LAADUNVALVONTA JA TARKASTUSOTANTA. Keijo Ruohonen

LAADUNVALVONTA JA TARKASTUSOTANTA Keijo Ruohonen 23

Sisältö 1 I SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 1 1.1 Yleistä 2 1.2 x-kartta 7 1.3 S-kartta 12 1.4 R-kartta 15 1.5 Karttojen käynnistys 16 1.6 Yksittäisarvokartat 18 II SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 18 2.1 Yleistä 18 2.2 p-kartta 21 2.3 c-kartta 24 2.4 u-kartta ja epämeriittikartta 28 III LIUKUMAKARTAT 28 3.1 Yleistä 28 3.2 CUSUM-kartta 3 3.3 EWMA-kartta 32 3.4 Moninkertaiset rajat 34 IV MONIMUUTTUJAKARTAT 34 4.1 Yleistä 35 4.2 χ 2 -kartta 36 4.3 Hotellingin kartat 37 4.4 Altin kartat 39 V KYKYINDEKSIT 39 5.1 Yleistä 39 5.2 Tavallisimmat kykyindeksit 41 5.3 Indeksien estimointi ja testaus 45 VI TARKASTUSOTANTA: ATTRIBUUTTIOTANTA 45 6.1 Yleistä 45 6.2 Kertaotanta 49 6.3 Kertaotannan suunnittelu OC-käyrän avulla 52 6.4 Muita kertaotannan perussuureita 54 6.5 Dodge Romig-kaaviot 56 6.6 Kaksinkertainen otanta 6 VII TARKASTUSOTANTA: MUUTTUJAOTANTA 6 7.1 Yleistä 6 7.2 Ala- ja yläpuolinen tarkastus 62 7.3 Kaksipuolinen tarkastus i

ii 65 Liite A: CUSUM- JA EWMA-KARTTOJEN RL- JA ARL-LUKUJEN NUMEERINEN LASKEMINEN 65 A.1 CUSUM-kartta 67 A.2 EWMA-kartta 7 Liite B: EPÄKESKISET t-, χ 2 -JAF-JAKAUMAT. TESTISUUREEN 3Ĉ PK -JAKAUMA 7 B.1 Epäkeskinen t-jakauma 71 B.2 Epäkeskinen χ 2 -jakauma. χ 2 -kartan β 73 B.3 Epäkeskinen F-jakauma 74 B.4 Testisuureen 3ĈPK jakauma 76 Kirjallisuus 77 Hakemisto Esipuhe Tämä moniste on tarkoitettu TTY:n kurssin 73163 Tilastollinen laadunvalvonta kirjalliseksi materiaaliksi. Se sisältää kattavan kokoelman niin perinteisiä kuin uudempiakin laadunvalvontakarttoja suunnittelumenetelmineen, kykyindeksejä sekä tarkastusotannan perusmenetelmät. Esitietona on tavallinen tilastomatematiikan peruskurssi. Laadunvalvontastatistiikka on vanhimpia insinööritilastotieteen alueita. Se pysyi kutakuinkin samanlaisena kymmeniä vuosia aina 198-luvulle asti. 1 Silloin Japanista alkanut laatuajattelun uusi tuleminen alkoi muuttaa tilannetta. Ehkä enemmänkin kuin mainittu laatuajattelu alan tilastollista luonnetta muutti valmistusmenetelmien ja mittausten tarkentuminen, näytteenoton automatisoituminen ja näytteiden käsittely tietokoneilla. Menetelmiä piti vastaavasti laatia tarkemmiksi valvomaan pienempiä laadun muutoksia ja liukumien seuranta tuli tärkeämmäksi. Koska oli helppoa mitata samalla kertaa useita suureita, monimuuttujakartat tulivat käyttöön. Vastaavasti vanhat alunperin käsikäyttöön tarkoitetut epätarkat menetelmät ovat kutakuinkin jääneet sivuun. Näin on käynyt robusteille mutta heikoille järjestysstatistiikkaan perustuville kartoille mm. mediaani-, vaihtelukeskipiste- ja kvartiilivälikartalle ja näistä suosituinkin, vaihteluvälikartta eli R-kartta, on vähitellen jäämässä käytöstä. Tarkastusotannassa tämä ilmiö on johtanut sen käytön vähenemiseen. Kun valmistusmenetelmät ja laadunvalvonta ovat tarkkoja, valmistajan toimittamat tuote-erät ovat riittävän homogeenisia ja keskilaatu hyvä. Tarvittava tarkastus kohdistuu toisaalta pieniin vaihteluihin, jolloin otokset ovat suuria ja kalliita. Edellä mainitun seurauksena laadunvalvonta- ja tarkastusotantamenetelmät on suunniteltava hyvin, jotta haluttuun tarkkuuteen päästään ekonomisesti. Onkin outoa, että samaan aikaan ilmestyy kirjoja, joissa esitetään approksimatiivisia, kiinteisiin parametreihin, pienehköihin taulukoihin ja jopa nomogrammeihin 2 perustuvia menetelmiä, ilman sen kummempaa matematiikkaa tai edes ohjelmistojen käyttöä, esimerkkinä vaikkapa MONTGOMERY. Syynä luonnollisesti on laadunvalvontaa käyttävien suuri määrä ja kirjo. Menetelmien sovittaminen ja ymmärtäminen kuitenkin kärsii tällaisesta, esimerkkinä vaikkapa kykyindeksit, joita paljon käytetään ns. 1 Tuon aikakauden parhaita ja perusteellisimpia alan kirjoja on saksalainen SCHINDOWSKI &SCHÜRZ, josta saa mainion kuvan käytetyistä menetelmistä ja laitteista. 2 Nomogrammit muodostuvat asteikoista ja käyrästöistä, joista sopivien suorien leikkauspisteiden kautta voidaan lukea numeerisia arvoja. Niitä ei nykyään juuri näe muualla kuin laadunvalvonnan kirjoissa.

six-sigma-filosofiassa, mutta joiden tilastollinen analyysi on vaativaa. Vastaavasti myöskään tilasto-ohjelmistoissa valmiina olevat menetelmät eivät aina perustu kyllin tarkkoihin algoritmeihin. Tämä moniste on nimenomaan kirjoitettu laadunvalvonnan menetelmien tilastollisen käyttäytymisen ymmärtämisen ja niiden tarkan suunnittelun näkökulmasta. Menettelyt toteutetaan numeerisesti matematiikkaohjelmistoilla Maple tai Matlab, karttaesimerkkejä myös tilasto-ohjelmistolla JMP. Mainittakoon, ettei tässä käsitellä laadun suunnittelun menetelmiä, jotka on lähinnä luettava tilastollisen kokeiden suunnittelun alueeseen, eikä myöskään laatujohtamista. Näille on omat kurssinsa. iii Keijo Ruohonen

Luku 1 SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 1.1 Yleistä Valmistettaessa tuotetta valmistusprosessissa on mukana lukuisa joukko satunnaisvaihtelulähteitä, jotka aiheuttavat tuotteen laatuun tai/ja laadun tasaisuuteen pienen satunnaisen vaihtelun. Mikäli muita vaihtelulähteitä ei ole, sanotaan valmistusprosessin olevan kontrolloidun. Valmistusprosessin joutuessa epäkuntoon joko hitaasti (esimerkiksi kulumalla) tai äkkinäisesti (satunnainen odottamaton vika) aiheutuu tästä suuri muutos laadussa tai/ja sen tasaisuudessa ja prosessi on kontrolloimaton. Tilastollisen laadunvalvonnan tehtävä on testata toistuvia 1 otoksia käyttäen tietyllä varmuustasolla, että vaihtelut johtuvat vain tunnetuista satunnaistekijöistä, ts. että prosessi on kontrollissa. Tähän tarkoitukseen käytetään yleisesti ns. valvontakarttoja, joilla kuvataan graafisesti prosessin tilastollista käyttäytymistä. Valvontakartan 2 laatimiseksi valmistetuista tuotteista otetaan aika ajoin n tuotteen satunnaisotos, joista tehdyistä mittauksista lasketaan jokin tilastollinen suure, otoskeskiarvo, otosvarianssi, tms. Graafisesti ajatellen tämä suure kuvataan otosnumeron funktiona murtoviivana asteikkoon, johon on piirretty keskiviiva, ylä- ja alarajoja, jms. Yhden tai useamman pisteen joutuessa näiden rajojen ulkopuolelle suoritetaan jokin ennalta sovittu korjaava toimenpide. Mikäli valmistusprosessi on kontrollissa, on tällaiset otokset katsottava otetuksi äärettömästä populaatiosta, jonka jakauman määräävät em. pienet sallitut satunnaisvaihtelut. Mikäli taas prosessi on kontrolloimaton, muuttuu jokin ko. jakauman parametri tai ominaisuus. Jos ko. parametriä ei tunneta, on se estimoitava prosessin ollessa kontrollissa. Testattaessa tällä tavoin onko prosessi kontrollissa vai ei voidaan tehdä tai I tyypin virhe: Prosessi on kontrollissa, vaikka testi ilmoitti sen olevan kontrolloimaton (väärä hälytys). II tyypin virhe: Prosessi on kontrolloimaton, vaikka testi ilmoitti sen olevan kontrollissa. Näiden virhetyyppien todennäköisyyksiä merkitään vastaavasti α:lla (tai P I :llä) sekä β:lla (tai P II :lla). Usein 1 α:a kutsutaan valvonnan valikoivuudeksi ja 1 β:a sen herkkyydeksi. Prosessin ollessa kontrollissa todennäköisyys, että x-kartta hälyttää r:nnellä otoksella, mutta ei sitä ennen, on (1 α) r 1 α 1 Tilastollinen laadunvalvonta onkin todennäköisyyden frekvenssitulkinnan testipenkki par excellence. 2 Usein käytetään nimeä valvontakortti, aikanaan (ja vieläkin) käytettiin paksusta kartongista tehtyjä kortteja, joille kartta laadittiin. 1

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 2 ja odotettavissa olevien otosten lukumäärä ennen hälytystä eli ns. ARL 3 on ARL I = r(1 α) r 1 α = 1 α. r=1 (Kyseessä on geometrinen jakauma, ks. peruskurssit.) Vastaavasti, jos prosessi on kontrolloimaton, saadaan ARL ARL II = 1 1 β. Perinteiset Shewhartin muuttujakartat ovat seuraavat: tunnus x S R otossuure otoskeskiarvo otoshajonta otosvaihteluväli Seuraavissa pykälissä tarkastellaan näitä karttoja. 1.2 x-kartta x-kartassa otetaan valvontaotos x 1,x 2,...,x n ja lasketaan sen otoskeskiarvo x = 1 n (x 1 + + x n ). Populaatiokeskiarvo µ ja -hajonta σ oletetaan tunnetuiksi tapausta, jossa ne joudutaan estimoimaan, tarkastellaan myöhemmin. Koska populaatio ajatellaan äärettömäksi, saadaan (muistele peruskursseista) E(x) =µ ja V(x) = σ2 n, missä µ on yksittäisen mittauksen odotusarvo ja σ sen hajonta. Eri mittausten oletetaan olevan riippumattomat. Kartalle asetetaan valvontarajat. Kartta hälyttää, kun yksikin otoskeskiarvo on rajoilla tai niiden ulkopuolella. Valvontarajat on tapana kirjoittaa ns. k-rajoina (k >): µ ± k σ n. Huomautus. Toisinaan asetetaan valvottavalle suureelle myös ns. tavoitearvo. Tämän ei tarvitse olla sama kuin µ. Kartassa ei µ:n tilalla ole syytä käyttää tätä tavoitearvoa (ellei se satu olemaan = µ), muuten siihen tulee systemaattinen virhe. Luonnollisesti prosessia säädettäessä pyritään saamaan µ mahdollisimman lähelle tavoitearvoa. Perinteinen graafinen esitys x-kartalle on Kuvassa 1 olevan näköinen. Nykyään kartat piirretään luonnollisesti tietokoneella ja käytettävä ohjelmisto määrää kartan pikkupiirteet, kuva on JMP-ohjelmiston tekemä. Graafisessa esityksessä on mukana myös ns. keskiviiva µ:n kohdalla. 3 ARL =average run length

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 3 Variable Control Chart XBar of Weight 24 23 Mean of Weight 22 21 2 19 UCL=22.1 Avg=2.4 LCL=18.78 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 Note: Sigma used for limits based on range. Kuva 1. x-kartta valvontarajoineen (JMP) Jos n on vähääkään isompi usein käytännössä jo n =4tai n =5riittää on x Keskeisen raja-arvolauseen nojalla jakautunut likimain normaalisti odotusarvolla µ ja varianssilla σ 2 /n, jatarkastikin, jos mitattava suure on normaalijakautunut. Näin ollen saadaan (approksimatiivisesti) todennäköisyys valvontasuureen x pysymiselle k-rajojen välillä: 1 α =P ( x µ <k n σ ) ( ) x µ =P σ/ n <k =Φ(k) Φ( k) =2Φ(k) 1, missä Φ on standardinormaalijakauman kertymäfunktio. Alla taulukossa on eräitä tyypillisiä valintoja: k 1 α α 1.6827.3173 2.9545.455 3.9973.27 1.645.9.1 1.96.95.5 3.9.998.2 Usein käytössä on jokin sovittu vakio k:n arvo, esimerkiksi k =3(ns. kolmosrajat) tai melkein vastaava k =3.9. 4 Käytettäessä k-rajoja x-kartassa on α = 2(1 Φ(k)), joka ei riipu n:stä. Kuvassa 2 on α:n kuvaaja k:n funktiona. 4 Jostain syystä Yhdysvalloissa on vanhastaan käytetty melkein pelkästään kolmosrajoja ja Euroopassa taas suosittu myöskin vapaampaa k:n valintaa.

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 4 1.8.6 alfa.4.2 1 2 3 4 k Kuva 2. x-kartan α esitettynä k:n funktiona (Maple) β:a laskettaessa oletetaan mitattavan suureen odotusarvon olevan µ + σ hajonnan pysyessä samana. Tässä ilmoittaa siirtymän hajontayksiköissä laskettuna. Tämä on tietysti vain eräs mahdollisuus valmistusprosessin vikaantuessa. Jotta β yleensä ottaen saadaan lasketuksi, pitää valita jokin edustava tilanne, johon vikaantuminen johtaa. Usein :ksi valitaan (itseisarvoltaan) pienin sellainen siirtymä, että prosessi katsotaan kontrolloimattomaksi. Todellinen voi silloin olla (itseisarvoltaan) isompikin, ja todellinen β vastaavasti pienempi. β riippuu sekä n:stä että :sta ja tietysti k:sta, mutta k:han määräytyi α:sta: β =P ( x µ <k n σ ) =P (µ k n σ < x<µ+ k n σ ) ( µ kσ/ n (µ + σ) =P σ/ n ( =P k n< < x (µ + σ) σ/ n =Φ(k n) Φ( k n). x (µ + σ) σ/ < µ + kσ/ ) n (µ + σ) n σ/ n <k ) n Kuvassa 3 on β:n kuvaajapinta kolmosrajoille, ns. OC-pinta 5.Kuvassa 4 puolestaan on poikkileikkaus, missä n =5, eli β esitettynä :n funktiona n:n arvolle 5, kun k =3, ns. OC-käyrä 5. 5 OC=operating-characteristic.

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 5 1.8.6 beta.4.2 4 2 Delta 2 4 2 4 6 14 12 1 8n Kuva 3. x-kartan OC-pinta (k =3) (Maple) Target = LCL = -1.341647865 UCL = 1.341647864999 Sigma = 1 Sample Size = 5 1. Beta.9.8.7.6.5.4.3.2.1. LCL -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 Process Probability of not detecting a shift to a given new mean UCL Kuva 4. x-kartan eräs OC-käyrä (k =3ja n =5) (JMP) Toisinaan valvontarajat (siis k) määräytyvät toleransseista. Toisaalta toisinaan otoskoko n on luonnostaan kiinnitetty. Tilastollisesti ajatellen k sekä n valitaan kuitenkin siten, että α ja β

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 6 saavat ainakin likimain tai enintään annetut arvot, otoskoon n on tietysti oltava kokonaisluku. α:n ja/tai β:n sijasta voitaisiin antaa yhtä hyvin ARL I ja/tai ARL II. Menettely on seuraava: 1. Valitaan k siten, että α = 2(1 Φ(k)) eli k =Φ 1 ( 1 α 2 ). 2. Valitaan sen jälkeen n siten, että β =Φ(k n) Φ( k n) ja pyöristetään mieluummin ylöspäin kokonaisluvuksi. Likimääräisesti laskettaessa voidaan todeta, että jos k on vähääkään isompi, niin Φ( k n) = ja β = Φ(k n) ja ( ) n k Φ 1 2 (β) =. Koska otoskoko on yleensä pieni, voidaan tietysti etsiä n myös kokeilemalla arvoja n =1, 2,... kunnes saadaan kyllin pieni β. 3. Jos kohdan 2. n:n arvo saadaan pyöristämällä ylöspäin kokonaisluvuksi, niin tätä käyttäen saadaan oikea β, joka on enintään etukäteen ilmoitettu. Mikäli tämä oikea β on paljon pienempi kuin alunperin vaadittiin, voi olla syytä ottaakin n:ksi yhtä pienempi luku. Lause 1.1. Yo. menettely onnistuu, jos α + β 1. Todistus. Kohta 1. onnistuu ilmeisesti aina. Merkitään jolloin Toisaalta derivaatta f(y) =Φ(k y) Φ( k y), f() =Φ(k) Φ( k) =1 α ja lim y f(y) =. df dy = e 1 2 (k y)2 + e 1 2 ( k y)2 = 2 e 1 2 k2 1 2 ( y)2 sinh(k y) 2π 2π 2π on negatiivinen, kun y>, joten β on aidosti vähenevä n:n funktiona. Maple-ohjelmistolla suunnittelutehtävä on helposti ratkaistavissa: > with(stats); [anova,describe,fit,importdata,random, statevalf,statplots,transform] > alpha:=.5; beta:=.15; Delta:=1.5; > k:=statevalf[icdf,normald](1-alpha/2); α :=.5 β :=.15 :=1.5 k := 1.959963985 > n:=ceil(fsolve(statevalf[cdf,normald](k-delta*sqrt(n))- statevalf[cdf,normald](-k-delta*sqrt(n))=beta,n));

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 7 n := 4 > oikea beta =statevalf[cdf,normald](k-delta*sqrt(n))- statevalf[cdf,normald](-k-delta*sqrt(n)); oikea beta =.1491612319 Tässä oikea β on niin lähellä vaadittua, ettei kohdan 3. operaatio ole tarpeellinen. Huomautus. Perinteinen x-kartta on kaksipuolinen. Vastaava ylä- tai alapuolinen kartta tulee käyttöön silloin, kun vioittuminen nimenomaan merkitsee mitattavan suureen siirtymää tiettyyn suuntaan ja siirtymä toiseen suuntaan on harmiton. Toispuolinen kartta on suunniteltavissa hyvin samaan tapaan kuin kaksipuolinenkin, :n merkki on valittava silloin siirtymän suunnan mukaiseksi. Menettely on itse asiassa helpompikin ja analoginen toispuolisen muuttujaotannan suunnittelun kanssa, ks. Pykälä 7.2. Huomautus. Edellä on ajateltu otoskoon n pysyvän valvonnan ajan samana. Näin ei suinkaan tarvitse olla, otokseen voi toisinaan tulla enemmän tai vähemmän alkioita. Kartta suunnitellaan tällaisessa tapauksessa tietylle nimelliselle otoskoolle ja valvontarajat piirretään kullekin valvontaotokselle erikseen käyttäen sen nimenomaista kokoa. Jos valvontaotos jatkuvasti pyrkii olemaan pienempi kuin suunniteltu otoskoko, kärsii valvonnan herkkyys. Liian suuri otoskoko taas ei aiheuta tilastollista haittaa, kustannuksia se ehkä lisää. 1.3 S-kartta x-kartta olettaa, että hajonta σ pysyy vakiona. Kokemus osoittaa, ettei se myöskään varoita kovinkaan nopeasti σ:n muutoksista. Näin ollen laaditaan x-kartan kanssa usein samanaikaisesti ns. S-karttaa tai R-karttaa, josta myöhemmin jolloin tulee valvotuksi, että σ ei muutu. Toisaalta on toisinaan syytä valvoa hajontaa muutenkin, ellei muuten niin sen varmistamiseksi, että x-karttaa laadittaessa tehdyt oletukset ovat voimassa. S-karttaa varten lasketaan valvontaotoksista otosvarianssi 6 S 2 = 1 n 1 n (x i x) 2, olettaen tietysti, että otoskoko n on ainakin 2. (Ks. peruskurssit.) Jatkossa oletetaan, että x on N(µ, σ 2 )-normaalijakautunut. Silloin X =(n 1) S2 σ 2 on χ 2 -jakautunut vapausastein n 1, ts. sen tiheysfunktio on 1 g(x) = )xn 3 2 n 1 2 Γ( n 1 2 e x 2, kun x>, 2 missä Γ on gammafunktio 7. Lasketaan otoshajonnan S odotusarvo: 6 Laadunvalvonnassa otosvarianssia merkitään useimmiten käyttäen isoa S-kirjainta. 7 Gammafunktio on Γ(y) = t y 1 e t dt. Sen perusominaisuudet ovat seuraavat ks. peruskurssit: i=1 (a) Γ(k) =(k 1)!, kun k on positiivinen kokonaisluku. Ts. gammafunktio on kertoman jatkuva yleistys (gammafunktio on jatkuva!). (b) Γ(y) on määritelty ts. epäoleellinen integraali suppenee kun y>, jaγ(y +1)=yΓ(y). (c) Γ( 1 2 )= π

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 8 E(S) = = σ xg(x) dx = n 1 2σ n 1Γ( n 1 2 ) S 2 on harhaton σ 2 :n estimaattori, joten Näin saadaan S:n varianssi Laadunvalvonnassa merkitään usein σ n 12 n 1 2 Γ( n 1 ) 2 y n 2 1 e y dy = σ Γ( n) 2 2 Γ( n 1) n 1. 2 E(S 2 )=σ 2. V(S) =E(S 2 ) E(S) 2 = σ 2 (1 E(S) =c 4 σ ja V(S) =c 2 5σ 2, missä c 5 = 1 c 2 4. S-kartan k-rajat ovat tällöin ( Γ( n ) ) 2 ) 2 2 Γ( n 1). n 1 2 max(, (c 4 kc 5 )σ) (alaraja) ja (c 4 + kc 5 )σ (yläraja) eli, kuten usein merkitään, { B 5 σ = max(,c 4 kc 5 )σ B 6 σ =(c 4 + kc 5 )σ. x n 2 1 e x 2 dx Keskiviiva on c 4 σ:n kohdalla. Maple-ohjelmiston avulla B 5 :n ja B 6 :n laskee helposti: > n:=4: k:=2.: > c[4]:=evalf(gamma(n/2)*sqrt(2/(n-1))/gamma((n-1)/2)); c[5]:=sqrt(1-c[4]^2); B[5]:=max(,c[4]-k*c[5]); B[6]:=c[4]+k*c[5]; c 4 :=.921317732 c 5 :=.38881549 B 5 :=.143696652 B 6 := 1.698938814 Lasketaan S-kartan α: α =1 P(B 5 σ<s<b 6 σ)=1 P((n 1)B 2 5 <X<(n 1)B 2 6). β:n laskemiseksi sovitaan, että valmistusprosessin vioittuessa mitattavan suureen hajonta muuttuu arvoon σ + σ,missä on tunnettu positiivinen tai negatiivinen luku ja tietysti > 1. Silloin ( ) B5 2 β =P(B 5 σ<s<b 6 σ)=p (n 1) (1 + ) <X<(n 1) B6 2 2 (1+ ) 2 Maplea käyttäen voi laskea sekä α:n että β:n (jatkoa edellisestä):

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 9 > with(stats): > alpha:=evalf(1-statevalf[cdf,chisquare[n-1]]((n-1)*b[6]^2) +statevalf[cdf,chisquare[n-1]]((n-1)*b[5]^2)); α :=.3828375 > Delta:=2.5: beta:=statevalf[cdf,chisquare[n-1]]((n-1)*b[6]^2/(1+delta)^2) -statevalf[cdf,chisquare[n-1]]((n-1)*b[5]^2/(1+delta)^2); β :=.128318461 Kuvassa 5 on piirrettynä α:n kuvaaja k:n ja n:n suhteen. Kuvassa 6 on β:n kuvaaja n:n ja :n suhteen, kun k =2, ns. OC-pinta. Piirrettäessä on käytetty gammajakauman kertymiä, χ 2 -jakauma n 1 vapausasteella on sama kuin gammajakauma parametrein a =(n 1)/2 ja b =1/2. 8 Kuvasta 5 näkyy tärkeä ominaisuus: α on kutakuinkin vakio n:n suhteen. Tämä on itse asiassa seuraus Keskeisestä raja-arvolauseesta: n 1 vapausasteella χ 2 -jakautunut satunnaismuuttuja on jakaumamielessä ajateltavissa n 1 riippumattoman standardinormaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan neliön summaksi. 1.8.6 alfa.4.2 2 4 n6 8 4 3 k 2 1 1 5 Kuva 5. S-kartan αk:n ja n:n funktiona (Maple) 8 Nykyään on muutenkin paljolti siirrytty gammajakauman käyttöön. Erityisen tärkeä rooli gammajakaumalla on luotettavuusmallintamisessa, ks. kurssi Luotettavuusteoria. Gammajakauman tiheysfunktio parametrein a ja b on g(x) = ba Γ(a) xa 1 e bx, kun x> ja sen kertymäfunktio on Γ(bx, a), missä on ns. vajaa gammafunktio. Γ(u, y) = 1 Γ(y) u t y 1 e t dt

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 1 1.8.6 beta.4.2 1 2 1 Delta 2 3 8 6n 4 4 1 Kuva 6. S-kartan OC-pinta (k =2) (Maple) k:n ja n:n ratkaiseminen yo. yhtälöistä annetuille α:n ja β:n arvoille on numeerisesti työlästä. Näin ollen S-kartan aivan tarkka suunnitteleminen on hankalampaa kuin x-kartan. Toisaalta S-kartta esiintyy useimmiten x-kartan kylkiäisenä ja otoskoko n määräytyy x-kartan suunnittelusta. Kiinteälle n:n arvolle Maple-ohjelmistolla pystyy ratkaisemaan k:n annetulle α:n tai β:n arvolle, ei tietystikään molemmille yhtaikaa. Määritellään sitä varten α ja β sopivina Mapleproseduureina. Huomaa miten jälleen käytetään gammajakaumaa. > with(stats): > Salfa:=proc(k,n) local c4,c5,b5,b6; c4:=evalf(gamma(n/2)*sqrt(2/(n-1))/gamma((n-1)/2)); c5:=sqrt(1-c4^2); B5:=max(,c4-k*c5); B6:=c4+k*c5; 1-statevalf[cdf,gamma[(n-1)/2,2]]((n-1)*B6^2) +statevalf[cdf,gamma[(n-1)/2,2]]((n-1)*b5^2); end: > Sbeta:=proc(k,n,Delta) local c4,c5,b5,b6; c4:=evalf(gamma(n/2)*sqrt(2/(n-1))/gamma((n-1)/2)); c5:=sqrt(1-c4^2); B5:=max(,c4-k*c5); B6:=c4+k*c5; statevalf[cdf,gamma[(n-1)/2,2]]((n-1)*b6^2/(1+delta)^2)- statevalf[cdf,gamma[(n-1)/2,2]]((n-1)*b5^2/(1+delta)^2); end: Ratkaistaan ensin k, kun vaaditaan ensin, että α =.1, ja sitten että β =.15 (lisäksi tässä n =5ja =2):

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 11 > k =fsolve(salfa(k,5)=.1,k=2); > k =fsolve(sbeta(k,5,2)=.15,k=2); k =2.585547471 k =2.38486983 Kolmanneksi ratkaistaan n, kun vaaditaan, että β =.1 ja lisäksi k =3ja =2: > n:=ceil(fsolve(sbeta(3,x,2)=.1,x=3)); oikea beta =Sbeta(3,n,2); n := 7 oikea beta =.96982145 Tässäkin voi toisinaan mutta ei ilmeisestikään yllä olla syytä ottaa käyttöön yhtä pienempi n, jos oikea β:n arvo on paljon pienempi kuin alunperin esitetty. Jos kuitenkin sekä k että n pitäisi määrittää lähtien α:sta ja β:sta, voidaan menetellä seuraavasti. Koska α on melkein riippumaton n:stä (ks. Kuva 5), voidaan k määrätä α:sta kuten yllä, käyttäen jotain sopivaa n:n arvoa. Sen jälkeen varsinainen n lasketaan saatua k:ta käyttäen β:sta, kuten yllä tehtiin. Tulos on syytä tarkistaa ja iteroida menettelyä tarpeen vaatiessa. Toinen tapa olisi kokeilla n:n arvoja n =2, 3,... ratkaisten α:n avulla k kuten yllä, kunnes löytyy kyllin pieni β. OC-pinnasta (Kuva 6) voi päätellä, että tämä menettely onnistuu aina, tarkka todistus Lauseen 1.1 todistuksen tapaan onkin sitten hankalampi. S-kartalle usein on tärkeää vain saada hälytys hajonnan siirtymisestä ylöspäin. Tällöin käytetään pelkkää ylärajaa (yläpuolinen valvonta) ja B 6 σ =(c 4 + kc 5 )σ α =1 P(S <B 6 σ)=1 P(X <(n 1)B6) 2 sekä ( ) B6 2 β =P(S<B 6 σ)=p X<(n 1). (1+ ) 2 Tässä on luonnollisesti oltava >. Kartta suunnitellaan samalla tavoin kuin yllä. Vastaavalla tavalla saataisiin hajontaa alapuolelta valvova kartta, jonkalaista toisinaan tarvitaan. Hajonnan pieneneminen voi olla merkki esimerkiksi prosessin jumiutumisesta, tms. Koska S-kartan OC-pinta on epäsymmetrinen (Kuva 6), määrää :n merkki sen minkä suunnan valvontaherkkyys (eli 1 β) kiinnitetään. 9 Mikäli molemminpuolista valvontaa tarvitaan voi olla syytä suunnitella erikseen ylä- ja alapuoliset valvonnat valiten näille omat α:n ja β:n arvonsa ja ottaen saaduista otoskoista maksimi. Huomautus. S-karttaa ja myös x-karttaa laadittaessa ei saa pyöristää laskettuja valvontasuureita samaan tarkkuuteen kuin mittausarvot, muutoin karttojen tarkkuus voi kärsiä. S-kartta on huomattavasti herkempi epänormaalisuudelle kuin x-kartta. 9 Toisin oli asia x-kartalle!

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 12 1.4 R-kartta R-kartta on muuten samankaltainen kuin S-kartta, mutta otoshajonnan sijasta lasketaan otoksesta x 1,x 2,...,x n otosvaihteluväli Kun n =2,on 1 2 R2 = 1 2 (x 2 x 1 ) 2 = R = max(x 1,...,x n ) min(x 1,...,x n ). ( x 1 1 2 ( 2 (x 1 + x 2 )) + x 2 1 ) 2 2 (x 1 + x 2 ) = S 2 ja R on oleellisesti sama kuin S. Suuremmille n:n arvoille näin ei enää ole. Jos valvottavan suureen tiheysfunktio on f ja kertymäfunktio F,voidaan R:n tiheysfunktioksi johtaa f R (r) =n(n 1) (F (t) F (t r)) n 2 f(t)f(t r) dt (ks. esimerkiksi RUOHONEN tai STUART & ORD & STEVEN & O HAGAN). Jatkossa oletetaan mitattava suure N(µ, σ 2 )-normaalijakautuneeksi, jolloin f(x) = 1 e 1 2σ 2 (x µ)2 2πσ ja ( ) x µ F (x) =Φ. σ Johdetaan lauseke R:n odotusarvolle: E(R) = = = rf R (r) dr n(n 1) 2πσ 2 n(n 1) 2πσ n(n 1) = σ 2π r r s ( ( ) ( )) n 2 e 1 2σ 2 ((t µ)2 +(t r µ) 2 ) t µ t r µ Φ Φ dtdr σ σ e 1 2 Vastaavalla tavalla saadaan R:n keskineliö E(R 2 )= r 2 2 n(n 1) f R (r) dr = σ 2π (u 2 +(u σ) r 2) ( ( Φ(u) Φ u r )) n 2 dudr σ e 1 2 (u2 +(u s) 2) (Φ(u) Φ(u s)) n 2 duds. s 2 e 1 2 (u2 +(u s) 2) (Φ(u) Φ(u s)) n 2 duds ja edelleen varianssi V(R) =E(R 2 ) E(R) 2. Laadunvalvonnassa merkitään usein E(R) =d 2 σ ja V(R) =d 2 3σ 2, missä d 2 ja d 3 riippuvat vain n:stä ja d 3 >. R-kartan k-rajat ovat tällöin max(, (d 2 kd 3 )σ) (alaraja) ja (d 2 + kd 3 )σ (yläraja) eli, kuten tavallisesti merkitään, { D 1 σ = max(,d 2 kd 3 )σ D 2 σ =(d 2 + kd 3 )σ.

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 13 Keskiviiva on d 2 σ:n kohdalla. Yo. suureiden numeerinen lasku vaatii kaksinkertaisen epäoleellisen integraalin numeerisen laskemisen. Typistetään integrointialue äärelliseksi, ts. korvataan muotoa oleva integrointi muotoa S U olevalla ja valitaan U sekä S kyllin suuriksi halutun tarkkuuden saamiseksi. Suhteellisen helposti voidaan näyttää, että viiden desimaalin tarkkuuden saamiseksi U riittää valita U = S = 8 (ks. RUOHONEN). Toisaalta esimerkiksi Maple-ohjelmisto laskee integraalin numeerisesti suoraankin. Maple-ohjelmistolla saa d 2 :n ja d 3 :n arvot lasketuksi seuraavasti tässä n =15ja numeeriseen integrointiin käytetään Newton Cotes-menetelmää: > integrandi1:=exp(-u^2/2-(u-s)^2/2) *int(exp(-v^2/2)/sqrt(2*pi),v=u-s..u)^(n-2); ( integrandi1 :=e 1/2 u2 1/2(u s) 2 1/2 erf (1/2 2u)+1/2erf (1/2 ) n 2 2( u + s)) > n:=15; d[2]:=evalf(n*(n-1)/2/pi*int(s*int(integrandi1,u=-8..8,1,_ncrule), s=..8,1,_ncrule)); d[3]:=sqrt(evalf(n*(n-1)/2/pi*int(s^2*int(integrandi1,u=-8..8,1,_ncrule), s=..8,1,_ncrule))-d[2]^2); n := 15 d 2 := 3.47181376 d 3 :=.7562529 Kootaan tulokset yhteen taulukoksi 1 : n d 2 d 3 2 1.128.853 3 1.693.888 4 2.59.88 5 2.326.864 6 2.534.848 7 2.74.833 8 2.847.82 9 2.97.88 1 3.77.797 11 3.173.787 12 3.258.778 13 3.336.77 14 3.47.763 15 3.472.756 Muodostetaan R-kartan α:n lauseke vrt. E(R):n johto edellä: α =1 P(D 1 σ<r<d 2 σ) =1 =1 n(n 1) 2πσ n(n 1) 2π D 2 σ D 1 σ D 2 D 1 e 1 2 (u 2 +(u σ) r 2) ( ( Φ(u) Φ u r )) n 2 dudr σ e 1 2 (u2 +(u s) 2) (Φ(u) Φ(u s)) n 2 duds 1 Joissain vanhemmissa kirjoissa esiintyvät vastaavat taulukkoarvot voivat olla jonkin verran epätarkkoja.

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 14 =1 n 2π =1 n 2π e 1 2 u2 e 1 2 u2 D 2 D 1 n 1 2π e 1 2 (u s)2 (Φ(u) Φ(u s)) n 2 dsdu / D 2 (Φ(u) Φ(u s)) n 1 du. D 1 α saadaan siis yksinkertaisella integroinnilla: α =1 n 2π e 1 2 u2 ((Φ(u) Φ(u D 2 )) n 1 (Φ(u) Φ(u D 1 )) n 1 ) du. β:n määräämiseksi sovitaan, että prosessin vioittuessa populaatiohajonta vaihtuu σ:sta σ + σ:ksi, missä on tunnettu positiivinen tai negatiivinen luku ja tietysti > 1. Samoin kuin α:lle yllä, voidaan β:lle johtaa yksinkertainen integraalilauseke: β = n 2π ( ( e 1 2 u2 Φ(u) Φ u D )) n 1 ( ( 2 Φ(u) Φ u D )) ) n 1 1 du. 1+ 1+ Maple-ohjelmistolla saa lasketuksi helposti α:n ja β:n. Lisäksi helpohko arvio näyttää, että tulokset saadaan viidellä desimaalilla, kun integroinnit typistetään välille [ 5, 5]. Jatketaan edellisestä: > k:=2.; Delta:=1.5; k := 2. :=1.5 > DD[1]:=max(,d[2]-k*d[3]); DD[2]:=d[2]+k*d[3]; # D on Maplessa varattu symboli. DD 1 := 1.9594136 DD 2 := 4.984213812 > integrandi2:=exp(-u^2/2) *(int(1/sqrt(2*pi)*exp(-v^2/2),v=u-dd[2]..u)^(n-1) -int(1/sqrt(2*pi)*exp(-v^2/2),v=u-dd[1]..u)^(n-1)); integrandi3:=exp(-u^2/2) *(int(1/sqrt(2*pi)*exp(-v^2/2),v=u-dd[2]/(1+delta)..u)^(n-1) -int(1/sqrt(2*pi)*exp(-v^2/2),v=u-dd[1]/(1+delta)..u)^(n-1)); integrandi2 :=e 1/2 u2 ( (.5 erf (.7716781 u).5 erf (.7716781 u 3.524371384)) 14 (.5 erf (.7716781 u).5 erf (.7716781 u 1.385514644)) 14) integrandi3 :=e 1/2 u2 ( (.5 erf (.7716781 u).5 erf (.7716781 u 1.49748554)) 14 (.5 erf (.7716781 u).5 erf (.7716781 u.554258575)) 14) > alpha:=evalf(1-n/sqrt(2*pi)*evalf(int(integrandi2,u=-5..5,1,_ncrule))); beta:=evalf(n/sqrt(2*pi)*evalf(int(integrandi3,u=-5..5,1,_ncrule))); α :=.43721897 β :=.13341821

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 15 R-kartan ominaisuudet ovat hyvin samantapaiset kuin S-kartan. Myös R-kartan suunnittelu annetuille α:n ja β:n arvoille on hyvin samankaltainen kuin S-kartan ja numeerisesti raskasta. Toisaalta S-kartan tavoin R-karttaa käytetään x-kartan kylkiäisenä hajonnan muutoksia valvomassa ja otoskoko n määräytyy x-kartan suunnittelusta. Usein käytetään vielä kolmosrajoja eli valitaan k =3. Yleensä suositellaan R-karttaa käytettäväksi enintään n:n arvoille 1 15. Tämä johtuu R:n jakauman jäykistymisestä suurille n:n arvoille. Suuressa otoksessa R on nimittäin melkein aina suuri, jolloin erojen syntyminen vaatisi suuren tarkkuuden, mutta R:n tarkkuus on aina sama kuin mittaustarkkuus. Oikeastaan R-kartan ainoa etu S-karttaan nähden on ollut helpompi laskettavuus. Nykyään tämä etu ei enää ole merkittävä, ja käytettäväksi suositellaankin S-karttaa sen suuremman tehokkuuden takia. 1.5 Karttojen käynnistys Jakauman parametrien ollessa tuntemattomia on ne estimoitava. Tätä varten otetaan m kpl n:n suuruisia pilottiotoksia, missä m valitaan mahdollisimman suureksi; yleensä vaaditaan, että m on vähintään 2 25. Estimoinnin aikana pitäisi prosessin luonnollisesti olla kontrollissa. Otoksista lasketaan otoskeskiarvot x 1,...,x m ja/tai otoshajonnat S 1,...,S m tai -vaihteluvälit R 1,...,R m. µ:n estimaattori on ˆµ = 1 m x i = merk. x. m σ:n estimaattori on ˆσ = 1 c 4 m m i=1 i=1 S i = merk. 1 c 4 S tai ˆσ = 1 d 2 m m i=1 R i = merk. 1 d 2 R, riippuen siitä lasketaanko S i :t vai R i :t. Tässä c 4 ja d 2 määräytyvät valvonnassa käytetystä n:n arvosta yleensä n =4tai n =5riittää. Jos prosessi on kontrollissa, on E(x) = 1 m E(x i )=µ m ja ( ) 1 E S = 1 c 4 c 4 m m i=1 Estimaattorit ovat siis harhattomia. x-kartan k-rajat ovat missä siis A 3 = x ± i=1 ( ) 1 E(S i )=σ sekä E R = 1 d 2 d 2 m m E(R i )=σ. k S = merk. x ± A 3 S tai x ± k R = merk. x ± A 2 R, c 4 n d 2 n k ja A 2 = k c 4 n ( max ( d 2 n. S-kartan k-rajat ovat 1+ kc 5 c 4, 1 kc 5 c 4 ) S = merk. B 3 S ) S = merk. B 4 S i=1

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 16 ja R-kartan ( max, 1 kd 3 ( d 2 1+ kd 3 d 2 ) R = merk. D 3 R ) R = merk. D 4 R. Kun rajat on saatu, katsotaan onko prosessi kontrollissa estimointiin käytettyjen pilottiotosten osalta. (On muistettava, että todennäköisyydellä α tulee vääriä hälytyksiä!). Ellei näin ole, on kasvatettava m:n arvoa ja/tai tarkastettava prosessi. Ellei estimointi lopultakaan onnistu, ei prosessi ole lainkaan valvottavissa käytetyllä karttatyypillä. Usein prosessin toiminta tarkistetaan kykytestillä ennen estimointia, ks. Luku 5. Koska karttojen α ja β eivät riipu µ:stä eivätkä σ:sta, voidaan ne suunnitella tavalliseen tapaan myös estimaattoreita käytettäessä. 1.6 Yksittäisarvokartat Monissa tapauksissa prosessista saadaan mittausarvoja vain yksi kerrallaan. Odotusarvon siirtymää voidaan silloin valvoa tavalliseen tapaan x-kartalla, jossa n =1. Tällöin puhutaan usein x-kartasta. Koska otoskoko on kiinteä, kartalle voidaan tällöin suunniteltaessa kiinnittää joko α tai β, mutta ei molempia. Hajonnan valvominen on pulmallisempaa. Jonkinlaisena korvikkeena S-ja R-kartoille käytetään usein ns. liukuvan vaihteluvälin karttaa eli MR-karttaa. 11 Mikäli peräkkäiset mitatut yksittäiset arvot ovat y 1,y 2,..., on MR-kartan valvontasuure MR = y i y i 1 = max(y i 1,y i ) min(y i 1,y i ). MR-karttaa suunniteltaessa oletetaan, että saadut MR-arvot ovat riippumattomia. Silloin MR-kartta käyttäytyy aivan samoin kuin R-kartta tai S-kartta otoskoolle n =2. Tässä jälleen oletetaan, että y i :t ovat riippumattomia ja N(µ, σ 2 )-normaalijakautuneet. Erityisesti d 2 = 2 ja d 3 = 2 4 π π. Koska jälleen otoskoko on kiinteä, voidaan vain α tai β kiinnittää, mutta ei molempia. Pystytettäessä MR-karttaa lasketaan pilottiotoksesta y 1,y 2,...,y m ensin luvut MR i = y i y i 1 (i =2,...,m) ja sitten MR = 1 m 1 m MR i. Pystytys on sen jälkeen samanlainen kuin R-kartalle (R:n tilalla on MR) ja ( ) π π π A 2 = k, D 2 3/2 3 = max, 1 k 2 1 sekä D 4 =1+k 2 1. 11 MR=moving range i=2

LUKU 1. SHEWHARTIN MUUTTUJAKARTAT 17 Todellisuudessa peräkkäiset MR-arvot eivät ole riippumattomia, vaikka y i :t sitä olisivatkin. Koska ( ) ( ) yi y i 1 1 1 i 1 = y y y i+1 y i 1 1 i, y i+1 on ( ) ( ) 1 1 cov(y i y i 1,y i+1 y i )=σ 1 2 1 1 2 1 = σ 2, 1 1 1 2 1 mistä voidaan päätellä, että peräkkäisillä MR-arvoilla on itse asiassa vahvahko riippuvuus. MRkartan tulkinta on näin ollen hankalaa ja sen käyttö onkin rutiinia vaativaa. Kuvassa 7 on JMP-ohjelmiston esitys x-kartasta ja MR-kartasta. Control Chart Individual Measurement of Acid 2. 17.5 15. Acid 12.5 1. 7.5 UCL=13.466 Avg=1.567 LCL=7.667 5. 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 26 Moving Range of Acid 6 5 Acid 4 3 2 1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 26 UCL=3.78 Avg=1.31 LCL Kuva 7. x-kartta ja MR-kartta valvontarajoineen (JMP) Seuraavassa luvussa käsiteltävä c-kartta on oikeastaan yksittäisarvokartta. Liukumien valvontaan käytettävät kartat (ks. Luku 3) sopivat hyvin yksittäisarvojen valvontaan.

Luku 2 SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 2.1 Yleistä Attribuutilla tarkoitetaan tuotteen ominaisuutta, joka sillä joko on tai ei ole. Laatua valvottaessa ko. ominaisuus on yleensä luonteeltaan negatiivinen, tuote on jossain mielessä viallinen tai virheellinen (engl. defective ) tai poikkeava (engl. nonconforming ). Valvontaotokseen tulevista tuotteista joko katsotaan onko se viallinen vai ei, tai sitten lasketaan siinä olevien vikojen lukumäärä. Koska valvontasuure on satunnaismuuttujana diskreetti, ei attribuuttikarttoja voi suunnitella systemaattisesti yhtä tarkasti kuten muuttujakarttoja. 2.2 p-kartta p-karttaa muodostettaessa todetaan n:n suuruisista satunnaisotoksista niissä esiintyvien viallisten tuotteiden lukumäärä D.Valmistusprosessin ollessa kontrollissa syntyy kelvottomia tuotteita tietyllä (pienellä) todennäköisyydellä θ. D:llä on silloin binomijakauma parametrein n ja θ. Näin ollen (peruskurssit) E(D) = nθ ja V(D) = nθ(1 θ). p-kartan valvontasuure on viallisten tuotteiden suhteellinen osuus p = D n, jolloin E(p) = 1 n E(D) =θ ja V(p) = 1 n V(D) = 1 θ(1 θ). 2 n p-kartan keskiviiva on θ:n kohdalla ja k-rajat ovat ( ) 1 max,θ k θ(1 θ) n ( ) 1 min 1,θ+ k θ(1 θ) n (alaraja) (yläraja). Usein k =3tai k =3.9. Luonnollisesti usein käytetään pelkkää ylärajaa (yläpuolinen valvonta). Harvemmin on käytössä pelkkä alaraja (alapuolinen valvonta). 18

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 19 Muodostetaan p-kartalle α ja β. β:a laskettaessa oletetaan prosessin vioittuessa θ:n arvon muuttuvan arvoon θ + θ, missä on tunnettu positiivinen tai negatiivinen luku. Tietysti on oltava < (1 + )θ < 1.Silloin ( ) 1 1 α =1 P θ k θ(1 θ) <p<θ+ k θ(1 θ) n n =1 P(nθ k nθ(1 θ) <D<nθ+ k nθ(1 θ)) ja ( ) 1 1 β =P θ k θ(1 θ) <p<θ+ k θ(1 θ) n n =P(nθ k nθ(1 θ) <D<nθ+ k nθ(1 θ)) saadaan lasketuksi binomijakauman avulla, α:lle parametrit ovat n ja θ ja ( ) n P(D = d) = θ d (1 θ) n d, d β:lle taas parametrit ovat n ja θ + θ ja ( ) n P(D = d) = (θ + θ) d (1 θ θ) n d. d Keskeisestä raja-arvolauseesta johtuen α on melkein vakio n:n suhteen vrt. S-kartta Pykälässä 1.3. p-kartan suunnittelu annetuille α:n ja β:n arvoille yo. kaavoja käyttäen on numeerisesti työlästä. Toisaalta voidaan käyttää normaalijakauma-approksimaatiota binomijakaumalle, ks. peruskurssit. p-kartan otoskoko n on nimittäin yleensä paljon suurempi kuin esimerkiksi x-kartan, joten tämä on perusteltua vaikka toisaalta θ on sitten yleensä pieni. Approksimatiivisesti D:llä on N(nθ, nθ(1 θ))-jakauma ja α = 2(1 Φ(k)) (ei riipu n:stä) sekä ( β k 1 θ ) ( nθ k 1 θ ) nθ = Φ Φ. (1 + )(1 θ θ) (1 + )(1 θ θ) p-kartta voidaan näin suunnitella approksimatiivisesti samaan tapaan kuin x-kartta. Kun approksimatiiviset k:n ja n:n arvot on saatu, voidaan tarkempikin suunnittelu suorittaa kokeilemalla lähistöllä olevat k:n ja n:n arvoyhdelmät. Huomaa, että kun n:n arvo on kiinteä, k:lle riittää tällöin katsoa arvoja 1/ nθ(1 θ) :n välein. On olemassa toinenkin menettely tarkan suunnittelun tekemiseksi. Katsotaan sekin, vaikka se on numeerisesti varsin raskas. Menettely saadaan seuraavasta tuloksesta. Jos D:llä on binomijakauma parametrein n ja θ, niin r-kertaisella osittaisintegroinnilla voi todeta, että Γ(n +1) θ t n r 1 (1 t) r dt = Γ(n r)γ(r +1) n = i=n r n! θ t n r 1 (1 t) r dt (n r 1)!r! ( ) n θ i (1 θ) n i =P(D n r). i

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 2 Vasemmanpuoleinen lauseke on ns. betajakauman 1 kertymä B(θ, n r, r +1)pisteessä θ parametrein a = n r ja b = r +1. Näin ollen α =1 B(θ, nθ k nθ(1 θ),n(1 θ)+k nθ(1 θ)) + B(θ, nθ + k nθ(1 θ),n(1 θ) k nθ(1 θ)) ja β = B(θ + θ, nθ k nθ(1 θ),n(1 θ)+k nθ(1 θ)) B(θ + θ, nθ + k nθ(1 θ),n(1 θ) k nθ(1 θ)). Muuttujia pidetään tässä jatkuvina ja oletetaan, että alaraja > (eli nθ k nθ(1 θ) > )ja yläraja < 1 (eli n(1 θ) k nθ(1 θ) > ). Saaduista kahdesta yhtälöstä voidaan ratkaista numeerisesti k ja n, joista jälkimmäinen pyöristetään kokonaisluvuksi yleensä ylöspäin. Toinen tapa olisi kokeilla arvoja n =1, 2,... yksi kerrallaan, ratkaisten α:n avulla k ja laskien saadun k:n avulla β, kunnes saadaan kyllin pieni β. Prosessin aikana voi käydä ilmi, että alaraja itse asiassa onkin tai että yläraja on 1. Silloin suunnittelu on käynnistettävä uudestaan vastaavalle yksipuoliselle p-kartalle. Huomautus. Varsinainen suunnittelun vaikeus on p-kartan kaksipuolisuudessa. Yksipuoliset p-kartat ovat nimittäin huomattavasti helpompia suunnitella, vaikkapa suoralla kokeilulla. Menettely on aivan analoginen ns. attribuuttiotannan suunnittelun kanssa ja asiaan palataan Pykälässä 6.3. p-kartan käynnistys on samantapainen kuin Luvun 1 karttojenkin, ks. Pykälä 1.5. Otoksista lasketaan kelvottomien tuotteiden suhteelliset osuudet p 1,...,p m. θ:n estimaattori on ˆθ = 1 m p i = merk. p. m Jos prosessi on kontrollissa, on E(p) =θ. p-kartan k-rajat ovat ( ) 1 max, p k p(1 p) (alaraja) n ( ) 1 min 1, p + k p(1 p) (yläraja). n 1 Betajakauman tiheysfunktio parametrein a ja b on ja sen kertymäfunktio on g(x) = B(x, a, b) = i=1 Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) xa 1 (1 x) b 1 Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) x ( <x<1) t a 1 (1 t) b 1 dt ( x 1), ns. vajaa betafunktio. Tässä pitää olla a, b >. Maple-ohjelmistossa muuten on betajakauma vain kokonaislukuparametreille mikä ei tässä riitä eikä siinä ole vajaata betafunktiotakaan. Varsinainen betafunktio on B(a, b) = 1 t a 1 (1 t) b 1 dt = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b). Jälkimmäinen yhtäläisyys muuten näytetään kirjoittamalla yhtälö B(a, b)γ(a + b) = Γ(a)Γ(b) kaksinkertaisten integraalien avulla ja tekemällä sopiva muuttujien vaihto.

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 21 Yleensä estimoinnissa käytetty n on suuri. α ja β riippuvat molemmat θ:sta, joten sille on oltava käytettävissä arvio suunniteltaessa p-karttaa estimaattoreita käyttäen. Jos tämä arvio poikkeaa paljon saadusta p:stä, on estimointi tehtävä uudestaan laskien uusi n:n arvo p:n avulla. Ellei tämä lopultakaan onnistu, ei prosessi ole kontrollissa ja se on tarkastettava. Normaalijakaumaapproksimaatiota käyttäen saadaan lasketuksi likimääräinen k:n arvo α:sta. Huomautus. p-kartta ei kaipaa rinnalleen hajontaa valvovaa karttaa, sillä kiinteälle otoskoolle binomijakauma on yksiparametrinen jakauma. Jos liitetään tuotteeseen satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1, mikäli tuote on viallinen, ja muuten arvon, niin sen odotusarvo on θ ja hajonta on θ(1 θ). Välillä <θ<.5 hajonta on siis θ:n aidosti kasvava funktio. 2.3 c-kartta c-karttaa muodostettaessa otetaan otokseen yksi tuote (tai kiinteän kokoinen tuoteryhmä) ja etsitään siinä kaikkiaan olevien vikojen (tai virheiden) lukumäärä c.valmistusprosessin ollessa kontrollissa c:llä oletetaan olevan Poissonin jakauma parametrillä λ, ts. P(c = i) = λi i! e λ (i =, 1,...) ja E(c) =λ sekä V(c) =λ. (ks. peruskurssit). c-kartan keskiviiva on λ:n kohdalla ja k-rajat ovat { max(,λ k λ) (alaraja) λ + k λ (yläraja). Alarajaa ei aina käytetä. Joskus se on kuitenkin ainoa käytetty raja. Usein k =3tai k =3.9. Muodostetaan c-kartalle α ja β. β:a laskettaessa oletetaan prosessin vioittuessa λ:n arvon muuttuvan arvoon λ + λ, missä on tunnettu positiiviluku harvemmin on negatiivinen, jolloin tietysti > 1. Silloin α =1 P(λ k λ<c<λ+ k λ) ja β =P(λ k λ<c<λ+ k λ) saadaan lasketuksi Poissonin jakauman avulla, β:a laskettaessa (λ + λ)i P(c = i) = e λ λ (i =, 1,...). i! c-kartta voidaan suunnitella annetulle α:n tai β:n arvolle kokeilemalla k:n arvoja 1/ λ :n välein. Molempia arvoja α ja β ei voida kiinnittää yhtaikaa, koska otoskoko on kiinteä. Jälleen voidaan käyttää normaalijakauma-approksimaatiota kokeilun apuna. Approksimatiivisesti c:llä on N(λ, λ)-jakauma (ks. peruskurssit) ja α = 2(1 Φ(k)) ja β = Φ ( k ) ( λ k ) λ Φ 1+ 1+

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 22 (vrt. x-kartta ja p-kartta). Toinen tapa tarkan suunnittelun tekemiseksi on käyttää r-kertaisella osittaisintegroinnilla saatavaa kaavaa 1 λ t r e t dt =1 Γ(r +1) r i= λ i i! e λ =P(c>r). Vasemmanpuolen lauseke on gammajakauman kertymä Γ(λ, r +1)pisteessä λ parametrein a = r +1ja b =1(ks. Pykälä 1.3). Silloin α =1 Γ(λ, λ k λ)+γ(λ, λ + k λ) ja β =Γ(λ + λ, λ k λ) Γ(λ + λ, λ + k λ). Muuttujaa pidetään tässä jatkuvina ja oletetaan, että alaraja > (eli λ k λ>). Jommastakummasta yhtälöstä ratkaistaan numeerisesti k. Prosessin aikana voi käydä ilmi, että alaraja itse asiassa onkin. Silloin suunnittelu on käynnistettävä uudestaan vastaavalle yläpuoliselle c-kartalle. Maple-ohjelmistolla laskettaessa käytetään siinä olevaa vajaata gammafunktiota 2. Annetaan suureet ja määritellään α ja β proseduureina: > alpha:=.5; beta:=.1; lambda:=5.5; Delta:=2.5; > alfac:=proc(lambda,k) local a1,a2; a1:=lambda-k*sqrt(lambda); a2:=lambda+k*sqrt(lambda); α :=.5 β :=.1 λ := 5.5 :=2.5 1-(1-GAMMA(a1,lambda)/GAMMA(a1))+(1-GAMMA(a2,lambda)/GAMMA(a2)); end: > betac:=proc(lambda,k,delta) local a1,a2; a1:=lambda-k*sqrt(lambda); a2:=lambda+k*sqrt(lambda); (1-GAMMA(a1,lambda+Delta*lambda)/GAMMA(a1))-(1-GAMMA(a2,lambda+Delta*lambda)/GAMMA(a2)); end: Ratkaistaan sitten ensin k ja lasketaan rajat, kun α on annettu: > k:=fsolve(alfac(lambda,k)=alpha,k=1); alaraja:=lambda-k*sqrt(lambda); ylaraja:=lambda+k*sqrt(lambda); 2 Maple-ohjelmiston vajaa gammafunktio ei ole sama kuin Pykälässä 1.3 esitetty. Maple-ohjelmistossa nimittäin GAMMA(a, z) = t a 1 e t dt. z

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 23 k := 1.99319852 alaraja :=.825535124 ylaraja := 1.17446488 Oikean α:n ja β:n arvon laskemiseksi pyöristetään rajat kokonaisluvuksi, tässä alaraja ylöspäin ja yläraja alaspäin. > oikea alfa =1-add(lambda^i/i!*exp(-lambda),i=ceil(alaraja)..floor(ylaraja)); oikea beta =add((lambda+delta*lambda)^i/i!*exp(-lambda-delta*lambda), i=ceil(alaraja)..floor(ylaraja)); oikea alfa =.29338221 oikea beta =.16963939 Oikea α on siis pienempi kuin aiottu. Ratkaistaan vielä k, kun β on annettu. > k:=fsolve(betac(lambda,k,delta)=beta,k=1); alaraja:=lambda-k*sqrt(lambda); ylaraja:=lambda+k*sqrt(lambda); k := 3.73633957 alaraja := 3.249112153 ylaraja := 14.24911215 Nyt alaraja on reippaasti negatiivinen, joten suunnittelu pitäisi tehdä uudestaan yläpuoliselle valvonnalle eli valita alaraja nollaksi. Vajaa gammafunktio Γ(u, y) on määritelty myös negatiivisille y:n arvoille, paitsi ei kokonaisluvuille. Tästä syystä prosessi voi tuottaa k:n arvon, joka johtaa negatiiviseen alarajaan. c-kartan käynnistys on samantapainen kuin p-kartan. Otoksista lasketaan niihin tulleet vikojen lukumäärät c 1,...,c m. λ:n estimaattori on ˆλ = 1 m m c i = merk. c. i=1 Jos prosessi on kontrollissa, on E(c) =λ. c-kartan k-rajat ovat tällöin { max(, c k c) (alaraja) c + k c (yläraja). Kuten p-kartallekin, α ja β riippuvat λ:sta, joten suunniteltaessa sille on oltava käytettävissä arvio. Normaalijakauma-approksimaatiota voi tässäkin käyttää. Huomautus. p-kartan tavoin c-kartta ei tarvitse rinnalleen hajontaa valvovaa karttaa, sillä Poissonin jakauma on yksiparametrinen jakauma: c:n odotusarvo on λ ja hajonta λ.

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 24 2.4 u-kartta ja epämeriittikartta c-kartta on oikeastaan yksittäisarvokartta. Vastaava otoskartta on ns. u-kartta. u-karttaa laadittaessa otetaan otokseen n tuotetta tai tuoteryhmää ja lasketaan niistä vikojen (virheiden) lukumäärät D 1,...,D n.valmistusprosessin ollessa kontrollissa on kullakin D i :llä Poissonin jakauma parametrillä λ. Summalla D = D 1 + + D n on silloin Poissonin jakauma parametrillä nλ. Tämän toteamiseksi riittää Lause 2.1. Jos riippumattomilla satunnaismuuttujilla D 1 ja D 2 on Poissonin jakaumat parametrein λ 1 ja λ 2 vastaavasti, niin D 1 + D 2 :llä on Poissonin jakauma parametrillä λ 1 + λ 2. Todistus. Lasketaan käyttäen binomikaavaa: l l λ i 1 λ l i P(D 1 + D 2 = l) = P(D 1 = i)p(d 2 = l i) = i! e λ 1 2 (l i)! e λ 2 i= i= = 1 l ( ) l! e λ 1 λ 2 l λ i i 1λ l i 2 = (λ 1 + λ 2 ) l e λ 1 λ 2. l! i= Valvontasuure on vikojen keskimäärä eli u = 1 n (D 1 + + D n )= D n, jolloin E(u) =λ sekä V(u) = 1 n 2 V(D) = 1 n λ. u-kartan keskiviiva on λ:n kohdalla ja k-rajat ovat ( ) λ max,λ k (alaraja) n λ λ + k (yläraja). n Usein käytetään pelkkää ylärajaa, joskus myös pelkkää alarajaa. k:ksi valitaan usein 3 tai 3.9. Muodostetaan u-kartalle α ja β. Kuten c-kartalle, oletetaan β:a laskettaessa, että prosessin vioittuessa λ muuttuu arvoon λ + λ.silloin ( ) λ λ α =1 P λ k n <u<λ+ k =1 P(nλ k nλ<d<nλ+ k nλ ) n ja ( ) λ λ β =P λ k n <u<λ+ k =P(nλ k nλ < D <nλ+ k nλ ) n saadaan Poissonin jakauman avulla, α:a laskettaessa ja β:a laskettaessa P(D = i) = P(D = i) = (nλ)i e nλ i! (n(1 + )λ)i e n(1+ )λ. i!

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 25 Jälleen α on kutakuinkin vakio n:n suhteen, johtuen Keskeisestä raja-arvolauseesta ja siitä, että Poissonin jakauma on itsessään approksimoitavissa normaalijakaumalla. u-kartan suunnittelu on samantapaista kuin p-kartan. Ensinnäkin voidaan käyttää normaalijakauma-approksimaatiota, joka tässä tuottaa yleensä varsin hyvän tuloksen. Approksimatiivisesti D:llä on N(nλ, nλ)-jakauma ja α = 2(1 Φ(k)) sekä (vrt. c-kartta) β = Φ ( k ) ( nλ k ) nλ Φ. 1+ 1+ Kun approksimatiiviset k:n ja n:n arvot on saatu, voidaan tarvittaessa tarkempikin suunnittelu suorittaa kokeilemalla lähistöllä olevat k:n ja n:n arvoyhdelmät. Huomaa, että kun n:n arvo on kiinteä, k:lle riittää tällöin katsoa arvoja 1/ nλ :n välein. Toisaalta suunnitteluun voidaan käyttää gammajakaumaa kuten c-kartalle. Tällöin (kirjoitetaan vain λ:n tilalle nλ) α =1 Γ(nλ, nλ k nλ)+γ(nλ, nλ + k nλ) ja β =Γ(n(1+ )λ, nλ k nλ) Γ(n(1 + )λ, nλ + k nλ). Jälleen pidetään muuttujia jatkuvina ja oletetaan, että alaraja > (eli nλ k nλ > ). Mapleohjelmistolla laskettaessa menetellään kuten c-karttaa suunniteltaessa paitsi, että nyt ratkaistaan myös otoskoko n. > alpha:=.5; beta:=.5; lambda:=5.5; Delta:=1.; > alfau:=proc(lambda,k,n) local a1,a2; a1:=n*lambda-k*sqrt(n*lambda); a2:=n*lambda+k*sqrt(n*lambda); α :=.5 β :=.5 λ := 5.5 :=1. 1-(1-GAMMA(a1,n*lambda)/GAMMA(a1))+(1-GAMMA(a2,n*lambda)/GAMMA(a2)); end: > betau:=proc(lambda,k,n,delta) local a1,a2; a1:=n*lambda-k*sqrt(n*lambda); a2:=n*lambda+k*sqrt(n*lambda); (1-GAMMA(a1,n*lambda+Delta*n*lambda)/GAMMA(a1))- (1-GAMMA(a2,n*lambda+Delta*n*lambda)/GAMMA(a2)); end: > ratkaisu:=fsolve({alfau(lambda,k,n)=alpha,betau(lambda,k,n,delta)=beta},{k=1,n=1}); assign(ratkaisu); ratkaisu := {k = 1.96871628,n = 3.5457956}

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 26 > n:=floor(n); alaraja:=lambda-k*sqrt(lambda/n); ylaraja:=lambda+k*sqrt(lambda/n); n := 3 alaraja := 2.834345653 ylaraja := 8.165654347 > oikea alfa =1-add((n*lambda)^i/i!*exp(-n*lambda), i=ceil(n*alaraja)..floor(n*ylaraja)); oikea beta =add((n*(1+delta)*lambda)^i/i!*exp(-n*(1+delta)*lambda), i=ceil(n*alaraja)..floor(n*ylaraja)); oikea alfa =.47135667 oikea beta =.6418114235 Tässä katsotaan saatu oikea β hyväksyttäväksi, vaikka se on vähän isompi kuin haluttu.5. β:n saaminen pienemmäksi olisi edellyttänyt otoskokoa n =4, joka nostaa kustannuksia. Koska u-kartan n on yleensä pienehkö, voitaisiin myös kokeilla peräkkäin arvoja n =1, 2,... ratkaisten k joka siis pysyy melkein vakiona kunnes saadaan tarpeeksi pieni β. u-kartta käynnistetään samaan tapaan kuin esimerkiksi p-kartta. Epämeriittikartta on u-kartan yleistys, missä tuotteesta (tai tuoteperheestä) havaitut viat voidaan jakaa useampaan luokkaan niiden vakavuudesta riippuen. Jos luokat on numeroitu 1:stä L:ään, niin saadaan vastaavat vikojen lukumäärät D (j) i (i =1,...,n; j =1,...,L). Kiinteälle j:lle oletetaan D (j) i :llä olevan Poissonin jakauma parametrillä λ j.vikojen vakavuusasteet otetaan huomioon käyttämällä (positiivisia) painokertoimia ω 1,...,ω L.Valvontasuure on silloin d = 1 n n i=1 L j=1 ω j D (j) i. Kun kirjoitetaan d muotoon d = L j=1 ω j n ( n havaitaan, että se on Poisson-jakautuneiden (riippumattomien) satunnaismuuttujien lineaariyhdelmä, summalla n i=1 D(j) i on Poissonin jakauma parametrillä nλ j. Tästä saadaan suoraan E(d) = i=1 D (j) i L ω j λ j ja V(d) = j=1 ), L j=1 ω 2 j n λ j. Epämeriittikartan k-rajat ovat näin ollen L max, ω j λ j k L j=1 j=1 L ω j λ j + k L ωj 2 n λ j j=1 j=1 ω 2 j n λ j (alaraja) (yläraja). Valitettavasti epämeriittikartan d:n jakauma on melko vaikealaskuinen. Näin ollen α:n ja β:n laskeminen sekä kartan suunnittelu ovat sangen hankalia. Usein käytetäänkin vain 3-rajoja tai 3.9-rajoja ja jotain sopivaa (pientä) otoskokoa n. Seuraavassa taulussa on eräs usein esiintyvä luokittelu ja vastaavat painot.

LUKU 2. SHEWHARTIN ATTRIBUUTTIKARTAT 27 luokka vian laatu painokerroin parametri 1 erittäin vakava ω 1 = 1 λ 1 2 vakava ω 2 =5 λ 2 3 melko vakava ω 3 =1 λ 3 4 vähäinen ω 4 =1 λ 4

Luku 3 LIUKUMAKARTAT 3.1 Yleistä Shewhartin kartat reagoivat varsin nopeasti äkkinäiseen prosessin muutokseen, mutta sen sijaan melko hitaasti verkkaiseen muutokseen eli liukumaan. Liukumien valvontaan tarvitaankin omat karttatyyppinsä. Niille on ominaista, että ne ovat summaavia tai integroivia, ts. kartat kumuloivat muutosta niin kauan, että hälytys tapahtuu. Liukumakartat toimivat usein hyvin jo otoskoolla n =1,joten ne sopivat hyvin yksittäisarvojenkin valvontaan vrt. Pykälä 1.6. 3.2 CUSUM-kartta CUSUM-kartta käyttää kerralla kaikkia valvontaotoksia. n:n suuruisista otoksista mitataan jokin otossuure y ja merkitään E(y) =m ja V(y) =v 2. Jos siis esimerkiksi y = x (otoskeskiarvo), niin m = µ ja v = σ/ n.näin saadaan r:n otoksen otoksen jälkeen arvot y 1,...,y r. CUSUM-karttaa varten valitaan ns. vertailuarvot k ± ja muodostetaan rekursiivisesti kumulatiiviset summat { C r + = max(,y r k + + C r 1) + = min(,y r k + Cr 1), C r missä C + = C =. Usein käytetään vain toista kumulatiivista summaa, C r + :a yläpuoliseen valvontaan ja Cr :ta alapuoliseen. Jos C r + on positiivinen ja kasvaa, niin sen keskimääräinen kulmakerroin r:n funktiona on m k +.Vastaavasti, jos Cr on negatiivinen ja vähenee. Kuten Shewhartin kartatkin CUSUM-kartta saadaan piirtämällä C r + ja/tai Cr r:n funktiona. Päätös siitä onko prosessi kontrollissa vai ei, tehdään syntyvän kuvion perusteella. Katsotaan eri tapaukset: 1. Yläpuolinen valvonta: Valitaan vertailuarvo k + >m. Eräs valintasääntö on seuraava: Jos prosessin vioittuminen nostaa odotusarvon arvoon m + δ +, niin valitaan k + = m + δ + /2. Eräs usein esiintyvä valinta on δ + = v. Karttaa laaditaan, kun C r + >. Aina kun C r + =, kartan laatiminen lopetetaan ja sitä jatketaan vasta, kun taas y r k + >. Tämä säästää vaivaa. Hälytys tapahtuu, kun C r + h +, missä h + on sopivasti valittu positiivinen vakio. Prosessin ollessa kontrollissa on m k + <, joten C r + pyrkii pysyttelemään nollana eikä karttaa tarvitse laatia jatkuvasti. Väli [,h + ] on ns. päätäntäväli. Usein valitaan h + =4v tai h + =5v. 28