Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5
K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori OA x1i y1 a pisteen B paikkavektori OB xi y AB AO OB OA OB ( x1i y1 ) ( xiy ) ( x x ) i( y y ) 1 1
K5. Summa: a b (5i1 ) ( i7 ) 5ii1 7 4i5 Erotus: a b (5i1 ) ( i7 ) 5i1 i7 6i19 a 5 ( 1) 169 1 0 5i1 a a 5 i 1 a 1 1 1
K6. a) Vektorit a a b ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten, että a tb. a tb 1i8 5 k t( 6i4 k) 1i8 5k 6ti4t tk Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöryhmä, osta ratkaistaan t. 1 6 t : ( 6) 8 4 t : 4 5 t : ( ) t t t 5 Ei ole olemassa sellaista vakiota t, että ole yhdensuuntaiset. a tb. Vektorit a a b eivät
b) Vektorit a a b ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten, että a tb. a tb ri 8 t( i 5 ) ri 8 ti 5t Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöryhmä, osta ratkaistaan r. r t 85t Alemmasta yhtälöstä saadaan t 8. 5 Sioitetaan tämä ylempään yhtälöön. r 8 16 5 5 Vektorit a a b ovat vastakkaissuuntaiset, koska kerroin negatiivinen. t 8 on 5
K7. Merkitään pistettä, ohon päädytään, kiraimella A. Muodostetaan pisteen A paikkavektori OA. Pisteen P paikkavektori on OP i 0 k i k. Kun pisteestä P edetään 6 yksikköä vektorin u suuntaan, edetään 6 0 vektorin u yksikkövektoria, eli 6 u. Määritetään vektorin u yksikkövektori. u 4 ( 1) 8 9 0 4i 8k u u 4 i 1 8 k 0 u 9 9 9 9 Kun edetään 5 yksikköä vektorille v vastakkaiseen suuntaan, edetään 5 0 vektorin v yksikkövektorin vastavektoria, eli 5 v. Määritetään vektorin v yksikkövektori. ( 14) ( ) 5 15 v 0 14i 5k v v 14 i 5 k 0 v 15 15 15 15 Muodostetaan pisteen A paikkavektori. 0 0 OA OP 6u 5v ik 6 i k 5 i k 9 9 9 15 15 15 ik 4 i 6 48 k 70 i 10 5 k 9 9 9 i 8 i 70 i 10 k 16 k 5 k 4i 8 Päädytään pisteeseen 4 1 8 14 5 8 (4,,0).
K8. Jaetaan vektori w komponentteihin, w sutv. wsutv i 5 s( i) t( i) i 5 sistit i 5 ( st) i( st) Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan s a t. st 1 s t 5 s 4 : s Sioitetaan s = ylempään yhtälöön s + t = 1. + t = 1 t = wuv Piirretään kuva.
K9. a) ai5k abi 4k Lasketaan pistetulo a b. ab ( 1) ( 5) ( 1) 45115 b) ak abi ab 0 ()1 10 K10. Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, os niiden pistetulo on 0. Lasketaan vektorien a a b pistetulo. ab 6011110 Pistetulo on 0, oten vektorit a a b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
K11. Piirretään kuva. Kulma A on kolmion sivuvektoreiden AB a AC välinen kulma a kulma C vektoreiden CA a CB välinen kulma. Määritetään kolmion sivuvektorit AB a AC sekä CA a CB. AB (6 ( 1)) i ( 1 ( )) 7i AC ( ( 1)) i (1 ( )) i CA AC i CB (6 ) i ( 11) 4i Määritetään kulma A. cos A AB AC 71 4 AB AC 7 1 50 18 A 6,86... A 6,9 Määritetään kulma C. 4 () cosc CACB 6 CA CB ( ) ( ) 4 ( ) 18 0 C 108,4... C 108,4 Kolmion kulmien summa on 180. Määritetään kulma B. B = 180 6,86 108,4 = 4,69 4,7 A = 6,9, B = 4,7 a C = 108,4
K1. Vektoreiden välinen kulma on suora, os niiden pistetulo on 0. Lasketaan pistetulo u v. uvr1 ( ) ( 4) 1r 8 Ratkaistaan r, kun pistetulo on 0. 1r 8 0 1r 8 r 8 1 Piirretään vektorit u i a v 1i 4, a mitataan niiden välinen kulma.
K1. a) x y z x y z 7 x yz 4 Ratkaistaan x kahdesta viimeisestä yhtälöstä. x y z x yz 74 x : x 1 Sioitetaan x = 1 kahteen ylempään yhtälöön a ratkaistaan z. 1 y z y z 7 z 9 z 6 : z Sioitetaan z = yhtälöön 1 + y + z = a ratkaistaan y. 1 + y + = y = x = 1, y = a z =
b) x yz x y 4z x y6z 4 Vähennetään kaksi ylintä yhtälöä toisistaan a ratkaistaan z. x yz x y4z z 1 :( ) z 1 Sioitetaan z = 1 kahteen alimpaan yhtälöön a ratkaistaan x. 4 1 x y 6 1 x y 4 x y x y4 4x 17 4x 8 : 4 x Sioitetaan z = 1 a x = yhtälöön x y + z = a ratkaistaan y. y + 1 = y = 1 : ( 1) y = 1 x =, y = 1 a z = 1
K14. a) r 15 6r 6 r 1 Ratkaistaan r kaikista yhtälöistä. r 4 : r 6r 8 : 6 r r 4 : r 4 8 4 6 4 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) tr1 t 4r 1 tr 1 Ratkaistaan t a ylimmästä yhtälöstä a sioitetaan keskimmäiseen. t = 1 + r (1 + r) 4r = 1 + r 4r = 1 r = : (-1) r = Tällöin t = 1 + =. Sioitetaan r = a t = alimpaan yhtälöön t + r = 1. + = 6 + 6 = 1 Luvut r = a t = toteuttavat myös alimman yhtälön, oten ne ovat yhtälöryhmän ratkaisu.
K15. xyz 5 xyz 7 Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä x. x = y z + 5 Sioitetaan tämä alempaan yhtälöön. ( y z + 5) y + z = 7 5y + z = Tästä on helpointa ratkaista z. z = 5y + Sioitetaan saatu z aiemmin saatuun x:n yhtälöön. x = y (5y + ) + 5 x = y 5y + 5 x = 8y + Yhtälön ratkaisu on esimerkiksi x8y z 5y y.
K16. Yhden litran purkkea on x kpl, kolmen litran y kpl a kymmenen litran z kpl. Kiroitetaan yhtälöt, kun tunnetaan maalin yhteismäärä, kokonaishinta a purkkien lukumäärä. xy10z 65 8x19y49z 77 x y z 18 Ratkaistaan yhtälöryhmä symbolisen laskennan ohelmalla. x = 5, y = 10 a z = Yhden litran purkkea on 5 kpl, kolmen litran 10 kpl a kymmenen litran kpl. K17. a) AB (151) i (76) ( 5 ( 4)) k i k Muodostetaan suoran vektorimuotoinen yhtälö, eli suoran pisteen P = (x, y, z) paikkavektori. OP OA t AB xi y zk 1i6 4 k t( i k) xi y zk (1 t) i(6 t) (4 t) k Muodostetaan suoran parametrimuotoinen yhtälö. x 1 t y 6 t, missä t z 4t
b) Piste on suoralla, os se toteuttaa suoran yhtälön. Sioitetaan pisteen (, 1, 1) koordinaatit suoran yhtälöön. 1t 1 6 t 14t Ratkaistaan kaikista t. 10 t : 5 t 5 t : ( 1) t 5 t 5 t 5 Kaikista yhtälöistä ratkaistu t on sama, oten piste (, 1, 1) on suoralla. K18. Muodostetaan tason yhtälö normaalivektorin a pisteen P avulla. (x 7) + (y 0) 5(z ( )) = 0 x + y 5z + 14 10 = 0 x + y 5z + 4 = 0 Piste on tasossa, os se toteuttaa tason yhtälön. Sioitetaan pisteen (1, 5, ) koordinaatit tason yhtälöön. 1 + 5 5 + 4 = 4 + 15 15 + 4 = 0 Koska tulos ei ole 0, piste ei toteuta tason yhtälöä, eikä siis ole tasossa.
K19. a) Muodostetaan pisteen P kautta kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö. x1t y 5 t ( t ) z 76t yz-tason pisteiden x-koordinaatti on 0. Pisteen P kautta kulkeva suora leikkaa yz-tason pisteessä, onka x- koordinaatti on 0. Saadaan x = 1 + t = 0, osta t = 1. y 5t 5 1 1 z 76t 76 1 710 yz-tason leikkauspiste on (0, 1, 10).
b) Muodostetaan pisteiden A a B kautta kulkevan suoran yhtälö. Suoran suuntavektori on AB. AB (1) i ( 7 ( 9)) ( ) k i 5k Pisteiden A a B kautta kulkevan suoran yhtälö on: x s y 9 s z 5 s. Ratkaistaan, leikkaavatko suorat. 1t s 5t 9s 76t 5s s = 7 a t = 5 Koska löytyi sellaiset s a t, että kaikki yhtälöt toteutuvat, suorat leikkaavat toisensa. Lasketaan suorien leikkauspiste. Sioitetaan s = 7 suoran AB yhtälöön. x ( 7) 79 y 9 ( 7) 9 14 z 5 ( 7) 5 7 Leikkauspiste on (9,, 7).
K0. Muodostetaan pisteiden A a B kautta kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö. Suoran suuntavektori on. AB AB (87) i ( 1 ( 10)) ( 4 ( )) k i k Suoran AB yhtälö on: x7 t y 10 t ( t ) z t Määritetään suoran AB a tason x y + z = 0 leikkauspiste. (7 + t) ( 10 t) + ( t) = 0 14 + t + 10 + t t = 0 t = 18 : t = 6 Sioitetaan t = 6 suoran yhtälöön. x 761 y 10 ( 6) 10 1 z ( 6) 9 Leikkauspiste on (1,, ). Tason x y + z = 0 normaalivektori on n i k. Lasketaan suoran AB suuntavektorin a tason normaalivektorin välinen kulma. 1 ( )( 1) ( 1)1 cos AB n 1 AB n 1 ( ) ( 1) ( 1) 1 6 6 60 Suoran a tason välinen kulma on 90 60 = 0.
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. a) Piste C. xy-tasossa pisteen z-koordinaatti on 0. b) AB (11 ( 5)) i ( ) (57) k 16i 5 k BC ( 11) i ( ( )) (0 5) k 9i 6 5k CA ( 5 ) i ( ) (7 0) k 7i 7k c) AB BC CA AC CA AA 0. Nelikulmio on suunnikas, os sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhden suuntaiset. Pitää siis osoittaa, että AB DC a AD BC. AB (0 5) i (5 ( 5)) 15i 10 DC (10 ( 5)) i (10 0) 15i 10 AD ( 55) i (0 ( 5)) 10i 5 BC (10 0) i (10 5) 10i 5 Koska AB DC a AD BC, nelikulmio on suunnikas.
. Määritetään pisteen P koordinaatit paikkavektorin avulla. OP OA AP Koska AP : PB = :, on AP AB. 5 AB (4 ) i ( ( 1)) (6 ) k i 4 k OP OA AP OA AB 5 i k (i 4 k) 5 i k 4 i 8 6 k 5 5 5 14 i 1 k 5 5 5 Piste P on 14,, 1 4,,4 1. 5 5 5 5 5 5
4. a) tasakylkinen a suorakulmainen Kolmion kaksi sivua ovat yhtä pitkät a kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) suorakulmainen Käänteinen Pythagoraan lause toteutuu kolmion sivuen pituuksille. c) tasasivuinen Kolmion kolmas sivu on vektori ovat yhtä pitkiä. a b. Kolmion kaikki kolme sivua d) tylppäkulmainen Jos vektoreiden pistetulo on negatiivinen, vektoreiden välinen kulma on tylppä.
5. Vektori a on yhdensuuntainen vektorin i kanssa, oten a ti ollakin t:n arvolla. a b i ti b i b i ti b ( t) i Vektoreiden a a b pistetulo on nolla. Ratkaistaan t. ab t( t) 0 tt t t0 94 ( 1) ( ) t 1 ( 1) t 1 tai t 4 a i a b ( 1) i i tai a i a b ( ) i i
6. Piirretään kuva. Merkitään säteiden leikkauspiste P. Muodostetaan pisteen P paikkavektori kahdella eri tavalla: pisteen A kautta a pisteen B kautta. OP OA t(4i ) i t(4i ) ( 4 t) i ( t) OP OB s( i ) 40i 9 s( i ) (40 s) i (9 s) ( 4 ti ) ( t) (40 si ) (9 s ) Saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. t t 4t 40s t 9s 4 s8 : s6 : ts19 ts t 1 : t 7 OP ( 4 t) i ( t) ( 47) i (7) 0i 4 Piste P on (0, 4). Säteet kohtaavat korkeudella 4 m.
7. Piirretään kuva. Koska nelikulmio on suunnikas DC AB a a BC AD b. Kiroitetaan vektori AF kahdella eri tavalla. AF t AE t( AD DE) t( AD DC) t( b a) ta tb 4 4 4 AF AB BF AB sbd AB s( BA AD) a s( a b) (1 sa ) sb Saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. t 1s 4 t s t 1t 4 7 t 1 : 7 4 4 t 4 7 AF ta tb 4 a 4 b a 4 b 4 4 7 7 7 7
8. Piirretään kuva. Piste P on analla BC, oten BP tbc Halutaan tietää, mikä t on. BA (1 ( 1)) i ( 4) i BC (5 ( 1)) i ( 4) 6i Kiroitetaan vektori BP kahdella eri tavalla. BP t BC t(6i ) 6ti t BP BA s( i ) i s( i ) ( s) i ( s) Saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. 6t s t s ( ) 6t s 4t 4s 10t 6 :10 t 6 10 5 BP BC, oten piste P akaa anan BC suhteessa :. 5 Ratkaistaan pisteen P koordinaatit paikkavektorin avulla. OP OB BP i 4 (6i ) i 4 18 i 6 1 i 14 5 5 5 5 5 Piste P on 1 14 4,,. 5 5 5 5
9. a) Vektorit u a v ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, os pistetulo u v on 0. u v 1 p1 ( ) ( ) 6 p 1 p15 p 15 0 p 15 b) Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t siten, että v tu. v tu pi 6 k t( i k) pi 6k ti t tk) Saadaan yhtälöryhmä, osta ratkaistaan p. t p t t 6 Kun t = on myös p =. Tällöin myös yhtälö t = 6 toteutuu. p =
10. Kolmion OAB kolmas sivuvektori on AB AOOB OAOB ab. Kolmio on tasakylkinen, os Lasketaan AB. AB ab a b ( a b) ( a b) a( a b) b ( a b) aa ab ab b b aa abb b ababb b b b b OA OB tai OA AB tai OB AB. On siis voimassa AB OB oten myös AB OB. Kolmion OAB sivut OB a AB ovat yhtä pitkät, oten kolmio on tasakylkinen.
APUVÄLINEET SALLITTU 11. a) Kolmio on suorakulmainen, os sen oidenkin sivuvektorien pistetulo on 0. Kuvan perusteella vektorit BA a BC näyttäisivät olevan kohtisuorassa. BA (15 ( 5)) i (10 5) 0i 5 BC (5 15) i ( 0 10) 10i 40 BA BC 0 10 5 ( 40) 00 00 0 Kolmio on suorakulmainen. b) Kolmion kolmas sivuvektori on a b 10i 18 (70i 7 ) 60i 11. Lasketaan kolmannen sivun pituus. a b ( 60) 11 61
1. a) Piirretään kuva. Merkitään lävistäien leikkauspiste P. C = (, 6) a lävistäien välinen kulma on 4,5. b) Koska ABCD on suunnikas, sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Tällöin DC AB. Ratkaistaan piste C paikkavektorin avulla. OC OD DC OA AD AB i 7i 5 i i 6 Piste C on (, 6). Lävistäien välinen kulma on vektorien PA a PB välinen kulma. Suunnikkaan lävistäät puolittavat toisensa, oten PA 1 CA 1 (( ( )) i (0 6) ) i. PB 1 DB 1 ( DA AB) 1 ( AD AB) 1 (7 i 5 i ) 5 i 5 ()() cos( PA, PB) PA PB 16 PA PB ( ) 5 ( ) 77 ( PA, PB) 4,50... 4,5
1. a) Mediaanien leikkauspiste on (1, 1) a kulma A on 6,9. b) Merkitään mediaanien leikkauspiste P. Ja sivun BC keskipiste D. D 1, 11 (,0) Mediaanilauseen perusteella piste P akaa mediaanin suhteessa : 1 kärestä lukien. Tällöin AP AD. AD ( ( 1)) i (0 ( )) i Määritetään piste P paikkavektorin avulla. OP OA AP OA AD i (i ) i Piste P on (1, 1). Kulma A on vektorien AB a AC välinen kulma. AB ( ( 1)) i ( 1 ( )) 4i AC (1 ( 1)) i (1 ( )) i 4 cos( AB, AC) AB AC 44 16 AB AC 4 4 0 ( AB, AC) 6,86... 6,9
14. a) Pisteen Q etäisyys pisteestä P on vektorin PQ pituus. PQ (11 7) i (0 4) ( 4 ) k 4i 4 7k PQ 4 ( 4) ( 7) 16 16 49 9 b) Etäisyys xy-tasosta on pisteen p z-koordinaatti. c) Etäisyys x-akselista on pisteen P a pisteen (7, 0, 0) etäisyys. 4 5 5 d) Tason a pisteen P etäisyys on tasolla olevan proektiopisteen P a pisteen P etäisyys. Proektiopiste on pisteen P kautta kulkevan tason normaalin a tason leikkauspiste. Tason normaali on vektorin i 6k suuntainen. Normaalin yhtälö on x7t y 4 t ( t ) z 6 t. Ratkaistaan tason a normaalin leikkauspiste. (7 + t) (4 t) + 6( + 6t) + 17 = 0 49t = 147 t = x = 7 6 = 1, y = 4 + 9 = 1 a z = 18 = 15 Leikkauspiste on P = (1, 1, 15). PP ' (17) i (14) ( 15) 6i 9 18k PP ' ( 6) 9 ( 18) 1
15. a) Tason yhtälö on 9x y + 8z 14,5 = 0 a leikkauspiste (0; 0; 1,8). b) Janan AB keskipiste on 45 0 5 1,,, 1,1 C. Vektori AB on tason normaalivektori. AB (5 ( 4)) i ( 0) (5 ( )) k 9i 8k Muodostetaan tason yhtälö. 9 x 1 ( y( 1)) 8( z1) 0 9x4 1 y8z80 9xy8z14 1 0 z-akselin leikkauspisteessä x = 0 a y = 0. 90 0 8z 14 1 0 8z 14 1 z 9 1 1 16 16 Leikkauspiste on 0, 0,1 1. 16
16. u ra sb tc 7 k r( i k) s( i k) t( i k) 7 k ( r st) i ( rs) ( rst) k Saadaan yhtälöryhmä, osta ratkaistaan r, s a t. rst 0 rs7 rst r =, s = 4 a t = 5 u a 4b 5c 17. Opiskelia sioittaa osakkeisiin x, oukkovelkakiroihin y a korkotilille z. Tehtävänannon perusteella saadaan seuraavat yhtälöt, oista ratkaistaan x, y a z. x y z 0 000 z x y 1000 0,07x0,05y0,0z 800 x = 757,14, y = 14,857 a z = 10500 Opiskelia sioittaa osakkeisiin 757, oukkovelkakiroihin 14 a korkotilille 10 500.
18. Särmiö on suorakulmainen, os sen sivusärmät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vektorit a, b a c ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan os niiden pistetulo on 0. ab x1 a c 4 y z b c x yz x 0 y z40 x yz 0 Ratkaistaan x, y a z. x1, y 7 a z 1 Lasketaan särmiön särmien pituudet. a ( 1) 1 6 b i k b ( 1) 1 11 c i 7 1 k 7 1 c ( ) ( ) ( ) 66 V a b c 6 11 66.
19. Pitää esittää a u v. Koska u b, on u tb. Koska v b on v b 0. a u v, oten v a u. v b ( a u) b ( a tb) b ab tb b 451 ( ) t(11 ( )) 9t 9t = 0 9t = : ( 9) t = 1 u 1 b 1 (i k) i 1 k v a u 4i 5 k ( i 1 k) 4 i 4 1 k
0. Taso leikkaa xy-tason pitkin suoraa i t( i ). Suoran yhtälöstä voidaan päätellä, että piste (, 1, 0) on suoralla a suoran suuntavektori on s i. Tason normaalivektori on n ai b ck. Tason normaalivektori on kohtisuorassa vektoria s vastaan, oten ns 0. Pisteet (, 1, 0) a ( 7,, ) siaitsevat molemmat tasossa. Näiden pisteiden välinen vektori a on myös kohtisuorassa vektoria n vastaan a an 0. a ( 7 ( )) i ( 1) (0) k 5i 4 k Saadaan yhtälöpari. ns a1bc00 na a( 5) b( 4) c0 ab b b cb Eräs yhtälöryhmän toteuttava ratkaisu on a =, b = 1 a c =, olloin n i k. Tason yhtälö on x + y z + d = 0. Koska piste ( 7,, ) on tasossa, piste toteuttaa tason yhtälön. ( 7) () + d = 0 14 6 + d = 0 d = 5 Tason yhtälö on x + y z 5 = 0.