Matematiikkaa logiikan avulla

Ralph-Johan Back Joakim von Wright Matematiikkaa logiikan avulla Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 4, Oct 2008

Matematiikkaa logiikan avulla Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa Ralph-Johan Back och Joakim von Wright Lokakuussa 2008, Turku, Suomi Copyright Ralph-Johan Back and Joackim von Wright All rights reserved TUCS Lecture Notes Nr 4 IMPEd Series

Esipuhe Rakenteiset päättelyketjut ovat matemaattisten todistusten ja johtojen uusi muoto, joka rakentuu loogisen notaation käytöstä ja yksinkertaisista loogisista säännöistä argumentoinnissa. Tämä raportti esittelee menetelmää käytännössä, lukiotason käytännön logiikan kurssin muodossa. Logiikan peruskäsitteitä esitellään asteittain, yksi kerrallaan, ja havainnollistetaan lukiomatematiikan esimerkkien avulla. Tämän raportin alustavaa versiota on käytetty kurssikirjana pitkän matematiikan kursseilla Suomessa (valinnainen kurssi Logiikka ja lukuteoria ). Jokainen kappale sisätää harjoitustehtäviä. Yleiskuva Materiaali on laadittu siten, että keskeiset ainesosat rakenteisten päättelyketjujen käytöstä esitellään askel askeleelta perusteltuna tavallisilla lukiomatematiikan ongelmatilanteilla. Yksittäisten kappaleiden sisältö yksityiskohtaisemmin seuraavassa: Luku 2 esittelee lineaariset päättelyketjut. Kuvaamme, kuinka sieventäminen (laskeminen, muokkaaminen) tehdään päättelyketjujen avulla niin, että perustelut ovat mukana. Tarkoituksena on valaista periaatteita ja sääntöjä, jotka ovat sellaisten matemaattisten laskutoimitusten ja päättelyiden takana, joita tavallisesti pidetään yksinkertaisina ja itsestään selvyyksinä. Luku 3 käsittelee totuusarvoja (tosi ja epätosi) ja näiden perussääntöjä ja operaatioita. Lineaarisia päättelysääntöjä käytetään sievennettäessä aritmeettisloogisia lausekkeita eli lausekkeita, joissa on sekä lukarvoja että totuusarvoja. Luku 4 käsittelee yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemista. Yhtälön ratkaiseminen (tai epäyhtälön tai yhtälöparin) tarkoittaa lausekkeen sieventämistä loogisesti ekvivalentissa muodossa, josta saadaan ratkaisu eli mitkä arvot toteuttavat yhtälön. Luku 5 laajentaa lineaariset päättelyketjut rakenteisiksi päättelyketjuiksi esittelemällä päättelyketjujen tarkennukset. Päättelyketjun tarkennus on oma kokonaisuutensa, joka on samalla osa varsinaista päättelyketjua. Se kirjoitetaan sisennettyinä ja voidaan tarpeen mukaan piilottaa. Luku 6 nostaa esiin matematiikan keskeisen ongelma-alueen: määrittelemättömät lausekkeet. Kuten tunnettua, nollalla ei ole luvallista jakaa eikä neliöjuurta voi ottaa negatiivisesta luvusta. Toisaalta voidaan kirjoittaa lauseke muodossa 3 0 tai 1 x 2, jotka siis eivät ole määriteltyjä. Matematiikassa kierretään 3

yleensä kysymys, mitä tuollainen lauseke tarkoittaa välttämälla sellaisia lausekkeita päättelyssä. Tässä luvussa näemme, kuinka tämä voidaan tehdä loogisesti pitävästi. Luku 7 osoittaa, kuinka implikaatio p q eli, että lause q seuraa lauseesta p, voidaan osoittaa johtamalla. Samaa menetelmää voidaan käyttää myös osoittamaan erisuuruuksia - implikaatio p q on logiikan vastine muotoa a b oleville epäyhtälöille. Tämä yleistää ne päättelyketjut, joita on käytetty edellä osoittamaan vain yhtäsuuruuksia ja ekvivalensseja (mikä on logiikan vastine yhtäsuuruudelle). Luku 8 käsittelee kuvioiden ja graafien käyttöä matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Teksti voi selventää, mihin viitataan, kuva voi havainnollistaa todellista tilannetta, taulukkoon voidaan koota yhteen joukko tietoja jne. Graafeilla ja kuvioilla voi myös olla aktiivinen rooli ongelmanratkaisussa. Luku 9 kokoaa joukon erilaisia tapoja käydä käsiksi matemaattiseen probleemaan. Joitakin niistä on jo käytetty esimerkkien yhteydessä aikaisemmissa luvuissa, mutta toiset ovat uusia. On tärkeä oivaltaa, että yhden ja saman probleeman voi usein ratkaista monella eri tavalla ja että ratkaiseminen voi vaatia erilaisten todistusstrategioiden yhdistelmän. Luku 10 esittelee kvanttorit, sekä kaikkikvanttorin että olemassaolokvanttorin. Kvanttoreita on perinteisesti vältetty lukiomatematiikassa, mutta koska on vaikea selvitä ilman niitä, on ne piilotettu erilaisten muotoilujen taakse. Tässä luvussa kuvataan, miten ne toimivat matemaattisten ominaisuuksien esittelyssä ja kuinka niitä käytetään todistamisessa. Erittäin käyttökelpoinen menetelmä on matemaattinen induktio. Tässä luvussa käymme myös varsinaisen lukiomatematiikkaan ulkopuolella ja osoitamme kuinka kvanttoreita voidaan käyttää päättelyissä alueilla, jotka yleensä koetaan vaikeiksi, kuten jatkuvuus ja rajaarvo. Matematiikkaa logiikan avulla Tämä julkaisu on osa laajempaa sarjaa jossa esitellään rakenteisia päättelyketjuja ja niiden sovellutuksia matematiikan opetuksessa. Seuraavat julkaisut ovat toistaiseksi ilmestyneet tässä sarjassa: Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa(back, Wright [12]) Lyhyt lukuteorian kurssi (Back, von Wright [10]) Pitkän matematiikan ylioppilaskoe, kevät 2003 (Back, von Wright[11]) Johdatus rakenteisiin päättelyketjuihin (Back [2]) Logiikka ja rakenteiset päättelyketjut (Back [3]) Rakenteiset päättelyketjut yleisenä todistusmuotona (Back [4]) 4

Kiitossanat Työ rakenteisten päättelyketjujen kehittämiseksi ja kokeilut soveltaa menetelmää opetuksessa ovat tapahtuneet läheisessä yhteistyössä Learning and Reasoning laboratorion jäsenten kanssa. Tämä tutkimuslaboratorio on Åbo Akademin ja Turun Yliopiston yhteishanke. Erityisesti haluamme kiittää seuraavia henkilöitä monista antoisista ja mielenkiintoisista keskusteluista, koskien sekä menetelmää että ehdotuksia menetelmän kehittämisestä (lista on aakkosjärjestyksessä): Johannes Eriksson, Tanja Kavander, Linda Mannila, Martin Nylund, Mia Peltomäki, Viorel Preoteasa, Tapio Salakoski, ja Patrick Sibelius.Tutkimuksen on rahoittanut Suomen Akatemia, projektin Center of Excellence in Formal Methods in Programming puitteissa. Haluamme lisäksi erikoisesti kiittää Mia Peltomäkeä, joka on vastannut alkuperäisen ruotsinkielisen raportin suomennoksesta. 5

6

Sisältö 1 Johdanto 9 2 Lauseke, yhtäsuuruus, päättelyketjut 15 3 Totuusarvo ja ekvivalenssi 27 4 Yhtälöt loogisina lauseina 41 5 Päättelyketjun tarkennuksia ja oletuksia 51 6 Määrittelemättömien lausekkeiden käsittely 63 7 Implikaatio 71 8 Kuvioita ja muita apukeinoja 81 9 Todistusstrategioita 93 10 Kvanttoreita 101 7

Sisältö 8

1 Johdanto Matematiikkaa on opetettu järjestelmällisesti useita vuosituhansia. Perinteet matematiikan opetuksessa ovat pitkiä ja vahvoja. Vuosisatojen aikana matemaattisia taitoja on siirretty sukupolvelta toiselle ja jokainen sukupolvi on lisännyt matemaattista osaamistamme ja matematiikan ymmärtämistä. Aikaisemmin matematiikkaa opetettiin laajemmin pienille ryhmille, joilla oli erityisiä matemaattisia taipumuksia ja opetusmenetelmät sovitettiin sen mukaan. Nykyään matematiikkaa pitää opettaa laajasti niin monelle oppilaalle kuin mahdollista, koska matemaattisen osaamisen ja ymmärtämisen kysyntä on lisääntynyt voimakkaasti nykyisessä tietoyhteiskunnassa. Yhä useampi toimiala nojautuu vankkoihin matemaattisiin valmiuksiin ja pysyy suljettuna niiltä, jotka eivät ole sisäistäneet matemaattista ajattelutapaa. Matematiikan opetussuunnitelma on muuttunut suomalaisessa perus- ja lukiokoulutuksessa (kuten länsimaissa yleensä) viime vuosikymmenien aikana suuntaan, joka painottaa yhä vähemmän todistamista ja tarkkaa päättelyä. Tätä on perusteltu mm. sillä, että yhä suuremman osan vuosiluokista pitää voida oppia materiaali ja että moderni teknologia heijastuu matematiikan opetuksessa. Kuten Hanna painottaa [21], on todistaminen ja tarkat väitteet kuitenkin tärkeä osa matematiikan luonnetta. Siksi Hannan, kuten monen muunkin, mielestä on tärkeätä, että todistaminen sisältyy luonnollisena osana matematiikan opetukseen ja että oppilaat oppivat ymmärtämään, kuinka matemaattisia teoreemia todistetaan. Tässä raportissa meidän tavoitteenamme on viedä eteenpäin järjestelmälliseen logiikan käyttöön perustuvaa matematiikan opetustapaa. Kantavana ajatuksena on se, että ratkaisuprosessi, ongelman muotoilusta ratkaisuun, voidaan esittää kokonaisuutena, missä on mahdollista tarkastella ja keskustella osista eri yksityiskohtien tasoilla ja huomata, kuinka osat riippuvat toisistaan ja muodostavat yhdessä kokonaisuuden. Logiikka rakentaa tässä pohjan systemaattiselle matemaattiselle merkintätavalle ja systemaattiselle tavalle ratkaista ongelmia johtamalla tai todistamalla. Logiikka on, samoin kuin matematiikka, ikivanha aine, jota jo Sokrates, Platon ja Aristoteles tutkivat. Se on perusta matematiikalle ja myös maalaisjärjellä päättelylle. 1900-luvulla logiikka koki voimakkaan renesanssin, kun matematiikka suuntautui tutkimaan itseään. Matemaatikot kuten Frege, Hilbert, Cantor, Russel ja Whitehead, Gödel, Turing, Tarski ja Church ovat nostaneet esiin 9

1 Johdanto matemaattisen logiikan keskeisenä tutkimusalueena matematiikassa. Keskeinen ongelmanasettelu on silloin ollut matemaattiselle tiedolle asetettavat perusteet ja rajat: miten matemaattiset väitteet ja teoriat ovat rakentuneet, missä kulkee raja sille, mitä voidaan määritellä, todistaa ja laskea? Tässä raportissa tarkastelemme asiaa toisesta suunnasta ja seuraamme sen sijaan, kuinka logiikkaa voidaan soveltaa matematiikkaan ja erityisesti matematiikan opetukseen. Olemme kiinnostuneita sellaisesta käytännön logiikasta, jota voidaan käyttää lukiomatematiikan tavallisissa tehtävissä ja niiden ratkaisumalleissa. Kuinka voimme soveltaa niitä aluevaltauksia, joita on tehty matemaattisessa logiikassa viimeisten 150 vuoden aikana ja esittää lukio-opiskelijoille järjestelmällisemmän ja yksinkertaisemman matematiikan esitystavan? Oma taustamme on hieman erikoinen tässä yhteydessä. Olemme molemmat tietotekniikan tutkijoita ja erityisalueemme on ohjelmointitekniikka, erityisesti olemme tutkineet formaaleja menetelmiä ohjelmoinnissa. Formaalit menetelmät ovat ohjelmoinnissa käytettäviä matemaattisia menetelmiä, jotka varmistavat ohjelman toimivan oikein eli annettujen määritysten mukaan. Ohjelman oikeellisuuden varmistus annetaan matemaattisen todistuksen muodossa. Ohjelman todistaminen oikein toimivaksi johtaa tavallisesti suureen määrään melko yksinkertaisia matemaattisia väitteitä, jotka kaikki pitää todistaa. Tällä perusteella on matemaattisen päättelyn ja todistamisen tutkiminen saanut keskeisen osan tutkimusalueessamme. Keskeinen osa-alue on matemaattisten teoreemien todistaminen tietokoneiden avulla. Todistaminen voi tapahtua täysin automaattisesti tai sitten voimme konstruoida todistuksen interaktiivisesti tietokoneen kanssa. Molemmissa tapauksissa vaaditaan sekä matemaattisen teoreeman että todistamisen selittämistä tarkassa loogisessa muodossa. Tämä on johtanut käytännön logiikan painottamiseen ohjelmarakenteissa eli logiikka on työkaluna matematiikassa ennemmin kuin matematiikan opiskelukohteena. Lineaarisia ja rakenteisia päättelyketjuja Formaalit menetelmät ohjelmoinnissa käyttävät hyväkseen monenlaisia loogisia formalismeja, riippuen soveltamisalasta ja käyttötarpeesta. Osa loogisista formalismeista on paremmin sopivia tietokonepohjaiseen todistamiseen, kun taas toiset sopivat paremmin manuaalisiin todistuksiin. Seuraamamme tradition on pannut alulle Edsger W. Dijkstra, yksi suurista tietotekniikan tutkimuksen pioneereista. Dijkstra ja hänen kollegansa (Wim Feijen, Carel Scholten, Nettie van Gasteren) keskittyivät tekemään matemaattisista todistuksista sekä yksinkertaisia että tarkkoja. He kehittivät merkintätavan, joka tunnetaan alalla nimellä calculational derivations [15, 23, 16]. Tarkka käännös voisi olla laskennalliset päättelyketjut, mutta me olemme päättäneet kutsua niitä suomeksi lineaarisiksi päättelyketjuiksi. Tarkoitus oli, että matemaattiset todistukset ja päättelyt olisivat ikäänkuin laskujen 10

ratkaisemista siten kuin ratkaistaan yhtälöitä tai suoritetaan jakolasku paperilla. Tämä päämäärä voidaan saavuttaa käyttämällä hyväksi logiikkaa matemaattisen todistamisen laskusäännöissä. Huomattava joukko formaalien menetelmien tutkijoita on viimeisten 10-15 vuoden aikana siirtynyt käyttämään Dijkstran tapaa matemaattisen todistuksen suorittamisessa julkaisuissaan ja menetelmän voidaan perustellusti sanoa muodostavan nykyisin standardin tutkimusalallamme. David Gries ja Fred Schneider ovat tutkineet ja propagoineet tämän menetelmän käyttämisen puolesta matematiikan opetuksessa [18, 20] ja ovat julkaisseet kirjan, kuinka menetelmää voidaan käyttää logiikan ja diskreetin matematiikan yliopisto-opetuksessa [19]. Toistaiseksi ei kuitenkaan ole kunnolla tutkituu, miten menetelmää voidaan suoraan soveltaa perusmatematiikan opetukseen alemmilla kouluasteilla (peruskoulu ja lukio). Olemme kirjassa (Back and von Wright: Refinement Calculus: A Systematic Introduction, Springer 1998[8]) kauttaaltaan hyödyntäneet Dijkstran todistustapaa lukuisissa enemmän tai vähemmän monimutkaisissa todistuksissa ohjelmointilogiikassa. Dijkstra esitteli oman logiikan lineaarisille päättelyketjuille, muunnoksen ensimmäisen kertaluvun predikaattikalkyylistä. Me olemme sen sijaan rakentaneet version, joka perustuu toiselle klassiselle peruslogiikalle, niin kutsutulle korkeamman kertaluvun logiikalle. Tämän logiikan on alunperin kehittänyt Alonzo Church [14]. Samalla olemme laajentaneet Dijkstran menetelmää niin, että sitä voidaan käyttää kuvaamaan matemaattisen probleeman koko ratkaisu eikä vain osittaisia päättelyketjuja. Tuloksena on aukoton systeemi matemaattiseen todistamiseen, joka on ekvivalentti Michael Gordonin ja Tom Melhamin kehittämän korkeamman kertaluvun logiikan todistussysteemin kanssa [17]. Kutsumme Dijkstran menetelmän edelleen kehittelyä rakenteisiksi päättelyketjuiksi. Kokemukset rakenteisten päättelyketjujen hyväksikäytöstä kirjassamme olivat hyviä ja johtivat siihen, että aloimme tutkia mahdollisuuksia käyttää rakenteisia päättelyketjuja tavallisessa matematiikan opetuksessa. Alkuperäinen impulssi tähän oli halu auttaa omia lapsiamme heidän matematiikan kouluopinnoissaan. Toinen meistä (von Wright) on sitäpaitsi tehnyt uraa matematiikan opettajana, joten askel ei ollut erityisen suuri. Osoittautui, että mahdollisuudet käyttää logiikkaa koulumatematiikassa yksinkertaistamaan ja järjestelmällistämään perusteluja ja todistuksia, oli käytännöllisesti katsoen rajaton. Se merkintätapa, jota nykyisin käytetään matematiikassa ja matematiikan opetuksessa, on hyvin perinteinen. Se on kehittynyt useiden vuosisatojen aikana eikä siihen ole mainittavasti vaikuttanut viime vuosisadan matemaattisen logiikan tutkimus. Se on johtanut siihen, että samoja loogisia käsitteitä kuvataan eri tavoilla matematiikan eri osa-alueilla. Yksinkertaisia ja perustavaa laatua olevia loogisia päättelysääntöjä kirjoitetaan tuskin koskaan selkeästi, vaan oppilaiden 11

1 Johdanto oletetaan ymmärtävän ja oppivan soveltamaan näitä jonkinlaisen osmoottisen prosessin kautta, missä opettajan ymmärrys siirretään oppilaille esimerkkikokoelman kautta. Lyhyesti sanottuna, nykypäivän matematiikkaa esitetään tarpeettoman monimutkaisella ja epäsystemaattisella tavalla. Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa Aloitimme kokeilemalla rakenteisia päättelyketjuja kokoelmaan ylioppilaskirjoitustehtäviä tarkistaaksemme, että menetelmä oli yleisesti käyttökelpoinen käytännössä [9, 1, 5, 7]. Olemme sen jälkeen kokeilleet menetelmää käytännössä suuremmassa tutkimusprojektissa, missä tutkijoita on ollut Åbo Akademista (Back ja von Wright), Turun yliopistosta (Tapio Salakoski ja Tanja Kavander) ja Kupittaan lukiosta Turusta (Mia Peltomäki) [13, 6]. Projektissa muokattiin lukion matematiikan kursseja siten, että materiaalin esityksessä käytettiin rakenteisia päättelyketjuja. Opiskelijat jaettiin kahteen ryhmään, joista toisessa ryhmässä opetettiin rakenteisten päättelyketjujen avulla ja toisessa perinteisellä tavalla. Seurasimme kahta ikäluokkaa koko heidän lukioaikansa eli kolme vuotta. Tulokset ovat olleet onnistuneita ja palaute rakenteisen päättelyketjujen käytöstä on ollut pääasiassa hyvää. Mia Peltomäki viimeistelee parhaillaan väitöskirjaa tästä asiasta. Keskitymme tässä raportissa lukiomatematiikkaan ja yritämme osoittaa, kuinka esitettävää materiaalia voisi parantaa käyttämällä hiukan logiikkaa. Esittämiämme menetelmiä voidaan yhtä hyvin käyttää matematiikan opetuksessa korkeakouluissa ja yliopistoissa, mutta olemme valinneet lukiomatematiikan, joka seuraa vakiintunutta opetussuunnitelmaa. Menetelmää voisi soveltaa myös ala- ja yläkoulun matematiikan opetukseen, mutta meillä ei ole kokemuksia sieltä. Raportin läpikulkeva teema on se, että matemaattiset päättelyketjut ja todistukset voidaan tehdä täsmällisemmin tekemättä niistä monimutkaisempia konstruoida - pikemmin päinvastoin. Tarkemman ja paremmin määritellyn matemaattisen syntaksin seurauksena mahdollisuudet tietokonetukeen paranevat huomattavasti. Mahdollisuudet rakentaa webbipohjaisia matematiikan kursseja ovat erittäin lupaavia, joko tukemaan luokkaopetusta, keskeisenä elementtinä virtuaalisessa kouluopetuksessa tai itseopiskelukurssina. Rakenteiset päättelyketjut mahdollistavat paljon laajemman tietokoneavun kuin mitä voidaan saada perinteistä merkintätapaa ja opetusmenetelmiä käyttäen esim. apua todistusten ymmärtämiseen, korjauksien ja ratkaisujen hallintaan sekä matemaattisten todistusten tarkistamisen tiettyjen osien mekanisointiin. Tätä raporttia voidaan käyttää yleisenä oppaana siihen, kuinka erityisesti lukion matematiikan kursseja voidaan muokata käyttämään rakenteisia pättelyketjuja materiaalin esittämisessä. Tällä tavalla Peltomäki on käyttänyt omaa materiaaliaan opetuksessa Kupittaan lukiossa. Toinen mahdollisuus on luennoi- 12

da raportin materiaali lukion erikoiskurssina. Toinen meistä (von Wright) on käyttänyt kaksi kertaa osaa raportista Systematisk problemlösning med logik (Järjestelmällistä ongelmanratkaisua logiikan avulla) -nimisellä matematiikan kurssilla Vaasan normaalikoulussa. Kolmas käyttötapa on nähdä raportti rakentavana puheenvuorona keskustelussa, miten matematiikan opetusta voidaan parantaa lukiossa ja konkreettisena ehdotuksena, miten logiikkaperustaisempi opetus voitaisiin rakentaa. Esimerkit ja tehtävät kattavat lukiomatematiikan eri osa-alueita, joten jos raporttia käytetään kurssimateriaalina, täytyy valita sopivat esimerkit ja tehtävät osallistujien taustatietojen mukaan. Jotkut kappaleet on merkitty tähdellä (*), mikä osoittaa, että kyseinen kappale on ylikurssia ja voidaan jättää pois ilman, että se suuremmin häiritsee lukemisen jatkamista. Mitä teemme ja mitä me emme tee Loppujen lopuksi se, mitä me yritämme saavuttaa tällä raportilla, on tiettyjen asioiden esittäminen helposti ymmärrettävässä muodossa. Mielipiteet siitä, mikä on hyvää matematiikkaa ja kuinka sitä tulisi opettaa, ovat vahvoja, sekä matemaatikkojen että matematiikan opettajien joukossa. Perinteen voima on myös suuri ja tarvitaan vahvat perusteet vanhojen tapojen muuttamiseksi. Me emme esim. esittele mitään uutta matematiikkaa. Raportti yrittää tuoda esille uuden tavan esittää ja työstää ratkaisuja matemaattisiin probleemoihin, mutta ei sisällä varsinaisesti mitään uutta matemaattisesta näkökulmasta. Esille tuomamme menetelmä, rakenteinen päättelyketju, on jo esitelty muissa julkaisuissa, lähinnä meidän kirjassamme [8]. Uutta tässä raportissa on rakenteisten päättelyketjujen soveltaminen lukiomatematiikan opetukseen. Analogia, jota joskus olemme käyttäneet, on polkupyörällä ajaminen. Yritämme opettaa oppilaita pyöräilemään, mutta emme sano, minne oppilaiden pitäisi pyöräillä, vaan ainoastaan kuinka käyttää pyörää eri tilanteissa. Raportti ei myöskään ole yritys uudelleen esitellä ns. uutta matematiikkaa eli joukko-oppia matematiikan opetuksen perustaksi. Joukko-oppi on uskomattoman elegantti ja kaunis matemaattinen teoria ja se on perusta kaikelle modernille matematiikalle. Meidän tarkoitusperämme ovat arkipäiväisempiä: haluamme näyttää, kuinka voidaan yksinkertaistaa ja yhtenäistää tavallista matemaattista merkintätapaa ja matemaattista päättelyä pienellä määrällä yksinkertaista logiikkaa. Olemme sitä mieltä, että se logiikan alue, mitä pitää opiskella, ei ole liian vaikea lukio-opiskelijoille. Logiikka on vain teoria kahdesta totuusarvosta epätosi ja tosi (tai kaksi lukua: nolla ja yksi). Jos oppilaat voivat oppia merkittävästi monimutkaisempia teorioita kokonaisluvuista, joita on äärettömän paljon tai reaaliluvuista, joita on vielä enemmän, niin logiikan ei pitäisi olla liian vaikea heille. 13

1 Johdanto Siksi on tarkoitus yrittää muuttaa sitä tapaa, miten matemaatikot ja matematiikan opettajat työskentelevät ja esittävät tuloksensa. Kokemuksesta tiedämme, että tämä on se vaikein pala nieltäväksi. Monilla matemaatikoilla on vahva ajatus matematiikan kauneudesta ja eleganssista ja tällaisessa kokemuksessa on matemaattisella merkintätavalla tärkeä asema. Matemaatikkojen mielestä matemaattiset todistukset yksinkertaisesti näyttävät kauniilta (erotuksena esim. ohjelmoijista, jotka eivät pidä ohjelmakoodia erityisen kauniina). Toivomme raportissa voivamme antaa riittävästi perusteita pienehköjen muutosten tekemiseen yleisessä matemaattisessa merkintätavassa siten, että looginen rakenne todistuksissa ja päättelyketjuissa tulisi yksinkertaisemmaksi konstruida ja tarkastella. Keskeinen päämäärä on myös yritys esittää matemaattisia todistuksia ja päättelyketjuja keskeisenä osana lukion matematiikan opetusta. Viime vuosikymmenien aikana lukio-opetus on mennyt suuntaan, missä vähitellen on pienennetty todistamisen osuutta opetuksessa ja nykytilanteessa se on vähentynyt lähes olemattomiin. Tämä on tehty tarkoituksena saada matematiikka helpommin lähestyttäväksi opiskelijoille, mutta me uskomme, että monessa tapauksessa tämä tekee sen vaikeammin ymmärrettäväksi. Ilman todistusta matemaattinen teoreema on lähinnä taianomainen kaava, todistuksen kanssa se on selviö. Yritämme tehdä matemaattiset todistukset helpommin lähestyttäviksi tekemällä ne tavallisten laskujen tyyppisiksi. Samoin kuin odotamme, että opiskelijat osaavat ratkaista yhtälöparin yksinkertaisilla suunnitelmallisilla menettelytavoilla, niin odotamme, että he osaavat suorittaa yksinkertaisia matemaattisia päättelyketjuja loogisilla menettelytavoilla. 14

2 Lauseke, yhtäsuuruus, päättelyketjut Aloitamme esittelemällä lineaarisia päättelyketjuja. Kuvaamme kuinka sieventäminen kirjoitetaan kommentoitujen päättelyketjujen avulla. Tarkoituksena on valaista periaatteita ja sääntöjä, jotka ovat sellaisten matemaattisten laskujen ja päättelyiden takana, joita yleensä pidetään yksinkertaisina ja itsestään selvinä. Yksinkertaiset lausekkeet, evaluointi ja päättelyketju Yksinkertainen aritmeettinen lauseke rakentuu vakioista kuten 0, π ja 1, 57 ja operaattoreista kuten + ja. Aritmeettinen tarkoittaa, että käsitellään koko ajan reaalilukuja. Esimerkki yksinkertaisesta aritmeettisesta lausekkeesta on π + 1 ja 2+ 3 2. 3 Historiallisista syistä operaattorit voidaan kirjoittaa hyvin erilaisilla tavoilla. Miinusmerkki, joka vaihtaa lausekkeen merkin, kirjoitetaan etuliitteeksi ( e, eli lausekkeen eteen) kun taas neljä yksinkertaista laskutapaa kirjoitetaan sisäliitteinä (13+14, 13 14, 13 14 ja 13/14, eli lausekkeen kahden termin väliin). Joskus jakolasku kirjoitetaan murtoviivalla; potenssiin korotuksella, juuren otolla ym. on vielä monimutkaisempia kirjoitustapoja. Potenssiin korotus kuten myös kertoma, kirjoitetaan periaatteessa jälkiliitteenä, eli lausekkeen jälkeen. Jatkossa oletamme, että tavalliset aritmeettiset operaattorit ja niiden merkitykset ovat tunnettuja. Yksinkertaisen lausekkeen evaluointi tarkoittaa sen arvon laskemista. Yhtäsuuruus a = b kahden lausekkeen a ja b välillä merkitsee, että niillä on sama arvo. Lausekkeiden evaluointi- eli laskusääntöjen oletetaan olevan tunnettuja eli oletetaan, että operaatio, joka vastaa kutakin operaattoria on tunnettu (esim, että + tarkoittaa yhteenlaskua). Jos lauseke on hyvin yksinkertainen, se voidaan laskea yhdellä askeleella (päässä tai laskimella). Evaluoinnin kuvaamisessa monimutkaisemmassa lausekkeissa askel askeleelta voidaan käyttää lineaarisia päättelyketjuja eli sarjaa lausekkeita erotettuina yhtäläisyysmerkeillä. Esimerkkinä laskemme 3 3 ( 11) 2 lineaarisella päättelyketjulla: 3 3 ( 11) 2 = 27 ( 11) 2 = 27 11 = 16 = 4 15

2 Lauseke, yhtäsuuruus, päättelyketjut Yhtäläisyys (=) kahden lausekkeen välillä tarkoittaa, että niillä on sama arvo. Koska yhtäsuuruus on transitiivinen (jos a = b ja b = c niin on voimassa a = c), niin päättelyketjusta seuraa, että 3 3 ( 11) 2 = 4. Tämä yhtäsuuruus on päättelyketjun tulos eli päättelyketjusta vedettävä johtopäätös. Muuttujalauseke Yleiset lausekkeet sisältävät vakioiden ja operaattoreiden lisäksi myös muuttujia. Yleensä muuttujille käytetään pieniä kirjaimia, kuten a, b, c tai x, y, z, mutta joskus voidaan myös käyttää isoja kirjaimia tai muita symboleja. Esimerkkeinä lausekkeista ovat x2 1 x+1 ja 2πrh. Jotta lausekkeen arvo voidaan laskea, täytyy jokaiselle muuttujalle lausekkeessa antaa arvo. Voimme esmerkiksi evaluoida lauseketta 2πrh antamalla arvot r = 2 ja h = 3: 2πrh = 2 π 2 3 = 12π Huomaa, että laskemme tarkoilla arvoilla. Voisimme jatkaa yhden askeleen eteenpäin ja saada 12π 37, 3 mutta tässä tapauksessa sitä on parempi pitää kommenttina. Lausekkeen arvo on 12π, mutta saadaksemme tuntuman arvon suuruudesta ilmoitetaan, että se on suunnilleen sama kuin 37, 3. Askelta, missä muuttujat korvataan niiden arvoilla, kutsutaan sijoittamiseksi ja sanotaan, että arvo sijoitetaan muuttujaan. Formalisointi Formalisointi merkitsee tilanteen kuvaamista matemaattisten (ja loogisten) symbolien avulla. Tarkoituksena on poimia tärkeimmät piirteet ja ilmaista ne lyhyesti ja yksiselitteisesti. Tällä tavalla tuotamme abstraktion eli se, mikä ei ole tärkeätä tässä tilanteessa, jätetään huomiotta. Jo se, että käytämme lukuja, on abstraktio. Kirjoittamalla 3 4 lauseen 4 yksikön pituisen ja 3 yksikön levyisen alueen pinta-ala sijaan, saamme lyhyen lausekkeen, mutta samalla menetämme paljon informaatiota. Formalisoimme ongelmatilanteen merkitsemällä tuntemattomia muuttujilla ja käyttämällä yhtälöitä tai epäyhtälöitä kuvaamaan yhteyksiä, jotka ilmenevät ongelman kuvauksesta. Otetaan esimerkiksi seuraava ongelma: Määritä suorakulmaisen alueen pituus, kun leveys on puolet pituudesta ja pinta-ala on 120 pinta-alayksikköä. Jos annamme pituudelle nimen x ja leveydelle nimen y, niin voimme esittää informaation kahdella yhtälöllä: y = 1 x ja x y = 120 2 Lisäksi ongelman muotoilusta ilmenee, että haluamme saada selville muuttujan 16

x arvon (sitä ei näy yhtälöistä). Muokkaaminen ja sieventäminen Vaikka muuttujalauseketta ei voida laskea, se voidaan usein sieventää eli muokata yhtäsuuruuksien avulla yksinkertaisempaan muotoon. Muokkaamista ohjaavat sallitut sieventämissäännöt. Esimerkkinä on summan ja erotuksen tulo: (a + b)(a b) = a 2 b 2 (summan ja erotuksen tulo) Sääntö näyttää, miten kaava voidaan muokata toiseksi kaavaksi. Kun sääntöä käytetään, voidaan mitkä tahansa lausekkeet sijoittaa muuttujien (tässä a ja b) paikalle, mutta täytyy olla johdonmukainen (ei saa korvata erilaisilla lausekkeilla saman muuttujan eri esiintymiä). Esimerkkinä sievennämme lausekkeen (x + y)(x y) + y 2. (x + y)(x y) + y 2 = x 2 y 2 + y 2 = x 2 Tässä käytämme ensimmäisessä askeleessa summan ja erotuksen tulo -sääntöä. Jälkimmäisessä askeleessa käytämme kahta sieventämissääntöä (toinen on a+ a = 0, mikä on toinen?). Jotkut sieventämissäännöt ovat niin hyvin sisäistettyjä, että ne ovat lähes itsestään selvyyksiä, mutta on kuitenkin hyvä osata tunnistaa ne. Toinen esimerkki osoittaa, kuinka summan ja erotuksen tuloa voidaan käyttää päässälaskun tukena: 65 55 = (60 + 5)(60 5) = 60 2 5 2 = 3600 25 = 3575 Sievennyssäännöt ovat aina kaksisuuntaisia eli ne voidaan lukea vasemmalta oikealle yhtä hyvin kuin oikealta vasemmalle. Seuraavassa esimerkissä käytetään summan ja erotuksen tulon sääntöä ( eli neliöiden erotuksen sääntöä): x 2 4 x + 2 = (x + 2)(x 2) x + 2 = x 2 1 = x 2 Summan ja erotuksen tulon mukaan (x + 2)(x 2) = x 2 2 2. Tätä käytetään ensimmäisessä askeleessa, kun muokkaamme lausekkeen x 2 4 muotoon (x + 2)(x 2). Luku 4 on muutettu muotoon 2 2 ilman erillistä osoittamista. Joitakin sievennyssääntöjä pidetään niin itsestään selvinä, että niitä voidaan käyttää ilman erityistä perustelua. Esimerkkeinä tällaisista säännöistä ovat a + 0 = a a + b = b + a 1 a = a 17

2 Lauseke, yhtäsuuruus, päättelyketjut Myös itsestään selvien sääntöjen kohdalla on hyvä tietää, miten sieventäminen toimii yksityiskohtaisesti. 1 Lineaariset päättelyketjut ja kommentit Lyhyt päättelyketju voidaan kirjoittaa yhdelle riville kuten yläpuolella olevassa esimerkissä. Selkeänä ongelmana on se, että emme kirjoita näkyviin käytettyjä sääntöjä. Lukijan oletetaan ymmärtävän päättelyketjun yksityiskohdat ilman selityksiä. Pitempiä ja monimutkaisempia päättelyketjuja on paljon helpompi sekä kirjoittaa että lukea, jos kirjoitamme perustelun tai selityksen jokaiselle vaiheelle. Selityksessä voidaan kertoa esim., mitä sääntöä tässä askeleessa on käytetty. Valitsemme nyt tavan kirjoittaa päättelyketju muodossa, missä jokainen lauseke kirjoitetaan omalle rivilleen ja yhtäsuuruusmerkki kirjoitetaan omalle rivilleen aaltosulkeissa olevan selityksen kanssa. Esimerkkinä sievennetään potenssilauseke 2 8 + 2 7. 2 8 + 2 7 = {samankantaisten potenssien tulo a m a n = a m+n ja 2 1 = 2} 2 2 7 + 2 7 = {yhteisen tekijän erottaminen 2 7 } (2 + 1) 2 7 = {yhteenlasku} 3 2 7 Tästä lähtien on voimassa periaate, että kaikki päättelyketjut kirjoitetaan tässä muodossa selkeiden kommenttien kanssa. Myös silloin, kun askel vaikuttaa triviaalilta, on hyvä harjoituksen vuoksi kirjoittaa etenemiselle asiallinen perustelu. Sijoitussääntö Sieventämissäännön (kuten muistikaava ja samankantaisten potenssien tulo) mukaan lausekkeen muuttujiin voidaan sijoittaa mikä tahansa arvo edellyttäen, että sijoittaminen on johdonmukaista (sama arvo kaikille muuttujen esiintymille). Voimme esittää, miten sieventämissääntöä käytetään ilmoittamalla sijoituksen kommenttina: 1 Se, että joitakin sääntöjä pidetään itsestään selvyyksinä, johtuu vain osittain niiden yksinkertaisuudesta. Useimmiten pääasiallinen syy on se, että olemme tottuneet käyttämään näitä sääntöjä miettimättä yksityiskohtia. 18