Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1) 0 a i 9 kaikilla i = 0, 1,..., s ja a s > 0. Jaollisuussäännöt luvuille 2, 5 ja 10 saadaan kaavasta (1) Jaollisuuslauseen 1.2. avulla. Muista, että jos n a ja n b, niin n (ka + lb) kaikilla k, l Z.
Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1) 0 a i 9 kaikilla i = 0, 1,..., s ja a s > 0. Jaollisuussäännöt luvuille 2, 5 ja 10 saadaan kaavasta (1) Jaollisuuslauseen 1.2. avulla. Muista, että jos n a ja n b, niin n (ka + lb) kaikilla k, l Z.
1. jaollisuuslause Lause (1. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen 1 luvulla 2 (eli parillinen) jos ja vain jos a 0 on jaollinen luvulla 2 eli jos ja vain jos a 0 {0, 2, 4, 6, 8}, 2 luvulla 5 jos ja vain jos a 0 = 0 tai a 0 = 5, 3 luvulla 10 jos ja vain jos a 0 = 0. Todistus. Lause 1.2 (3).
1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = 1030 + 5 on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku 40036 = 40030 + 6 on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.
1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = 1030 + 5 on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku 40036 = 40030 + 6 on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.
1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = 1030 + 5 on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku 40036 = 40030 + 6 on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.
1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = 1030 + 5 on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku 40036 = 40030 + 6 on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.
1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = 1030 + 5 on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku 40036 = 40030 + 6 on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.
1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = 1030 + 5 on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku 40036 = 40030 + 6 on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.
Lohkaisuperiaate Onko luku n N jaollinen luvulla t N? Etsitään luvut k, l N, jolle n = l + k ja t l. (2) Lukua l sanotaan lohkaisutermiksi ja lukua k kriittiseksi termiksi. Jaollisuuslauseen 1.2. perusteella n on jaollinen luvulla t jos ja vain jos t k. Käyttökelpoinen esimerkiksi silloin, kun t on jonkin kymmenen potenssin 10, 100, 1000,... tekijä.
Lohkaisuperiaate Onko luku n N jaollinen luvulla t N? Etsitään luvut k, l N, jolle n = l + k ja t l. (2) Lukua l sanotaan lohkaisutermiksi ja lukua k kriittiseksi termiksi. Jaollisuuslauseen 1.2. perusteella n on jaollinen luvulla t jos ja vain jos t k. Käyttökelpoinen esimerkiksi silloin, kun t on jonkin kymmenen potenssin 10, 100, 1000,... tekijä.
Lohkaisuperiaate Onko luku n N jaollinen luvulla t N? Etsitään luvut k, l N, jolle n = l + k ja t l. (2) Lukua l sanotaan lohkaisutermiksi ja lukua k kriittiseksi termiksi. Jaollisuuslauseen 1.2. perusteella n on jaollinen luvulla t jos ja vain jos t k. Käyttökelpoinen esimerkiksi silloin, kun t on jonkin kymmenen potenssin 10, 100, 1000,... tekijä.
Lohkaisuperiaate Onko luku n N jaollinen luvulla t N? Etsitään luvut k, l N, jolle n = l + k ja t l. (2) Lukua l sanotaan lohkaisutermiksi ja lukua k kriittiseksi termiksi. Jaollisuuslauseen 1.2. perusteella n on jaollinen luvulla t jos ja vain jos t k. Käyttökelpoinen esimerkiksi silloin, kun t on jonkin kymmenen potenssin 10, 100, 1000,... tekijä.
2. jaollisuuslause Lause (2. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 4 jos ja vain jos luku a 1 a 0 on jaollinen luvulla 4. Todistus. 4 100 ja Lause 1.2 (3). Esimerkki Luvut 324 ja 2008 ovat jaollisia luvulla 4. Luvut 941 ja 2011 eivät ole jaollisia luvulla 4.
2. jaollisuuslause Lause (2. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 4 jos ja vain jos luku a 1 a 0 on jaollinen luvulla 4. Todistus. 4 100 ja Lause 1.2 (3). Esimerkki Luvut 324 ja 2008 ovat jaollisia luvulla 4. Luvut 941 ja 2011 eivät ole jaollisia luvulla 4.
3. ja 4. jaollisuuslause Lause (3. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 50 jos ja vain jos a 1 = 0 ja a 0 = 0 tai a 1 a 0 = 50. Luku n on jaollinen luvulla 25 jos ja vain jos a 1 = 0 ja a 0 = 0 tai a 1 a 0 {25, 50, 75}. Lause (4. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 8 jos ja vain jos luku a 2 a 1 a 0 on jaollinen luvulla 8.
3. ja 4. jaollisuuslause Lause (3. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 50 jos ja vain jos a 1 = 0 ja a 0 = 0 tai a 1 a 0 = 50. Luku n on jaollinen luvulla 25 jos ja vain jos a 1 = 0 ja a 0 = 0 tai a 1 a 0 {25, 50, 75}. Lause (4. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 8 jos ja vain jos luku a 2 a 1 a 0 on jaollinen luvulla 8.
Esimerkki Luvut 10550 ja 2300 ovat jaollisia sekä luvulla 50 että luvulla 25. Luku 1205 ei ole jaollinen luvulla 25 eikä luvulla 50. Luvut 4032 ja 1160 ovat jaollisia luvulla 8, mutta 8 2111. Onko lukujen 14105 ja 25055 summa jaollinen luvulla 8? Riittää tarkastella summan kolmea viimeistä numeroa eli lukua 105 + 55 = 160. Koska 160 = 20 8, niin 8 (14105 + 25055).
Esimerkki Luvut 10550 ja 2300 ovat jaollisia sekä luvulla 50 että luvulla 25. Luku 1205 ei ole jaollinen luvulla 25 eikä luvulla 50. Luvut 4032 ja 1160 ovat jaollisia luvulla 8, mutta 8 2111. Onko lukujen 14105 ja 25055 summa jaollinen luvulla 8? Riittää tarkastella summan kolmea viimeistä numeroa eli lukua 105 + 55 = 160. Koska 160 = 20 8, niin 8 (14105 + 25055).
Esimerkki Luvut 10550 ja 2300 ovat jaollisia sekä luvulla 50 että luvulla 25. Luku 1205 ei ole jaollinen luvulla 25 eikä luvulla 50. Luvut 4032 ja 1160 ovat jaollisia luvulla 8, mutta 8 2111. Onko lukujen 14105 ja 25055 summa jaollinen luvulla 8? Riittää tarkastella summan kolmea viimeistä numeroa eli lukua 105 + 55 = 160. Koska 160 = 20 8, niin 8 (14105 + 25055).
Esimerkki Luvut 10550 ja 2300 ovat jaollisia sekä luvulla 50 että luvulla 25. Luku 1205 ei ole jaollinen luvulla 25 eikä luvulla 50. Luvut 4032 ja 1160 ovat jaollisia luvulla 8, mutta 8 2111. Onko lukujen 14105 ja 25055 summa jaollinen luvulla 8? Riittää tarkastella summan kolmea viimeistä numeroa eli lukua 105 + 55 = 160. Koska 160 = 20 8, niin 8 (14105 + 25055).
5. jaollisuuslause Entäpä jaollisuus luvuilla 3 ja 9? Lohkaisutermi saadaan kolmella ja yhdeksällä jaollisten lukujen 9 = 10 1, 99 = 100 1, 999 = 1000 1,... avulla, esimerkiksi 2481 = 2(999 + 1) + 4(99 + 1) + 8(9 + 1) + 1 = (2 999 + 4 99 + 8 9) + (2 + 4 + 8 + 1) = (2 999 + 4 99 + 8 9) + 15. Koska 3 15 ja 9 15, niin 2481 on jaollinen luvulla 3 mutta ei luvulla 9.
5. jaollisuuslause Entäpä jaollisuus luvuilla 3 ja 9? Lohkaisutermi saadaan kolmella ja yhdeksällä jaollisten lukujen 9 = 10 1, 99 = 100 1, 999 = 1000 1,... avulla, esimerkiksi 2481 = 2(999 + 1) + 4(99 + 1) + 8(9 + 1) + 1 = (2 999 + 4 99 + 8 9) + (2 + 4 + 8 + 1) = (2 999 + 4 99 + 8 9) + 15. Koska 3 15 ja 9 15, niin 2481 on jaollinen luvulla 3 mutta ei luvulla 9.
5. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvuilla 3 ja 9 jaollinen summa a s (10 s 1) + + a 1 9, niin kriittinen termi on luvun n = a s a s 1... a 0 = a s (10 s 1 + 1) + + a 1 (9 + 1) + a 0, numerosumma a s + a s 1 + + a 0.
5. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvuilla 3 ja 9 jaollinen summa a s (10 s 1) + + a 1 9, niin kriittinen termi on luvun n = a s a s 1... a 0 = a s (10 s 1 + 1) + + a 1 (9 + 1) + a 0, numerosumma a s + a s 1 + + a 0.
5. jaollisuuslause Lause (5. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 3 (9) jos ja vain jos sen numerosumma on jaollinen luvulla 3 (9). Esimerkki Luvun 3006 numerosumma on 3 + 6 = 9, joten 3006 on jaollinen luvuilla 3 ja 9 Luvun 12345 numerosumma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 on jaollinen luvulla 3, mutta ei luvulla 9. Siten 3 12345 ja 9 12345
5. jaollisuuslause Lause (5. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 3 (9) jos ja vain jos sen numerosumma on jaollinen luvulla 3 (9). Esimerkki Luvun 3006 numerosumma on 3 + 6 = 9, joten 3006 on jaollinen luvuilla 3 ja 9 Luvun 12345 numerosumma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 on jaollinen luvulla 3, mutta ei luvulla 9. Siten 3 12345 ja 9 12345
6. jaollisuuslause Entäpä jaollisuus luvulla 11? Lohkaisutermi saadaan luvulla 11 jaollisten lukujen 11 = 10 + 1, 99 = 100 1, 1001 = 1000 1,... avulla, esimerkiksi 2849 = 2 (1001 1) + 8 (99 + 1) + 4 (11 1) + 9 = (2 1001 + 8 99 + 4 11) + ( 2 + 8 4 + 9) = (2 1001 + 8 99 + 4 11) + 11 Koska 11 11, niin 2849 on jaollinen luvulla 11.
6. jaollisuuslause Entäpä jaollisuus luvulla 11? Lohkaisutermi saadaan luvulla 11 jaollisten lukujen 11 = 10 + 1, 99 = 100 1, 1001 = 1000 1,... avulla, esimerkiksi 2849 = 2 (1001 1) + 8 (99 + 1) + 4 (11 1) + 9 = (2 1001 + 8 99 + 4 11) + ( 2 + 8 4 + 9) = (2 1001 + 8 99 + 4 11) + 11 Koska 11 11, niin 2849 on jaollinen luvulla 11.
6. jaollisuuslause Kun a, b Z ja m N, niin a m b m = (a b)(a m 1 + a m 2 b + + ab m 2 + b m 1 ). Valitsemalla a = 10 ja b = 1, nähdään, että luku on jaollinen luvulla 11. 10 m ( 1) m Koska ( 1) m = 1 parittomilla m ja ( 1) m = 1 parillisilla m, niin luvut ovat jaollisia luvulla 11. 10 m + 1, kun m on pariton 10 m 1, kun m on parillinen
6. jaollisuuslause Kun a, b Z ja m N, niin a m b m = (a b)(a m 1 + a m 2 b + + ab m 2 + b m 1 ). Valitsemalla a = 10 ja b = 1, nähdään, että luku on jaollinen luvulla 11. 10 m ( 1) m Koska ( 1) m = 1 parittomilla m ja ( 1) m = 1 parillisilla m, niin luvut ovat jaollisia luvulla 11. 10 m + 1, kun m on pariton 10 m 1, kun m on parillinen
6. jaollisuuslause Kun a, b Z ja m N, niin a m b m = (a b)(a m 1 + a m 2 b + + ab m 2 + b m 1 ). Valitsemalla a = 10 ja b = 1, nähdään, että luku on jaollinen luvulla 11. 10 m ( 1) m Koska ( 1) m = 1 parittomilla m ja ( 1) m = 1 parillisilla m, niin luvut ovat jaollisia luvulla 11. 10 m + 1, kun m on pariton 10 m 1, kun m on parillinen
6. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvulla 11 jaollinen summa niin kriittinen termi on luvun a s (10 s ( 1) s ) + + a 2 99 + a 1 11, n = a s (10 s ( 1) s +( 1) s )+ +(99+1)a 2 +a 1 (11 1)+a 0, vuorotteleva numerosumma a 0 a 1 + a 2 + ( 1) s a s. Huomaa, että vuorottelevan numerosumman laskeminen kannattaa aloittaa termistä a 0!
6. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvulla 11 jaollinen summa niin kriittinen termi on luvun a s (10 s ( 1) s ) + + a 2 99 + a 1 11, n = a s (10 s ( 1) s +( 1) s )+ +(99+1)a 2 +a 1 (11 1)+a 0, vuorotteleva numerosumma a 0 a 1 + a 2 + ( 1) s a s. Huomaa, että vuorottelevan numerosumman laskeminen kannattaa aloittaa termistä a 0!
6. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvulla 11 jaollinen summa niin kriittinen termi on luvun a s (10 s ( 1) s ) + + a 2 99 + a 1 11, n = a s (10 s ( 1) s +( 1) s )+ +(99+1)a 2 +a 1 (11 1)+a 0, vuorotteleva numerosumma a 0 a 1 + a 2 + ( 1) s a s. Huomaa, että vuorottelevan numerosumman laskeminen kannattaa aloittaa termistä a 0!
6. jaollisuuslause Lause (6. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 11 jos ja vain jos sen vuorotteleva numerosumma on jaollinen luvulla 11. Esimerkki 11 641045 sillä vuorotteleva numerosumma 5 4 + 0 1 + 4 6 = 2 ei ole jaollinen luvulla 11. 11 2020909 sillä vuorotteleva numerosumma 9 0 + 9 0 + 2 0 + 2 = 22 on jaollinen luvulla 11.
6. jaollisuuslause Lause (6. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 11 jos ja vain jos sen vuorotteleva numerosumma on jaollinen luvulla 11. Esimerkki 11 641045 sillä vuorotteleva numerosumma 5 4 + 0 1 + 4 6 = 2 ei ole jaollinen luvulla 11. 11 2020909 sillä vuorotteleva numerosumma 9 0 + 9 0 + 2 0 + 2 = 22 on jaollinen luvulla 11.