LAB 6 MEKANIIKAN ENERGIAPERIAATE 1

DFCL3 Ryhmä 12: Hietala, Stolt, Torkkola LAB 6 MEKANIIKAN ENERGIAPERIAATE 1 Raportti Tämän työkokonaisuuden tarkoitus on hahmottaa kappaleiden liikeilmiöissä toteutuva mekaanisen energian säilymisen periaate. Liikeilmiöistä tarkastelu rajataan vain etenevään liikkeeseen. Esitys alkaa säilymisen hahmottamisella. Liike- ja potentiaalienergian hahmottamisen kautta siirrytään mekaanisen energian lajien kvantifiointiin. Aluksi pitäydytään tilanteisiin, joissa vuorovaikutuksen toisena osapuolena on Maa, jolloin voidaan tarkastella kappaletta ja siihen kohdistuvia voimia ikään kuin vuorovaikutuksen toinen osapuoli eli Maa ei kokisi vaikutuksia lainkaan. Vihdoin kuitenkin hahmotetaan potentiaalienergiaa vuorovaikutuksen energiana. Työ liike-energian muutoksena otetaan käyttöön ja tarkastellaan kokeita, joissa voidaan puhua voiman tekemästä työstä tai työstä voimaa vastaan. Lopuksi kokeillaan mekaanisen koneen periaatetta, työtä energian siirtona. 1. Säilymisen hahmottaminen Tarkoituksena on hahmottaa jotakin säilyvää, joka ei kuitenkaan ole muuttumattoman liikeilmiön säilyvyyttä vaan tulee esiin kappaleen liikkeen toistuvuuden kautta. 1a. Heiluri Heilurissa toteutuu toistuva liike, joka ei ole tasaista. Heilurilla on ikään kuin kyky tuottaa nopeutensa samassa paikassa aina samanlaisena. Tämä on se kyky, jonka säilymistä pyritään tässä hahmottamaan. Tarvitaan mieluimmin painava punnus pitkän (2-3 m) langan päässä, langan liikkeen rajoittimia, jotka ovat tukevia ja vankkumattomia, taustapahvi tai esim. pitkä penkki punnuksen korkeuden hahmottamiseksi heilahduksen eri vaiheissa. Mitä pitempi on heilurin varsi, sitä pienemmällä heilahduskulmalla saadaan laaja liike ja sitä paremmin näkyy ero nopeuksissa heilahduksen ylimmän ja alimman aseman välillä. Koska heilahtelu kuitenkin vaimenee, pelkän katselun lisäksi voi toki ottaa videokuvaa heilahtelusta ja tutkia sitä. Tällöin kuitenkin välittömän havaitsemisen vakuuttavuus katoaa. 1

Esteiden tarkoitus on johdattaa ajatusta siihen suuntaan, että tässä ei ole tärkeää heilahdusliikkeen symmetria vaan nousukorkeus. Punnus saavuttaa saman korkeuden radan muodosta riippumatta. Mitä raskaampi punnus on, sitä tukevampia rajoittimia tarvitaan. Havaitaan, että punnus saavuttaa suurimman nopeutensa heilahduksen ala-asennossa ja että sen hetkellinen nopeus on ylimmässä asemassa nolla. Koska tämä toistuu, jotain heilahdusilmiössä säilyy. Se on punnuksen kykyä saavuttaa aina samassa paikassa sama vauhti, vain liikkeen suunta muuttuu. Tässä työssä kuitenkin havaitaan tämä säilyminen karkeasti: ala-asemassa nopeus on suurimmillaan ja yläasemassa punnus näyttää pysähtyvän. Kutsutaan sitä, mikä säilyy, yleisesti energiaksi ja yläasemassa potentiaalienergiaksi ja ala-asemassa liike-energiaksi. 1b. Jousella Maahan kytketty vaunu Kun kappale kiinnitetään lujasti jousen välityksellä ilmatyynyradan toiseen päähän ja puristetaan jousta ja päästetään kappale irti, saadaan esiin toistuva värähdysliike, jossa nopeus muuttuu sitä mukaa kuin kappaleen paikka muuttuu. Tilanne vastaa heilurin liikettä. Vuorovaikutus, joka saa aikaan muutokset liikkeessä, on kuitenkin selvemmin havaittavissa. UÄ-anturi Kuva 1b.1 Ilmatyynyradalla on lähes olematon kitka, joten värähtely ei silmin havaittavasti vaimene muutamien sekuntien aikana. Havaitaan siis, että liikkeessä näyttää jotakin toistuvan ja ehkä säilyvän: kappaleen saavuttaa toistuvasti saman paikan ja nopeus näyttää riippuvan kappaleen paikasta (aivan kuten heilurin tapauksessa). Mitataan ultraäänianturin avulla kappaleen nopeutta paikan ja ajan funktiona sekä paikkaa ajan funktiona. Saadaan kuvan 1b.2 kaltaisia tuloksia. Viereen on vertailun vuoksi asetettu kuvaaja heilahdusliikkeestä, jossa mukana on selvä vaimennus: hankaus ilmatyynyrataa vastaan. Nopeus ajan funktiona ilman vaimennusta Nopeus ajan funktiona vaimennuksella,6,4,2, -,2 -,4 -,6 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Aika, s,4,2, -,2 -,4 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Aika, s Kuva 1b.2 Kuvaajat ovat samanlaiset, kun y-akselille on asetettu kappaleen asema. Niissä vaimentuminen näkyy heilahduksen laajuuden pienenemisenä. Vertailemalla näitä kuvaajia voidaan havaita asia, joka paljastuu yhdellä silmäyksellä kuvasta 1b.3: samassa paikassa kappaleen nopeuden itseisarvo on (likimain) sama. 2

Nopeus paikan funktiona ilman vaimennusta Nopeus paikan funktiona vaimennuksella,4,4,2,2,, -,2 -,2 -,4 -,8 -,6 -,4 -,2,,2,4,6,8 Kappaleen etäisyys tasapainoasemasta, m -,4 -,7 -,5 -,3 -,1,1,3,5,7 Kappaleen etäisyys tasapainoasemasta, m Kuva 1b.3 Tasapainoasema on se kappaleen radan kohta, missä jousen kappaleeseen kohdistama voima on pienimmillään (nolla). Kun siitä poiketaan, jousi kohdistaa kappaleeseen voiman kohti tasapainoasemaa. Nopeuden itseisarvo näyttää olevan likimain sama kussakin kohdassa, värähdyksestä toiseen. Voidaan päätellä, että tässä tilanteessa kappaleella on ominaisuus saavuttaa tietyssä paikassa aina sama vauhti, kunhan vaimennus jätetään pois laskuista. Siellä missä nopeus on suurin, energia on kappaleen liike-energiana, ja siellä, missä nopeus on nolla, energia on kokonaan jousen puristukseen tai venytykseen varastoitunutta, jolloin kappaleella sanotaan olevan potentiaalienergiaa. Kuvassa 1b.4 on vielä esitetty yksi värähdys, josta erottuu lukuarvoja myöten mainitun säilymisen hahmo.,4 Nopeus paikan funktiona ilman vaimennusta. Ensimmäinen värähdys.,2 Nopeus, m/s, -,2 -,4 -,8 -,6 -,4 -,2,,2,4,6,8 Paikan etäisyys tasapainoasemasta, m Kuva 1b.4 3

2. Galilein energialaki Ryhdytään tutkimaan painovoiman alaista liikettä. Kun potentiaali- ja liike-energian hahmot ovat käytössä, aloitetaan matka kohti energian lajien kvantifiointia tarkastelemalla niiden suureiden riippuvuutta, joiden muutoksesta säilymisen hahmo paljastui, siis nopeuden ja paikan riippuvuutta. Aloitetaan heilurista. Siinä keskitytään liikkeen ääriasemien tutkimiseen. Heilurityö 2a kytkeytyy suoranaisesti hahmottavaan työhön 1a. Muut (2b ja 2c) ovat vertailutöitä, joiden avulla varmistutaan, että 2a:ssa löydettävä verrannollisuus on riippumaton kappaleen liikeradasta. 2a) Heiluri Kuvan 2a.1 mukaisella laitteistolla mitataan punnuksen nopeus valoportin avulla ja pudotuskorkeus näppärällä vaaka-anturilla. Vakaa heilahdus saadaan ripustamalla punnus narulla v -asentoon. Näin vältytään valoportin kolhiutumiselta. h v Kuva 2a.1 Päästetään punnus tietyltä korkeudelta heilumaan ja mitataan nopeus ala-asennossa, siinä kohtaa, jossa ajatellaan heilurilla olevan vain liike-energiaa. Toistetaan koe useilla eri pudotuskorkeuksilla. Tutkitaan nopeuden ja pudotuskorkeuden riippuvuutta. Havaitaan, että pudotuskorkeus on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Kuva 2a.2 esittää yhden mittaussarjan tulokset. Siinä verrannollisuussuoran kulmakerroin poikkeaa hieman teoreettisesta arvosta (2g), mikä johtunee pudotuskorkeuden mittaamisessa tapahtuneista virheistä. Käyttämässämme laitteistossa punnus oli sylinterin muotoinen, joten painopisteen paikan väärä arvio riittää aiheuttamaan mainitun poikkeaman. Nopeus 2 v 2,(m/s) 2 Kuva 2a.2 Nopeuden neliö pudotuskorkeuden funktiona 1 v 2 = 2,7h,8,6,4,2,1,2,3,4,5,6 Pudotuskorkeus h,m 4

2b) Putoaminen kaltevaa rataa myöten Vaikka kaltevalla tasolla liukuvan kappaleen liike ei olekaan toistuvaa liikettä, jonka kautta säilymisen hahmo saavutettiin, voimme ajatella, että siinä tapahtuva nopeuden ja paikan muutos on osa liikettä, jossa kappale säilyttää kykynsä tuottaa tietty nopeus tietyssä paikassa. Ilmatyynyrata kallistettuna tarjoaa laitteen, jossa kappale pääsee liukumaan lähes kitkatta, joten kappaleesta ei siirry mitään ympäristöön (Kuva 2b.1, kallistus liioiteltu). s ÿ h Kuva 2b.1 Ilmatyynyradan kallistuskulmat tehdyissä mittauksissa olivat muutaman asteen luokkaa. Kallistuksen suuruus määritettiin asettamalla ilmatyynyradan toisen pään jalkojen alle tietyn korkuisia metallilieriöitä. Koska jalkojen etäisyys tunnetaan, saadaan yhdenmuotoisista kolmioista selville, kuinka suuri on pudotuskorkeus h, kun liukumismatka s tunnetaan. Liukumismatkaa ja nopeutta mitataan ultraäänianturilla, jolloin yksi liukuminen tarjoaa kattavan sarjan tuloksia nopeuden ja pudotuskorkeuden riippuvuuden tutkimiseksi yhtä kaltevuutta kohden. Kuvassa 2b.2 esitetyt tulokset on saatu hiukan alle kolmen asteen kallistuskulmalla. Taas havaitaan, että kappaleen saavuttaman nopeuden neliö on suoraan verrannollinen pudotuskorkeuteen, v 2 =kh. Tällä kertaa riippuvuussuoran fysikaalinen kulmakerroin on jo lähempänä arvoa 2g kuin heilurin tapauksessa. Muilla kaltevuuksilla tehdyt vastaavat mittaukset antavat aiheen olettaa, että kaltevan tason jyrkkyys ei vaikuta tähän riippuvuuteen. Nopeuden neliö pudotuskorkeuden funktiona kaltevalla tasolla,5 Nopeus 2,45 v 2,(m/s) 2,4 v 2 = 19,8h,35,3,25,2,15,1,5,,,5,1,15,2,25 Pudotuskorkeus h, m Kuva 2b.2 5

2c) Vapaa putoaminen Ääritapauksena kaltevasta tasosta on vapaa putoaminen. Liike tapahtuu painovoiman suunnassa. Kun mitataan putoavan kappaleen nopeutta sen putoaman matkan funktiona, havaitaan sama riippuvuus kuin edellä, v 2 =kh, ks. Kuva 2c.1. Kulmakerroin näyttää olevan lähellä arvoa, joka saatiin edellisissäkin töissä. Nopeus 2 v 2,(m/s) 2 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, Nopeuden neliö pudotuskorkeuden funktiona vapaassa pudotuksessa v 2 = 2,5h,,,5,1,15,2,25,3,35,4 Pudotuskorkeus h, m Kuva 2c.1 Tehdyt kolme koesarjaa antavat tukea olettamukselle, että painovoiman alainen liike noudattaa radan muodosta riippumatonta lakia, jonka mukaan kappaleen nopeuden neliö on suoraan verrannollinen lähtöaseman ja senhetkisen aseman korkeuseroon. Verrannollisuuskerroin k on (Maan pinnalla) aina sama. Vapaan putoamisliikkeen yhtälöistä voidaan johtaa kertoimelle arvo k=2g. Yhtälö v 2 =kh liittää yhteen kappaleen saavuttaman nopeuden ja pudotuskorkeuden (matkan, jonka kappale on pudonnut levosta lähdettyään). Heilurin tapauksessa tutkittiin edellä ainoastaan kappaleen liikkeen ääriasemia, joista toisessa kappaleella on vain potentiaalienergiaa E p, toisessa liike-energiaa E k. Säilymisen ajatuksen nojalla nämä ovat yhtä suuret: E p = E k. Näiden suuruus voidaan kytkeä niihin suureisiin, joiden muutoksen ja palautumisen kautta säilyminen havaittiin. Potentiaalienergia on silloin verrannollinen pudotuskorkeuteen E p ~h (ja E p ~2gh) eli E p =K2gh. Liike-energia on vastaavasti verrannollinen nopeuden neliöön eli E k ~v 2. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan tuo sama K, koska E p =K2gh=Kv 2 =E p =E k ; siis: E k =Kv 2. Kaltevan tason ja vapaan putoamisen yhteydessä tehdyt mittaukset antavat empiiristä tukea ajatukselle, että säilyminen on voimassa myös silloin, kun ei voida osoittaa selviä liikkeen ääriasemia tai kun liikkeellä on alkunopeus. Nopeuden neliön ja pudotuskorkeuden sijaan puhutaan silloin nopeuden neliön muutoksesta v 2 ja vastaavasta korkeuden muutoksesta z. Löydetty verrannollisuus on silloin voimassa kappaleen radan jokaisen kahden kohdan osalta, v 2 =-2g z. Kun radan yhden kohdan nopeus ja korkeus kiinnitetään, saadaan muille radan kohdille v 2 +2gz=vakio, eli jotakin, mikä säilyy. Tämä johdattaa mekaanisen energian käsitteeseen potentiaali- ja liike-energian summana. 6

3. Mekaanisen energian kvantifiointi Seuraavien töiden tarkoitus on selvittää, mikä on massan osuus kappaleen etenevän liikkeen mekaanisessa energiassa. Samalla selviää energian lausekkeissa oleva verrannollisuuskerroin. 3a. Kineettisen energian kvantifiointi Laukaistaan kumilangalla vaunua ilmatyynyradalla ja mitataan vaunun saama nopeus. Laukaisun pitää kerta toisensa jälkeen olla samanlainen. Sitä varten laukaisulaitteistoon kuuluu rajoitintappi, joka mahdollistaa langan venytyksen aina samaan kireyteen (Kuva 3a.1). Tarkoituksena on, että kumilanka antaa joka kerta vaunulle jotain (energiaa) yhtä paljon, olkoonkin, että vaunun massaa muutetaan. v Kuva 3a.1 Mitataan vaunun saama nopeus ultraäänianturilla. Vaunun massan käänteisluku ja nopeuden neliö ovat suoraan verrannolliset, kuten mittaustuloksiin perustuva kuva 3a.2 näyttää osoittavan. Taulukko 3a sisältää taulukoituna mittaustulokset sekä massan ja nopeuden neliön tulon, joka siis vaikuttaa vakioiselta. Nopeuden neliö massan käänteisluvun funktiona Massa m, Nopeus v, mv 2, kg m/s kg(m/s) 2,18,236,1,2,223,1,24,22,1,28,184,1,3,178,9,34,164,9,38,154,9 Taulukko 3a Nopeus 2,(m/s) 2,7,6,5,4,3,2,1 v 2 =,11h-,5 1 2 3 4 5 6 1/m, kg -1 Kuva 3a.2 Jännitetty kumilanka pitää sisällään jotakin, joka on saamaa kaikissa koetilanteissa. Kumilangan jännityksen lauettua tämä jokin on siirtynyt liikkuvalle kappaleelle vuorovaikutuksen kautta liikeenergiaksi. Se on suoraan verrannollinen tulon mv 2 kanssa, eli E k ~mv 2. 7

3b. Potentiaalienergian kvantifiointi Koeasetelma (kuva 3b.1) on samankaltainen kuin liike-energian kvantifioinnissa. Nyt kallistetaan ilmatyynyrataa ja ammutaan kappale ylämäkeen joka kerta samalla kumilangan jännityksellä. s ÿ h Kuva 3b.1 Mitataan nousukorkeus erimassaisilla kappaleilla, muutetaan mäen jyrkkyyttä ja tehdään samat mittaukset. Kuvaan 3b.2 on koottuna kolme mittaussarjaa (I, II ja III), joissa ainoana tarkoituksellisina erona on ilmatyynyradan kaltevuus. Osoittautuu, että kullakin kaltevuudella nousukorkeus h ja vaunun massan m käänteisarvo ovat suoraan verrannolliset. Tällöin h= vakio (1/m) eli hm= vakio, joka ei riipu mäen jyrkkyydestä, minkä voi hyvällä tahdolla oivaltaa taulukosta 3b taulukosta. I II III 8 6 8 6 8 6 4 4 4 2 2 2 2 4 6 Vaunun massan käänteisluku, kg -1 2 4 6 Vaunun massan käänteisluku, kg -1 2 4 6 Vaunun massan käänteisluku, kg -1 Kuva 3b.2 Kullakin kaltevuudella erikseen otettuna tulo hm on hyvinkin vakio. Mutta kaltevuuden muutos on tuonut jonkin verran vaihtelua tulon arvoihin. Syynä lienee kumilanganjännityksen muutos aina mittaussarjojen välillä, kun koko laitteistoa on hiukan siirretty. Vaunun massa m, kg I II III,188 1,38 1,53 1,57,228 1,41 1,52 1,56,268 1,39 1,47 1,57,38 1,4 1,49 1,56,368 1,4 1,51 1,47 Taulukko 3b Tulo hm eri kaltevuuksilla, kgmm 8

Jännitetty kumilanka pitää sisällään jotakin, joka on samaa kaikissa koetilanteissa. Kumilangan jännityksen lauettua tämä jokin on siirtynyt liikkuvalle kappaleelle vuorovaikutuksen kautta. Kappale lähtee liikkeelle vuorovaikutuksen suunnassa olevaa ilmatyynyrataa pitkin. Kappaleen ja Maan ja ilmatyynyradan vuorovaikutuksen kautta kappale saavuttaa ilmatyynyradalla aseman, jossa se ei enää liiku mutta jossa sen voidaan ajatella edelleen säilyttäneen alun perin kumilangalla olleen ominaisuuden potentiaalienergiana. Tämä potentiaalienergia näyttää olevan suoraan verrannollinen tuloon mh eli E p ~mhja aiemman perusteella E p ~ 2gmh Vakioiden asettaminen mekaanisen energian lausekkeisiin On päädytty seuraaviin energialajien esityksiin: E p =K2gh~ mh ja E k =Kv 2 ~ mv 2. Sopimuksenvaraisesti asetetaan K=½m, jolloin päädytään tuttuihin lausekkeisiin: E p =mgh ja E k =½mv 2. 4. Jousivoiman potentiaalienergia Jousta puristettaessa tai venytettäessä siihen varastoituu potentiaalienergiaa, jonka suuruutta yritetään tässä työssä mitata jousen toiselle kappaleelle antaman potentiaalienergian avulla. s h Kuva 4.1 Ammutaan jousella vaunua, mitataan jousen venymä x ja vaunun saavuttama nousukorkeus h; molemmat saadaan ilmatyynyradan asteikon avulla. Tarkastellaan mittaustuloksista saatavaa (x 2,h) kuvaajaa, kuva 4.2, josta voidaan todeta verrannollisuus x 2 ~h. 9

Nousukorkeus h,m,5,4,3,2,1 Nousukorkeus jousen venymän neliön funktiona Alun perin jousella ollut potentiaalienergia on vuorovaikutuksen kautta muuttunut vaunun potentiaalinenergiaksi. Tällöin jousen potentiaalienergia olisi verrannollinen vaunun nousukorkeuteen ja siten myös venymän neliöön; eli E p ~x 2.,1,2,3,4,5 Jousen venymä 2 x 2,m 2 Kuva 4.2 Mittasimme käyttämämme jousen jousivakion (k= 3,9 Nm -1 ). Sen perusteella voimme verrata mittaustuloksia ennusteeseen, jonka mukaan jousen potentiaalienergia on E p =½kx 2. Ennuste osuu kohtuullisen hyvin kohdalleen kuten voi nähdä taulukosta 4. Mitattu E p, Nm ½kx 2,Nm,7,5,22,19,45,44,77,77 Taulukko 4 5. Voiman tekemä työ Suureen työ, W, käyttöönoton tarkoituksena on tarjota mekaanisen energian siirtymistä tai muuttumista kuvaava suure. Kuvan 5.1 koejärjestelyllä saadaan aikaan tilanne, jossa kappale on tasaisen vuorovaikutuksen osapuolena, jolloin siihen kohdistuu vakiovoima. Tällöin sen nopeus kasvaa tasaisesti, joten myös liikeenergia kasvaa. Tässä työssä tutkitaan, mikä yhteys on voiman ja sen vaikutusmatkan ja toisaalta liike-energian muutoksen välillä. F G Kuva 5.1 F 1

Nopeuden neliö, (ms -1 ) 2 Kuva 5.2 Nopeuden neliö voiman vaikutusmatkan funktiona,6,5,4,3,2,1 F=,94 N F =,48 N,1,2,3,4,5 Voiman vaikutusmatka, m Kiihdytetään vaunua ilmatyynyradalla punnuksella, johon kohdistuu painovoima G. Kiihdyttävä voima F on tällöin vakio, jonka suuruus selvitetään punnuksen massan m 1, vaunun massan m 2 ja dynamiikan peruslain avulla (F=m 2 a ja G=( m 1 +m 2 )a= m 1 g), joista saadaan F= m 1 m 2 g/(m 1 +m 2 ). Mitataan vaunun nopeutta v sekä matkoja s, jotka kiihdyttävä voima vaikuttaa. Huomataan, kuten kuvasta 5.2 näkyy, että vaunun nopeuden neliö on suoraan verrannollinen voiman F vaikutusmatkaan eli v 2 ~s. Tästä voidaan päätellä, että myös vaunun liike-energian muutos on suoraan verrannollinen voiman vaikutusmatkaan, eli E k ~s. (Jos tuntuu oppimisen kannalta helpommalta, että kappaleena tarkastellaan koko punnuksen ja vaunun muodostamaa systeemiä, silloin kiihdyttävän voimana on G, jonka suuruuden määritys on siis helppo mieltää verrattuna voimaan F. Toisaalta punnuksen painoa lisättäessä pitää vaunua vastaavasti keventää, jotta kappaleen massa pysyy vakiona. Tämä tuottanee systeemin valinnan tarjoamaa helpotusta vastaavan mielikuvan hämärtymisen, joten kaiken kaikkiaan on selvää, että tehtävät mittaukset ja niiden tarkastelu eivät ole aivan itsestään selviä.) Nopeuden neliö, (ms -1 ) 2 1,2 1,,8,6,4,2 Nopeuden neliö voiman funktiona voiman vaikutusmatkan eri arvoilla s =,6 m s =,5 m s =,4 m s =,3 m s =,2 m s =,1 m Muutetaan kiihdyttävää voimaa F vaihtamalla punnusta ja vertaillaan voimaa ja nopeutta tietyllä voiman vaikutusmatkan s arvolla. Kuvan 5.3 perusteella voidaan sanoa, että nopeuden neliö on suoraan verrannollinen voimaan eli v 2 ~F, joten pätee E k ~F. Jos määritellään kineettisen energian muutos voiman tekemäksi työksi, saadaan: E k =W=Fs.,,,5,1,15,2,25,3,35 Voima, N Kuva 5.3 11

Kuvassa 5.4 esitetyistä mittaustuloksista voi saada kokeellista evidenssiä lausekkeen E k = W paikkansapitävyydelle. Siinä kiihdyttävänä voimana on,48 N, vaunun nopeudet ja paikat on mitattu ultraäänianturilla. Lopuksi työ ja liike-energian muutos on laskettu lausekkeista W=Fs ja E k =½m v 2. Pisteet (W, E k ) asettuvat suoralle, jonka kulmakerroin on 1. Liike-energian muutos, Ek, J,2,15,1,5 Liike-energian muutos ja voiman tekemä työ,5,1,15,2 Voima*matka, Fs, J 6. Voimaa vastaan tehty työ Kuvassa 5.4 Kuva 5.1 esittää myös laitteistoa, jolla voi tehdä seuraavan kokeen: annetaan vaunulle (ja samalla sen perässään vetämälle punnukselle) nopeus niin, että punnus lähtee vaunun perässä nousemaan. Työnnön jälkeen vaunun liike-energia pienenee, joten tässä on kyse työstä siinä mielessä kuin yllä on esitetty. Jos halutaan välttää negatiivien työn käsittelyä, voidaan tällaisessa tapauksessa puhua työstä voimaa vastaan, joka onnistuu kappaleella olevan liike-energian turvin. Vaunun liike hidastuu, sen liike-energian muutos on negatiivinen, mutta työ, joka tehdään voimaa vastaan, on positiivinen. Kuvasta 6.1 esittää mittaustulokset koottuna: vaunu pantiin liikkeelle neljä kertaa, kullakin kertaa niin vaunun massa kuin voima F vaihtelevat. Kuvasta voi nähdä, kuinka vaunun liike-energia pienenee voimaa vastaan tehdyn työn kasvaessa. Kuvassa on mukana mittauspisteisiin sovitettujen suorien kulmakertoimet, jotka ovat lähellä teoreettista arvoa -1 ( E k =-W). Vaunun liike-energia, J,8,7,6,5,4,3,2,1 Voimaa F vastaan tehty työ ja liike-energian pieneneminen F=,9 N, k=-1,1 F=,14 N, k=-1, F=,23 N, k=-1, F=,4 N, k=-1, Kuva 6.1,,,2,4,6,8 Langan jännitysvoimaa vastaan tehty työ, Nm 12

Vaunun liike-energia, J,8,7,6,5,4,3,2,1 'Vaunun liike-energia ja kitkaa F ÿ vastaan tehty työ' Fÿ=,1 N, k=-,9 Fÿ=,18 N, k=-1,2 Fÿ=,15 N, k=-1, Fÿ=,34 N, k=-1, Samankaltaiset tulokset saadaan, kun vaunu pannaan liikkeelle tasaisella alustalla ja annetaan sen hidastua kitkan vaikutuksesta. Vaunu tekee työtä kitkavoimia vastaan, ja samalla sen liikeenergia pienenee. Kuvassa 6.2. on tulokset mittauksista, joissa rullavaunun kitkan suuruus mitattiin jousivaa'alla, nopeus ja paikka ultraäänianturilla. Vaunussa oli huopajarru, jonka vaikutus (kitka) oli ruuvilla säädettävissä. Kuva 6.2.,,,1,2,3,4,5,6,7,8 Kitkaa vastaan tehty työ, Nm 7. Muuttuvan voiman tekemä työ Edellisissä kokeissa voima, joka tekee työtä tai jota vastaan tehdään työtä, on pyritty pitämään vakiona. Seuraavat kokeet testataan ennustetta, jonka mukaan työn käsite voidaan ulottaa koskemaan muuttuvien voimien tekemää työtä. Muuttuvan voiman tapauksessa työstä tulee voiman matkaintegraali, W = ÿ Fds. a) Jousivoiman tekemä työ Mitataan vaunun saavuttama nopeus, kun se ammutaan liikkeelle jousella. Koejärjestely on muuten sama kuin kuvassa 4.1 paitsi, että ilmatyynyrata on vaaka-tasossa. Kun jousta poikkeutetaan tasapainoasemastaan, saadaan samalla selville matka s, jonka kuluessa jousivoima tekee työtä vaunuun. Jousen voi kiinnittää vaunuun (k=3,873 N/m). Tuloksena on kuvan 7.1 tilanne. lenkillä, joka irtoaa jousen ohittaessa tasapainoasemansa. Kun jousivakio k on määritetty, saadaan jousivoima suoraan jousen venymästä. Koska jousivoima F on suoraan verrannollinen jousen venymään x, sen kuvaaja (x,f)- koordinaatistossa on suora F=kx, jossa miinusmerkki ilmaisee voiman ja poikkeaman vastakkaissuuntaisuutta. Piirretään tämä suora mittaustulosten perusteella 13

Jousivoima, N Kuva 7.1 Jousivoiman tekemä työ geometrisesti,,5,1,15,2,25,3,35, -,2 W -,4 -,6 -,8-1, -1,2-1,4 Jousen venymä, m Siitä voidaan geometrisesti määrittää kutakin jousen maksimipoikkeutusta kohti jousen tekemä työ selvittämällä kolmion pinta-ala. Kuvan tapauksessa varjostetun alueen pinta-ala on jousen tekemä työ, kun sitä on venytetty,2 m. Määritetään vielä sama integroimalla. Jousivoima F tekee työtä venymän x pienetessä arvosta s 1 2 = ÿ kxdx 2. Verrataan saatuja arvoja keskenään ja s arvoon. Sen tekemä työ on ÿ F( x) dx = ks s lisäksi vaunun saamaan liike-energiaan. Tulokset ovat kootusti taulukossa 7. Jousen venymä s, m Vaunun nopeus, v, m/s Jousen voima, F, N Jousen tekemä työ, ½ks 2, Nm, k=3,873n/m Jousivoiman tekemä työ geometrisesti kuvaajasta,5,227 -,19,5,5,5,1,449 -,39,19,2,18,15,671 -,58,44,45,41,2,896 -,77,77,78,72,25 1,121 -,97,121,119,113 Taulukko 7 Vaunun liikeenergia, ½mv 2, J (m=,18kg) Kolme viimeisestä sarakkeesta voidaan todeta, että samalla rivillä olevat arvot ovat likimain yhtä suuret, niin kuin on odotettukin, ja että vaunun saama liike-energia on hiukan pienempi kuin jousen tekemä työ, mikä viitta siihen, että kaikki jousen potentiaalienergia ei muutu työn kautta vaunun liike-energiaksi. b) Vapaalla kädellä työnnettäessä tehty työ 14

Tässä kokeessa käytetään hyväksi tietokoneeseen kytkettyä voima-anturia ja Locker Pro -ohjelman kykyä esittää voima matkan funktiona ja integroida voiman kuvaajasta voiman tekemä työ. Voima-anturilla työnnetään vaunu liikkeelle. Voiman lisäksi mitataan vaunun massa ja vaunun saavuttama nopeus. Kuvassa 7.2 on esitetty yksi graafinen esitys integrointeineen. Siinä näkyy, kuinka voima-anturin käyttö vaatii harjoittelua. Kun vaunun työntö loppuu, matka-voima -kuvaaja helposti sotkeutuu. Kuva 7.2 15

Kuvassa 7.3 on yhteenveto neljästä mittauksesta, joissa vaunun massaa vaihdeltiin. Työn suuruuden vaihtelu olisi syytä olla suurempi kuin tehdyissä mittauksissa, eikä käsittelykelpoisten mittausten lukumääräkään ole riittävä. Joka tapauksessa pisteisiin sovitettu suora tukee ennustetta, jonka mukaan myös muuttuvan voiman tekemä työ voidaan määritellä liike-energian muutokseksi. Vaunun saama liike-energia E,J,12,1,8,6 Muuttuvan voiman tekemä työ ja vaunun saama liike-energia E =1,W,4,2,2,4,6,8,1,12 Vaunua työntävän voiman tekemä työ W,Nm Kuva 7.3 8. Vuorovaikutuksen potentiaalienergian hahmotus Kun puhutaan kappaleen potentiaalienergiasta, katoaa helposti vuorovaikutuksen toisen osapuolen merkitys. Tapauksessa, jossa vuorovaikutuksen molemmat osapuolet pääsevät liikkumaan, ei voida erikseen määritellä kappaleiden potentiaalinenergioita. Silti voi olla mahdollista määritellä vuorovaikutuksen potentiaalienergia, joka riippuu vain kappaleiden etäisyydestä. Esimerkki tällaisesta potentiaalinenergiasta on kahden jousella kytketyn vaunun systeemi ilmatyynyradalla, jossa liikkeen suuntaiset ulkoiset vuorovaikutukset ovat hyvin pienet. Koe suoritetaan seuraavasti: Kuva 8.1 Kytketään jousella yhteen kaksi vaunua ilmatyynyradalla. Puristetaan jousi kappaleiden väliin, niin, että systeemi on levossa. Laukaistaan jousen jännitys. Vaunut lähtevät eri suuntiin, kunnes jousen jännitys pysäyttää ne ja palauttaa ne alkutilaansa. Liike toistuu lähes vaimentumattomana, mistä voidaan todeta energian säilyvän. Vuoroin se on pelkästään vaunujen liikkeessä, kun jousi on lepopituudessaan, vuoroin jousen jännityksessä, kun vaunut ovat hetkellisesti paikallaan, ja muulloin sekä vaunujen liikkeessä, että jousivoimat aiheuttavassa vuorovaikutuksessa. Koska systeemi on vapaa liikkeen suunnassa, massakeksipiste ei liiku: systeemin jokin kohta pysyy paikallaan. 16

9. Vuorovaikutuksen tekemä työ Kun jousi puristetaan vaunujen väliin ja jännitys laukaistaan kerta toisensa jälkeen samalla tavalla, voidaan odottaa, että jouseen varastoitunut vaunujen vuorovaikutuksen potentiaalienergia vapautuu jousivoiman tekemän työn kautta vaunujen liike-energiaksi. Koska vaunut ovat vuorovaikutuksessa v 2 m 2 m 1 v 1 jousen välityksellä, voidaan puhua vuorovaikutuksen tekemästä työstä. Kun vielä eri laukaisujen välillä vaihdetaan ainakin toisen vaunun massaa, tulee testatuksi, voidaanko vuorovaikutuksen tekemää työtä mitata liike-energian muutoksella. Tätä testasimme rullavaunuilla, joista toisessa oli jousimekanismi, joka voitiin asettaa aina tiettyyn jännitykseen. Mittasimme vaunujen massan ja nopeuden ja laskimme niiden liike-energiat yhteen. Tuloksen pitäisi odotuksen mukaan olla joka kerta likimain sama. Tulokset ovat taulukossa 9. Vaunujen massat, kg Vaunujen nopeudet, m/s Vaunujen saamat liike-energiat, J Taulukko 9 m 1 m 2 v 1 v 2 E 1 E 2 E 1 +E 2 Keskisarvo,525,53,396,389,39,38,77,525,53,49,373,42,35,77,525,53,413,374,43,35,78,525 1,13,476,22,57,23,79,525 1,13,462,188,54,19,73,525 1,13,475,194,57,21,77,525 1,33,488,17,6,19,79,525 1,33,48,17,58,19,77,525 1,33,479,164,58,18,75,525,93,419,191,44,16,61,525,93,428,26,46,19,65,525,93,378,177,36,14,5,725 1,13,331,183,38,18,57,725 1,13,295,15,31,12,43,725 1,13,365,165,47,15,62,78,77,77,59,54 Jokaisella vaunuparilla suoritettiin kolme mittausta. Jousen jännitykset ja laukaisut pyrittiin toistamaan mahdollisimman samanlaisina. Tuloksista voinee päätellä, että kaksi vaunuparia poikkesi muista, ehkä lisäpunnusten kiinnityksen eroista johtuen. Kolmen vaunuparin tulokset ovat jotakuinkin yhtenevät, mikä antaa toiveita tämän kokeen käyttökelpoisuudesta siinä tehtävässä, johon se oli tarkoitettu. 17

1. Työ energian siirtona. Mekaanisen koneen periaate Mekaanisen koneen tehtävä on siirtää energiaa. Koneeseen syötetään energiaa, mikä tapahtuu niin, että jokin voima tekee työtä koneeseen. Kone siirtää saamansa energian olemalla vuorovaikutuksessa toiseen kappaleeseen, johon vuorovaikutuksen synnyttämä voima tekee työtä. Jos hukkatyötä ei syntyisi, koneen luovuttama energia olisi sama, minkä kone sai. a) Vipu Kuvassa 1.1 on periaatekuvio yhdenlaisesta rakennelmasta, jossa vipu toimii energian siirtäjänä. Käytännön toteutuksen kannalta tärkeää on laakeroida vipu painopisteestään. Toisaalta vipu, jonka varret ovat yhtä pitkät, ei aina herätä mielenkiintoa. Kuvan kalteva taso ja väkipyörä ovat toissijaisia, samoin mittasuhteet. h 2 m 1 m 2 h 1 G Kuva 1.1 Energiaperiaate toteutuu ideaalitapauksessa, jossa vipuun tehty työ W 1 =Gh 1 ja nostetun kappaleen saama potentiaalienergia E p =m 2 gh 2 olisivat yhtä suuret. Molemmat ovat mitattavissa. Normaalissa tapauksessa tulee mukaan hukkatyön W' osuus, jolloin E p =W 1 -W'. Vastaavanlaisella koejärjestelyllä, vaunun liikkuessa vaakatasossa, voisi vipu käyttää siirtämään punnuksen potentiaalienergia vaunun liike-energiaksi. b) Kalteva taso Kuva 1.2 esittää koejärjestelyä, jossa kalteva taso työnnetään tai vedetään vaunun alle. Tarkoitus on saada kalteva taso selkeästi toimimaan energian siirtäjänä, johon voima tekee työtä ja joka vuorovaikuttaa vaunun kanssa. Rakensimme kahdesta rullilla varustetusta kuljetusalustasta kaltevan tason, jossa toinen alusta oli lattialla ja toinen tämän päällä kaltevana tasona kahden statiivin varassa. 18

G F h s Kuva 1.2 Kiinnitimme kuorman narulla tukevaan pöytään ja vedimme kaltevaa tasoa jousivaaoilla jonkin matkaa. Mittaus tulokset ovat taulukossa 1. Hukkatyön osuus on melkoinen. Hukkatyötä olisi voinut selvittää mittaamalla, kuinka suuri voima tarvitaan pelkän kaltevan tason liikuttamiseen ja toisaalta pelkän kuorman liikuttamiseen. kuorman paino G, N kuorman nousukorkeus h, m kaltevaa tasoa vetävä voima F, N matka, jonka voima vaikuttaa s, m kuorman saama potentiaalienergia, J voiman tekemä työ, J 88,85 4,31 7,48 12,4 Taulukko 1 Tällaisenaan työ on mitä mainioin silta fysiikan pelkistävän kvantifioinnin ja arkipäiväisen sormituntuman välillä. 19