Ympäri piirretn mprän säde r a a = = = = sin sin sin γ 4 p( p a)( p )( p ) Sisään piirretn mprän säde r r = a++ = p = ( p a)( p )( p ) p γ γ a m w Korkeusjana a = = = sin = asin Keskijana m m = a + ( ) Kulman puolittaja w w = a + ap p ( ) = a + a ( a + + )( a + ). Tasasiuinen kolmio s s S s s r γ o = = γ = 60 = s 4 = s s = = s 6 r s s 6. Suorakulmainen kolmio γ m n S a s Ptaoraan lause = a + a = ( + )( ) a r = a + + m = / s = / a / o + = γ = 90 = a / / n a / = potenuusa a, = kateetti r sisään piirretn mprän säde 5
. = artan tan = Määritsjoukko: ϖ ϖ rojoukko:, 4. = arot ot = Määritsjoukko: rojoukko: ]0, ϖ[ rkusfunktioiden kaaoja = aros = artan, 0 < = aros = artan, < < 0 aros = arsin = artan, 0 < aros = π arsin = π + artan, < 0 artan = arsin = + aros, 0 + artan = arsin = + aros, < 0 + 5.6 Tasokolmioiden trionometriaa Kuion merkinnät a,, = kolmion siut,, γ = astaaat kulmat s = / ( a+ + ) = piirin puolikas = kolmion ala = siun astainen korkeus r = kolmion sisään piirretn mprän säde = kolmion mpäri piirretn mprän säde Sinilause r Trionometrisia kaaoja + + γ = 80 a = = sin sin sinγ Kosinilause = + a os Tanenttilause + tan a + = a tan Heronin kaaa = s( s a)( s )( s ) a γ 44
4. Matriisin kertominen luulla Matriisi = ( a ij ) kerrotaan luulla k siten, että jokainen alkio kerrotaan tällä luulla: k = k = ( ka ij ) 5. Matriisin transponointi Matriisin = ( a ) transpoosi ij m n T on: ij, missä ij aji. n m T = ( ) Pstektorin transpoosi on aakaektori ja aakaektorin transpoosi on pstektori: = n T = ( ) 6. Smmetrinen neliömatriisi Neliömatriisi on smmetrinen, jos T. Smmetrisen matriisin alkioille pätee aij aji kaikilla i ja j. 6.4 Matriisien laskutoimitusten ominaisuuksia Summa ja erotus + ( B + C) = ( + B) + C + B = B + ± 0 = 0 + = 0 = + ( ) = 0 B = + ( B) B = 0 = B n Huom. Liitäntälakien perusteella summa + B + C oidaan kirjoittaa mös ilman sulkuja. Vakiolla kertominen (k ja p akioita) k( + B) = k + kb (k + p) = k + p k(p) = (kp) k(b) = (k)b = (kb) ( + k) = + k = Matriisitulo ( B) C ( BC) B ( + C) = B+ C ( + B) C = C + BC 0 0 0 Huom. : Matriisitulo ei ole aidannainen eli leensä B B. Huom. : Jos joillekin matriiseille ja B pätee B B, niin matriisien sanotaan kommutoian. Huom. : Matriisitulo oi olla nolla eli B = 0, aikka 0 ja B 0. Huom. 4: BC oidaan kirjoittaa mös ilman sulkuja. Transpoosin säännöt T T T ( + B) = + B (k ) T k T ; k = akio T T T ( B) B T ( ) T T T T T ( BC) C B det( T ) det
Kaaojen distäminen Tasaisesti kiitä liike at = 0 + at s = 0t + s = 0 = 0 + as a Tasaisesti idastua liike at = 0 at s = 0t s = 0 = 0 as a lkunopeus 0 = 0 at at s s a. Heittoliike Vino eittoliike 0 Heittoparaaelin tälö = tan 0 os Kappaleen nopeus etkellä t = 0 t( 0 sin t) Kappaleen nousukorkeus sin ma = 0 Kappaleen nousuaika maksimikorkeuteen ma t = 0 sin Kappaleen kantama sin ma = 0 Vaakasuora eittoliike ma 0 ma t Nopeuden komponentit etkellä t = 0 os = 0 sin t Paikassa (, ) Kappaleen paikka etkellä t = 0 os t = 0 sin t t = 0 + ( t) = t = 0 0t 0 6
Purkaus suuresta aukosta Yliirtaus H qv = k / / ( ) = aukon lees k (iso aukko) = osoittaa nestepinnan Purkausoima suoraa tasopintaa astaan μ V = μ = 0, 65 ( + )( + 0, 5 ), 6 + 000 H = lees liirtauskodassa H ja oat μ:n kaaassa metreinä = ρqv = ρ Kaaa on kättökelpoinen, jos on oimassa:. H 0, m. Veden korkeustaso H. Läpiirtauskorkeus = 0,05 m - 0,8 m Purkausoima inoa pintaa asten Venturiputki nesteen irtausnopeuden mittaamiseksi = ρqv sin = ρ sin neste ρ Purkausoima kaareaa pintaa asten = ρqv ( + os ) = ρ ( + os ) < 0 : = ρqv = ρ p = p Δp ρ( ) Δp = p p = ρ q V = = 88
U < E E, s B Kirof n lait Kirof n. laki Jotimen liitoskotaan () tuleien irtojen summa + on tä suuri kuin siitä läteien irtojen summa + 4 + 5 : + = + 4 + 5 4 Kirof n. laki Suljetussa irtapiirissä lädejännite (E) on tä suuri kuin irtapiirin jänniteäiöiden summa s + u : E = s + u E s = sisäinen astus u u = ulkoinen astus s 5 Vastukset rinnan U = + +... U U U = + +... = + +... 8.8 Säköisten suureiden mittaaminen Voltti- ja ampeerimittariktkentä _ + V _ + E + _ B E + _ esistanssin mittaaminen U Vastukset sarjassa U U U = U/ U = + +... U = U + U + U... U = ( + +...) Weatstonen silta Kun ampeerimittarin kautta ei kulje irtaa, saadaan: = B + _