Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä A1. Antiikin kreikkalainen monitieteilijä Eratosthenes (276-194) eaa. onnistui ensimmäisenä mittaamaan 240 eaa. maapallon ympärysmitan Syenen S ja Aleksandrian A välimatkan avulla. Kun auringonvalo osui kohtisuoraan Syenessä olevaan kaivoon, niin samalla hetkellä auringonsäteet muodostivat muodostivat kulman α pohjoisempana Aleksandriassa olevan kepin kanssa (ks. kuva). Aleksandria on samalla pituuspiirillä kuin Syene. Kulma α on sama kuin Aleksandriaan ja Syeneen piirrettyjen maapallon säteiden välinen kulma. Kulman α suuruudeksi Erastosthenes sai = 7,2 eli on Maan ympärysmitasta 1/50 osa. Aleksandrian ja Syenen välinen etäisyys b = 5 000 stadionia. (1 stadion = 157 metriä). (Antiikin Kreikassa käytössä kolme hieman toisistaan poikkeavaa stadion-yksikköä). a) Minkä arvon Eratosthenes sai näillä arvoilla maapallon ympärysmitalle? b) Vertaa tulosta taulukon arvoon maapallon ympärysmitalle: 2π 6367 km. c) Kuinka monta prosenttia Erastostheneen tulos poikkeaa taulukon arvosta? [V: a) 39 250 km, b) 40 005 km, c) 2 %].
A2. Kreikkalainen Eratosthenes (276-195) eaa. päätteli Kuun läpimitan Maahan verrattuna. Hän tarkasteli kuunpimennyksen aikana Kuun liikettä Maan varjossa ja sai Kuun läpimitaksi (halkaisijaksi) noin -osan maapallon halkaisijasta. Maapallon läpimitaksi oli jo aiemmin saatu noin 40 000 km : π 12 700 km. Kuun läpimitta oli siis 12700 3200. Seuraavaksi Eratostheneen olikin helppo arvioida Kuun etäisyys Maasta. Yksi keino on katsella täysikuuta, sulkea toinen silmä ja ojentaa käsivarsi suoraksi. Tällöin Kuu voidaan peittää etusormen kynnellä (ks. kuvio). suuri kolmio Kuu pieni kolmio etusormen kynsi Kuvasta nähdään, että voidaan muodostaa kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Kynnestä ja silmästä muodostuu pienempi kolmio sekä Kuusta ja silmästä suurempi, edellisen kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio. Voidaan siis kirjoittaa verrantoja. a) Jos käsivarren pituuden ja sormen kynnen suhde on 100 : 1, niin kuinka suuri on Maan ja Kuun välinen etäisyys? b) Vertaa saatua tulosta taulukon arvoon Maan ja Kuun keskietäisyydelle: 384 400 km. Kuinka monta prosenttia tulos poikkeaa taulukon arvosta? Huom! Kuun keskietäisyys on Maan ja Kuun keskipisteiden välinen etäisyys. [V: a) 320 000 km Maan pinnasta, b) 20 %].
A3. Eräs varhaisempia menetelmiä maapallon koon määrittämiseksi on kreikkalaisen Poseidoniuksen (135-51) eaa. kehittämä mittausmenetelmä (ks. kuva). Hän havaitsi Canopus-tähden C nousevan Rhodoksella R juuri ja juuri horisontin yläpuolelle, mutta Rhodokselta likipitäen etelään sijaitsevassa Aleksandriassa kohoavan samanaikaisesti seitsemän ja puolen asteen (7,5 o ) korkeuteen. Koska hän tiesi etäisyyden Rhodokselta Aleksandriaan olevan meritse 5 000 stadionia, hän pystyi päättelemään maapallon ympärysmitan (vrt. tehtävä A1). Huomaa, että Canopuksen lähettämät valonsäteet saapuvat tähden suuren etäisyyden vuoksi Rhodokselle ja Aleksandriaan yhdensuuntaisina. Oletetaan, että Poseidoniuksen käyttämä pituusmitta stadion oli 167 metriä. a) Laske, minkä arvon maapallon ympärysmitalle Poseidonus sai mittausmenetelmällään. b) Vertaa tulosta Eratostheneen mittaukseen (tehtävä A1) sekä taulukon arvoon maapallon ympärysmitalle: 2π 6367 km. c) Kuinka monta prosenttia Poseidoniuksen tulos poikkeaa taulukon arvosta? [V: a) 40 080 km, b) +830 km, +80 km, c) 0,2 %].
A4. Kreikkalainen tähtitieteilijä Aristarkhos (noin. 310-230) eaa. ehdotti 200-luvulla eaa. ensimmäisenä heliosentristä eli aurinkokeskeistä aurinkokuntaa, jonka mukaan Maa kiertää Aurinkoa. Aristarkhos arvioi Auringon ja Kuun etäisyyden mittaamalla puolikuun hetkellä Kuun ja Auringon välisen kulman α, joka ei ole aivan suora kulma (ks. kuva). Hän sai kulmalle arvon α = 87 o. a) Jos Maan ja Kuun etäisyys on d, niin kuinka moninkertaiseksi hän sai Auringon ja Kuun etäisyyden (d:n avulla). b) Laske myös taulukon avulla (MAOL s. 112(108)) oikea arvo ko. suhteelle: ä. [Vast. a) 19 d, b) 390]. ä Kuu x d α = 87 o Aurinko Maa
A5. Auringon koko voidaan arvioida, kun sen etäisyys tiedetään. Yksi tapa on käyttää täydellistä auringonpimennystä ja tietoamme Kuun etäisyydestä ja läpimitasta. Täydellinen auringonpimennys näkyy vain lyhyen aikaa ja pienellä alueella, koska Aurinko ja Kuu ovat Maasta katsoen melkein samankokoiset. Alla oleva kuva (ei mittakaavassa) osoittaa, että auringonpimennyksen havaitsija on kahden yhdenmuotoisen kolmion kärjessä. Ensimmäisen kolmion kanta on Kuussa ja toisen Auringossa. Nykyään tiedetään, että Maan keskimääräinen etäisyys kuusta on 384 400 km ja Auringosta 150 10 6 km sekä Kuun läpimitta on 3480 km. suuri kolmio pieni kolmio Aurinko Kuu Maa a) Laske näiden tie tojen avulla yhdenmuotoisista kolmioista Auringon säteen suuruus. b) Laske Auringon tilavuus. c) Vertaa a)- ja b)-kohdan tuloksia taulukon arvoihin. [Vast. a) 6,79 10 8 m, b) 1,31 10 27 m 3, c) 6,960 10 8 m ja 1,412 10 27 m 3 ]. A6. Kuinka korkealle x on Helsingistä noustava kohtisuoraan ylöspäin, jotta pohjoisnapa näkyisi? Helsinki sijaitsee 60 leveyspiirillä (ks. kuva). Maapallo oletetaan ympyräksi, jonka säde R = 6370 km ja näkeminen oletetaan esteettömäksi. R Vihje : Ratkaise x lausekkeesta cos30 o = R + x. [V: 985 km].
A7. Avaruussukkula lentää 280 km:n korkeudella maan pinnasta. Voivatko astronautit sään salliessa nähdä Floridassa sijaitsevan Cape Canaveralin kun sukkula on täsmälleen Texasin Houstonin yläpuolella? Houstonin ja Cape Canaveralin etäisyys on 1400 km ja maapallon säde 6370 km. [V: Kyllä]. A8. Satelliitti kiertää 4 500 km korkeudella maata pysyen maan suhteen paikallaan päiväntasaajan ja Helsingin pituuspiirin tasossa. Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä, ja maapallon säde on 6 370 km. Näkyykö satelliitti Helsingin horisontin yläpuolella? [V: Ei]. A9. Kuu näkyy Maasta 0,52 :n suuruisessa kulmassa. Laske Kuun etäisyys Maasta, kun Kuun halkaisija on 3 476 km. [V: 381 300 km]. A10. Jos lähtisit Helsingistä ja kulkisit koko ajan suoraan länteen, kuinka pitkän vaelluksen jälkeen olisit jälleen Helsingissä. Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä. Maapallon säde on 6370 km. [V: 20 000 km]. A11. Maapallon pinnasta 71 % on veden peitossa. Mikä on maapallon vesialueiden yhteispinta ala, kun maapallon säde on 6 370 km? [V: 3,62 10 8 km 2 ]. A12. Helsingin ja Pekingin välinen lyhin etäisyys on 6 320 km. Kuinka korkealla suoraan Helsingin yläpuolella olevan satelliitin pitäisi olla, että sieltä olisi näköyhteys Pekingiin? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 5290 km]. A13. Satelliitti on suoraan Pohjoisnavan yläpuolella 3150 km:n korkeudessa. Näkyykö se New Yorkin horisontin yläpuolella, kun New York sijaitsee leveyspiirillä 41 o? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: Ei]. A14. Helsingin Olympiastadionin tornin korkeus on 72 m. Kuinka pitkälle tornista näkee? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 30 km]. A15. Satelliitti kiertää maapalloa päiväntasaajan yläpuolella 5 500 kilometrin korkeudella. Onko satelliitista suora näköyhteys Helsinkiin silloin, kun satelliitti on Helsingin kautta kulkevan pituuspiirin yläpuolella? Maapallon säde on 6 370 km ja Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä. [V: Ei]. A16. Kuu on avaruusaluksen ja Maan välissä. Avaruusaluksesta katsoen Kuu peittää juuri ja juuri Maan taakseen. Kuinka kaukana Kuun pinnasta avaruusalus tällöin on? Maan säde on 6 367 km, Kuun säde on 1 738 km, ja Kuun ja Maan keskipisteiden etäisyys on 384 400 km. [V: 143 000 km]. A17. Avaruusalus kiertää maata ympyrän muotoista rataa. Aluksen korkeutta nostetaan 20,0 km. Kuinka paljon kiertorata pitenee? [V: 126 km]. A18. Kuinka suuressa kulmassa Maa näkyy Kuusta? Kuun ja Maan välinen lyhin etäisyys on noin 384 000 km ja Maan säde 6 400 km. [V: 1,9 o ].
A19. Kaksi kaupunkia sijaitsee pohjoisella pallonpuoliskolla samalla pituuspiirillä. Kaupunkien välimatka on 333 km. Toinen on 37 o - leveyspiirillä ja toinen on tästä suoraan pohjoiseen. Määritä toisen kaupungin leveyspiiri, kun maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 40 o ]. A20. Tukholmassa sijaitsevan pallomaisen hallin Globenin läpimitta on 110 metriä. Katsoja mittasi kahden euron kolikon läpimitaksi 26 mm ja piti kolikkoa 70 cm:n etäisyydellä silmästään. Tällöin Globen jäi melko tarkasti kolikon peittoon. Laske katsojan etäisyys Globenista. [V: 3,0 km]. A21. Helsingin ja Turun välimatka on 165 km. Jos Helsingin ja Turun välille rakennettaisiin suora tunneli, kuinka monta metriä olisi sen suurin etäisyys maanpinnasta? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 535 m]. A22. Kaverisi väittää nähneensä Helsingistä kerrostalon katolta Tallinnaan. Tallinna sijaitsee Helsingistä likimain etelään, meritse noin 80 km päässä. Maapallon säde on noin 6370 km. Kuinka korkealle Helsingissä pitäisi kavuta, jotta voisi (teoriassa) nähdä Tallinnaan? [V: 500 m]. A23. Päiväntasaajan yläpuolella maapallon suhteen paikallaan pysyvä satelliitti näkyy Helsingistä suoraan etelään 4,0 o horisontin yläpuolella. Helsinki sijaitsee 60 o leveyspiirillä pohjoista leveyttä. Mikä on satelliitin korkeus maanpinnasta? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 8130 km]. A24. Satelliitti kiertää Maata ympyräradalla. Laske paljonko sen kiertorata lyhenee, jos se siirtyy 150 km alemmalle, Maata lähempänä olevalle, radalle. [V: 940 km]. A25. GPS-paikanninsatelliitti on 20 200 km:n korkeudella maanpinnasta. Laske satelliitin maapallon pinnalta kattaman alueen säde. Maapallon säde on 6 370 km. [V: 8500 km]. A26. Avaruusaluksesta nähdään juuri horisontissa oleva satelliitti. Satelliitti ja avaruusalus ovat yhtä etäällä maanpinnasta, ja niiden etäisyys toisistaan on 10 000 km. Laske niiden etäisyys maanpinnasta. Maapallon säde on 6370 km. [V: 1700 km]. A27. Aurinko ja Kuu näkyvät Maasta katsottuna jokseenkin samankokoisina. Kun Kuu osuu kiertoradallaan Maan ja Auringon väliin, nähdään Maassa auringonpimennys. a) Piirrä kuva tilanteesta, jossa Kuu peittää Auringon (täydellinen auringonpimennys) b) Laske yhdenmuotoisten kolmioiden avulla Auringon halkaisija, kun tiedetään, että Maan etäisyys Auringosta on 149 600 000 km, Maan etäisyys Kuusta on 384 400 km ja Kuun säde on 1 738 km. [V: b) 1 350 000 km]. A28. Tietoliikennesatelliitti näyttää pysyvän jatkuvasti samassa kohdassa noin 36 000 km:n korkeudessa maanpinnan yläpuolella. Kuinka suuressa kulmassa maapallo tällaisesta satelliitista näkyy, kun Maan säde on 6 370 km? [V: 17 o ]. A29. Millä etäisyydellä silmästä biljardipallo näyttää yhtä suurelta kuin Kuu? Biljardipallon halkaisija on 52,5 mm. Kuun halkaisija on 3 476 km ja keskietäisyys Maasta 384 400 km. [V: 581 cm]. A30. Helsingin yliopiston tähtitornin pallokoordinaatit ovat 60 o 9 42,6 N ja 24 o 57 17 E. Mitä nämä tarkoittavat? Ilmoita koordinaatit asteina. [V: 60,16 o N, 24,95 o ].
A31. Kuinka pitkä on leveyspiiri 60 o pohjoista leveyttä? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 20 000 km]. A32. Kravun kääntöpiiri on leveyspiiri noin 23,5 astetta pohjoista leveyttä eli sijaitsee maan akselin kaltevuuskulman etäisyydellä päiväntasaajasta. Se on pohjoisin kohta, jonne Aurinko voi paistaa kohtisuoraan ylhäältä eli zeniitistä. Tämä tapahtuu kerran vuodessa, kesäpäivänseisauksen aikaan kesäkuussa. Nimitys Kravun kääntöpiiri johtuu siitä, että antiikin aikana Aurinko oli, ollessaan siihen nähden zeniitissä, Maasta katsottuna tähtitaivaalla Kravun tähdistön suunnassa. Maapallon säde on 6370 km. Kuinka pitkä on Kravun kääntöpiiri? [V: 36 700 km]. A33. Budapestissa (48 o N, 19 o E) asuva Sandor keskustelee puhelimassa Monterreyssa (25 o N, 101 o W) asuvan ystävänsä Felipen kanssa kevätpäiväntasauksen päivänä (21.3). Sandor kertoo Auringon juuri nousevan Budapestissä. Kuinka kauan kestää, ennen kuin Felipe voi nähdä Auringon nousun? [V: 8 tuntia]. A34. Rovaniemen lentokenttä (66 o 34 N, 25 o 50 E) sijaitsee lähellä napaiiriä. Laske kentän etäisyys päiväntasaajasta. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 7 400 km]. A35.Trondheim ja Tunis sijaitsevat samalla pituuspiirillä 10 o itäistä pituutta. Kuinka pitkä matka on Trondheimista (63 o N, 10 o E) suoraan etelään Tunisiin (37 o N, 10 o E)? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 2 900 km]. A36. Millä etäisyydellä (silmästä) pöytätennispallo näyttää yhtä suurelta kuin Kuu? Maan keskietäisyys Kuusta on 384 400 km, Kuun säde on 1 738,2 km ja pöytätennispallon halkaisija 40 mm. Anna vastaus metrin kymmenesosan tarkkuudella. [V: 4,4 m]. A37. Satelliitti kiertää maapalloa 1 400 kilometrin korkeudella. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy satelliitista? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 110 o ]. A38. Satelliitti lentää pohjoisnavan yli. Millä korkeudella satelliitin on sijaittava, jotta sieltä voidaan havaita Moskova, joka sijaitsee 57. leveyspiirillä (57 o )? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 1 200 km]. A39. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy avaruusasemasta, joka on 350 km:n etäisyydellä maapallosta? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 140 o ]. A40. Laske Helsingin (60 o N, 25 o E) etäisyys maapallon pyörimisakselista. Laske sen avulla leveyspiirin 60 o N pituus. Maapallon säde R = 6 370 km. [V: 3 200 km, 20 000 km]. A41. Kuinka pitkä matka Helsingistä (60 o N, 25 o E) on päiväntasaajalle? Entä pohjoisnavalle? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 6 670 km, 3 340 km]. A42. Lentokone lentää 11 kilometrin korkeudessa Kuopion yläpuolella. Voidaanko koneen ikkunasta kirkkaalla ilmalla nähdä Suomenlahti? Kuopion lyhin etäisyys Suomenlahdesta on noin 300 km. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km ja säde 6 370 km. [V: Voidaan].
A43. Kuinka kauas aavalla merellä voisi nähdä veneen kannella seisova henkilö, jonka silmät ovat 2,1 metrin korkeudella veden pinnasta? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 5,2 km]. A44. Kuinka kauas Näsinneulan huipulla oleva henkilö voi nähdä, kun Näsinneulan korkeus on 168 metriä? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 46,3 km]. A45. Avaruusalus leijailee 125 000 km päässä Maasta päiväntasaajan kohdalla. Kuinka suuren osan päiväntasaajasta avaruusaluksen miehistö näkee, kun maapallon ympärysmitta on 40 000 km? [V: 48 % päiväntasaajasta]. A46. Kuinka korkealla Lontoon yläpuolella olevan viestintäsatelliitin tulee vähintään olla, jotta satelliitin lähetys tavoittaisi Helsingin? Lontoon ja Helsingin etäisyys on 1 900 km. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km ja säde 6 370 km. Lentokone lentää 11 kilometrin korkeudessa Kuopion yläpuolella. Voidaanko koneen ikkunasta kirkkaalla ilmalla nähdä Suomenlahti? Kuopion lyhin etäisyys Suomenlahdesta on noin 300 km. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km ja säde 6 370 km. [V: 295 km]. A47. Kuinka kauas merelle voi nähdä veneen kannella seisova henkilö, jonka silmät ovat 2,80 metrin korkeudella veden pinnasta? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 6,0 km]. A48. Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 52 o :n kulmassa. Mikä on avaruusaluksen etäisyys Maasta? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 8 200 km]. A49. Tallinna sijaitsee 80 km Helsingistä etelään. Kumpaankin satamaan halutaan rakentaa samankorkuiset tornit siten, että saadaan suora näköyhteys tornien huippujen välille. Kuinka korkeita tornien tulee olla? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 130 m meren pinnan yläpuolelle]. A50. Maapallon pinnan kaarevuus havaitaan jo melko pienillä etäisyyksillä. Rannalla seisova 170 cm pitkä henkilö katselee merellä melojaa, joka on juuri etääntymässä horisontin taakse. Kuinka kaukana katsojan silmästä (linnuntietä) meloja tällöin on? Maapallon säde on 6 370 km. [V: 4,7 km]. A51. Suomi sijaitsee likimain 20 ja 30 pituuspiirin välillä (itäistä pituutta). Avaruusalus kulkee avaruudessa juuri Suomen yläpuolella. Aluksesta nähdään koko Suomi 12 o kulmassa. Millä etäisyydellä maapallon pinnasta avaruusalus kulkee, kun Suomen pituus on 1 100 km ja maapallon säde 6 370 km? [V: 55 000 km]. A52. Helsingin Pasilassa sijaitsee linkkitorni, jonka korkeus meren pinnasta mitattuna on 146 metriä. Kuinka korkealta paikalta Tallinnasta tornin huippu on mahdollista nähdä, kun Helsingin ja Tallinnan välinen etäisyys maapallon pintaa pitkin mitattuna on 85 km? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. (YO-MAB-S08-9). [V: 138 m].
A53. Helsingin ja Moision keskustat sijaitsevat samalla pituuspiirillä 24 o 56 itäistä pituutta, Helsingin keskusta leveyspiirillä 60 o 9 pohjoista leveyttä ja Moision 62 o 26 pohjoista leveyttä. a) Kuinka kaukana keskustat ovat toisistaan? b) Kuinka korkealla Moision yläpuolella olevasta lentokoneesta voisi periaatteessa kirkkaalla säällä nähdä Helsinkiin? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. (YO-MAB-K00-8). [V: a) 250 km, b) vähintään 5,1 km korkeudella]. A54. Laihia ja Kaavi ovat likimain 63. leveysasteella. Niiden leveyspiiriä pitkin mitattu etäisyys on 330 kilometriä. Kuinka paljon aikaisemmin Aurinko nousee Kaavilla kuin Laihialla? Maapallon säde on 6 370 km. (YO-MAB-K97-9a). [V: 26 min]. A55. Tähtitieteessä etäisyydet ilmoitetaan usein yksikkönä parsek, joka on se etäisyys, josta Maan kiertoradan säde näkyisi yhden kulmasekunnin suuruisessa kulmassa. Kuinka monta kilometriä on parsek, kun Maan radan säde on 150 000 000 km? (YO-MAB-K93-8). [V: 3,1 10 13 km]. A56. Kuinka kauas merelle voi nähdä rannalla seisova henkilö, jonka silmät ovat 170 cm korkeudella meren pinnasta? Maapallon säde on noin 6 380 km. (YO-MAB-K87-9). [V: 4,66 km]. A57. Maapallon meridiaanin neljännes (matka päiväntasaajalta navalle) on 10 000 km. Päiväntasaajan yläpuolella 36 000 km korkeudella merenpinnasta on tietoliikennesatelliitti. Kuinka korkealla horisontin yläpuolella (0,1 o :n tarkkuudella) se on, jos se on suoraan etelässä tarkastelupaikasta, jonka leveyspiiri on 70,0 o (Utsjoki)? (YO-MAB-K89-10). [V: 11,5 o ]. A58. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy Kuun pinnalta kohdasta, joka on lähinnä Maata? Maan säde on 6 378 km, Kuun säde on 1 738 km ja Maan ja Kuun välinen etäisyys (keskipisteestä keskipisteeseen) on 384 400 km. (YO-MAB-S91-7). [V: 1,91 o ]. A59. Kuinka korkealla pohjoisnavan yläpuolella olevan satelliitin on vähintään oltava, että se näkyisi Philadelphiassa? Maapallon säde on 6370 km ja Philadelphia sijaitsee 40 o :een leveyspiirillä. [V: 3540 km]. A60. Hämeenlinnan kaupunki sijaitsee 61. leveyspiirillä. Millä nopeudella Hämeenlinna kiertää Maan akselin ympäri? Maapallon säde on 6370 km. [V: 810 km/h]. A61. Kuu näkyy Maasta 0,52 :n suuruisessa kulmassa. Laske Kuun etäisyys Maasta, kun Kuun halkaisija on 3 476 km. [V: 381 300 km]. A 62. Kuu on avaruusaluksen ja Maan välissä. Avaruusaluksesta katsoen Kuu peittää juuri ja juuri Maan taakseen. Kuinka kaukana Kuun pinnasta avaruusalus tällöin on? Maan säde on 6 367 km, Kuun säde on 1 738 km, ja Kuun ja Maan keskipisteiden etäisyys on 384 400 km. [V: 143 000 km]. A63. Matka Helsingistä Singaporeen on 9400 km ja maapallon säde 6370 km. Jos Helsingistä rakennettaisiin suora tunneli Singaporeen, niin a) kuinka pitkä se olisi? b) kuinka syvällä maanpinnan alapuolella se kulkisi? [V: a) 8600 km, b) 1600 km].
A64. Praha ja Winnipeg sijaitsevat samalla leveyspiirillä, 50 o pohjoista leveyttä. Prahan sijainti on 15 o itäistä pituutta ja Winnipegin 97 o läntistä pituutta. Maapallon säde on 6370 km. Laske Prahan ja Winnipegin välinen etäisyys a) etäisyys leveyspiiriä pitkin kulkien. b) jos kaupunkien väli voitaisiin kulkea suoraa tunnelia pitkin. [V: a) 8000 km, b) 6800 km]. A65. Eiffel-torni näkyy 250 km:n päästä 50,4 o kulmassa. Missä kulmassa se näkyy 450 km:n päästä? [V: 33,9 o ]. A66. Avaruusalus kiertää maata ympyrän muotoista rataa. Aluksen korkeutta nostetaan 20,0 km. Kuinka paljon kiertorata pitenee? [V: 126 km]. A67. Raketti nousee pohjoisnavalta suoraan ylöspäin Maan säteen (6370 km) verran maanpintaa ylemmäs. Kuinka monta prosenttia Maan säteestä pitäisi olla päiväntasaajalle pystyyn nostetun seipään pituuden, jotta sen pää näkyisi rakettiin? [V: 15,5 %]. A68. Kuinka korkealle Lontoon yläpuolelle tulisi nousta, jotta näkisi (teoriassa) Helsingin? Lontoon ja Helsingin etäisyys maapalloa pitkin on 1900 km ja maapallon säde on noin 6370 km. [V: 290 km]. A69. Geostationaarinen satelliitti kiertää maapalloa päiväntasaajan yläpuolella noin 36 000 km korkeudella. Kuinka suuressa kulmassa horisontin yläpuolella satelliitti näkyy Etelä-Suomessa 60 -leveyspiirillä? Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. [V: 22 %]. A70. Kaksi kaupunkia sijaitsee pohjoisella pallonpuoliskolla samalla pituuspiirillä. Toinen on 48 -leveyspiirillä ja toinen on 9 -leveyspiirillä. Laske kaupunkien välimatka, kun maapallon ympärysmitta on 40000 km. [V: 4300 km]. A71. Maan pintaa lähestyvästä avaruusaluksesta nähdään juuri ja juuri koko Suomi. Kuinka korkealla avaruusalus on Suomen keskipisteen yläpuolella, kun Suomen pituus on 1160 km ja maapallon säde on 6370 km? [V: 27 km]. A72. Satelliitti kiertää maapalloa 300 km korkeudessa, ja sen kierros maapallon ympäri kestää 90 min. Maapallon säde on 6370 km. Laske satelliitin nopeus. [V: 28 000 km/h]. A73. Kuinka kauas maanpintaa pitkin voidaan nähdä Eiffel-tornin huipulta, kun tornin korkeus on 309,63 m? Maapallon säde on 6370 km. Jos Eiffel-torni olisi Kuussa, niin näkyisikö Kuussa pitemmälle pitkin kuunpintaa kuin Maassa? Perustelut laskemalla. Kuun säde on 1738 km. [V: 62,8 km, Ei. 32,8 km]. A74. Kappaleen paino on kääntäen verrannollinen maapallon keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön. Lentokoneen paino maan pinnalla on 550 kn. Kuinka paljon sen paino on 10 kilometrin korkeudessa? (~YO-MAB-K06-4). [V: 548 kn].
A75. Valokuvausfilmin herkkyys ilmaistaan kahdella asteikolla. Tyypillinen filmin herkkyyslukema on ISO 125/22 o. Ensimmäinen luku 125 on filmin herkkyys fysikaalisella mitta-asteikolla (yksikkönä 1/luksisekunti), jälkimmäinen luku 22 o on filmin herkkyys logaritmisella asteikolla. Lyhenne ISO ilmaisee, että kyseessä ovat kansainvälisen standardijärjestön (International Standardization Organization) vahvistamat asteikot. Logaritmisen asteikon lukema S o saadaan fysikaalisesta lukemasta S kaavalla S o = 1 + lg S. Täydennä herkkyyskuvaukset a) ISO 400/ ja ISO 2000/ b) ISO /17 o ja ISO /36 o. [V: a) 27 o, 34 o, b) 40, 3200]. A76. Maanjäristyksen voimakkuuden mittaamisessa käytettävä Richterin asteikko on logaritminen. Maanjäristyksen yhteydessä purkautuvan energiamäärän vaihteluväli on hyvin suuri ja voimakkaat järistykset ovat miljoonakertaisia pienimpiin verrattuna. Siksi voimakkuuksien mittarina käytetään niiden logaritmeja. Richterin asteikon kehitti v. 1935 Charles F. Richter. Richterin asteikolla mitatut lukemat vaihtelevat välillä 0 10. Järistyksen voimakkuuden mittaus tapahtuu seismografilla eri puolilla maapalloa sijaitsevilla havaintoasemilla. Seismografin piirtämään jatkuvaan käyrään, seismogrammiin, rekisteröityvät pienetkin järistykset. Richterin asteikon lukeman M ja järistyksen voimakkuuden E välisen riippuvuuden ilmaisee kaava log E = 11,8 + 1,5M 10 M = Richterin asteikon lukema, joka vastaa vapautuvan energian E määrää jouleina (J). a) Laske järistyksen energia, kun sen voimakkuus Richterin asteikolla on 7,8. Loviisan ydinvoimalaitos tuottaa yhdessä tunnissa energiaa 980 MWh = 3,528 10 12 J. Kuinka moninkertainen oli maanjäristyksessä vapautunut energia verrattuna Loviisan tunnissa tuottamaan energiaan? b) Kahden järistyksen energioiden suhde on 100-kertainen. Kuinka suuri on voimakkaamman järistyksen lukema Richterin asteikolla, kun heikomman järistyksen lukema on 5,4? [V: a) 3,2 10 23 J, 90 10 9 - kertainen, b) 6,7]. A77. Maanjäristyksen voimakkuutta mitataan ns. Richterin asteikolla, jossa asteikon lukeman M ja järistyksessä vapautuvan energian E (J) välillä on yhteys: lg E = 11,8 + 1,5M. a) rakennus on mitoitettu kestämään järistys, jos maanjäristyksessä vapautuva energia on 50 % suurempi kuin järistyksessä, jonka voimakkuus Richterin asteikolla on 6,8. Kuinka voimakkaan järistyksen rakennus kestää Richterin asteikolla mitattuna? (YO-K05-13). b) San Franciscon vuosien 1906 ja 1989 maanjäristysten suuruudet Richterin asteikolla olivat 8,2 ja 7,1. Määritä järistysten energioiden suhde. (YO-K90-6). [V: a) 6,9, b) 44,7].
A78. Maanjäristyksen voimakkuutta mitataan ns. Richterin asteikolla, jossa asteikon lukeman M ja järistyksessä vapautuvan energian E (J) välillä on yhteys: lg E = 11,8 + 1,5M. a) Intiassa tapahtui vuonna 1950 maanjäristys, jonka voimakkuudeksi mitattiin Richterin asteikolla 8,8. Vuonna 2003 Iranissa tapahtui maanjäristys, jonka voimakkuus oli 6,8 Richterin asteikolla. Laske maanjäristyksessä vapautuneiden energioiden suhde. Kuin monta kertaa voimakkuudeltaan suurempi oli Intian maanjäristys Iranin maanjäristykseen verrattuna? b) Kahden maanjäristyksen Richterin asteikon lukemat olivat 6,3 ja 4,3. Mikä oli niiden energioiden välinen suhde? [V: a) 1000, 1000-kertainen, b) 1000].