Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a) = ( 1) 1+j a 1j det(a 1j ), j=1 missä A ij on matriisi, joka on saatu matriisista A poistamalla i:s rivi ja j:s sarake LM1, Kesä 2014 54/68
Huom Matriisin A determinantille voidaan käyttää merkintää a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn LM1, Kesä 2014 55/68
Muistisääntöjä Määritelmän mukaan 2 2-matriisin determinantti lasketaan seuraavasti: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Muistisääntö: a 11 a 12 a 21 a 22 + Lävistäjäalkiot kerrotaan keskenään ja niiden tulosta vähennetään muiden alkioiden tulo LM1, Kesä 2014 56/68
Muistisääntöjä Määritelmän mukaan 3 3-matriisin determinantti lasketaan seuraavasti: a 11 a 12 a 13 a a 21 a 22 a 23 = a 11 22 a 23 a a 31 a 32 a 33 32 a 33 a a 12 21 a 23 a 31 a 33 a + a 13 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 LM1, Kesä 2014 57/68
Muistisääntöjä Muistisääntö: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 + + + Samalla viivalla olevat alkiot kerrotaan keskenään Jos viiva on lävistäjän suuntainen, tulee tulon eteen plusmerkki Jos viiva on vastakkaissuuntainen, tulee tulon eteen miinusmerkki Lopuksi tulot lasketaan yhteen LM1, Kesä 2014 58/68
Determinantin laskeminen Esimerkki 12 Lasketaan seuraavien matriisien determinantit: (a) A = [ ] 4 (b) B = [ ] 1 1 2 4 1 2 3 0 2 3 2 0 1 0 1 (c) C = 0 1 1 (d) D = 0 0 1 0 1 2 4 2 1 4 1 LM1, Kesä 2014 59/68
(a) det(a) = 4 = 4 1 1 (b) det(b) = 2 4 = 1 4 2 ( 1) = 4 + 2 = 6 2 3 2 (c) det(c) = 0 1 1 1 2 4 1 1 = 2 2 4 3 0 1 1 4 + 2 0 1 1 2 = 2 (4 ( 2) ) 3 (0 ( 1) ) + 2 (0 1) = 12 3 2 = 17 LM1, Kesä 2014 60/68
Voidaan osoittaa, että determinantti voidaan kehittää minkä tahansa rivin tai sarakkeen suhteen Tällöin + ja -merkkien vaihtelu (määritelmän ( 1) 1+j ) saadaan shakkilautaa muistuttavasta kuviosta + + + + + + Matriisin tilalle ajatellaan plus- ja miinusmerkeistä koostuva ruudukko Jos matriisin alkion kohdalla on plusmerkki, tulee kehityskaavassa alkion eteen plusmerkki Vastaavasti, jos alkionkohdalla on miinusmerkki, tulee kehityskaavassa alkion eteen miinusmerkki Huomaa, että alkion oma etumerkki säilyy joka tapauksessa LM1, Kesä 2014 61/68
Lasketaan esimerkin 12 matriisin D determinantti kehittämällä se aluksi kolmannen rivin ja sitten kolmannen sarakkeen suhteen: 1 2 3 0 0 1 0 1 2 3 0 1 3 0 det(d) = = 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 2 1 4 1 1 4 1 2 4 1 1 2 0 1 2 3 + ( 1) 0 1 1 0 0 1 0 2 1 1 2 1 4 1 2 0 ( ) 0 1 = 0 1 1 = 0 2 1 ( 1) 1 2 2 1 + ( 1) 1 2 0 1 2 1 1 ( ) = 0 + (1 1 2 2) (1 1 0 2) = (0 3 1) = 4 LM1, Kesä 2014 62/68
Determinantin ominaisuuksia Joidenkin matriisien determinantti on hyvin helppo määrittää: Lause 10 Oletetaan, että A on neliömatriisi Tällöin (a) jos matriisissa A on nollarivi (nollasarake), niin det(a) = 0; (b) jos matriisissa A on kaksi samaa riviä (samaa saraketta), niin det(a) = 0; (c) jos A on kolmiomatriisi (eli kaikki lävistäjän alapuoliset tai yläpuoliset alkiot nollia), niin matriisin A determinantti on lävistäjäalkioiden tulo 1 7 0 6 1 0 0 0 0 3 4 5 2 0 0 0 0 0 8 2 0 5 8 0 0 0 0 9 4 6 7 9 LM1, Kesä 2014 63/68
Alkeisrivitoimitusten vaikutus determinanttiin Voidaan osoittaa, että alkeisrivitoimitusten tekeminen vaikuttaa determinanttiin seuraavasti: Lause 11 Oletetaan, että A on neliömatriisi (a) Jos matriisi B saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään, niin det(b) = det(a) (b) Jos matriisi B saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi luvulla t R {0}, niin det(b) = t det(a) (c) Jos matriisi B saadaan matriisista A lisäämällä johonkin riviin jokin toinen rivi kerrottuna luvulla t R, niin det(b) = det(a) LM1, Kesä 2014 64/68
Determinantin ominaisuuksia Lause 12 Oletetaan, että A ja B ovat samantyyppisiä neliömatriiseja Tällöin (a) det(a) = det(a T ) (b) det(ab) = det(a) det(b) LM1, Kesä 2014 65/68
Determinantin laskemisen muistisääntöjä Lauseen 12 a-kohdasta seuraa, että determinantin sarakkeet käyttäytyvät täsmälleen samalla tavalla kuin sen rivit Lauseesta 11 saadaan siis seuraavat muistisäännöt: (a) Jos matriisin kaksi riviä (saraketta) vaihtaa keskenään, niin determinantin etumerkki muuttuu: 3 2 7 1 6 0 1 6 0 = 3 2 7 5 8 4 5 8 4 LM1, Kesä 2014 66/68
Determinantin laskemisen muistisääntöjä (b) Jos matriisin rivillä (sarakkeessa) kaikilla alkioilla on yhteinen tekijä, niin tuon yhteisen tekijän voi ottaa determinantin eteen kertoimeksi: 1 6 0 1 3 0 3 2 7 = 2 3 1 7 5 8 4 5 4 4 (c) Jos matriisin riviin (sarakkeeseen) lisätään jokin toinen rivi (sarake) vakiolla kerrottuna, niin matriisin determinantti ei muutu 1 3 0 1 3 0 3 1 7 = 0 8 7 5 4 4 5 4 4 LM1, Kesä 2014 67/68
Kääntyvän matriisin determinantti Determinantin avulla voi tutkia, onko matriisi kääntyvä: Lause 13 Oletetaan, että A on neliömatriisi Matriisi A on kääntyvä, jos ja vain jos det(a) 0 Lauseiden 13 ja 12 avulla saadaan seuraava tulos: Lause 14 Oletetaan, että matriisi A on kääntyvä Tällöin det(a 1 ) = 1 det(a) LM1, Kesä 2014 68/68