Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218
Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }. Avaruuden R 2 alkioita kutsutaan vektoreiksi. Jos c R ja d R, niin (c, d) on avaruuden R 2 vektori ja sanotaan, että c ja d ovat vektorin (c, d) komponentit. Huom. Jos ū R 2, niin ū = (u 1, u 2 ) joillakin u 1 R ja u 2 R. LM1, Kesä 2012 2/218
Havainnollistuksia: Avaruuden R 2 vektoria v = (v 1, v 2 ) voi ajatella tason pisteenä: (1,3) ( 3, 2) (3,1) ( 1, 2) v = (v 1, v 2 ) LM1, Kesä 2012 3/218
Avaruuden R 2 vektoria v = (v 1, v 2 ) voi ajatella sitä vastaavan tason pisteen paikkavektorina: ( 3, 2) (1,3) (3,1) v = (v 1, v 2 ) ( 1, 2) LM1, Kesä 2012 4/218
Avaruuden R 2 vektoria v = (v 1, v 2 ) voi ajatella lukiosta tuttuna tason vektorina: ( 3, 2) v = (v 1, v 2 ) (1, 3) ( 1, 2) (3,1) LM1, Kesä 2012 5/218
Yhteenlasku ja skalaarikertolasku Määritelmä Oletetaan, että v = (v 1, v 2 ) R 2, w = (w 1, w 2 ) R 2 ja c R. Vektoreiden v ja w summa on vektori v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ). Skalaarikertolasku tarkoittaa vektorin kertomista reaaliluvulla. On sovittu, että c v = (cv 1, cv 2 ). LM1, Kesä 2012 6/218
Yhteenlasku ja skalaarikertolasku Esimerkki 1 Merkitään v = ( 5, 3) ja w = ( 2, 7). Lasketaan (a) v + w = ( 5, 3) + ( 2, 7) = ( 5 2, 3 7) = ( 7, 4) (b) 4 v = 4( 5, 3) = ( 20, 12) (c) 3 w = 3( 2, 7) = (6, 21) (d) 2 v + 6 w = ( 10, 6) + ( 12, 42) = ( 22, 36). LM1, Kesä 2012 7/218
Havainnollistuksia: Vektoreiden yhteenlasku: w v + w w v v LM1, Kesä 2012 8/218
Vektorin vastavektori ja vektoreiden erotus Määritelmä Vektorin v vastavektori on skalaarimonikerta ( 1) v. Sitä merkitään v. Vektoreiden v ja w erotus tarkoittaa summaa Sitä merkitään v w. v + ( w) = v + ( 1) w. LM1, Kesä 2012 9/218
Havainnollistuksia: Vektorin kertominen skalaarilla: ū 3ū ū 2ū LM1, Kesä 2012 10/218
Havainnollistuksia: Vektoreiden vähennyslasku: w v v w v w LM1, Kesä 2012 11/218
Havainnollistuksia: Yhteenlasku vs. vähennyslasku: w v + w w w v w v w v v v LM1, Kesä 2012 12/218
Avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja. Toisin sanottuna R n = { (v 1, v 2,..., v n ) v 1, v 2,..., v n R }. Avaruuden R n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Jos u 1, u 2,..., u n R, niin ū = (u 1, u 2,..., u n ) on avaruuden R n vektori ja sanotaan, että u 1, u 2,..., u n ovat vektorin ū komponentit. LM1, Kesä 2012 13/218
Yhteenlasku ja skalaarikertolasku Määritelmä Oletetaan, että v = (v 1,..., v n ) R n, w = (w 1,..., w n ) R n ja c R. Vektoreiden v ja w summa on vektori v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ). Skalaarikertolasku tarkoittaa vektorin kertomista reaaliluvulla. On sovittu, että c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). LM1, Kesä 2012 14/218
Vektorin vastavektori ja vektoreiden erotus Määritelmä Vektorin v vastavektori on skalaarimonikerta ( 1) v. Sitä merkitään v. Vektoreiden v ja w erotus tarkoittaa summaa Sitä merkitään v w. v + ( w) = v + ( 1) w. LM1, Kesä 2012 15/218
Esimerkki 2 Merkitään v = ( 5, 3, 0, 1, 1) ja w = ( 2, 4, 2, 3, 5). Tällöin v ja w ovat avaruuden R 5 vektoreita. Lasketaan (a) 2 v 3 w = ( 10, 6, 0, 2, 2) ( 6, 12, 6, 9, 15) = ( 4, 18, 6, 7, 17) (b) 5 v w = (25, 15, 0, 5, 5) ( 2, 4, 2, 3, 5) = (27, 11, 2, 8, 0). LM1, Kesä 2012 16/218
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM1, Kesä 2012 17/218
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Alla esiintyvä vektori 0 = (0, 0,..., 0) on nimeltään nollavektori. Lause 1 Oletetaan, että v, w, ū R n ja a, c R. Tällöin (a) v + w = w + v (vaihdannaisuus) (b) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (liitännäisyys) (c) v + 0 = v (d) v + ( v) = 0 (e) c( v + w) = c v + c w (osittelulaki) (f) (a + c) v = a v + c v (osittelulaki) (g) a(c v) = (ac) v (h) 1 v = v LM1, Kesä 2012 18/218
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Perustellaan malliksi kohta (a). Oletus: v, w R n. Väite: v + w = w + v. Perustelu: Oletuksesta v, w R n seuraa, että v = (v 1,..., v n ) ja w = (w 1,..., w n ) joillakin v 1,..., v n, w 1,..., w n R. Voidaan päätellä v + w (1) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) (2) = (w 1 + v 1, w 2 + v 2,..., w n + v n ) (1) = w + v Kohdissa (1) käytetään yhteenlaskun määritelmää ja kohdassa (2) reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuutta. Huomaa, että komponentit ovat tavallisia reaalilukuja! LM1, Kesä 2012 19/218
Yhdensuuntaisuus Määritelmä Oletetaan, että v R n ja w R n. Vektorit v ja w ovat yhdensuuntaiset, jos v = t w jollakin t R {0}. Tällöin merkitään v w. w w 2 w w Jos vektorit v ja w eivät ole yhdensuuntaiset, merkitään v w. LM1, Kesä 2012 20/218
Lineaarikombinaatiot Määritelmä Oletetaan, että w R n ja v 1, v 2,..., v k R n. Vektori w on vektoreiden v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset reaaliluvut a 1, a 2,..., a k, että w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a k v k. LM1, Kesä 2012 21/218
Lineaarikombinaatiot Esimerkki 3 Merkitään v 1 = (1, 1), v 2 = ( 1, 2) ja w = (5, 1). Vektori w on vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaatio, sillä 3 v 1 2 v 2 = 3(1, 1) 2( 1, 2) = (3, 3) ( 2, 4) = (5, 1) = w. v 1 v 2 3 v 1 2 v 2 w w LM1, Kesä 2012 22/218
Pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! Esimerkki 4 Merkitään ū = (1, 2, 3) ja w = ( 3, 5, 2). Lasketaan ū w: ū w = 1 ( 3) + 2 5 + ( 3) 2 = 3 + 10 6 = 1. LM1, Kesä 2012 23/218
Pistetulon ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että v, w, ū R n ja c R. Tällöin (a) v w = w v (vaihdannaisuus) (b) v ( w + ū) = v w + v ū (osittelulaki) (c) (c v) w = c( v w) Huom. Muista, että lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM1, Kesä 2012 24/218
Pistetulon ominaisuuksia; kohdan (b) perustelu Oletus: v, w, ū R n. Väite: v ( w + ū) = v w + v ū. Perustelu: Oletuksesta v, w, ū R n seuraa, että v = (v 1,..., v n ), w = (w 1,..., w n ) ja ū = (u 1,..., u n ), missä kaikki komponentit ovat reaalilukuja. Voidaan päätellä v ( w + ū) (1) = (v 1,..., v n ) (w 1 + u 1, w 2 + u 2,..., w n + u n ) (2) = (v 1 (w 1 + u 1 ), v 2 (w 2 + u 2 ),..., v n (w n + u n )) (3) = (v 1 w 1 + v 1 u 1, v 2 w 2 + v 2 u 2,..., v n w n + v n u n ) (1) = (v 1 w 1, v 2 w 2,..., v n w n ) + (v 1 u 1, v 2 u 2,..., v n u n ) (2) = v w + v ū LM1, Kesä 2012 25/218
Pistetulon ominaisuuksia; kohdan (b) perustelu Selityksiä: (1) vektorien yhteenlaskun määritelmä; (2) pistetulon määritelmä; (3) reaalilukujen laskusäännöt (osittelulaki). LM1, Kesä 2012 26/218
Vektorin pistetulo itsensä kanssa Lause 3 Oletetaan, että v R n. Tällöin (a) v v 0. (b) v v = 0, jos ja vain jos v = 0. Perustelun ideat: (a) v v = v1 2 + v 2 2 + + v n 2 0 + 0 + + 0 = 0. (b) Jos v v = 0, niin v1 2 + v 2 2 + + v n 2 = 0. Tästä seuraa, että v 1 = 0 ja v 2 = 0 ja... ja v n = 0 (huomaa, että jokainen yhteenlaskettava vi 2 0). Siten v = (0, 0,..., 0) = 0. Jos v = 0, niin v v = 0 2 + 0 2 + + 0 2 = 0. LM1, Kesä 2012 27/218
Määritelmä Vektorin v R n normi on Huom. Vektorin normi (eli pituus) v = v v. Jos v = (v 1, v 2,..., v n ), niin v = v 2 1 + v 2 2 + + v 2 n. Normin määritelmästä seuraa, että v 2 = v v. v v v LM1, Kesä 2012 28/218
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w = 5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2012 29/218
Normin ominaisuuksia I Lause 4 Oletetaan, että v R n. Tällöin v = 0, jos ja vain jos v = 0. Perustelun idea lausetta 3 hyödyntäen: v = 0 v 2 = 0 v v = 0 v = 0. LM1, Kesä 2012 30/218
Normin ominaisuuksia I Lause 5 Oletetaan, että v R n ja c R. Tällöin c v = c v. Perustelun idea lausetta 2 hyödyntäen: c v 2 = (c v) (c v) = c 2 ( v v) = c 2 v 2, joten c v = ±c v. Normit epänegatiivisia, joten c v = c v. LM1, Kesä 2012 31/218
Yksikkövektorit Määritelmä Vektori ū R n on yksikkövektori, jos sen normi (eli pituus) on 1; ts. ū = 1. Huom. Tuttuja yksikkövektoreita avaruuden R 2 vektorit ī = (1, 0) ja j = (0, 1); avaruuden R 3 vektorit ī = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). j ī LM1, Kesä 2012 32/218
Yksikkövektorit Lause 6 Vektorin v R n { 0} suuntainen yksikkövektori on 1 v v. v v = 5 1 5 v 1 5 v = 1 Voit perustella tämän hyödyntäen lausetta 5. LM1, Kesä 2012 33/218
Vektoreiden välinen etäisyys Määritelmä Oletetaan, että v, w R n. Vektorien v ja w välinen etäisyys on d( v, w) = v w. Kaksi näkökulmaa: v v w v 2 w 2 v w v w v 1 w 1 w LM1, Kesä 2012 34/218
Lause 7 (Schwarzin epäyhtälö) Normin ominaisuuksia II Oletetaan, että v R n ja w R n. Tällöin v w v w. Lause 8 (Kolmioepäyhtälö) Oletetaan, että v R n ja w R n. Tällöin v + w v + w. v + w w v LM1, Kesä 2012 35/218
Vektorien välinen kulma Schwarzin epäyhtälöstä saadaan Lemma 9 Oletetaan, että v R n \ { 0} ja w R n \ { 0}. Tällöin 1 v w v w 1. LM1, Kesä 2012 36/218
Määritelmä Vektorien välinen kulma Vektorien v R n \ { 0} ja w R n \ { 0} välinen kulma on se kulma α, jolle pätee 0 α 180 ja cos α = v w v w. Vektorit v R n ja w R n ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos v w = 0. Tällöin merkitään v w. w v LM1, Kesä 2012 37/218
Havainnollistuksia: Kosinilauseen mukaan alla olevassa kolmiossa w v 2 = v 2 + w 2 2 v w cos α. w w v v Toisaalta normin määritelmän nojalla w v 2 = ( w v) ( w v) =... = v 2 + w 2 2( v w). Siten cos α = v w v w. LM1, Kesä 2012 38/218
Lause 10 (Pythagoraan lause) Oletetaan, että v R n ja w R n. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset (eli kohtisuorassa toisiaan vastaan), jos ja vain jos v + w 2 = v 2 + w 2. v + w w v LM1, Kesä 2012 39/218
Määritelmä Projektio Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Oletetaan, että v, w R n ja w 0. Vektorin v projektio vektorin w määräämälle suoralle on proj w ( v) = v w w w w. v proj w ( v) w LM1, Kesä 2012 40/218
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1, Kesä 2012 41/218
Olkoon S avaruuden R n suora (n = 2). Tämä tarkoittaa, että missä p, v R n ja v 0. S = { p + t v t R}, Oletetaan, että a, b R. Jos (a, b) S, niin sanotaan, että piste (a, b) on suoralla S tai että suora S kulkee pisteen (a, b) kautta. t v (a, b) p Vastaavasti avaruudessa R 3. LM1, Kesä 2012 42/218
Huom. Sama suora voidaan kirjoittaa joukkona { p + t v t R} usealla eri tavalla: vektoriksi p voidaan valita suoran minkä tahansa pisteen paikkavektori; vektoriksi v voidaan valita mikä tahansa suoran suuntainen vektori. v v p p LM1, Kesä 2012 43/218
Esimerkki 5 (a) Määritä pisteiden A = (2, 3, 5) ja B = (4, 1, 7) kautta kulkeva suora S. (b) Määritä pisteen C = (4, 1, 9) etäisyys suorasta S. C B A LM1, Kesä 2012 44/218
(a) Suoran jonkin pisteen paikkavektori; esim. OA = (2, 3, 5). Jokin suoran suuntainen vektori; esim. Näin AB = OB OA = (2, 4, 2). S = { OA + t AB t R } = { (2, 3, 5) + t(2, 4, 2) t R }. LM1, Kesä 2012 45/218
Pisteen etäisyys suorasta Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Pisteen Q etäisyys suorasta S = { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0, saadaan projektion avulla: Q ā proj v (ā) v ā P proj v (ā) LM1, Kesä 2012 46/218
(b) Vektori jostakin suoran pisteestä tutkittavaan pisteeseen; esim. AC = OC OA = (2, 2, 4). Jokin suoran suuntainen vektori; esim. AB = (2, 4, 2). Vektorin AC projektio suoralle S: Erotus proj AB ( AC) = AC AB AB AB AB = 20 AB = 5 AB. 24 6 AC proj AB ( AC) = AC 5 AB = 6 6 6 (2, 2, 4) 5 (2, 4, 2) 6 Erotuksen normi = 1 6 (12 10, 12 20, 24 10) = 1 (1, 4, 7). 3 AC proj AB ( AC) = 1 3 (1, 4, 7) = 1 1 1 + 16 + 49 = 66. 3 3 LM1, Kesä 2012 47/218
Taso Määritelmä Avaruuden R 3 taso on joukko { p + s w + t v s, t R}, missä p, w, v R 3, w 0 v ja w v. Tässä p on tason jonkin pisteen paikkavektori ja v sekä w ovat kaksi tason suuntaista vektoria. w v p O LM1, Kesä 2012 48/218
Olkoon T avaruuden R 3 taso. Tämä tarkoittaa, että T = { p + s w + t v s, t R}, missä p, w, v R 3, w 0 v ja w v. Oletetaan, että a, b, c R. Jos (a, b, c) T, niin sanotaan, että piste (a, b, c) on tasossa T tai että taso T kulkee pisteen (a, b, c) kautta. t v s w (a, b, c) p O LM1, Kesä 2012 49/218
Huom. Sama taso voidaan kirjoittaa joukkona { p + s w + t v s, t R} usealla eri tavalla: vektoriksi p voidaan valita tason minkä tahansa pisteen paikkavektori; vektoreiksi w ja v voidaan valita mitkä tahansa tason suuntaisen vektorit, kunhan w v. w v w v p O p O LM1, Kesä 2012 50/218
Esimerkki 6 Määritä pisteiden A = (0, 1, 0), B = ( 1, 3, 2) ja C = ( 2, 0, 1) kautta kulkeva taso T. C A B LM1, Kesä 2012 51/218
Tason jonkin pisteen paikkavektori; esim. OA = (0, 1, 0). Jotkin tason suuntaiset vektorit; esim. AB = OB OA = ( 1, 2, 2) ja AC = OC OA = ( 2, 1, 1). Huomaa, että nämä eivät ole yhdensuuntaiset; ts. AB t AC kaikilla t R {0}. Näin T = { OA + s AB + t AC s, t R } = { (0, 1, 0) + s( 1, 2, 2) + t( 2, 1, 1) s, t R }. LM1, Kesä 2012 52/218
Määritelmä Ristitulo Oletetaan, että v, w R 3. Vektorien v = (v 1, v 2, v 3 ) ja w = (w 1, w 2, w 3 ) ristitulo on vektori v w = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ). Muistisääntö ristitulon laskemiseen: yhtenäisellä viivalla yhdistettyjen komponenttien tulosta vähennetään katkoviivalla yhdistettyjen komponenttien tulo. v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 LM1, Kesä 2012 53/218
Ristitulo Esimerkki 7 Merkitään ā = (2, 1, 2) ja b = (3, 1, 3). Lasketaan ā b. ā b = ( 3 ( 2), 6 ( 6), 2 3) = ( 1, 12, 5). 2 1 2 2 1 3 1 3 3 1 LM1, Kesä 2012 54/218
Ristitulon ominaisuuksia Lause 11 Oletetaan, että ū, v, w R 3 ja c R. Tällöin (a) v w = ( w v) (antikommutointi) (b) ū ( v + w) = ū v + ū w (osittelulaki) (c) ( v + w) ū = v ū + w ū (osittelulaki) (d) c( v w) = (c v) w = v (c w) (e) v v = 0 (f) 0 v = 0 ja v 0 = 0 (g) ū ( v w) = (ū v) w Paina mieleesi erikoiset ominaisuudet (a), (e) ja (g)! v w w v LM1, Kesä 2012 55/218
Ristitulon ominaisuuksia Lause 12 Oletetaan, että ū, v, w R 3. Tällöin (h) (ū v) w = (ū w) v ( v w)ū (i) ū ( v w) = (ū w) v (ū v) w (j) v w 2 = v 2 w 2 ( v w) 2 (Lagrangen identiteetti) Lagrangen identiteetti voidaan perustella kohtien (g) ja (h) avulla. Muut kohdat lauseissa 11 ja 12 voidaan perustella ristitulon määritelmään nojautuen. LM1, Kesä 2012 56/218
Ristitulon ominaisuuksia Lause 13 Oletetaan, että v, w R 3. Tällöin (a) ( v w) v ja ( v w) w; v w (b) jos v 0 ja w 0, niin v w = v w sin α, missä α on vektorien v ja w välinen kulma. w v w sin Ristitulovektorin v w pituus on yhtä suuri kuin vektorien v ja w määräämän suunnikkaan ala! LM1, Kesä 2012 57/218
Suuntaissärmiön tilavuus Suuntaissärmiön tilavuus on pohjan pinta-alan v w ja korkeuden h tulo. cos β = cos(180 β), joten h = ū cos β. Siis tilavuus on v w ū cos β = v w ū cos β = ( v w) ū h ū v v w w Tilavuus on ns. skalaarikolmitulon itseisarvo! LM1, Kesä 2012 58/218
Pisteen etäisyys tasosta Pisteen Q etäisyys tasosta T saadaan ristitulon ja projektion avulla: v w P proj v w (ā) w ā v Q LM1, Kesä 2012 59/218
Tason normaalimuotoinen yhtälö Piste Q = (x, y, z) on tasossa T, jos ja vain jos n ( q p) = 0, missä n on jokin tasoa T vastaan kohtisuora vektori (ns. tason T normaali). n q p Q P p q Huom. jos T = { p + s w + t v s, t R}, voidaan valita n = v w. O LM1, Kesä 2012 60/218
Tason normaalimuotoinen yhtälö Esimerkki 8 Merkitään A = (0, 1, 0), B = ( 1, 3, 2) ja C = ( 2, 0, 1). Taso T kulkee pisteiden A, B ja C kautta. Määritä (a) tason T normaalimuotoinen yhtälö; (b) pisteen D = (1, 2, 3) etäisyys tasosta T. D C A B LM1, Kesä 2012 61/218
(a) Jokin tason normaali; esim. tason suuntaisten vektoreiden AB = ( 1, 2, 2) ja AC = ( 2, 1, 1) ristitulo AB AC = (4, 3, 5). Vektori jostakin tason pisteestä pisteeseen Q = (x, y, z); esim. AQ = OQ OA = (x, y 1, z). Tason normaalimuotoinen yhtälö on näin ( AB AC) AQ = 0 eli (4, 3, 5) (x, y 1, z) = 0 4x 3(y 1) + 5z = 0 4x 3y + 5z + 3 = 0. LM1, Kesä 2012 62/218
(b) Jokin tason normaali; esim. tason suuntaisten vektoreiden AB = ( 1, 2, 2) ja AC = ( 2, 1, 1) ristitulo AB AC = (4, 3, 5). Vektori jostakin tason pisteestä pisteeseen D = (1, 2, 3); esim. AD = OD OA = (1, 1, 3). Vektorin AD projektio normaalin n = AB AC määräämälle suoralle proj n ( AD n 16 8 AD) = n = (4, 3, 5) = (4, 3, 5). n n 50 25 Projektion normi eli pituus proj n ( AD) = 8 25 (4, 3, 5) = 8 8 16 + 9 + 25 = 50 25 25 = 8 5 2. LM1, Kesä 2012 63/218
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden joukkoa; ts. span( v 1, v 2,... v k ) = { a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a k v k a 1,..., a k R }. LM1, Kesä 2012 64/218
Yhden vektorin virittämä aliavaruus Oletetaan, että n = 2 tai n = 3 ja v R n. Jos v = 0, niin vektorin v virittämä aliavaruus on span( 0) = { t 0 t R } = { 0} eli joukko, johon kuuluu ainoastaan nollavektori (origo). span( 0) LM1, Kesä 2012 65/218
Yhden vektorin virittämä aliavaruus Jos v 0, niin vektorin v virittämä aliavaruus on span( v) = { t v t R } = { 0 + t v t R } eli origon kautta kulkeva suora. span( v) LM1, Kesä 2012 66/218
Kahden vektorin virittämä aliavaruus Oletetaan, että v, w R 3. Jos w 0 v ja w v, niin vektoreiden v ja w virittämä aliavaruus on span( v, w) = { s v + t w s, t R } = { 0 + s v + t w s, t R } eli origon kautta kulkeva taso. Huom. jos oletukset w 0 v ja w v eivät ole voimassa, niin span( v, w) on suora tai origon yksiö. LM1, Kesä 2012 67/218
Vektoreiden virittämän aliavaruuden ominaisuuksia Lause 14 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n. Tällöin (a) jos ū, w span( v 1,..., v k ), niin ū + w span( v 1,..., v k ). (b) jos w span( v 1,..., v k ) ja a R, niin a w span( v 1,..., v k ). (c) 0 span( v 1,..., v k ). LM1, Kesä 2012 68/218
Lauseen 14 perustelu: (a) Oletetaan, että ū, w span( v 1,..., v k ). Tällöin ū = a 1 v 1 + + a k v k ja w = c 1 v 1 + + c k v k joillakin reaaliluvuilla a 1,..., a k ja c 1,..., c k. Näin ū + w = (a 1 v 1 + + a k v k ) + (c 1 v 1 + + c k v k ) = (a 1 + c 1 ) v 1 + + (a k + c k ) v k, missä kertoimet a 1 + c 1,..., a k + c k R. Siis ū + w on vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaatio; ts. ū + w span( v 1,..., v k ). (c) Nollavektori voidaan kirjoittaa muodossa Siis 0 span( v 1,..., v k ). 0 = 0 v 1 + 0 v 2 + + 0 v k. LM1, Kesä 2012 69/218
Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 9 Selvitä, kuuluuko vektori w = (6, 3, 2, 1) vektoreiden v 1 = (0, 1, 2, 1), v 2 = (2, 0, 1, 1) ja v 3 = (4, 2, 2, 0) virittämään aliavaruuteen span( v 1, v 2, v 3 ). Toisin sanottuna selvitä, onko vektori w vektoreiden v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio. Ts. selvitä, onko yhtälöllä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = w eli yhtälöllä x 1 (0, 1, 2, 1) + x 2 (2, 0, 1, 1) + x 3 (4, 2, 2, 0) = ( 2, 3, 2, 1) ratkaisuja reaalilukujen joukossa. LM1, Kesä 2012 70/218
Päädytään lineaariseen yhtälöryhmään 2x 2 + 4x 3 = 6 x 1 + 2x 3 = 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 x 1 x 2 = 1, joka voidaan ratkaista Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmällä. LM1, Kesä 2012 71/218
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Esimerkki 10 Muodostetaan lineaarisen yhtälöryhmän 2x 2 + 4x 3 = 6 x 1 + 2x 3 = 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 x 1 x 2 = 1, täydennetty matriisi kokoamalla kaikki kertoimet ja vakiot taulukkoon: 0 2 4 6 1 0 2 3 2 1 2 2 1 1 0 1 LM1, Kesä 2012 72/218
Muunnetaan tämä matriisi alkeisrivitoimituksia käyttäen redusoiduksi porrasmatriisiksi. Teet alkeisrivitoimituksen, jos I. vaihdat matriisin kaksi riviä keskenään; II. kerrot rivin jollakin nollasta poikkeavalla reaaliluvulla; III. lisäät johonkin riviin jokin toisen rivin reaaliluvulla kerrottuna; 0 2 4 6 1 0 0 1/2 1 0 2 3 0 1 0 1/2 2 1 2 2 0 0 1 5/4 1 1 0 1 0 0 0 0 LM1, Kesä 2012 73/218
Redusoidusta porrasmatriisista ratkaisut on helppo lukea: matriisia 1 0 0 1/2 0 1 0 1/2 0 0 1 5/4 0 0 0 0 vastaa yhtälöryhmä x 1 = 1/2 x 2 = 1/2 x 3 = 5/4 0 = 0, jossa alin yhtälö on aina tosi. LM1, Kesä 2012 74/218
Miten tunnistan redusoidun porrasmatriisin? Ensinnäkin se on porrasmatriisi eli nollarivit ovat alimpina, jos niitä on; jokaisella rivillä ensimmäinen nollasta poikkeava alkio (eli johtava alkio) on ylemmän rivin johtavan alkion oikealla puolella. Esimerkki porrasmatriisista: 0 7 3 2 4 9 0 0 0 8 0 5 0 0 0 0 3 6 0 0 0 0 0 0 LM1, Kesä 2012 75/218
Miten tunnistan redusoidun porrasmatriisin? Se on porrasmatriisi. Jokaisen rivin johtava alkio on 1. Jokainen johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta poikkeava alkio. Esimerkki redusoidusta porrasmatriisista: 0 1 3/7 0 0 63/4 0 0 0 1 0 5/8 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 LM1, Kesä 2012 76/218
Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmän perusta Voidaan osoittaa, että jos lineaarisen yhtälöryhmän täydennettyä matriisia muokataan alkeisrivitoimituksilla, niin näin saatua uutta matriisia vastaavalla yhtälöryhmällä on täsmälleen samat ratkaisut kuin alkuperäisellä yhtälöryhmällä. a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2.. a m1 a m2... a mn b m alkeisrivi- toimituksia c 11 c 12... c 1n d 1 c 21 c 22... c 2n d 2.. c m1 c m2... c mn d m a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2. =.. a m1 x 1 + + a mnx n = b m samat ratkaisut c 11 x 1 + + c 1n x n = d 1 c 21 x 1 + + c 2n x n = d 2. =.. c m1 x 1 + + c mnx n = d m LM1, Kesä 2012 77/218
Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä Kirjoita yhtälöryhmän täydennetty matriisi. Muuta se alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi. Ohjeita: porrasmatriisia muodostetaan vasemmalta oikealle ja ylhäältä alaspäin; johtavat alkiot kannattaa useimmiten muuttaa ykkösiksi; johtavien alkioiden avulla muutetaan niiden alapuolella olevat alkiot nolliksi. Muuta porrasmatriisi redusoiduksi porrasmatriisiksi. Ohjeita: redusoitua porrasmatriisia muodostetaan oikealta vasemmalle ja alhaalta ylöspäin; johtavien alkioiden avulla muutetaan niiden yläpuolella olevat alkiot nolliksi. Lue ratkaisut redusoidusta porrasmatriisista. Tee alkeisrivitoimitukset yksi kerrallaan! LM1, Kesä 2012 78/218
Esimerkki 11 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8 LM1, Kesä 2012 79/218
1 3 10 0 1 2 0 4 8 r 3 4r 2 1 0 4 0 1 2. 0 0 0 1 3 10 r 1 + 3r 2 0 1 2 0 0 0 Vastaava yhtälöryhmä on x = 4 y = 2 0 = 0. Alin yhtälö on aina tosi, joten yhtälöryhmän ratkaisu on x = 4 ja y = 2. LM1, Kesä 2012 80/218
Esimerkki 12 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä { x + 2y + z = 8 3x 6y 3z = 21. [ ] 1 2 1 8 3 6 3 21 r 2 + 3r 1 [ 1 2 1 ] 8 0 0 0 3 Vastaava yhtälöryhmä on { x + 2y + z = 8 0 = 3. Alin yhtälö on aina epätosi, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. LM1, Kesä 2012 81/218
Esimerkki 13 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x 1 + 3x 2 15x 3 = 9 x 1 2x 3 = 1 2x 1 x 2 x 3 = 0. 3 3 15 9 r 1 /3 1 0 2 1 2 1 1 0 1 1 5 3 0 1 3 2 2 1 1 0 r 3 2r 1 1 1 5 3 1 0 2 1 r 2 r 1 2 1 1 0 1 1 5 3 0 1 3 2 1 r 2 0 3 9 6 LM1, Kesä 2012 82/218
1 1 5 3 0 1 3 2 0 3 9 6 r 3 + 3r 2 1 0 2 1 0 1 1 2. 0 0 0 0 1 1 3 3 r 1 r 2 0 1 1 2 0 0 0 0 Alinta riviä vastaava yhtälö 0 = 0 on aina tosi. Tuntematonta x 3 vastaavassa sarakkeessa ei ole johtavaa alkiota, joten se on ns. vapaa muuttuja. Merkitään x 3 = t, missä t R. Ratkaistaan muut tuntemattomat: x 1 2t = 1 { x1 = 1 + 2t x 2 t = 2 t R. x 2 = 2 + t, 0 = 0 LM1, Kesä 2012 83/218
Esimerkki 14 Lineaarisen yhtälöryhmän täydennetty matriisi muutettiin alkeisrivitoimituksilla redusoiduksi porrasmatriisiksi: 1 3 0 4 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0. 0 0 0 0 0 1 3 Mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Havaitaan, että johtavat alkiot (rivien ensimmäiset nollasta poikkeavat alkiot) ovat sarakkeissa 1, 3 ja 6. Muita sarakkeita vastaavat tuntemattomat x 2, x 4 ja x 5 ovat vapaita muuttujia. Merkitään x 2 = r, x 4 = s ja x 5 = t, missä r, s, t R. LM1, Kesä 2012 84/218
Yhtälöryhmä on tällöin x 1 + 3r + 4s = 0 x 3 + 2s = 0 x 6 = 3 x 1 = 3r 4s x 3 = 2s x 6 = 3. Ratkaisu on siis x 1 = 3r 4s x 2 = r x 3 = 2s x 4 = s x 5 = t x 6 = 3, r, s, t R. LM1, Kesä 2012 85/218
Esimerkki 15 Tarkastellaan yhtälöryhmää x + y + kz = 1 x + ky + z = 1 kx + y + z = 2. Määritä ne reaaliluvut k, joilla tällä yhtälöryhmällä (a) ei ole ratkaisua; (b) on tasan yksi ratkaisu; (c) on äärettömän paljon ratkaisuja. LM1, Kesä 2012 86/218
1 1 k 1 1 1 k 1 1 k 1 1 r 2 r 1 0 k 1 1 k 0 k 1 1 2 k 1 1 2 r 3 kr 1 1 1 k 1 0 k 1 1 k 0 0 1 k 1 k 2 2 k r 3 + r 2 1 1 k 1 0 k 1 1 k 0 r 2 /(k 1) 0 0 2 k k 2 2 k Oletus: k 1 0 1 1 k 1 0 1 1 0. 0 0 2 k k 2 2 k LM1, Kesä 2012 87/218
Oletus: k 1 0 eli k 1. Alimman rivin johtavassa alkiossa esiintyy k, joten tarkastellaan eri tapaukset. Jos kerroin 2 k k 2 = 0 eli k = 2 (tai k = 1) on periaatteessa kaksi mahdollisuutta: Jos myös vakio 2 k = 0 eli k = 2, niin yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Alinta riviä nimittäin vastaa yhtälö 0 = 0 ja x 3 on vapaa muuttuja. Jos vakio 2 k 0 eli k 2, ei nyt voida päätellä mitään, koska on mahdotonta, että yhtä aikaa k = 2 ja k 2. Jos kerroin 2 k k 2 0 eli k 2 ja k 1, niin saadaan ratkaistua x 3 = ( 2 k)/(2 k k 2 ) ja ylemmistä yhtälöistä saadaan muut tuntemattomat. Yhtälöryhmällä on tasan yksi ratkaisu. LM1, Kesä 2012 88/218
Tapaus k 1 = 0 eli k = 1. Yhtälöryhmä on tällöin x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 2. Ylin ja alin yhtälö ovat keskenään ristiriitaiset, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Yhteenveto: (a) ei ratkaisua, jos ja vain jos k = 1; (b) tasan yksi ratkaisu, jos ja vain jos k 2 ja k 1; (c) äärettömän monta ratkaisua, jos ja vain jos k = 2. LM1, Kesä 2012 89/218
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 16 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään aliavaruuteen span( v 1, v 2, v 3 )? Toisin sanottuna: Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w on vektoreiden v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? LM1, Kesä 2012 90/218
Tarkastellaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = w eli yhtälöä x 1 (3, 2, 1) + x 2 (2, 2, 6) + x 3 (3, 4, 5) = (w 1, w 2, w 3 ). Muokataan vastaavan yhtälöryhmän täydennetty matriisi porrasmatriisiksi: 3 2 3 w 1 ( 1) r 3 1 6 5 w 3 2 2 4 w 2 2 2 4 w 2 r 2 2r 1 1 6 5 w 3 3 2 3 w 1 1 6 5 w 3 0 10 6 w 2 + 2w 3 3 2 3 w 1 r 3 3r 1 1 6 5 w 3 0 10 6 w 2 + 2w 3 0 20 12 w 1 + 3w 3 r 3 2r 2 r 1 LM1, Kesä 2012 91/218
1 6 5 w 3 0 10 6 w 2 + 2w 3 r 2 /10 0 0 0 w 1 + 3w 3 2(w 2 + 2w 3 ) 1 6 5 w 3 0 1 3/5 (w 2 + 2w 3 )/10 0 0 0 w 1 2w 2 w 3 Havaitaan, että yhtälöryhmällä on ratkaisuja, jos ja vain jos w 1 2w 2 w 3 = 0. Siten span( v 1, v 2, v 3 ) = { w R 3 w 1 2w 2 w 3 = 0 } = { (x, y, z) R 3 x 2y z = 0 } eli origon kautta kulkeva taso, jonka yksi normaali on (1, 2, 1). LM1, Kesä 2012 92/218
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 17 Merkitään ī = (1, 0) ja j = (0, 1). Osoita, että span(ī, j) = R 2. Toisin sanottuna: osoita, että jokainen avaruuden R 2 vektori voidaan esittää vektoreiden ī ja j lineaarikombinaationa. j ī LM1, Kesä 2012 93/218
Oletetaan, että w R 2. Tällöin w = (w 1, w 2 ) joillakin reaaliluvuilla w 1 ja w 2. Huomataan, että w 1 ī + w 2 j = w 1 (1, 0) + w 2 (0, 1) = (w 1, 0) + (0, w 2 ) = (w 1, w 2 ) = w. Siis w voidaan kirjoittaa vektoreiden ī ja j lineaarikombinaationa eli w span(ī, j). Näin on osoitettu, että R 2 span(ī, j). Toinen suunta span(ī, j) R 2 on selvä, koska jokainen vektoreiden ī, j R 2 lineaarikombinaatio kuuluu avaruuteen R 2. LM1, Kesä 2012 94/218
Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 18 Onko totta, että span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = R 3, jos (a) v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (0, 1, 1) ja v 4 = ( 2, 1, 1)? (b) v 1 = (1, 1, 0), v 2 = ( 1, 0, 1), v 3 = (0, 1, 1) ja v 4 = (2, 1, 1)? Kielteisessä tapauksessa määritä span( v 1, v 2, v 3, v 4 ). Myönteisessä tapauksessa tutki, kuinka monella tavalla vektori w = (w 1, w 2, w 3 ) voidaan esittää vektoreiden v 1, v 2, v 3 ja v 4 lineaarikombinaationa. LM1, Kesä 2012 95/218
(a) Tarkastellaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = w. Muokataan vastaavan yhtälöryhmän täydennetty matriisi joksikin porrasmatriisiksi: 1 1 0 2 w 1 1 0 1 1 w 2... 0 1 1 1 w 3 1 1 0 2 w 1 0 1 1 3 w 1 w 2. 0 0 1 2 (w 3 + w 2 w 1 )/2 Havaitaan, että yhtälöryhmällä on aina ratkaisu; itseasiassa niitä on äärettömän monta, koska x 4 on vapaa muuttuja. Siis span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = R 3 ja jokainen avaruuden R 3 vektori voidaan esittää äärettömän monella tavalla vektoreiden v 1, v 2, v 3 ja v 4 lineaarikombinaationa. LM1, Kesä 2012 96/218
(b) Tarkastellaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = w. Muokataan vastaavan yhtälöryhmän täydennetty matriisi joksikin porrasmatriisiksi: 1 1 0 2 w 1 1 0 1 1 w 2... 0 1 1 1 w 3 1 1 0 2 w 1 0 1 1 1 w 1 w 2 0 0 0 0 w 1 + w 2 + w 3. Havaitaan, että yhtälöryhmällä on ratkaisu, jos ja vain jos w 1 + w 2 + w 3 = 0. Siten span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = { w R 3 w 1 + w 2 + w 3 = 0 } = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0 } eli origon kautta kulkeva taso, jonka yksi normaali on (1, 1, 1). LM1, Kesä 2012 97/218
Jos w 1 + w 2 + w 3 = 0, niin vektori w voidaan esittää vektoreiden v 1, v 2, v 3 ja v 4 lineaarikombinaationa äärettömän monella tavalla, sillä x 3 ja x 4 ovat vapaita muuttujia. Erityisesti voidaan valita x 3 = 0 ja x 4 = 0 ja saadaan esitys w = w 2 v 1 + ( w 1 w 2 ) v 2. Näin ollen span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = span( v 1, v 2 ). LM1, Kesä 2012 98/218
Havaintoja Edellisen esimerkin perusteella: Joskus osajono virittää saman aliavaruuden kuin alkuperäinen virittäjäjono ( v 1,..., v k ). Joskus aliavaruuden span( v 1,..., v k ) vektorit voidaan esittää usealla eri tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina. Miten löytää virittäjäjono, jossa ei ole turhia vektoreita? Miten löytää sellainen virittäjäjono, että kaikki aliavaruuden vektorit voidaan esittää tasan yhdellä tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina? LM1, Kesä 2012 99/218
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, sanotaa, että vektorit v 1, v 2,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos jono ei ole vapaa, sanotaan, että se on sidottu. LM1, Kesä 2012 100/218
Esimerkki 19 Merkitään v 1 = (1, 2) ja v 2 = ( 3, 1). Onko jono ( v 1, v 2 ) vapaa vai sidottu? v 1 v 2 LM1, Kesä 2012 101/218
Oletetaan, että c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 joillakin reaaliluvuilla c 1 ja c 2. Tällöin c 1 (1, 2) + c 2 ( 3, 1) = (0, 0) eli komponentteittain: { c1 3c 2 = 0 2c 1 c 2 = 0. Ratkaistaan tästä c 1 ja c 2 : [ ] [ ] 1 3 0 1 3 0 2 1 0 r 2 2r 1 0 5 0 r 2 /5 [ ] [ ] 1 3 0 r1 + 3r 2 1 0 0. 0 1 0 0 1 0 Ainoa ratkaisu on c 1 = 0 ja c 2 = 0. Jono ( v 1, v 2 ) on vapaa. LM1, Kesä 2012 102/218
Esimerkki 20 Merkitään v 1 = (1, 2), v 2 = ( 3, 1) ja v 3 = ( 1, 1). Onko jono ( v 1, v 2, v 3 ) vapaa vai sidottu? v 3 v 1 v 2 LM1, Kesä 2012 103/218
Oletetaan, että c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = 0 joillakin c 1, c 2, c 3 R. Tällöin c 1 (1, 2) + c 2 ( 3, 1) + c 3 ( 1, 1) = (0, 0) eli komponentteittain: { c1 3c 2 c 3 = 0 2c 1 c 2 + c 3 = 0. Ratkaistaan tästä c 1 ja c 2 : [ ] [ ] 1 3 1 0 1 3 1 0 2 1 1 0 r 2 2r 1 0 5 3 0 r 2 /5 [ ] [ ] 1 3 1 0 r1 + 3r 2 1 0 4/5 0. 0 1 3/5 0 0 1 3/5 0 Voidaan valita esimerkiksi c 3 = 5, jolloin c 2 = 3 ja c 1 = 4. Näin 4 v 1 3 v 2 + 5 v 3 = 0. Jono ( v 1, v 2, v 3 ) on sidottu. LM1, Kesä 2012 104/218
5 v 3 4 v 1 3 v 2 4 v 1 3 v 2 + 5 v 3 = 0 LM1, Kesä 2012 105/218
Esimerkki 21 Merkitään w 1 = (2, 1) ja w 2 = ( 4, 2). Onko jono ( w 1, w 2 ) vapaa vai sidottu? w 1 w 2 Esimerkiksi 2 w 1 + w 2 = 0, joten jono ( w 1, w 2 ) on sidottu. LM1, Kesä 2012 106/218
Vähintään kahdesta vektorista muodostuva vektorijono on sidottu, jos ja vain jos jokin sen vektoreista voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa: Lause 15 Oletetaan, että v 1,..., v k R n, missä k 2 ja n {1, 2,...}. (a) Jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v = 0. (b) Jono ( v 1,..., v k ) on sidottu, jos ja vain jos v i span( v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) jollakin i {1,..., k}. LM1, Kesä 2012 107/218
Perustelu: (a) Tarkastellaan eri mahdollisuudet: Jos v 1 = 0, niin esim. 8 v 1 = 8 0 = 0. Siis jono ( v 1 ) on sidottu. Jos v 1 0, niin t v 1 = 0 t = 0. Siis jono ( v 1 ) on vapaa. Havaitaan, että jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v 1 = 0. (b) : Oletetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on sidottu. Tällöin c 1 v 1 + + c k v k = 0, missä ainakin yksi kertoimista c i 0. Oletetaan, että esim. c 2 0. Tällöin c 2 v 2 = c 1 v 1 c 3 v 3 c k v k ja v 2 = c 1 v 1 + c 3 c 2 c 2 v 3 + + c k c 2 v k. Tässä jokainen c i /c 2 R, joten v 2 span( v 1, v 3,..., v k ). LM1, Kesä 2012 108/218
: Oletetaan, että esimerkiksi v 3 span( v 1, v 2, v 4,..., v k ). Tällöin v 3 = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 4 v 4 + + a k v k joillakin reaaliluvuilla a 1, a 2, a 4,..., a k. Siten 0 = a 1 v 1 + a 2 v 2 v 3 + a 4 v 4 + + a k v k. Tässä ainakin vektorin v 3 kerroin 1 0, joten jono ( v 1,..., v k ) on sidottu. LM1, Kesä 2012 109/218
Esimerkki 22 Merkitään v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 2) ja v 4 = (3, 1, 0). Tällöin esimerkiksi 2 v 1 + v 2 + 0 v 3 v 4 = 0, joten jono ( v 1, v 2, v 3, v 4 ) on sidottu. Lisäksi esimerkiksi v 2 = 2 v 1 + 0 v 3 + v 4 mutta v 3 a v 1 + b v 2 + c v 4 kaikilla a, b, c R. LM1, Kesä 2012 110/218
Lause 16 Vapaan jonon osajono on vapaa. Huom. Osajono tarkoittaa jonoa, joka saadaan jättämällä alkuperäisestä jonosta pois yksi tai useampia vektoreita. Myös alkuperäinen jono sellaisenaan on yksi osajono. Lauseista 16 ja 15 seuraa, että vapaassa jonossa ( v 1, v 2,..., v k ) ei ole nollavektoria; jokainen vektori esiintyy vain kerran; v i v j kaikilla i j. LM1, Kesä 2012 111/218
Lauseen 16 perustelun idea: Oletetaan, että v 1,..., v 5 R n ja jono ( v 1,..., v 5 ) on vapaa. Osoitetaan, että sen osajono ( v 2, v 4, v 5 ) on vapaa. Tarkastellaan yhtälöä x v 2 + y v 4 + z v 5 = 0: x v 2 + y v 4 + z v 5 = 0 0 v 1 + x v 2 + 0 v 3 + y v 4 + z v 5 = 0 Oletuksen mukaan jono ( v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) on vapaa, joten oikeanpuoleinen yhtälö toteutuu vain, jos kaikki kertoimet ovat nollia. Tästä seuraa, että vasemmanpuoleisen yhtälön ainoa ratkaisu on x = 0, y = 0 ja z = 0. Siis jono ( v 2, v 4, v 5 ) on vapaa. LM1, Kesä 2012 112/218
Jos virittäjäjono on vapaa, niin kaikki aliavaruuden vektorit voidaan esittää tasan yhdellä tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina: Lause 17 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,...}. Jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden span( v 1, v 2,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaationa. LM1, Kesä 2012 113/218
Perustelu: : Oletetaan, että jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Oletetaan, että w span( v 1, v 2,..., v k ). Tämä tarkoittaa, että w voidaan kirjoittaa ainakin yhdellä tavalla vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Oletetaan nyt, että w = a 1 v 1 + + a k v k ja w = b 1 v 1 + + b k v k joillakin a 1,..., a k, b 1,..., b k R. Tällöin a 1 v 1 + + a k v k = b 1 v 1 + + b k v k, joten a 1 v 1 + + a k v k (b 1 v 1 + + b k v k ) = 0 ja edelleen (a 1 b 1 ) v 1 + + (a k b k ) v k = 0. Jono ( v 1,..., v k ) on oletuksen mukaan vapaa, joten viimeisestä yhtälöstä seuraa, että a 1 b 1 = 0, a 2 b 2 = 0,..., a k b k = 0. Siten a 1 = b 1,..., a k = b k. Näin ollen vektoria w ei voida kirjoittaa lineaarikombinaationa usealla eri tavalla. LM1, Kesä 2012 114/218
: Oletetaan, että jokainen aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Osoitetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on vapaa. Sitä varten oletetaan, että luvut c 1,..., c k R ovat sellaisia, että c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0. Koska vektori 0 on aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio, se voidaan kirjoittaa vektorien lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla. Tiedetään, että 0 v 1 + 0 v 2 + + 0 v k = 0, joten täytyy päteä c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Siten jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM1, Kesä 2012 115/218
Homogeeniset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarinen yhtälöryhmä, jonka kaikki vakiot ovat 0, on nimeltään homogeeninen yhtälöryhmä. a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0. =. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 Huom. Homogeenisella yhtälöryhmällä on aina ainakin yksi ratkaisu: x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0. LM1, Kesä 2012 116/218
Lause 18 Jos homogeenisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä n on suurempi kuin yhtälöiden määrä m, niin homogeenisella yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Esim. n = 5 ja m = 3: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 34 x 4 + a 25 x 5 = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 = 0 Homogeenisella yhtälöryhmällä on ainakin yksi ratkaisu. Johtavia alkioita enintään yksi joka rivillä; siis enintään m kpl. Vapaita muuttujia on ainakin yksi, koska tuntemattomien määrä n > m; ts. yhtälöryhmän matriisissa on ainakin yksi sarake, jossa ei ole johtavaa alkiota! LM1, Kesä 2012 117/218
Lause 19 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v m R n, missä n {1, 2,...}. Jos m > n, niin jono ( v 1, v 2,..., v m ) on sidottu. Huom. Merkitsemällä v k = (v 1k, v 2k,..., v nk ) kaikilla k {1,..., m} saadaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x m v m = 0 vastaavaksi matriisiksi v 11 x 1 + v 12 x 2 + + v 1n x m = 0 v 21 x 1 + v 22 x 2 + + v 2n x m = 0. =. v n1 x 1 + v n2 x 2 + + v nm x m = 0. LM1, Kesä 2012 118/218
Huom. Jos homogeenisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä n on pienempi tai yhtä suuri kuin yhtälöiden määrä m, ei lausetta 18 voi käyttää. Ratkaisuja voi olla yksi (x 1 = 0,..., x n = 0) tai äärettömän monta. Esim. n = 2 ja m = 4: a 11 x 1 + a 12 x 2 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 = 0 a 41 x 1 + a 42 x 2 = 0 LM1, Kesä 2012 119/218
Esimerkki 23 Oletetaan, että v 1, v 2, v 3 R n, missä n {1, 2,... }. Oletetaan lisäksi, että jono ( v 1, v 2, v 3 ) on vapaa. Onko jono tällöin vapaa? ( v 1 + v 2 + v 3, 2 v 1 v 2 + v 3, v 3 4 v 1 5 v 2 ) Oletetaan, että c 1, c 2 ja c 3 ovat sellaisia reaalilukuja, että c 1 ( v 1 + v 2 + v 3 ) + c 2 (2 v 1 v 2 + v 3 ) + c 3 ( v 3 4 v 1 5 v 2 ) = 0. Muokataa yhtälöä kertomalla sulut auki: c 1 v 1 + c 1 v 2 + c 1 v 3 + 2c 2 v 1 c 2 v 2 + c 2 v 3 + c 3 v 3 4c 3 v 1 5c 3 v 2 = 0. LM1, Kesä 2012 120/218
Otetaan yhteisiksi tekijöiksi vektorit v 1, v 2 ja v 3 : (c 1 + 2c 2 4c 3 ) v 1 + (c 1 c 2 5c 3 ) v 2 + (c 1 + c 2 + c 3 ) v 3 = 0. Jono ( v 1, v 2, v 3 ) on oletuksen mukaan vapaa, joten saatu yhtälö toteutuu, jos ja vain jos sen kaikki kertoimet ovat nollia. Saadaan homogeeninen yhtälöryhmä c 1 + 2c 2 4c 3 = 0 c 1 c 2 5c 3 = 0 c 1 + c 2 + c 3 = 0. 1 2 4 0 1 0 0 0 1 1 5 0... 0 1 0 0. 1 1 1 0 0 0 1 0 Ainoa ratkaisu on c 1 = 0, c 2 = 0 ja c 3 = 0, joten alkuperäinen jono on vapaa. LM1, Kesä 2012 121/218
Kanta Oletetaan, että v 1,..., v j R n, missä n {1, 2,...}. Merkitään W = span( v 1,..., v j ); ts. W on vektoreiden v 1,..., v j virittämä aliavaruus. Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos (a) W = span( w 1, w 2,..., w k ) (b) ( w 1, w 2,..., w k ) on vapaa. LM1, Kesä 2012 122/218
Kanta Esimerkki 24 Merkitään ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1). Osoitetaan, että jono (ē 1, ē 2 ) on avaruuden R 2 kanta. ē 2 ē 1 Huom. Lukion merkinnöillä kysymyksessä on jono (ī, j). Vastaavasti voidaan osoittaa, että jono (ē 1,..., ē n ) on avaruuden R n kanta. Vektorin ē i komponentit ovat nollia lukuunottamatta i:nnettä komponenttia, joka on 1. LM1, Kesä 2012 123/218
Esimerkin 24 ratkaisu Käytetään kannan määritelmää: (a) Oletetaan, että w R 2. Tällöin w = (w 1, w 2 ) joillakin reaaliluvuilla w 1 ja w 2. Havaitaan, että w = w 1 (1, 0) + w 2 (0, 1) = w 1 ī + w 2 j. Näin mikä tahansa avaruuden R 2 vektori voidaan esittää vektoreiden ī ja j lineaarikombinaationa. Siten span(ī, j) = R 2. (b) Oletetaan, että c 1 ī + c 2 j = 0 joillakin c 1, c 2 R. Tällöin c 1 (1, 0) + c 2 (0, 1) = (0, 0) eli (c 1, c 2 ) = (0, 0), mistä seuraa, että c 1 = 0 ja c 2 = 0. Siis jono (ī, j) on vapaa. LM1, Kesä 2012 124/218
Lause 20 Kanta ja koordinaatit Jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Lause 20 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Oletetaan, että B = ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Oletetaan, että ū W. Vektorin ū koordinaateiksi kannan B suhteen kutsutaan reaalilukuja a 1,..., a k, joilla ū = a 1 w 1 + + a k w k. LM1, Kesä 2012 125/218
Lauseen 20 perustelu: : Oletetaan, että jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Tällöin kannan määritelmän nojalla W = span( w 1,..., w k ) ja jono ( w 1,..., w k ) on vapaa. Lauseesta 17 seuraa, että jokainen aliavaruuden W = span( w 1,..., w k ) vektori voidaan kirjoittaa tasan yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. : Oletetaan, että jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Tästä seuraa ensinnäkin, että W = span( w 1,..., w k ). Tämän jälkeen voidaan käyttää lausetta 17, jonka mukaan jono ( w 1,..., w k ) on tällöin vapaa. Näin kannan määritelmän molemmat ehdot täyttyvät. Siis ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. LM1, Kesä 2012 126/218
Kanta ja koordinaatit Esimerkki 25 Merkitään w 1 = (2, 1), w 2 = (1, 3) ja ū = (8, 3). (a) Osoita lauseen 20 avulla, että ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta. (b) Määritä vektorin ū koordinaatit avaruuden R 2 ns. luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen. (c) Määritä vektorin ū koordinaatit kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen. LM1, Kesä 2012 127/218
(a) Oletetaan, että v R 2. Ratkaistaan yhtälö x 1 w 1 + x 2 w 2 = v eli yhtälö x 1 (2, 1) + x 2 (1, 3) = (v 1, v 2 ). Komponenteittain: { 2x1 + x 2 = v 1 x 1 + 3x 2 = v 2. [ ] 2 1 v1... 1 3 v 2 [ ] 1 0 (3v1 v 2 )/7. 0 1 (v 1 + 2v 2 )/7 Tasan yksi ratkaisu riippumatta vektorista v R 2. Siis jono ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta lauseen 20 nojalla. LM1, Kesä 2012 128/218
Kanta ja koordinaatit (b) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen ovat 8 ja 3, sillä ū = 8(1, 0) + 3(0, 1) = 8ē 1 + 3ē 2. 3ē 2 ē 2 ū = 8ē 1 + 3ē 2 ē 1 8ē 1 LM1, Kesä 2012 129/218
(c) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen saadaan a-kohdan avulla. Sen mukaan x 1 w 1 +x 2 w 2 = ū, jos ja vain jos { x1 = (3u 1 u 2 )/7 = (24 3)/7 = 3 x 2 = (u 1 + 2u 2 )/7 = (8 + 6)/7 = 2. Siis ū = 3 w 1 + 2 w 2 eli kysytyt koordinaatit ovat 3 ja 2. LM1, Kesä 2012 130/218
Kanta ja koordinaatit 2 w 2 w 2 ū = 3 w 1 + 2 w 2 w 1 3 w 1 LM1, Kesä 2012 131/218
Kanta ja dimensio Lause 21 Aliavaruuden W jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria. Lause 21 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Aliavaruuden W kannan vektorien lukumäärä on aliavaruuden W dimensio. Sitä merkitään dim(w ). Jos aliavaruuden dimensio on n, sanotaan, että aliavaruus on n-ulotteinen. LM1, Kesä 2012 132/218
Kanta ja dimensio Esimerkki 26 Esimerkin 24 mukaan vektorit ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1) muodostavat avaruuden R 2 kannan. Siten dim(r 2 ) = 2. ē 2 ē 1 Esimerkki 27 Merkitään v 1 = (3, 1, 5), v 2 = (2, 1, 3) ja v 3 = (0, 5, 1). Olkoon W = span( v 1, v 2, v 3 ). Määritä aliavaruuden W dimensio. LM1, Kesä 2012 133/218
Esimerkin 27 ratkaisu Oletetaan, että ū R 3. Ratkaistaan yhtälö x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = ū eli yhtälö x 1 (3, 1, 5) + x 2 (2, 1, 3) + x 3 (0, 5, 1) = (u 1, u 2, u 3 ). Komponentteittain 3x 1 + 2x 2 = u 1 x 1 + x 2 5x 3 = u 2 5x 1 + 3x 2 + x 3 = u 3. 3 2 0 u 1 1 1 5 u 2 1 1 5 u 2... 0 1 3 (u 1 + 3u 2 )/5. 5 3 1 u 3 0 0 0 (5u 3 + u 2 8u 1 )/5 LM1, Kesä 2012 134/218
Havaitaan, että yhtälöryhmällä on ratkaisu, jos ja vain jos 5u 3 + u 2 8u 1 = 0. Siten W = span( v 1, v 2, v 3 ) = { (x, y, z) 8x + y + 5z = 0 } on origon kautta kulkeva taso, jonka yksi normaali on ( 8, 1, 5). Jos 5u 3 + u 2 8u 1 = 0, niin x 3 on vapaa muuttuja ja voidaan valita x 3 = 0. Siten jokainen tason vektori voidaan ilmaista vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaationa; ts. W = span( v 1, v 2, v 3 ) = span( v 1, v 2 ). Lisäksi v 1 v 2, joten lauseen 15 nojalla jono ( v 1, v 2 ) on vapaa. Näin jono ( v 1, v 2 ) on avaruuden W kanta ja siten dim(w ) = 2. LM1, Kesä 2012 135/218
Lauseen 21 perustelu: Oletetaan, että B = ( v 1,..., v j ) ja C = ( w 1,..., w k ) ovat aliavaruuden W kantoja. Pyritään osoittamaan, että j = k. Tehdään se osoittamalla, että muut vaihtoehdot j < k ja k < j johtavat ristiriitaan. Oletetaan, että j < k. Tarkastellaan yhtälöä x 1 w 1 + + x k w k = 0. (1) Koska B on W :n kanta, voidaan kaikki kannan C vektorit kirjoittaa kannan B vektorien lineaarikombinaatioina: w 1 = a 11 v 1 + a 12 v 2 + + a 1j v j w 2 = a 21 v 1 + a 22 v 2 + + a 2j v j. w k = a k1 v 1 + a k2 v 2 + + a kj v j LM1, Kesä 2012 136/218
Sijoittamalla nämä yhtälöön 1 saadaan yhtäpitävä yhtälö: x 1 (a 11 v 1 + a 12 v 2 + + a 1j v j ) + x 2 (a 21 v 1 + a 22 v 2 + + a 2j v j ) + + x k (a k1 v 1 + a k2 v 2 + + a kj v j ) = 0 ja edelleen ryhmittelemällä: (x 1 a 11 + x 2 a 21 + + x k a k1 ) v 1 + (x 1 a 12 + x 2 a 22 + + x k a k2 ) v 2 + + (x 1 a 1j + x 2 a 2j + + x k a kj ) v j = 0 LM1, Kesä 2012 137/218
Jono B = ( v 1,..., v j ) on kanta, joten se on vapaa. Siten edellinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos kaikki kertoimet ovat nollia: x 1 a 11 + x 2 a 21 + + x k a k1 = 0 x 1 a 12 + x 2 a 22 + + x k a k2 = 0. =. x 1 a 1j + x 2 a 2j + + x k a kj = 0 Kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä, jossa tuntemattomien määrä k on suurempi kuin yhtälöiden määrä j. Lauseen 18 mukaan yhtälöryhmällä on muitakin ratkaisuja kuin x 1 = 0,..., x k = 0. Siis jono C = ( w 1,..., w k ) on sidottu. Ristiriita! Tapaus j > k käsitellään vastaavasti. LM1, Kesä 2012 138/218
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä i j. Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortonormaaliksi, jos se on ortogonaalinen ja lisäksi sen kaikkien vektorien normi on yksi eli w i = 1 kaikilla i {1, 2,..., k}. LM1, Kesä 2012 139/218
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Huom. Oletetaan, että n {1, 2,...}. Avaruuden R n luonnollinen kanta E n = (ē 1,..., ē n ) on ortonormaali, sillä ē i ē j = 0, jos i j ja ē i = 1 kaikilla i. ē 2 ē 3 ē 1 LM1, Kesä 2012 140/218
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Projektiota voidaan käyttää kannan ortogonalisoimiseen (tästä lisää jatkokurssilla): Esimerkki 28 Merkitään v 1 = ( 1, 2) ja v 2 = (3, 1). Tällöin jono ( v 1, v 2 ) on avaruuden R 2 kanta. v 1 (Voit osoittaa sen käyttämällä lausetta 20 tai kannan määritelmää.) v 2 LM1, Kesä 2012 141/218
Muodostetaan uusi jono ( w 1, w 2 ) seuraavasti: Valitaan w 1 = v 1. Valitaan w 2 = v 2 proj w1 ( v 2 ). w 1 = v 1 proj w1 ( v 2 ) v 2 w 2 = v 2 proj w1 ( v 2 ) LM1, Kesä 2012 142/218
Näin saatu jono ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 ortogonaalinen kanta. w 1 w 2 Tässä siis w 1 = ( 1, 2) ja w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = (3, 1) + ( 1, 2) = (2, 1). LM1, Kesä 2012 143/218
Vielä voidaan muodostaa uusi jono (ū 1, ū 2 ) seuraavasti: Valitaan ū 1 = 1 w 1 w 1. Valitaan ū 2 = 1 w 2 w 2. ū 1 ū 2 Jono (ū 1, ū 2 ) on avaruuden R 2 ortonormaali kanta. Tässä ū 1 = 1 5 ( 1, 2) ja ū 2 = 1 5 (2, 1). LM1, Kesä 2012 144/218
Ortonormaali kanta Vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo määrittää: Lause 22 Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on aliavaruuden W ortonormaali kanta. Oletetaan, että w W. Tällöin vektorin w koordinaatit kannan B suhteen ovat w ū 1, w ū 2,..., w ū k eli w = ( w ū 1 )ū 1 + ( w ū 2 )ū 2 + + ( w ū k )ū k. LM1, Kesä 2012 145/218
Lauseen 22 perustelu: Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on aliavaruuden W ortonormaali kanta. Tutkitaan vektorin w W koordinaatteja kannan B suhteen. Merkitään koordinaatteja a 1,..., a k ; ts. Huomataan, että w = a 1 ū 1 + a 2 ū 2 + + a k ū k. w ū 1 = (a 1 ū 1 + a 2 ū 2 + + a k ū k ) ū 1 = a 1 (ū 1 ū 1 ) + a 2 (ū 2 ū 1 ) + + a k (ū k ū 1 ) = a 1 1 + a 2 0 + + a k 0 = a 1. Vastaavalla tavalla nähdään, että w ū i = a i kaikilla i {1, 2,..., k}. Vektorin w koordinaatit saadaan siis laskemalla kantavektorien pistetulo vektorin w kanssa. LM1, Kesä 2012 146/218
Esimerkki 29 Vektorin w = (2, 9, 7) koordinaantit ortonormaalin kannan E 3 = (ē 1, ē 2, ē 3 ) suhteen ovat lauseen 22 nojalla w ē 1 = (2, 9, 7) (1, 0, 0) = 2, w ē 2 = (2, 9, 7) (0, 1, 0) = 9, w ē 3 = (2, 9, 7) (0, 0, 1) = 7. Siis w = 2ē 1 + 9ē 2 7ē 3. LM1, Kesä 2012 147/218
Esimerkki 30 Ortonormaali kanta Tarkastellaan esimerkissä 28 muodostettua avaruuden R 2 ortonormaalia kantaa (ū 1, ū 2 ), jossa ū 1 = 1 5 ( 1, 2) ja ū 2 = 1 5 (2, 1). Vektorin v = (3, 4) koordinaatit tämän kannan suhteen ovat lauseen 22 nojalla v ū 1 = 1 ) ((3, 4) ( 1, 2) = 5 = 5, 5 5 v ū 2 = 1 ) ((3, 4) (2, 1) = 10 = 2 5. 5 5 LM1, Kesä 2012 148/218
v = 5ū 1 + 2 5 ū 2 5 ū1 ū 1 ū 2 2 5 ū2 LM1, Kesä 2012 149/218
Matriisit Määritelmä Reaalialkioinen m n -matriisi on reaalilukutaulukko, jossa on m riviä ja n saraketta. Esimerkiksi a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn on m n -matriisi. Sanotaan, että matriisin A tyyppi on m n. Matriisissa olevia lukuja kutsutaan matriisin alkioiksi, ja rivillä i sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään A(i, j) tai a ij. Kaikkien reaalialkioisten m n -matriisien joukkoa merkitään R m n. LM1, Kesä 2012 150/218
Esimerkki 31 Merkitään 1 0 5 3 11 2 B = 4 0 2 0. 2 6 Tällöin B on reaalikertoiminen 4 3 -matriisi eli B R 4 3. Nähdään, että B(1, 3) = 5 ja B(2, 2) = 11. LM1, Kesä 2012 151/218
Määritelmä Matriisien yhteenlasku Oletetaan, että A, B R m n. Matriisien A ja B summa saadaan laskemalla yhteen samoissa kohdissa olevat alkiot. Tuloksena on m n -matriisi A + B, jolle pätee (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j). kaikilla i {1,..., m} ja j {1,..., n}. Esimerkiksi 1 2 2 1 1 + 2 2 + ( 1) 3 1 3 4 + 0 1 = 3 + 0 4 + 1 = 3 5. 5 6 3 2 5 + 3 6 + 2 8 8 Vain matriiseja, joilla on sama tyyppi, voidaan laskea yhteen. LM1, Kesä 2012 152/218