Ositetuista matriiseista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anja Kuronen Ositetuista matriiseista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2010

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos KURONEN, ANJA: Ositetuista matriiseista Pro gradu -tutkielma, 29 s Matematiikka Joulukuu 2010 Tiivistelmä Tutkielman aiheena on ositetut matriisit, joiden sovelluksia hyödynnetään paljon muun muassa tilastotieteessä Matriisit voidaan osittaa monella eri tavalla, mutta tässä työssä keskitytään 2 2 -muodostelmassa ositettuun matriisiin, koska se on todettu hyödyllisimmäksi ositetuista matriiseista Ositetun matriisin peruslaskutoimitukset ja alkeismuunnokset voidaan määritellä vastaavasti kuin tavalliselle matriisille Tutkielmassa esitetään ositetun matriisin determinanttiin ja käänteismatriisiin liittyviä tuloksia ja todistetaan niitä Ositettujen matriisien avulla voidaan todistaa myös yleisiä matriiseihin liittyviä tuloksia Työssä käsitellään tuloksia, jotka koskevat summan käänteismatriisia, summan ja tulon astetta sekä tulon ominaisarvoa Lopuksi käsitellään jatkuvuusperiaatetta, joka on eniten käytettyjä tekniikoita matriisiteoriassa Pääasiallisena lähdeteoksena tässä tutkielmassa on käytetty Fuzhen Zhangin kirjaa Matrix theory: basic results and techniques Toisena lähdeteoksena on käytetty Karim Abadirin ja Jan Magnusin kirjaa Matrix algebra 1

Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja 4 21 Matriisi ja peruslaskutoimitukset 4 22 Matriisin alkeismuunnokset ja muita määritelmiä 5 3 Ositetut matriisit 8 31 Määrittely 8 32 Alkeismuunnokset 10 33 Determinantti ja käänteismatriisi 13 34 Summan käänteismatriisi 20 35 Tulon ja summan aste 22 36 Tulojen AB ja BA ominaisarvot 25 37 Jatkuvuusperiaate 27 Viitteet 31 2

1 Johdanto Tämä tutkielma käsittelee ositettuja matriiseja ja niihin liittyviä tuloksia Ositettuja matriiseja sovelletaan muun muassa tilastotieteessä Ositetut matriisit määritellään ja niiden peruslaskutoimituksia tarkastellaan luvun kolme alussa Määritelmien jälkeen käsitellään ositetun matriisin alkeismuunnoksia, jotka voidaan määritellä vastaavasti kuin tavalliselle matriisille Tämän jälkeen todistetaan ositetun matriisin determinanttiin ja käänteismatriisiin liittyviä lauseita Ositettujen matriisien avulla voidaan todistaa myös yleisiä matriiseihin liittyviä tuloksia Tästä esimerkkinä todistetaan lauseita, jotka käsittelevät summan käänteismatriisia, summan ja tulon astetta sekä tulojen AB ja BA ominaisarvoja Lopuksi käsitellään jatkuvuusperiaatteen käyttämistä lauseiden todistamisessa Lauseita selvennetään esimerkkien avulla Pääasiallisena lähdeteoksena tässä tutkielmassa on käytetty Fuzhen Zhangin kirjaa Matrix theory: basic results and techniques [2] Zhangin kirjasta käsitellään tarkemmin lukua 2, Partitioned Matrices Toisena lähdeteoksena on käytetty Karim Abadirin ja Jan Magnusin kirjaa Matrix algebra [1] Tutkielman lukijalta edellytetään lineaarialgebran osaamista, ja joitakin perustuloksia oletetaan tunnetuiksi, kuten determinanttiin liittyviä laskusääntöjä Seuraavaksi luvussa kaksi käsitellään tarkemmin, mitä tietoja lukijalta odotetaan, ja annetaan jatkossa tarvittavia määritelmiä kertauksenomaisesti 3

2 Esitietoja Ositettujen matriisien ymmärtäminen edellyttää lineaarialgebran perusteiden hallintaa Lukijalta edellytetään matriisien ja niiden laskutoimitusten osaamista, sekä matriiseihin liittyvien käsitteiden hallitsemista Seuraavaksi käydään läpi niitä peruskäsitteitä, joita tässä tutkielmassa käytetään 21 Matriisi ja peruslaskutoimitukset Matriisien määrittelyssä tarvitaan kunnan käsitettä Oletetaan kunta-aksioomat tunnetuiksi Merkitään kuntaa symbolilla F Kun kunta F on tarpeen määritellä joksikin tietyksi joukoksi tässä tutkielmassa, niin se on yleensä reaalilukujen joukko, R, tai kompleksilukujen joukko, C Määritellään matriisi ja matriisien peruslaskutoimitukset Voidaan kuvailla, että m n -matriisi A on suorakulmainen taulukko a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn Matriisista käytetään merkintää A (a ij ) Matriisin i rivin ja j sarakkeen alkiota merkitään symbolilla a ij Matriisin jokainen alkio a ij on kunnan F alkio, kun 1 i m ja 1 j n Alkiot a i1, a i2,, a in muodostavat matriisin i rivin ja alkiot a 1j, a 2j,, a mj muodostavat matriisin j sarakkeen Kaksi m n -matriisia A ja B ovat samat, jos matriisien kaikki vastinalkiot ovat yhtä suuria eli a ij b ij, kun 1 i m ja 1 j n Kaikkien m n -matriisien, joiden alkiot ovat kunnasta F, joukkoa merkitään symbolilla F m n Olkoot A, B F m n, ja olkoon skalaari c F Määritellään nyt matriisien yhteenlasku A + B ja skalaarilla kertominen ca seuraavasti: (a ij ) + (b ij ) (a ij + b ij ) ja c(a ij ) (ca ij ), kun 1 i m ja 1 j n Matriisia A + B sanotaan summamatriisiksi tai lyhyemmin summaksi Matriisien A ja B tulo AB C on matriisi, jonka alkio c ij saadaan a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Matriisilla A on oltava yhtä monta saraketta kuin matriisilla B on rivejä, jotta niiden tulo voidaan laskea Matriisia AB sanotaan tulomatriisiksi tai lyhyemmin tuloksi 4

22 Matriisin alkeismuunnokset ja muita määritelmiä Tässä kappaleessa annetaan matriiseihin liittyviä määritelmiä, joita tarvitaan seuraavassa luvussa Aloitetaan määrittelemällä alkeismuunnokset ja yleisesti käytettyjä matriisien erikoistapauksia, kuten yksikkö- ja nollamatriisi sekä alimatriisi Määritelmä 21 Matriisin alkeismuunnokset voidaan jakaa alkeisrivimuunnoksiin ja alkeissarakemuunnoksiin Alkeisrivimuunnoksia ovat I kaksi riviä vaihdetaan, II yksi rivi kerrotaan nollasta eroavalla vakiolla ja III yhteen riviin lisätään toinen rivi vakiolla kerrottuna Alkeismuunnokset määritellään sarakkeille vastaavasti kuin riveille Määritelmä 22 Yksikkömatriisi eli identiteettimatriisi on neliömatriisi, jonka alkiot a ii ovat ykkösiä ja alkiot a ij, kun i j, ovat nollia Merkitään yksikkömatriisia symbolilla 1 0 0 0 0 1 0 0 I 0 0 1 0 0 0 0 1 Nollamatriisi on m n -matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Merkitään nollamatriisia symbolilla 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Yksikkömatriisia voidaan merkitä symbolilla I n, kun halutaan korostaa sen olevan n n -matriisi Vastaavasti m n -nollamatriisia voidaan merkitä symbolilla 0 m n Määritelmä 23 Matriisin A alimatriisi saadaan poistamalla osa matriisiin riveistä ja sarakkeista Jos pois jätetään alimmat rivit ja oikeanpuoleisimmat sarakkeet, niin saadaan pääalimatriisi Määritellään seuraavaksi muutamia muita matriiseihin liittyviä käsitteitä, kuten transpoosi, determinantti ja kääntyvä matriisi Otetaan niihin liittyviä tuloksia käyttöön todistamatta niitä 5

Määritelmä 24 Matriisin A (a ij ) transpoosi A T (a ji ) saadaan muuttamalla rivit sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi Matriisi A on symmetrinen, jos A T A Määritelmä 25 Matriisin A (a ij ) C m n konjugaattitranspoosi, jota merkitään symbolilla A, on A (ā ji ) C n m, missä ā ji on alkion a ji kompleksikonjugaatti Määritelmä 26 Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A a n1 a n2 a nn Kun n 1, det A a 11 Kun n 2, det A a 11 a 22 a 12 a 21 Yleisesti matriisin determinantti määritellään induktiivisesti kaavalla (21) det A n ( 1) i+j a ij det A(i j), j1 kun i 1,, n Kaavassa (21) symbolilla A(i j) merkitään matriisin A alimatriisia, joka saadaan matriisista A poistamalla rivi i ja sarake j Lause 21 Olkoot matriisit A ja B n n -matriiseja Tällöin Todistus Sivuutetaan det(ab) det A det B Määritelmä 27 Neliömatriisi A on kääntyvä, jos on olemassa sellainen matriisi B, että AB BA I Matriisia B sanotaan matriisin A käänteismatriisiksi ja sitä merkitään symbolilla A 1 Matriisia, joka ei ole kääntyvä, sanotaan singulaariseksi Määritelmä 28 Matriisin aste on matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärän Merkitään matriisin A astetta symbolilla rank(a) Jos A 0, niin rank(a) 0 6

Lause 22 Olkoon matriisi A F m n Silloin on olemassa sellaiset kääntyvät matriisit P F m m ja Q F n n, että Ir 0 P AQ 0 0 Yksikkömatriisin I r rivien lukumäärä r on matriisin A aste Todistus Sivuutetaan Oletetaan seuraava tulos tunnetuksi rank(a) rank(a T ) rank(ā) rank(a ) ja otetaan se käyttöön todistamatta sitä Tarvitaan vielä nolla-avaruuden ja kuva-avaruuden käsitteitä, joten kerrataan niiden määritelmät Määritelmä 29 Tulkitaan matriisi A F m n lineaarikuvaukseksi A : F n F m Määritellään lineaarikuvauksen A ydin eli nolla-avaruus Ker A {x F n : Ax 0} F m ja kuva-avaruus Im A {Ax : x F n } Oletetaan tunnetuksi seuraava tulos Olkoon A : V W lineaarikuvaus n-ulotteiselta vektoriavaruudelta V Silloin dim Im A + dim Ker A n 7

3 Ositetut matriisit Aloitetaan luku määrittelemällä ositettu matriisi ja tarkastellaan ositetun matriisin peruslaskutoimituksia Tämän jälkeen käsitellään ositettujen matriisien alkeismuunnoksia, determinanttia ja käänteismatriisia, ja todistetaan niihin liittyviä lauseita Todistetaan myös summan käänteismatriisia, tulon ja summan astetta sekä tulon ominaisarvoa koskevia tuloksia hyödyntäen ositettuja matriiseja Luvun lopussa esitellään yleisesti käytetty jatkuvuusperiaate 31 Määrittely Määritelmä 31 Ositettu matriisi saadaan jakamalla matriisi alimatriiseihin Nämä erilliset alimatriisit, eli lohkot, muodostavat yhdessä alkuperäisen matriisin Ositetaan m n -matriisi M seuraavasti a 11 a 1p a 1,p+1 a 1n M missä alimatriisi a q1 a qp a q,p+1 a qn a q+1,1 a q+1,p a q+1,p+1 a q+1,n a m1 a mp a m,p+1 a mn A on q p -matriisi, B on q (n p) -matriisi, C on (m q) p -matriisi ja D on (m q) (n p) -matriisi A B, C D Tässä [ A B ] ja [ C D ] muodostavat ositetun matriisin M lohkorivit Vastaavasti ositetun matriisin M lohkosarakkeet ovat A B ja C D 2 2 -muodostelmassa ositetun matriisin lisäksi on olemassa myös muunlaisia ositettuja matriiseja Matriisin osittaminen sarakkeittain tai riveittäin on hyödyllistä joissakin tilanteissa Annetaan esimerkki sarakkeittain ositetusta matriisista A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 a 51 a 52 a 53 8 S 1 S 2 S 3,

jossa alimatriisit ovat matriisin A sarakkeet a 11 a 12 a 21 S 1 a 31 a 41, S a 22 2 a 32 a 42 ja S a 23 3 a 33 a 43, a 51 a 52 a 53 ja esimerkki riveittäin ositetusta matriisista a 11 a 12 a 13 R 1 a 21 a 22 a 23 A a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 R 2 R 3 R 4, a 51 a 52 a 53 R 5 jossa alimatriisit ovat matriisin A rivit R 1 a 11 a 12 a 13, R2 a 21 a 22 a 23, R3 a 31 a 32 a 33, R 4 a 41 a 42 a 43 ja R 5 a 51 a 52 a 53 Matriisin osittaminen neljään alimatriisiin 2 2 -muodostelmassa on kuitenkin osoittautunut hyödyllisimmäksi tavaksi osittaa matriisi Annetaan seuraavaksi laskusäännöt tällaisten ositettujen matriisien yhteenlaskulle ja tulolle Olkoot m n -matriisit A ja B ositettu seuraavasti A11 A A 12 B11 B ja B 12 A 21 A 22 B 21 B 22 Tällöin ositettujen matriisien summa on A11 + B A + B 11 A 12 + B 12 A 21 + B 21 A 22 + B 22 Olkoon A m n -matriisi kuten edellä ja olkoon n r -matriisi C, C11 C C 12, C 21 C 22 ositettu siten, että alla olevat tulot A ij C kl on määritetty Tällöin ositettujen matriisien tulo on A11 C AC 11 + A 12 C 21 A 11 C 12 + A 12 C 22 A 21 C 11 + A 22 C 21 A 21 C 12 + A 22 C 22 a 13 9

32 Alkeismuunnokset Määritelmässä 21 esitetyt matriisin alkeisrivi- ja alkeissarakemuunnokset voidaan yleistää koskemaan ositettuja matriiseja seuraavasti: I kaksi lohkoriviä vaihdetaan, II yksi lohkorivi kerrotaan vasemmalta sopivan kokoisella kääntyvällä matriisilla ja III yhteen lohkoriviin lisätään toinen lohkorivi kerrottuna vasemmalta jollakin matriisilla Alkeismuunnokset määritellään sarakkeille vastaavasti kuin riveille, mutta matriisien kertominen tapahtuu tällöin oikealta Määritelmä 32 Yksikkömatriisista I saadaan yleistetty alkeismuunnosmatriisi yksittäisellä alkeismuunnoksella Merkitään näin saatua matriisia symbolilla G Esimerkki 31 Olkoon yksikkömatriisi I ositettu seuraavasti Im 0 0 I n Tekemällä (I)-alkeisrivimuunnos saadaan G 1 [ 0 In I m 0 Tekemällä (II)-alkeisrivimuunnos kertomalla ensimmäinen rivi vasemmalta matriisilla X saadaan X 0 G 2 0 I n Tekemällä (III)-alkeisrivimuunnos lisäämällä toiseen riviin ensimmäinen rivi kerrottuna matriisilla X vasemmalta saadaan Im 0 G 3 X Matriisit G 1, G 2 ja G 3 ovat esimerkkejä yleistetyistä alkeismuunnosmatriiseista Lause 31 Olkoon G yleistetty alkeismuunnosmatriisi, joka on saatu yksikkömatriisista I yhdellä alkeisrivimuunnoksella Jos sama alkeisrivimuunnos tehdään ositetulle matriisille M, niin saadaan sama matriisi kuin tulosta GM Vastaavasti olkoon G yhdellä alkeissarakemuunnoksella yksikkömatriisista I saatu yleistetty alkeismuunnosmatriisi Jos sama alkeissarakemuunnos tehdään ositetulle matriisille M, niin saadaan sama matriisi kuin tulosta MG 10 I n ]

Todistus Esitetään todistuksen idea neljään alimatriisiin 2 2 -muodostelmassa ositetulle matriisille Olkoon ositettu matriisi A B M, C D missä matriisit A, B, C ja D ovat matriisin M alimatriiseja, A on m m- matriisi ja D on n n -matriisi Olkoon matriisille M tehtävä muunnos esimerkiksi (III)-alkeisrivimuunnos, jossa ensimmäinen rivi kerrottuna vasemmalta n m -matriisilla E lisätään toiseen riviin Kun sama alkeisrivimuunnos tehdään yksikkömatriisille I, saadaan yleistetty alkeismuunnosmatriisi Im 0 G E I n Nyt saadaan [ A C + EA ] B Im 0 A B GM D + EB E C D I n Muille alkeismuunnoksille todistus menee vastaavasti Esimerkki 32 Olkoon matriisi M F 3 3 ositettu matriisi a b c M d e f A B C D g h i ja olkoon yksikkömatriisi I 3 ositettu matriisi I1 0 I 3 1 2 0 2 1 I 2 Tehdään matriisille M ensimmäinen alkeisrivimuunnos, jolloin saadaan d e f C D g h i A B a b c Tekemällä vastaava alkeismuunnos yksikkömatriisille I 3 saadaan alkeismuunnosmatriisi 02 1 I G 2 I 1 0 1 2 11

Tällöin tulosta GM saadaan sama matriisi kuin tekemällä alkeismuunnos suoraan matriisille M 02 1 I GM 2 A B I 1 0 1 2 C D 02 1 A + I 2 C 0 2 1 B + I 2 D I 1 A + 0 1 2 C I 1 B + 0 1 2 D d e f g h i a b c lauseen 31 mukaan Esimerkki 33 Olkoon ositettu matriisi A B M, C D missä A on kääntyvä matriisi Muunnetaan M alkeismuunnoksilla sellaiseksi, että alimatriisien B ja C paikalle saadaan nollamatriisit Lisätään ensin toiseen riviin ensimmäinen rivi kerrottuna vasemmalta matriisilla CA 1, jolloin saadaan [ A C CA 1 A ] B D CA 1 B A B 0 D CA 1 B Lisätään sitten toiseen sarakkeeseen ensimmäinen sarake kerrottuna oikealta matriisilla A 1 B, jolloin saadaan halutunlainen matriisi A B AA 1 B A 0 0 D CA 1 B 0A 1 B 0 D CA 1 B Vastaavilla yleistetyillä alkeismuunnosmatriiseilla kerrottaessa päästään samaan lopputulokseen [ ] I m 0 A B Im A 1 B A 0 CA 1 I n C D 0 I n 0 D CA 1 B Esimerkki 34 [2, Problems: 2, s 33] Olkoon matriisi X C n m Osoitetaan, että 1 Im 0 Im 0 X X I n Oletetaan, että matriisilla Im 0 X I n I n 12

on olemassa käänteismatriisi ja merkitään sitä ositetulla matriisilla 1 Im 0 A B X C D Käänteismatriisin määritelmän 27 mukaan voidaan kirjoittaa I n 1 Im 0 Im 0 Im 0 X I n X I n 0 I n Ositettujen matriisien kertolaskusäännöllä saadaan Im 0 Im 0 A B 0 I n X I n C D Im A + 0C I m B + 0D XA + I n C XB + I n D [ ] A B XA + C XB + D Yhtälöstä ratkaisemalla saadaan A I m, B 0, C X ja D I n, joten käänteismatriisi on 1 Im 0 Im 0 X I n X I n 33 Determinantti ja käänteismatriisi Olkoon seuraavissa tarkasteluissa M C (m+n) (m+n) ositettu matriisi A B (31) M, C D missä A on m m -neliömatriisi ja D on n n -neliömatriisi Käsitellään tällaisen ositetun matriisin M determinanttia ja käänteismatriisia Seuraavat tulokset ovat perustavanlaatuisia ja niitä hyödynnetään usein matriisilaskennassa ja matriisien epäyhtälöissä Lause 32 Olkoon M kaavan (31) mukainen ositettu matriisi ja olkoot alimatriisit A ja D neliömatriiseja Jos ositetun matriisin M alimatriisi B 0 tai C 0, niin det M det A det D Todistus [1, s 111] Oletetaan ensin, että B 0 Nyt matriisi M voidaan kirjoittaa tulona A 0 A 0 Im 0 Im 0 M C D 0 I n C I n 0 D 13

Yläkolmiomatriisin ja alakolmiomatriisin determinantti saadaan laskemalla diagonaalialkioiden tulo Nyt ottamalla yhtälöstä puolittain determinantti saadaan ( ) A 0 Im 0 Im 0 det M det 0 I n C I n 0 D A 0 Im 0 Im 0 det det det 0 I n C I n 0 D det A det D Oletetaan sitten, että C 0 Tällöin voidaan vastaavasti kirjoittaa matriisi M tulona A B Im 0 Im B A 0 M 0 D 0 D 0 I n 0 I n Nyt ottamalla yhtälöstä determinantti puolittain saadaan ( ) Im 0 Im B A 0 det M det 0 D 0 I n 0 I n Im 0 Im B A 0 det det det 0 D 0 I n 0 I n det D det A det A det D Esimerkki 35 Olkoon ositettu matriisi M kuten esimerkissä 32 Ratkaistaan matriisin M determinantti a b c det M d e f a(ei hf) b(di gf) + c(dh ge) g h i Jos matriisin M alimatriisi B 0, niin determinantti on a 0 0 det M det d e f a(ei hf) g h i Jos matriisin M alimatriisi C 0, niin determinantti on a b c det M det 0 e f a(ei hf) 0 h i Siis jos B 0 tai C 0, niin lauseen 32 mukaan saadaan det M det A det D det [ a ] e f det a(ei hf) h i 14

Lause 33 Olkoon matriisi M kaavan (31) mukainen ositettu neliömatriisi Jos matriisi A on kääntyvä, niin ja jos AC CA, niin det M det A det(d CA 1 B), det M det(ad CB) Todistus Todistetaan ensin lauseen alkuosa Oletetaan, että matriisi A on kääntyvä Kerrotaan matriisi M yleistetyllä alkeismuunnosmatriisilla seuraavasti (32) [ I m 0 CA 1 I n ] A B C D A B 0 D CA 1 B Koska (III)-alkeisrivimuunnos ei vaikuta matriisin determinantin arvoon, niin ([ ] ) I det m 0 A B CA 1 det M I n C D Kun otetaan determinantti puolittain yhtälöstä (32), niin lauseen 32 mukaan saadaan det M A B 0 D CA 1 B det A det(d CA 1 B) Todistetaan sitten lauseen toinen osa Oletetaan, että matriisit A ja C kommutoivat Tällöin matriisit A, B, C ja D ovat samankokoisia neliömatriiseja Oletetaan ensin, että A on kääntyvä Lauseen 21 mukaan saadaan det M det A det(d CA 1 B) det(a(d CA 1 B)) det(ad ACA 1 B) det(ad CAA 1 B) det(ad CB) Oletetaan sitten, että matriisi A on singulaarinen eli se ei ole kääntyvä Käytetään todistamisessa niin sanottua jatkuvuusperiaatetta Polynomifunktiolla det(a + εi) on äärellinen määrä nollakohtia, kun ε on muuttuja Tällöin voidaan valita sellainen nollakohta δ > 0, että det(a + εi) 0, kun 0 < ε < δ Toisin sanoen, A + εi on kääntyvä, kun ε (0, δ) Merkitään A + εi B M ε C D 15

Koska matriisien kertolasku noudattaa osittelulakia ja matriisit A ja C kommutoivat, niin saadaan (A + εi) C AC + εic CA + CεI C (A + εi) Havaitaan siis, että matriisit A + εi ja C kommutoivat Nyt saadaan (33) det M ε det((a + εi)d CB), kun 0 < ε < δ Yhtälön (33) molemmat puolet ovat jatkuvia funktioita, joissa muuttuja on ε Kun ε > 0 lähestyy nollaa, niin det M det(ad CB) Esimerkki 36 Olkoon ositettu matriisi M kuten esimerkissä 32, ja olkoon a 0 Matriisin M determinantti on a b c det M d e f a(ei hf) b(di gf) + c(dh ge) g h i Ratkaistaan luku det(d CA 1 B) Alimatriisin A käänteismatriisi on A 1 [ a 1] Ratkaistaan matriisi D CA 1 B e f d [a D CA 1 B ] [ 1 b c ] h i g e f da 1 b da 1 c h i ga 1 b ga 1 c e da 1 b f da 1 c h ga 1 b i ga 1 c Lasketaan matriisin D CA 1 B determinantti det(d CA 1 B) ( e da 1 b ) ( i ga 1 c ) ( h ga 1 b ) ( f da 1 c ) Nyt lauseen 33 mukaan saadaan ei ega 1 c ida 1 b + da 1 bga 1 c hf + hda 1 c + ga 1 bf ga 1 bda 1 c ei hf a 1 bdi + a 1 bgf + a 1 cdh a 1 cge det M det A det(d CA 1 B) aei ahf bdi + bgf + cdh cge a(ei hf) b(di gf) + c(dh ge) 16

Seuraavaksi käsitellään ositettujen matriisien käänteismatriiseja Todistetaan kaksi käänteismatriiseihin liittyvää lausetta Lause 34 Olkoon kaavan (31) mukainen matriisi A B M C D kääntyvä ja olkoon sen käänteismatriisi ositettu matriisi X Y M 1, U V missä A ja X sekä toisaalta D ja V ovat kertaluvuiltaan samoja neliömatriiseja Silloin (34) det A det V det M Todistus Olkoot matriisit M ja M 1 kuten edellä Käänteismatriisin määritelmän 27 mukaan voidaan kirjoittaa I 0 A B X Y AX + BU AY + BV, 0 I C D U V CX + DU CY + DV josta saadaan ratkaistua yhtälöt (35) (36) (37) (38) AX + BU I CX + DU 0 AY + BV 0 CY + DV I Kerrotaan matriisi M oikealta yleistetyllä alkeismuunnosmatriisilla, jolloin saadaan yhtälöiden (37) ja (38) perusteella A B I Y A AY + BV A 0 C D 0 V C CY + DV C I Otetaan edellisestä yhtälöstä determinantti puolittain, jolloin saadaan A B I Y det M det V det det C D 0 V ( ) A B I Y det C D 0 V A 0 det det A C I Siis saadaan yhtälö (34) det A det V det M 17

Huomautus 31 Yksikkömatriisit I voivat edellisessä todistuksessa olla eri kokoisia Huomautus 32 Matriisi A on singulaarinen, jos ja vain jos V on singulaarinen Esimerkki 37 Olkoon matriisi M ositettu matriisi a 0 0 0 e 0 A B, C D 0 0 i missä a, e, i 0 Tällöin matriisin M käänteismatriisi on a 1 0 0 M 1 0 e 1 0 X Y 0 0 i 1 U V Nyt saadaan lauseen 34 mukaan det A det V det M ( e 1 i 1) (aei) a Lause 35 Olkoot M ja M 1 määritelty kuten lauseessa 34 Jos A on matriisin M kääntyvä pääalimatriisi, niin X A 1 + A 1 B(D CA 1 B) 1 CA 1, Y A 1 B(D CA 1 B) 1, U (D CA 1 B) 1 CA 1, V (D CA 1 B) 1 Todistus Kääntyvät matriisit M ja M 1 voidaan lausua alkeismatriisien tulona Koska M [ 1 M I ] [ I M 1], niin saamme matriisin M käänteismatriisin tekemällä matriisille [ M rivimuunnoksia siten, että saamme matriisin [ I M 1] I ] Oletetaan, että matriisi A kääntyvä matriisi Aloitetaan kertomalla matriisin [ A B I ] 0 C D 0 I ensimmäinen rivi vasemmalta matriisilla A 1, jolloin saadaan I A 1 B A 1 0 C D 0 I Lisätään ensimmäinen rivi matriisilla C vasemmalta kerrottuna riviin kaksi I A 1 B A 1 0 0 D CA 1 B CA 1 I 18

Matriisilla [ D CA 1 B ] on olemassa käänteismatriisi, koska det [ D CA 1 B ] 0 Voidaan siis kertoa toinen rivi matriisilla [ D CA 1 B ] 1, jolloin saadaan I A 1 B A 1 0 0 I (D CA 1 B) 1 CA 1 (D CA 1 B) 1 Lisätään toinen rivi matriisilla A 1 B vasemmalta kerrottuna riviin yksi I 0 A 1 + A 1 B(D CA 1 B) 1 CA 1 A 1 B(D CA 1 B) 1 0 I (D CA 1 B) 1 CA 1 (D CA 1 B) 1 Nyt olemme saaneet ositetun matriisin M käänteismatriisin M 1, missä X A 1 + A 1 B(D CA 1 B) 1 CA 1, Y A 1 B(D CA 1 B) 1, U (D CA 1 B) 1 CA 1, V (D CA 1 B) 1 Esimerkki 38 Olkoot matriisit M ja M 1 kuten esimerkissä 37, ja olkoot a, e, i 0 Ratkaistaan ensin matriisi e 0 0 [a D CA 1 B ] [ 1 0 0 ] e 0, 0 i 0 0 i jolloin matriisin D CA 1 B käänteismatriisi on e (D CA 1 B) 1 1 0 0 i 1 Nyt voidaan ratkaista käänteismatriisin M 1 alimatriisit X, Y, U ja V Saadaan lauseen 35 mukaan X A 1 + A 1 B(D CA 1 B) 1 CA 1 [ a 1] + [ a 1] [ 0 0 ] e 1 0 0 [a ] 0 i 1 1 [ a 0 1], Y A 1 B(D CA 1 B) 1 [ a 1] [ 0 0 ] e 1 0 0 i 1 [ 0 0 ], U (D CA 1 B) 1 CA 1 e 1 0 0 [a ] 0 i 1 1 0, 0 0 V (D CA 1 B) 1 e 1 0 0 i 1 19

Esimerkki 39 [2, Problems: 5, s 40] Olkoon A F m n ja B F n m Osoitetaan, että det Z 1 det Z 2, kun In B Im A Z 1, Z A 2 B I m Matriisi Z 1 voidaan kirjoittaa tuloina In 0 In B In B In BA 0 Z 1 A I m 0 I m AB 0 I m A I m ja vastaavasti matriisi Z 2 voidaan kirjoittaa tuloina Im 0 Im B Im A Im AB 0 Z 2 B I n 0 I n BA 0 I n A I n Ottamalla yhtälöistä determinantti puolittain saadaan det Z 1 I m AB I n BA det Z2 34 Summan käänteismatriisi Kun matriisit A ja B ovat samankokoisia kääntyviä matriiseja, niin tulon AB käänteismatriisi on käänteismatriisien B 1 ja A 1 tulo (AB) 1 B 1 A 1 Summalle A + B ei kuitenkaan päde vastaava yleisesti, sillä esimerkiksi matriisi A A 0 ei ole kääntyvä, vaikka matriisi A olisikin kääntyvä Lause 36 Olkoot A F m m ja B F n n kääntyviä matriiseja ja olkoon C F m n ja D F n m Jos matriisi A + CBD on kääntyvä, niin (39) (A + CBD) 1 A 1 A 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1 Todistus Oletetaan, että matriisit A, B ja A + CBD ovat kääntyviä matriiseja Esimerkin 39 perusteella saadaan det(b 1 + DA 1 C) det(b 1 B(B 1 + DA 1 C)) I n det(b 1 I n + B 1 BDA 1 C) det(b 1 (I n + BDA 1 C)) det B 1 det(i n + BDA 1 C) det B 1 det(i m + A 1 CBD) det B 1 det(a 1 A + A 1 CBD) det B 1 det A 1 det(a + CBD) 0 20

Siis matriisilla B 1 + DA 1 C on olemassa käänteismatriisi, koska sen determinantti on eri suuri kuin nolla Todistetaan sitten yhtälö (39) Saadaan yhtälöketju (A+CBD)(A + CBD) 1 (A + CBD) ( A 1 A 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1) I m C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1 + CBDA 1 CBDA 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1 I m + C( (B 1 + DA 1 C) 1 + B BDA 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 )DA 1 I m + C ( (I n + BDA 1 C)(B 1 + DA 1 C) 1 + B ) DA 1 I m + C ( B(B 1 + DA 1 C)(B 1 + DA 1 C) 1 + B ) DA 1 I m + C ( B + B) DA 1 I m Siis käänteismatriisin määritelmän 27 perusteella yhtälö (39) pätee Esimerkki 310 Olkoot matriisit 3 0 A ja B [ 2 ] 0 5 1 kääntyviä matriiseja, ja olkoon matriisi C ja D [ 3 5 ] Ratkaistaan 2 kääntyvä summamatriisi A + CBD annettujen matriisien avulla 3 0 1 [2 ] 9 10 A + CBD + 3 5 0 5 2 12 25 Oletetaan, että summalla A + CBD on olemassa käänteismatriisi Ratkaistaan ensin matriisi B 1 + DA 1 C 1 1 0 2 + 3 5 3 1 0 1 [ 7 2 2], 5 jolloin matriisin B 1 + DA 1 C käänteismatriisi on (B 1 + DA 1 C) 1 [ 2 7] Matriisin A + CBD käänteismatriisi on lauseen 36 mukaan (A + CBD) 1 A 1 A 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1 [ 1 ] [ 0 1 ] 0 3 3 1 [ 2 ] 1 0 2 7 3 5 3 0 1 5 0 1 0 1 5 5 [ 5 ] 2 21 21 4 3 35 35 21

Tarkistetaan käänteismatriisin määritelmän 27 avulla [ 9 10 5 (A + CBD)(A + CBD) 1 12 25 2 21 21 4 3 35 35 ] 1 0 0 1 Monet käänteismatriiseja koskevat tulokset voidaan johtaa yhtälöstä (39), kuten myös yhtälöt (A + B) 1 A 1 A 1 (B 1 + A 1 ) 1 A 1 ja (A + UV ) 1 A 1 A 1 U(I + V A 1 U) 1 V A 1 35 Tulon ja summan aste Tässä kappaleessa käsitellään tulon AB ja summan A + B astetta Lause 37 (Sylvester) Olkoon A C m n ja B C n p Silloin (310) rank(ab) rank(b) dim(im B Ker A) Erityisesti pätee rank(a) + rank(b) n rank(ab) min{rank(a), rank(b)} Todistus Kun matriisi A on lineaarikuvaus kompleksiavaruudelta C n, niin rank(a) dim Im A Olkoon nyt lineaarikuvaus tulo AB vektoriavaruudelta Im B Silloin kuvauksen kuva-avaruus on Im(AB) ja kuvauksen nolla-avaruus on Im B Ker A Saadaan rank(b) dim Im B dim Im(AB) + dim Ker(AB) rank(ab) + dim(im B Ker A), josta seuraa, että rank(ab) rank(b) dim(im B Ker A) Todistetaan seuraavaksi epäyhtälöt Aloitetaan ensimmäisestä epäyhtälöstä rank(a) + rank(b) n dim Im A + dim Im B n dim Im A + rank(ab) + dim(im B Ker A) n rank(ab) n + dim Im A + dim(im B Ker A) 22

Koska dim Im A + dim(im B Ker A) n, niin rank(a) + rank(b) n rank(ab) Koska rank(ab) dim Im(AB) dim Im A rank A, niin saadaan toinen epäyhtälö rank(ab) min(rank(a), rank(b)) Lause 38 Olkoon A m n -matriisi, B n p -matriisi ja C p q -matriisi Tällöin kolmen matriisin tulon asteelle pätee (311) rank(abc) rank(ab) + rank(bc) rank(b) Todistus [1, s 122-123] Esitetään todistuksen keskeinen idea Tiedetään, että 0 X rank rank(x) + rank(y ) Y Z kaikilla sopivan kokoisilla matriiseilla Z, ja yhtäsuuruus on voimassa, kun Z 0 Tarkastellaan yhtälöä Im A 0 AB Iq 0 0 ABC AB AB Iq 0 0 I n BC B C I p BC B C I p ABC 0 0 B Tästä ratkaisemalla saadaan epäyhtälö 0 AB rank(ab) + rank(bc) rank rank(abc) + rank(b), BC B mistä epäyhtälö (311) seuraa rank(abc) rank(ab) + rank(bc) rank(b) Lause 39 Olkoot A ja B m n -matriiseja Olkoon ositettu matriisi C [ ] A I m I m ja D B 23

Silloin rank(a + B) rank(a) + rank(b) dim(im D Ker C) dim(im A Im B ) Erityisesti pätee rank(a + B) rank(a) + rank(b) Todistus Oletusten perusteella A + B [ I m ] A I m CD B Lauseen 37 perusteella saadaan (312) rank(a + B) rank(cd) rank(d) dim(im D Ker C) Saadaan rank(d) rank(d ) rank [ A B ] dim Im [ A B ] dim(im A + Im B ) dim Im A + dim Im B dim(im A Im B ) rank(a ) + rank(b ) dim(im A Im B ) rank(a) + rank(b) dim(im A Im B ) Sijoitetaan saatu tulos yhtälöön (312), jolloin saadaan eli rank(a + B) rank(a) + rank(b) dim(im A Im B ) dim(im D Ker C) rank(a + B) rank(a) + rank(b) dim(im D Ker C) dim(im A Im B ) 24

36 Tulojen AB ja BA ominaisarvot Aloitetaan tarvittavilla ominaisarvon ja similaarisuuden määritelmillä Määritelmä 33 Skalaari λ C on neliömatriisin A ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori x 0, että Ax λx Silloin vektori x on ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori Määritelmä 34 Olkoot A, B F n n Matriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa sellainen kääntyvä matriisi Q, että B Q 1 AQ Huomautus 33 Similaarisilla matriiseilla A ja B on samat ominaisarvot Samankokoisten neliömatriisien A ja B tulot AB ja BA eivät välttämättä ole yhtä suuret, eivätkä similaariset keskenään Lause 310 Olkoon A C m n ja B C n m Tulojen AB ja BA nollasta poikkeavat ominaisarvot ovat samat ja useampikertaiset ominaisarvot esiintyvät kummassakin täsmälleen yhtä monta kertaa Zhang esittää kirjassaan [2, s 51-53] lauseelle 310 neljä erilaista todistusta Käsitellään niistä seuraavaksi kolme ja käsitellään neljäs seuraavassa kappaleessa Todistus 1 Todistetaan determinanttien avulla Kerrotaan matriisi λim A kahdella eri alkeismuunnosmatriisilla Saadaan matriisit Im A λim A λim AB 0 0 λi n B I n λb λi n ja Im 0 λim A B λi n B I n B I n λim A 0 λi n BA Koska alkeismuunnosmatriisilla kertominen ei muuta determinantin arvoa, ottamalla determinantti yhtälöistä saadaan (313) λ n det(λ m I m AB) det(λi n ) det(λi m AB) λim AB 0 det λb λi n λim A det 0 λi n BA det(λi m ) det(λi n BA) λ m det(λ n I n BA) 25

Oletetaan, että ominaisarvo λ 0 Tällöin yhtälöstä (313) saadaan, että det(λi m AB) 0, jos ja vain jos det(λi n BA) 0 Tästä seuraa, että tuloilla AB ja BA on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot Todistus 2 Todistetaan matriisien similaarisuuden avulla Aloitetaan tarkastelemalla ositettua matriisia 0 0 B 0 Tehdään matriisille alkeisrivimuunnos lisäämällä ensimmäiseen riviin toinen rivi kerrottuna vasemmalta matriisilla A, jolloin saadaan Im A 0 0 AB 0 (314), 0 I n B 0 B 0 ja tekemällä vastaava alkeissarakemuunnos saadaan 0 0 Im A 0 0 (315) B 0 0 I n B BA Yhtälöstä (314) saadaan 1 0 0 Im A AB 0, B 0 0 I n B 0 ja sijoittamalla tämä yhtälöön (315) saadaan 1 Im A AB 0 Im A 0 0 0 I n B 0 0 I n B BA Siis matriisit [ AB ] 0 B 0 ja [ 0 0 ] B BA ovat similaariset Siis matriiseilla AB ja BA on samat nollasta eroavat ominaisarvot Todistus 3 Osoitetaan, että matriisi λi m AB on singulaarinen, jos ja vain jos matriisi λi n BA on singulaarinen Voidaan oletetaan, että ominaisarvo λ 1, koska jos λ 1, niin kerrotaan se termillä 1 λ Oletetaan ensin, että I m AB on kääntyvä ja merkitään käänteismatriisia symbolilla X (I m AB) 1 Todistetaan sitten, että I n BA on kääntyvä Ratkaistaan lauseke (I n BA)(I n BXA) I n + BXA BA BABXA I n + (BXA BABXA) BA I n + B(I m AB)XA BA I n + BA BA I n 26

Siis matriisi I n BA on kääntyvä määritelmän 27 mukaan Oletetaan sitten, että I n BA on kääntyvä, ja merkitään käänteismatriisia symbolilla Y (I n BA) 1 Todistetaan, että I m AB on kääntyvä Ratkaistaan lauseke vastaavasti kuin edellä (I m AB)(I m AY B) I m + AY B AB ABAY B I m + (AY B ABAY B) AB I m + A(I n BA)Y B AB I m + AB AB I m Nyt voidaan siis päätellä, että λi m AB on singulaarinen, jos ja vain jos matriisi λi n BA on singulaarinen Siis det(λi m AB) 0, jos ja vain jos det(λi n BA) 0 Tästä seuraa, että tuloilla AB ja BA on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot 37 Jatkuvuusperiaate Jatkuvuusperiaate on yksi yleisimmin käytetyistä tekniikoista matriisiteoriassa Käytetään tätä tekniikkaa edellisen kappaleen lauseen 310 todistamiseen Esimerkki 311 [2, s 52-53] Osoitetaan, että matriiseilla AB ja BA on samat nollasta eroavat ominaisarvot, kun matriisit A ja B ovat samankokoiset neliömatriisit Oletetaan ensin, että A on kääntyvä Matriisit AB ja BA ovat similaariset [Ks lauseen 310 todistus], eli AB A(BA)A 1 Siis matriiseilla on samat ominaisarvot Oletetaan sitten, että A on singulaarinen Korvataan matriisi A matriisilla A + εi ja tarkastellaan polynomia det(a + εi) Valitaan sellainen nollakohta δ > 0, että A + εi on kääntyvä kaikilla muuttujan ε arvoilla, kun 0 < ε < δ Siis matriiseilla (A + εi)b ja B(A + εi) on samat ominaisarvot, kun ε (0, δ) Merkitsemällä karakteristiset polynomit yhtä suuriksi saadaan det(λi (A + εi)b) det(λi B(A + εi)), kun 0 < ε < δ Yhtälön molemmat puolet ovat muuttujan ε jatkuvia funktioita Kun ε > 0 lähestyy nollaa, niin det(λi AB) det(λi BA) Siis matriiseilla AB ja BA on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot 27

Todistaminen jatkuvuusperiaatetta käyttäen tehdään kolmessa vaiheessa 1 osoitetaan, että väite pätee, kun A on kääntyvä, 2 korvataan singulaarinen A kääntyvällä matriisilla A + εi, 3 käytetään funktion jatkuvuutta halutun lopputuloksen saamiseen Kaikissa tapauksissa jatkuvuusperiaate ei kuitenkaan auta saamaan ratkaisua Seuraavaksi esimerkki tällaisesta tapauksesta Lause 311 Olkoot C ja D sellaisia n n -neliömatriiseja, että CD T + DC T 0 Jos D on kääntyvä, niin A C B D det(adt + BC T ), missä A ja B ovat n n -neliömatriiseja Yhtälö ei päde yleisesti, jos D ei ole kääntyvä Todistus Oletetaan, että matriisi D on kääntyvä Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä A B D T 0 AD C D C T T + BC T B AD I CD T + DC T T + BC T B D 0 D Otetaan determinantti ensin yhtälön vasemmasta puolesta ( ) A B D T 0 A B D T 0 det C D C T det det I C D C T I A B det det D T C D ja sitten yhtälön oikeasta puolesta lauseen 33 perusteella AD det T + BC T B det(ad T + BC T ) det D 0 D Koska det D T det D, niin saadaan A B C D det(adt + BC T ) 28

Esimerkki 312 Olkoon M ositettu matriisi a b c d [ M 0 f g h A 0 0 k 0 C 0 0 0 p ] B, D jossa alimatriisi D on kääntyvä matriisi Tällöin 0 0 k 0 C T ja D T, 0 0 0 p joten saadaan 0 0 k 0 CD T + DC T + 0 0 0 p [ k 0 0 p Lasketaan matriisin M determinantti a b c d det 0 f g h 0 0 k 0 afkp 0 0 0 p Lauseen 311 mukaan saadaan ] 0 0 0 0 0 det M det(ad T + BC T ) ( ) a b k 0 c d 0 0 det + 0 f 0 p g h 0 0 ak bp akfp 0 fp Esimerkki 313 Olkoon matriisi M ositettu seuraavasti 1 0 0 0 M 0 0 0 1 A B 0 1 0 0 C D 0 0 1 0 Tällöin joten edelleen saadaan C T 0 0 1 0 ja D T CD T + DC T 0 0 1, 0 0 Nyt alimatriisi D ei kuitenkaan ole kääntyvä Saadaan, että 0 1 det(ad T + BC T ) det 1, 1 0 29

mutta matriisin M determinantti on det M 1 Siis det M det(ad T + BC T ) 30

Viitteet [1] K Abadir and J Magnus, Matrix algebra, Cambridge University Press, New York, 2005 [2] F Zhang, Matrix theory: basic results and techniques, Springer-Verlag, New York, 1999 31