valmiissa semanttisessa taulussa on ainakin yksi ei-ristiriitainen polku P. Lausejoukolle voidaan konstruoida malleja samaan tapaan kuin yksittäisen lauseen tapauksessa. Käytännössä juurisolmu (φ 1 φ n ) voidaan jättää kirjoittamatta näkyviin tilan säästämiseksi ja taulun juureen voidaan kirjata samalle polulle solmut φ 1,..., φ n. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 74 Esimerkki. utkitaan lauseen A B A toteutuvuutta. 1. ((A B) A) 2. E(A B) 1. 2. A 1. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 76 Lauseen pätevyyden tutkiminen = φ φ on toteutumaton juurisolmusta φ muodostettu valmis semanttinen 3. EA 2. 4. EB 2. taulu on ristiriitainen juurisolmusta Eφ muodostettu valmis semanttinen taulu on ristiriitainen. Ei-ristiriitaisista poluista voidaan muodostaa lauseelle mallita 1 = {}, A 2 = {A} jaa 3 = {A,B}. Huomio. Mallien lukumäärä voi kasvaa eksponentiaalisesti lauseen pituuteen nähden (esim. lause (A 1 B 1 )... (A n B n )), joten kaikkien mallien ylöskirjaaminen ei välttämättä ole tilasyistä mielekästä. äten taulumenetelmästä saadaan lauselogiikalle todistusmenetelmä. Määritelmä. aulu τ on lauseen φ todistus, jos taulun τ juurisolmuna on Eφ ja τ on ristiriitainen (ja siten myös valmis). Jos lauseella φ on todistus, φ:tä sanotaan teoreemaksi/todistuvaksi (merk. φ).

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 77 Esimerkki. Osoitetaan lause A B A B teoreemaksi: -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 79 Loogisen seuraavuuden tutkiminen 1. E(A B A B) 2. (A B) 1. {φ 1,...,φ n } = φ = φ 1 φ n φ juurisolmusta E(φ 1 φ n φ) muodostettu 3. E(A B) 1. valmis semanttinen taulu on ristiriitainen. 4. A 2. 5. B 2. Jos juurisolmusta E(φ 1 φ n φ) muodostettuun valmiiseen semanttiseen tauluun jää ei-ristiriitaisia polkuja, näistä voidaan konstruoida vastamallejaa siten, ettäa = {φ 1,...,φ n } jaa = φ. 6. EA 3. 7. EB 3. Käytännössä taulun juureen tulevat solmut E(φ 1 φ n φ) ja (φ 1 φ n ) voidaan jättää kirjoittamatta näkyviin, ja taulu aloitetaan totuusarvovaatimuksilla Eφ ja φ 1,,..., φ n kirjattuina samalle polulle. ämä voidaan nähdä vastamallin spesifikaationa. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 78 odistusmenetelmän virheettömyys ja täydellisyys -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 80 odistusmenetelmä M on Johdettavuus lausejoukosta virheetön, jos lauseen φ todistettavuudesta menetelmällä M ( M φ) seuraa lauseen φ pätevyys ( = φ). täydellinen, jos lauseen φ pätevyydestä ( = φ) seuraa lauseen todistettavuus menetelmällä M ( M φ) Määritelmä. Lause φ on johdettavissa äärellisestä lausejoukosta Σ = {φ 1,...,φ n } (merkitään Σ φ), joss juurisolmusta E(φ 1 φ n φ) muodostettu valmis semanttinen taulu on ristiriitainen. Huomioita. Edellä määritelty semanttiseen tauluun perustuva todistusmenetelmä on virheetön ja täydellinen, koska φ = φ. Huomio. Semanttisiin tauluihin perustuva menetelmä poikkeaa melkoisesti klassisista todistusjärjestelmistä, joissa pätevät lauseet tuotetaan syntaktisesti aksiomien ja päättelysääntöjen avulla. Σ φ Σ = φ. Semanttisiin tauluihin perustuva todistusmenetelmä on täten virheetön ja täydellinen myös tutkittaessa loogista seuraavuutta.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 81 Loogisen ekvivalenssin tutkiminen Lauseet φ ja ψ ovat loogisesti ekvivalentit = φ ψ juurisolmusta E(φ ψ) muodostettu valmis semanttinen taulu on ristiriitainen. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 83 Esimerkki. arkastellaan alla annettua polkua eräässä keskeneräisessä semanttisessa taulussa:. 5. A 6. E(B C) Äärellisten lausejoukkojen Σ 1 ja Σ 2 loogisen ekvivalenssin toteaminen edellyttää mahdollisesti usean semanttisen taulun konstruointia: 1. Jokaiselle σ 1 Σ 1 tulee osoittaa Σ 2 = σ 1. 2. Jokaiselle σ 2 Σ 2 tulee osoittaa Σ 1 = σ 2. Esimerkki. otea lamppuesimerkissä laadittujen spesifikaatioiden Σ = { P L,P (L K)} ja Σ = {L P,P L K,P K L} välinen ekvivalenssi käyttämällä semanttista taulua! 7. (A B) 8. E(A C) Solmun 6 käsittely lienee paras vaihtoehto (taulu ei haaraudu). Solmu 8 olisi seuraavaksi paras vaihtoehto, koska syntyvistä poluista toinen (jolle kirjataan solmu EA) on suoraan ristiriitainen. Solmun 7 käsittely haarauttaa taulun. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 82 Ohjeita semanttisten taulujen laadintaan: aulun solmussa φ (tai Eφ) olevan lauseen φ rakenne määrää, mitä taulusääntöä käytetään: esim. implikaation φ = α β käsittely. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 84 4.5 Esimerkkejä Boolen funktioiden ja lauselogiikan yhteys Polun laajentaminen voidaan lopettaa ristiriidan ilmentymiseen. Solmujen hajoittamisjärjestyksellä voi usein vaikuttaa taulun kokoon. aulun koon kasvua kannattaa välttää esim. seuraavilla periaatteilla. 1. Hajoitetaan ensisijaisesti solmuja, jotka eivät haarauta taulua. 2. Hajoitetaan toissijaisesti jäljelle jääviä solmuja, joista syntyvät totuusarvovaatimukset johtavat (välittömään) ristiriitaan. Mikä tahansa Boolen funktio f : {0,1} n {0,1} voidaan esittää lauselogiikan lauseena: Arvoja 0 ja 1 vastaavat totuusarvot E ja Boolen muuttuja a (jolla arvona 0 tai 1) esitetään atomisena lauseena A (jolla totuusarvo E tai ) Komplementti esitetään negaation avulla 3. ämän jälkeen hajoitetaan muita (taulua haarauttavia) solmuja. ulo ja summa + esitetään konjunktion ja disjunktion avulla. Kaikkia lauseita koskevat totuusarvovaatimukset eivät välttämättä ole tarpeen ristiriidan aikaansaamiseen (edes tietyllä polulla)! Esimerkki. Funktiolle f(a,b,c) = a b+c saadaan näillä periaatteilla esitys (A B) C.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 85 Väite. Olkoon f boolen funktio ja lause φ sitä vastaava esitys: funktion f arvon laskeminen tietyillä muuttujien arvoilla vastaa lauseen φ totuusarvon laskentaa vastaavassa totuusjakelussa. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 87 Esimerkki. Mallinnetaan yksinkertaistettua hissijärjestelmää lauselogiikalla: Esimerkki. Jos a = 0, b = 0 ja c = 1, niin vastaava totuusjakelu ona = {C}. Aikaisemmalle esimerkille f(0,0,1) = 0 0+1 = 0 1+1 = 0+1 = 1 ja vastaavastia = (A B) C. Atomiset lauseet: Esimerkki. A i : kerroksen i ovi on auki ja K i : hissi on kerroksessa i, Jos haluamme osoittaa, että kaksi Boolen funktiota f ja f ovat samat, riittää, että toteamme lause-esitysten φ ja φ loogisen ekvivalenssin (φ φ = φ φ ). A B C A B C missä i = 1 tai i = 2. Kuvataan lauselogiikalla järjestelmän sallitut tilat (eli haetaan lausejoukko Σ, jonka mallit vastaavat sallittuja tiloja). -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 86 1. E( A (B C) (A ( B C))) 2. ( A (B C)) 2. E( A (B C)) -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 88 yhjällä lausejoukolla /0 on 2 4 = 16 mallia, kuten esimerkiksi A = {K 1,K 2,A 1,A 2 }. 3. E (A ( B C)) 4. A 5. (B C) 3. (A ( B C)) 4. E(A ( B C)) 5. EA ämä vastaa järjestelmän tilaa, jossa hissi on yhtäaikaa molemmissa kerroksissa ja molemmat ovet ovat auki. ämän pitäisi olla mahdotonta, joten tarvitaan lisää lauseita (rajoitteita). 6. EA 7. (A ( B C)) 7. E A 6. E( B C) 7. E(B C) Fyysisen maailman asettama rajoitus: K 1 K 2 (huomaa, että edellä annettua ei ole tämän lauseen malli). 8. A 8. ( B C) 9. B 10. C 11. EB 12. EC 8. A 10. E B 11. B 8. EB 9. EC 10. E C 11. C Emme kuitenkaan halua asettaa vaatimusta K 1 K 2 (hissi voi olla matkalla kerrosten välillä). Oville asetettavat turvallisuusvaatimukset: A 1 K 1 ja A 2 K 2. Järjestelmälle saadaan spesifikaatioksi lausejoukko 13. B 13. C Σ = { K 1 K 2,A 1 K 1,A 2 K 2 }.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 89 Etsitään spesifikaation mallit semanttisen taulun avulla. 1. ( K 1 K 2 ) -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 91 2. (A 1 K 1 ) 6. EA 1 2. 4. K 1 1. 5. EK 1 4. 7. EA 2 3. 7. K 2 3. 6. K 1 2. 3. (A 2 K 2 ) 6. EA 2 3. 4. K 2 1. 5. EK 2 4. 7. EA 1 2. 7. K 1 2. 6. K 2 3. 5 Vaihtoehtoisia todistusjärjestelmiä Hilbertin järjestelmä Suppesin järjestelmä Järjestelmien välistä vertailua aulun ei-ristiriitaisista haaroista voidaan muodostaa lausejoukolle viisi erilaista mallia, jotka vastaavat järjestelmän sallittuja tiloja: A 1 = /0,A 2 = {K 1 },A 3 = {K 1,A 1 },A 4 = {K 2 } jaa 5 = {K 2,A 2 }. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 90 Voimme myös osoittaa, että hissin molemmat ovet eivät voi olla yhtäaikaisesti auki (turvallisuusominaisuus): Σ = (A 1 A 2 ). 8.EA 1 3. 1. E (A 1 A 2 ) 2. ( K 1 K 2 ) 3. (A 1 K 1 ) 4. (A 2 K 2 ) 5. (A 1 A 2 ) 1. 6. A 1 5. 7. A 2 5. 9.EA 2 4. 8. K 1 3. 10. K 1 2. 9. K 2 4. 10. K 2 2. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 92 5.1 Hilbertin järjestelmä Hilbertin järjestelmä perustuu seuraaviin aksiomiin ja päättelysääntöön: Aksiomat: 1. α (β α) 2. (α (β γ)) ((α β) (α γ)) 3. ( β α) (( β α) β) Päättelysääntö: α β α (modus ponens) β 11.EK 1 10. 11.EK 2 10.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 93 Ajatuksena on, että pätevät lauseet pystytään tuottamaan syntaktisesti aksiomien instansseina (valisemalla α, β ja γ sopivasti) tai modus ponens -päättelysääntöä soveltamalla. Hilbertin järjestelmässä negaatio ja implikaatio ovat peruskonnektiiveina. Huomio. Muut lauselogiikan peruskonnektiivit ovat lausuttavissa negaation ja implikaation avulla seuraavasti: α β α β α β, α β (α β) ( α β) (α β) ja α β (α β) (β α) ((α β) (β α)). -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 95 Esimerkki. Osoitetaan {A,B (A C)} H B C. 1. A olettamus 2. B (A C) olettamus 3. A (B A) aksioma 1 4. B A MP, 1, 3 5. (B (A C)) ((B A) (B C)) aksioma 2 6. (B A) (B C) MP, 2, 5 7. B C MP, 4, 6-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 94 Määritelmä. Olkoon Σ joukko lauseita. odistus lausejoukosta Σ on jono lauseita α 1,...,α n siten, että kaikille i {1,...,n} pätee jokin seuraavista α i Σ, α i on aksioman instanssi tai α i on saatu modus ponensilla lauseista α j, missä j < i ja α k = (α j α i ), missä k < i. Määritelmä. Lause α on johdettavissa lausejoukosta Σ Hilbert-järjestelmällä (merk. Σ H α), joss on olemassa todistus α 1,...,α n lausejoukosta Σ siten, että α = α n. Määritelmä. Lause α on teoreema/todistuva Hilbert-järjestelmässä (merk. H α), joss /0 H α -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 96 Väite. Olkoon lausejono α 1,...,α n todistus lausejoukosta Σ Hilbertin järjestelmässä. ällöin Σ = α i kaikille i {1,...,n}. odistus. Käytetään induktiota i:n suhteen. Perustapaus: i = 1 1. α 1 on instanssi jostain kolmesta aksiomasta = = α 1 (voidaan osoittaa esim. semanttisilla tauluilla) = Σ = α 1 (loogisen seurausrelaation ominaisuudet). 2. α 1 Σ = Σ = α 1 (loogisen seurausrelaation ominaisuudet). Induktioaskel: i > 1 apaukset missä lausejonon jäsen α i on jonkin aksioman instanssi tai α i Σ käsitellään kuten edellä.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 97 Induktioaskel jatkuu: Jos α i saatiin modus ponensilla lauseista α j ja α k = (α j α i ), missä j < i ja k < i, niin induktiohypoteesin nojalla saadaan Σ = α j ja Σ = α j α i. Oletetaan Σ = α i = totuusjakelua s.e.a = Σ jaa = α i = A = α j (koska Σ = α j α i = A = α j α i ) = Σ = α j, ristiriita. Siis Σ = α i. Hilbertin järjestelmä on virheetön ja täydellinen. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 99 uonti- ja eliminointisäännöt: KN: KNE: α α α α K: KE: α β α β α β α β D: DE: α α β β α α α α E: α β β α α β EE: α β α β β α Väite. Jos Σ H α, niin Σ = α (todistettiin edellä). Jos Σ = α, niin Σ H α (todistus sivuutetaan). Huomio. Implikaation eliminointi tapahtuu päättelysäännöillä MP, tai ES ja tuonti päättelysäännöillä E ja HS (kts. myös seuraava kalvo). -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 98 5.2 Suppesin järjestelmä -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 100 DM 1: DM 2: DM 3: DM 4: Suppesin luonnollisen päättelyn järjestelmässä ei ole aksiomia ja päättelysäännöt ovat seuraavat: MP (modus ponens): α β α β P (modus tollendo ponens): α β α β (modus tollendo tollens): α β β α Vaihtosäännöt: KV: α β β α DV: α β β α α β ( α β) (α β) α β HS: α β β γ α γ E (ehdollinen todistaminen): [α] (1). β α β α β ( α β) (α β) α β DS: α β α γ β δ γ δ ES (epäsuora todistaminen): β α α β (1) Apuolettamus α merkitään hakasuluilla perutuksi, kun johtopäätös α β on tehty.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 101 Määritelmä. Suppes-todistus lausejoukosta Σ on jono lauseita α 1,...,α n, joihin liittyy apuolettamusten joukot H 0 = /0 ja H 1,...,H n siten, että kaikille i {1,..., n} pätee jokin seuraavista: H i = H i 1 ja α i Σ. H i = H i 1 {α i } ja α i on uusi apuolettamus α i H i 1. H i = H i 1 ja α i on saatu jollain Suppes-järjestelmän päättelysäännöllä (paitsi ehdollisen todistamisen säännöllä) jonon aikaisemmista lauseista α j ( j < i), joille H j H i 1. H i = H i 1 ja α i = α j jollekin jonon aikaisemmalle lauseelle α j ( j < i), jolle H j H i 1. H i = H i 1 {α j } ja α i = α j α i 1 on saatu ehdollisen todistamisen säännöllä viimeisimmästä apuolettamuksesta α j ( j < i) ja edeltävästä lauseesta α i 1. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 103 Esimerkki. Osoitetaan {A,B (A C)} S B C. 1. A olettamus H 1 = /0 2. B (A C) olettamus H 2 = /0 3. B apuolettamus H 3 = {B} 4. A C MP, 3, 2 H 4 = {B} 5. C MP, 1, 4 H 5 = {B} 6. B C E, 3, 5 H 6 = /0 Käytännössä apuolettamusten joukoista pidetään kirjaa tekemällä todistukseen sisennyksiä, jolloin H i :t voidaan jättää pois todistuksesta. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 102 Määritelmä. 1. Lause α on johdettavissa Suppes-järjestelmällä lausejoukosta Σ (merk. Σ S α), joss on olemassa Suppes-todistus α 1,...,α n lausejoukosta Σ siten, että α n = α ja H n = /0. 2. Lause α on teoreema/todistuva Suppes-järjestelmässä (merk. S α), joss /0 S α -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 104 5.3 Järjestelmien vertailua Esimerkki. Osoitetaan vielä semanttisella taululla, että B C on johdettavissa lausejoukosta {A,B (A C)}. 1. E(B C) 2. A 3. (B (A C)) 4. B 1. Huomio. Suppes-todistukselle asetettu lisäehto H n = /0 edellyttää, että kaikki apuolettamukset on peruttava johtopäätöksen tekoon mennessä. 5. EC 1. Väite. Suppesin järjestelmä on lauselogiikan virheetön ja täydellinen todistusmenetelmä (Σ S α Σ = α). 6. EB 3. 6. (A C) 3. 7. EA 6. 7. C 6.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 105 1. Hilbertin järjestelmä -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 107 Esimerkki. Pahimmassa tapauksessa taulun koko voi kasvaa eksponentiaalisesti atomisten lauseiden lukumäärään nähden. + Minimalistinen koneisto teoreemien tuottamiseksi. Lauseet esitettävä implikaation ja negaation avulla. Yksittäisten todistusten löytäminen voi olla vaikeaa. Hankala todeta milloin lause ei ole todistuva/johdettavissa. 2. Suppesin järjestelmä + Päättelysääntöjen laaja valikoima tukee erilaisten loogisten päätelmien tekemistä ja todistusten löytämistä. + Lauseissa voi esiintyä kaikkia peruskonnektiiveja. Hankala todeta milloin lause ei ole todistuva/johdettavissa. 6. A 3. 7.EA 6. 5.A 1. 7. A 4. 8.EA 7. 6. B 3. 1.(A B) 2.(A B) 3.( A B) 4.( A B) 7. B 4. 8.EB 7. 7. A 4. 8.EA 7. 6.A 2. 5. B 1. 7. B 4. 8.EB 7. 6. B 2. 7.EB 6. -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 106 3. Semanttinen taulu -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 108 Esimerkki. Cut-säännön avulla taulu jää hieman pienemmäksi: + Lauseissa voi esiintyä kaikkia peruskonnektiiveja. + Lauseiden syntaksi ohjaa päättelysäännön (taulusäännöt) valintaa. + Mikäli lause ei ole todistuva/johdettavissa saadaan konkreettinen vastaesimerkki (eli vastamallia ). + Helppo toteuttaa tietokoneella. 1.(A B) 2.(A B) 3.( A B) 4.( A B) Semanttinen taulu ei ole tehokkain mahdollinen menetelmä lauselogiikan päättelyongelmien ratkomiseen. Huomio. Semanttisen taulun menetelmää voidaan edelleen tehostaa lisäämällä taulusääntöjä. Esimerkkinä mainittakoon ns. cut-sääntö, joka haarauttaa polun jonkin väittämän α suhteen ( α ja Eα). Harkiten käytettynä tällä säännöllä voi tiivistää todistuksia. 6. A 3. 7.EA 6. 5.A 7. A 4. 8.EA 7. 6. B 3. 7. B 4. 8.EB 7. 6.A 1. 5.EA 7.A 2. 6. B 1. 7. B 2. 8.EB 7. Merkitys korostuisi, jos atomisten lauseitten määrää lisättäisiin.

-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 109 Esimerkki. Semanttisella taululla pystytään simuloimaan monia Suppes-järjestelmän päättelysääntöjä. EC (A B) EC (A B) -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 111 Motivaatio Normaalimuotojen tarkoituksena on saattaa käsiteltävät lausekkeet johonkin säännölliseen muotoon, jotta niiden käsittely yksinkertaistuu. Esimerkkeinä mainittakoon seuraavat. Polynomien esittäminen muodossa (B C) (B C) c n x n + c n 1 x n 1 + +c 0 x 0. A EA B EB C Modus ponens A EB C EA B Modus tollendo tollens Lineaaristen yhtälöryhmien esittäminen matriiseina: a 11 a 12 a 13 x 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = a 31 a 32 a 33 x 3 b 1 b 2 b 3-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 110-79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 112 6.1 Konjunktiivinen ja disjunktiivinen normaalimuoto 6 Normaalimuodot Konjunktiivinen ja disjunktiivinen normaalimuoto Muunnokset normaalimuotoihin Normaalimuotojen hakeminen taulumenetelmällä Määritelmä. Jos A on atominen lause, niin A ja A ovat literaaleja. Määritelmä. Positiivisen literaalin A komplementti A = A ja negatiivisen literaalin A komplementti A = A. Määritelmä. Lause α on konjunktiivisessa normaalimuodossa, jos α on muodoltaan konjunktio β 1 β 2 β n, missä jokainen β i on literaaleista l 1,l 2,...,l mi koostuva disjunktio l 1 l 2 l mi. Normaalimuotojen sieventäminen Lauseiden klausuulimuoto Disjunktiivinen normaalimuoto määritellään samaan tapaan, mutta konjunktion ja disjunktion roolit vaihdetaan keskenään: Määritelmä. Lause α on disjunktiivisessa normaalimuodossa, jos α on muodoltaan disjunktio β 1 β 2 β n, missä jokainen β i on literaaleista l 1,l 2,...,l mi koostuva konjunktio l 1 l 2 l mi.