454918 PIENET GEOMETRISET KAPPALEET Geometristen kappaleiden tilavuudet



Samankaltaiset tiedostot
Avaruusgeometrian perusteita

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

Kartio ja pyramidi

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

MAA03.3 Geometria Annu

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.

3 Avaruusgeometria. Lieriö a) V = = (cm 3 ) cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = = 450 (cm 3 )

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien

Avaruuslävistäjää etsimässä

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.

Öljysäiliö maan alla

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Siltaaminen: Piaget Matematiikka Inductive Reasoning OPS Liikennemerkit, Eläinten luokittelu

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0, dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

MFKA-Kustannus MAOL-Palvelu. Matematiikan välineitä

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä.

1 Kertausta geometriasta

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

AURINKOUUNI. Tarvittavat taidot: Senttimetrien mittaus, askartelutaidot ja taulukoiden käyttö.

sanat nimet kätensä toimia toistaa ymmärtänyt

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

Matematiikka vuosiluokat 7 9

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 1-2 (päivitetty )

a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin.

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Loppukilpailu perjantaina OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20. Peruskoulun matematiikkakilpailu

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / 3

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset


Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Suorakulmainen kolmio

Kenguru 2010 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 5

Kenguru 2019 Student lukio

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TEHTÄVÄVINKKEJÄ MATEMATIKKAAN

Ammattimatematiikan tuki

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Trestima Oy Puuston mittauksia

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5

10. Kerto- ja jakolaskuja

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

RAKENNA AURINKOKATTILA

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Tuen tarpeen tunnistaminen

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

Trestima Oy Puuston mittauksia

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA

1 lk Tavoitteet. 2 lk Tavoitteet

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on Nelikulmion kulmien summa on 360.

Transkriptio:

Ohje Tevellan tuotteelle Viinikankatu 49 A, 33800 Tampere Puh (03) 380 5300, Fax (03) 380 5353 E-mail: myynti@tevella.fi, www.tevella.fi Pieni kuutio V=AxH V=(sxs)xH V=(2,5x2,5)x2,5 V=15,6 cm 3 Suuri kuutio V=AxH V=(sxs)xH V=(5x5)x5 V=125 cm 3 Pieni V=AxH V=(lxw) xh V=(2,5x2,5)x5 V=31,3 cm 3 suorakulmainen Suuri V=AxH V=(lxw) xh V=(2,5x5)x5 V=62,5 cm 3 suorakulmainen Kuusisivuinen V=AxH V=(wx3/2xs)xH V=( 4,4x3/2x2,5)x5 V=82,5 cm 3 suora Suuri V=AxH V=(l/2xbxh)xH V= 1/2x(5x4,4)x5 V=55 cm 3 kolmisivuinen suora Pieni V=AxH V=(l/2xbxh)xH V= 1/2x(2,5x2,2)x5 V=13,8 cm 3 komisivuinen suora Säännöllinen V=1/3AxH V=1/3 (1xw)xH V=1/3(5x5)x5 V=41,7 cm 3 nelisivuinen Säännöllinen V=1/3AxH V=l/3(1/2xbxh)xH V=1/3(1/2x5x4,4) x5 V=18,3 cm 3 kolmisivuinen pyramidi Pallo V =4/3 x r 3 V=4/3 x r 3 V=4/3 x 2,5 3 V=65,4 cm 3 Pieni V=AxH V=( x r 2 )xh V= x(l,25) 2 x5 V=24,5 cm 3 ympyrälieriö Suuri V=AxH V=( x r 2 )xh V= x(2,5) 2 x5 V=98,2 cm 3 ympyrälieriö Suora V=l/3AxH V=1/3( x r 2 )xh V=1/3 x x(2,5) 2 x5 V=32,7 cm 3 ympyräkartio 454918 PIENET GEOMETRISET KAPPALEET Geometristen kappaleiden tilavuudet Puolipallo V=1/2x(4/3 x r 3 ) V=1/2x(4/3 x r 3 ) V=l/2x(4/3 x2,5 3 ) V=32,7 cm 3 1

ESITTELY Sarja sisältää 14 muovista, kolmiulotteista geometrista kappaletta, jotka mahdollistavat käytännön työskentelyn tilavuuksien parissa. Kappaleita voidaan helposti käyttää päivittäisten matematiikan tuntien aikana erilaisten käsitteiden esittelyyn, opettamiseen sekä harjoitteluun. Ne mahdollistavat konkreettisten yhteyksien löytämisen kappaleiden ja matemaattisten kaavojen välille. Eri kappaleiden välisiä yhteyksiä on myös helppo havaita, kun kappaleet ovat konkreettisesti käsiteltävissä. Useimmat sarjan kappaleista ovat muunnelmia lieriöistä tai kartioista. Nämä ovat monitahokkaita. ovat kiinteitä kappaleita, joissa on litteät seinät eli tahkot. Tahkot voivat kohdata toisensa pisteessä eli kulmassa tai pitkittäin sivulla; Lieriöissä on kaksi yhtenevää pohjaa, ja tahkot ovat suorakulmioita. Kartioissa taas on yksi pohja, ja tahkot ovat kolmioita. Kolmessa sarjan kappaleista on litteiden tahkojen sijasta kaarevat sivuseinät. Nämä kappaleet ovat ympyrälieriö, kartio ja pallo. Nämä eivät ole monitahokkaita. Ympyrälieriö voidaan kuitenkin ajatella eräänlaisena pyöreänmuotoisena lieriönä. Se on kappale, jossa on yhtenevät, pyöreät pohjat ja yksi kaareva seinä. Ympyräkartio taas on kartio, jossa on yksi, pyöreä pohja ja kaareva seinä, jota kutsutaan vaipaksi. Pallo on täysin yksilöllinen kappale. Sillä ei ole yhteneväisyyttä lieriöihin tai kartioihin. Oppilaistasi saattaa tuntua vaikealta ajatus opetella tilavuuden kaavoja yli 12 geometrisen kappaleen avulla. Kuitenkin kaavojen muistamista helpottaa huomattavasti oivallus siitä, että ainoastaan pohjan pinta-alan laskukaava vaihtuu kappaleesta toiseen. Toiset muuttujat lasketaan kappaleesta huolimatta aina samalla tavalla. ALOITTAMINEN Anna oppilaittesi tutustua kappaleisiin ennen varsinaisten harjoitusten aloittamista. Voitte tutustua lieriöihin ja kartioihin eri päivinä. Rohkaise oppilaitasi käsittelemään ja havainnoimaan kappaleita sekä keskustelemaan havainnoistaan. Kehota heitä kirjoittamaan ylös havaintojaan mm. seuraavista asioista. Millä tavoin kappaleet ovat samanlaisia? (Palloa lukuun ottamatta kaikissa on sama korkeus. Ne ovat kaikki onttoja. Ne ovat kaikki kolmiulotteisia.) Kuinka kappaleet eroavat toisistaan? (Joissakin kappaleissa on litteät sivut, joissakin kaarevat. Jotkut ovat laatikon mallisia, jotkut pyöreitä ja jotkut kolmiomaisia.) Missä oppilaat ovat havainneet näitä kappaleita luonnossa? (Egyptin pyramidit, liikennekartiot, filmirullat, jalkapallot, liidunpalat, laatikot, huulipunat jne.) Esittele ja havainnollista seuraavat käsitteet; tahko, särmä, kulma ja pohja. Mainitse oppilaille, että näiden geometristen kappaleiden pohja on aina vihreä. Kysy oppilailtasi kuinka he itse luokittelisivat geometriset kappaleet omiin ryhmiinsä muotojen perusteella. Kirjoita vastaukset taululle. Seuraavaksi määrittele kartiot ja lieriöt. Anna luokallesi molemmista esimerkit. Pyydä oppilaitasi tekemään luokittelu uudestaan saamien tietojensa perusteella. Keskustelkaa ja selvittäkää myös ympyrälieriö, pallo ja ympyräkartio. Tehkää seuraavanlainen taulukko vihkoihin havaintojen kirjaamista varten. 2

KAPPALE Pohjien määrä Pohjien muoto Tahkojen Särmien määrä Kulmien määrä määrä Pieni kuutio Suuri kuutio Pieni suorakulmainen Suuri suorakulmainen Kuusi sivuinen suora Kolmisivuinen suora Säännöllinen nelisivuinen pyramidi Säännöllinen kolmisivuinen pyramidi Pallo Pieni ympyrälieriö Suuri ympyrälieriö Ympyräkartio Näytä oppilaille pahvilaatikko ja kysy onko laatikko lieriö vai kartio. Pyydä vapaaehtoinen näyttämään laatikosta pohjat, tahkot, särmät ja kulmat. Ota toinen laatikko ja pyydä jotain toista oppilasta esittelemään siitä samat asiat. Tässä vaiheessa oppilaiden on hyvä tehdä omia pienoismallejaan. Voitte rakennella niitä esimerkiksi hammastikuista ja kuminpaloista, oljesta ja langasta tai vaikkapa norkoista. Kun käsittelette matemaattisia kaavoja, pyydä oppilaitasi esittämään omilla kappaleillaan miten ja miksi kaava toimii. Tilavuuteen tutustuminen Tilavuus tai kappaleen vetoisuus sekoitetaan usein pinta- alaan. Ensisilmäyksellä näiden kaavat muistuttavatkin hieman toisiaan. Helppo tapa näiden kahden käsitteen vertailuun on selittää, että pinta- ala on tila kappaleen ulkopuolella, kun taas tilavuus on tila kappaleen sisäpuolella. Keskustelkaa tilavuuden merkityksestä. Anna oppilaille esimerkkejä, kuten on tärkeää tietää kuinka paljon uima- altaaseen mahtuu vettä, kuinka paljon happisäiliössä on ilmaa tai kuinka paljon sementtiä sementtimyllyyn mahtuu. Keksikää lisää esimerkkejä. Oppilaat ymmärtävät tilavuuden käsitteen paremmin kun heillä on mahdollisuus rakennella, mittailla ja täyttää erilaisia kappaleita. Geometrisissä kappaleissa on irrotettava pohja, joten ne voidaan 3

täyttää vedellä, hiekalla, riisillä tms. materiaaleilla. Oppilaat voivat vertailla eri kappaleiden tilavuuksien suhteita toisiinsa helposti vain täyttämällä yhden kappaleen jollain materiaalilla ja kaatamalla sitten sen sisällön toiseen kappaleeseen. Jos teette tarkkoja mittauksia mitta-asteikollisella ympyrälieriöllä, varmista että oppilaat osaavat mitata tuloksen vesirajan alareunasta. (Kapillaari-ilmiö nostaa vesirajan reunat ylöspäin.) Oppilaat voivat tehdä tilavuuslaskuja lukemalla mitta-asteikollisesta ympyrälieriöstä alkupisteen ja täytönjälkeen loppupisteen. Mittaus kannattaa tehdä ainakin kolme kertaa mahdollisten virheiden eliminoimiseksi. Täyttäkää ensin iso mitta- asteikollinen lieriö hiekalla lähes täyteen ja laittakaa ylös mittauslukema. Kaatakaa nyt lieriöstä hiekkaa toiseen kappaleeseen. Lukekaa nyt lieriössä jäljellä olevan hiekan määrä ja vähentäkää se alkutilanteen mittauslukemasta. Lukujen erotus on sen hiekan tilavuus, jonka kaadoitte toiseen kappaleeseen. Rakentakaa senttikuutioilla malli suorakulmaisesta stä havainnollistamaan tilavuuden kaavan muodostumista; muuttujat ovat syvyys, leveys ja korkeus. Seuraavaksi tarvitset senttikuutioita sekä pienen laatikon (esimerkiksi tyhjä rusinalaatikko). Laita laatikko kyljelleen ja liitä kuutioista laatikon leveyden mittainen sauva. Tee vielä sauvat jotka ovat yhtä pitkät kuin laatikon pituus ja korkeus. Täytä kuutioilla loput kerrokset ja tee kuutioista alkuperäisen mallin kokoinen laatikko. Huomaa! Kulmapalat ovat samat syvyydelle ja leveydelle sekä korkeudelle, joten joudut poistamaan kahdesta kulmasauvasta palat säilyttääksesi alkuperäisen koon. Pyydä oppilaitasi arvioimaan mikä on geometrisista kappaleista suurin ja mikä pienin. Oppilaat voivat myös täyttää kappaleita tai tehdä senttikuutiomalleja tarkempia päätelmiä varten. Esitellessäsi oppilaille tilavuuskaavat rohkaise heitä käyttämään geometrisia kappaleita vertailukohtana. Voit myös kopioida kannen taulukon heille tueksi. Kun olette saaneet alustuksen valmiiksi, oppilaat voivat laskea matemaattisesti jokaisen kappaleen tilavuuden varmistaakseen alkuperäisten arvioidensa paikkansapitävyyden. TILAVUUDEN LASKUKAAVAT Lieriöt Lieriön tilavuuden laskeminen tapahtuu yksinkertaisesti kertomalla korkeus pohjan pinta- alalla: Tilavuus(V)=A x H A= pohjan pinta-ala Pohjan pinta- alan kaava riippuu pohjan muodosta. 4

Suorakulmainen = (1 x w) x H Kuutio = (s x s) x H A= pohjan pinta- ala s= sivun pituus Kolmisivuinen suora = (1/2 b x h) x H A= kolmiopohjan pinta- ala (1/2 b x h) h= kolmion korkeus Kuusisivuinen suora A= kuusikulmio- pohjan pinta-ala Selitä, että kuusikulmion pinta- ala lasketaan seuraavasti: A= w x 3/2 s w= kuusikulmion leveys s= sivun pituus Ympyrälieriö Tilavuus(V)= A X H =( r 2 ) x H 5

Kartiot Esittele peruskaava kartioiden tilavuuden laskemiseen: Pyydä oppilaitasi selittämään ero tämän kaavan ja lieriön tilavuuden peruskaavan välillä. (Muuttuja 1/3 lisätty). Jos oppilaat muistavat ulkoa lieriön kaavan, on helppoa oppia myös kartion kaava. Kerrotaan vaan kaava 1/3. Voit demonstroida tämän geometrisillä kappaleilla kaatamalla kolme pyramidillista hiekkaa vastaavan kokoiseen lieriöön. Nelisivuinen pyramidi = 1/3 (s x s) x H H Kolmisivuinen pyramidi (Tetra) = 1/3 (1/2 b x h) x H Ympyräkartio = 1/3 (r) x H Pallo Tilavuus(V)= 4/3 r 3 Pallon tilavuuden kaavan määritteleminen matemaattisesti on vaikeampaa kuin tämä opas vaatii. Oppilaiden tulisi opetella tämä kaava ulkoa. r 6