MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A vastaava vektorikenttä on kuvauksen x Ax antama suuntakenttä Eli pisteessä x ( x kentän suunta on A x 2 ( ( ( ( ( x 2 6 x 2x 6x A 2 2 (x x 2 3 x 2 x + 3x + 3x 2 2 ( Eli kaikissa pisteissä x ja x + 3x 2 kentän suunta on joko suuntaan ( 2 Suuntaan, kun x + 3x 2 > ja ( 2 suuntaan, kun x + 3x 2 < ( 2 tai ( x x 2 ( 2
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Alkuviikon tuntitehtävä 2 Näytä, että matriisien similaarisuus on ekvivalenssirelaatio, eli että kaikille A, B, C K n n pätee: i Refleksiivisyys: A A ii Symmetrisyys: A B B A iii Transitiivisuus: A B ja B C A C Väite: Matriisien similaarisuus on ekvivalenssirelaatio Neliömatriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa säännöllinen matriisi S siten, että B SAS Merkitään A B Todistus i Olkoon A K nxn A IAI IAI A A ii Olkoon A B, eli on olemassa säännöllinen matriisi S siten, että B SAS B SAS S BS SAS S SAI SA S S BS S SA IA A A S BS T BT, missä T S on säännöllinen B A iii Olkoon A B ja B C, eli on olemassa säännölliset matriisit S ja S 2 siten, että B S AS ja C S 2 BS2 C S 2 BS2 S 2 S AS S 2 (S 2 S A(S 2 S T AT, missä T S 2 S on säännöllinen A C Eli similaarisuus on reflektiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, eli similaarisuus on ekvivalenssirelaatio Alkuviikon kotitehtävä a Miten differentiaalilaskennassa ratkaistiinkaan toisen kertaluvun lineaarinen, vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö y + 2y 3y? b Ratkaise yo differentiaaliyhtälö muuttamalla se lineaariseksi differentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä ominaisarvomenetelmää 2
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 a Tehdään seuraava yrite: y(x y (x y (x ja sijoitetaan differentiaaliyhtälöön Saamme e ax ae ax a 2 e ax a 2 e ax + 2ae ax 3e ax (a 2 + 2a 3e ax Koska e ax > joten yrite on ratkaisu täsmälleen silloin kun a 2 + 2a 3 Tätä kutsutaan toisen kertaluvun vakiokertoimisen DY:n karakteristiseksi polynomiksi ja sen kertoimet saadaan a 2 ± 4 4 ( 3 2 2 ± 6 2 ± 2 eli a tai a 3 Funktiot y e x ja y 2 e 3x ovat siis differentiaaliyhtälön ratkaisuja Ne ovat kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua Tällöin lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teorian nojalla (2 keraluvun DY yleinen ratkaisu on y(x c y + c 2 y 2 c e x + c 2 e 3x, c, c 2 R b Määritellään { x (t y(t x 2 (t y (t jolloin { x (t x 2 (t x 2(t Saamme siis kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä { x (t x (t + x 2 (t x 2 (t 3x (t 2x 2 (t 2y + 3y 2x 2 (t + 3x (t Merkitään x(t (x (t, x 2 (t, jolloin voimme kirjoittaa tämän matriisiyhtälönä x (t ( 3 2 ( x (t x 2 (t ( Merkitään x (a, a 2 ; c, c 2 R Nyt Eirola-Nevanlinna -moniste s Lause 23 nojalla yhtälön ( ratkaisu on x(t e ta x Haemme matriisin A:n ominaisarvot ja -vektorit [ ] λ det(a λix det λ 3 2 λ 2 + 2λ 3 Saadaan siis λ tai λ 3 Ominaisvektorit (A λix : 3
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 λ : ( eli v t λ 2 3 : ( eli v 2 s 3 ( 3 3, t R ( 3 3, s R ( x ( x x 2 x 2 ( ( Näinollen ( matriisi on diagonalisoituva ( ja A XΛX, missä Λ, X ja X ( 3 3 3 4 ( ( ( Joten e ta Xe tλ X e t 3 3 e 3t 4 Ja (:n ratkaisu on siis x(t 4 ( x + x 2 3x + x 2 a ( 3e t e 3t + a 2 (e 3t e t a ( 3e t + 3e 3t + a 2 ( 3e 3t e t ( 3e t e 3t e 3t e t 4 3e t + 3e 3t 3e 3t e t ja 2kertaluvun DY:n ratkaisu on y(t x (t ( e t ( 3a a 2 + e 3t (a 2 a c e t + c 2 e 3t, 4 kun merkitään c 4 (3a + a 2 ja c 2 4 (a a 2 ja kun (a, a 2 R 2, niin (c, c 2 R 2 Alkuviikon kotitehtävä 2 a Määritä matriisin A ( 3 singulaariarvot b Olkoon kääntyvän matriisin A R n n singulaariarvohajotelma A UΣV T Mikä on matriisin A singulaariarvohajotelma ja miksi? a Määrättävänä on siis matriisin A A ominaisarvojen neliöjuuret Nyt ( A A T A T 3 Ja näinollen A A A 2 ( 2 ( 3 2 ( 9 Diagonaalimatriisin ominaisarvot ovat suoran diagonaalialkiot (pätee myös ylä- ja alakolmiomatriiseille Eli λ 9 ja λ 2 Matriisin A singulaariarvot ovat nyt δ λ 3 ja δ 2 λ 2 Huom! Eirolan: Lineaarialgebra -monisteen nojalla on voimassa Λ(p(A p(λ(a, missä p on polynomi Siis Λ(A 2 (Λ(A 2 { 2, ( 3 2} {, 9} 4
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 b A R nxn kääntyvä matriisi Tällöin nolla ei ole matriisin A A ominaisarvo, sillä tällöin myös A on kääntyvä ja edelleen A A on kääntyvä ja (A A A (A Näinollen A:n singulaariarvot ovat kaikki > ja matriisi Σ on diagonaalimatriisi Eli δ : Σ : : δ n Eirola: Lineaarialgebra -monisteen s 57 Lause 46 nojalla matriisit U ja V ovat unitaarisia Siis U U ja V V Näinollen A (UΣV T (V T (Σ (U (V Σ U T V Σ U T (2 Nyt V ja U ovat siis unitaarisia, eli hajotelma on oikeaa muotoa Lisäksi (A A (A A (AA Joten (A A :n ominaisarvot ovat Λ((A A Λ((AA { λ λ Λ(AA } Lisäksi esitysmuodossa A UΣV T, Eirola: Lineaarialgebra -monisteen lause 49 nojalla V :ssä on sarakkeina AA :n ortonormaalit ominaisvektorit ja U:ssa on sarakkeina A A:n ortonormaalit ominaisvektorit Mutta ((A A :n ominaisvektorit ovat siis samat kuin (AA :n ominaisvektorit, jotka ovat samat kuin AA :n ominaisvektorit Sillä Mx λx M Mx M λx x λm x M x λ x Näinollen yhdistettynä tämä Lause 49 saadaan, että A esitettävissä muodossa missä Σ on diagonaalimatriisi ja koostuu A :n singulaariarvoista Nyt yhdistämällä ( ja (2 saamme, että V Σ U T V Σ U T Σ Σ A V Σ U T (3 Eli Σ : : : δn δ Loppuviikon tuntitehtävä Laske e A, kun Lasketaan A:n ominaisarvot A ( 2 4 3 5
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 [ ] 2 λ det (2 λ( 3 λ 4 ( 4 3 λ λ 2 + λ 2 λ tai λ 2 Ominaisvektorit: λ : (A λ Ix eli x t [ ] ( x 4 4 x 2 [ ], t R λ 2 2 : (A λ 2 Ix eli x s [ ] ( 4 x 4 x 2 [ ], s R 4 ( ( x x 2 4x x 2 [ ] [ ] Näin ollen matriisi on diagonaalisoituva ja A XΛX, missä Λ, X ja X 2 4 [ ] [ ] [ ] [ ] [ 4 e 3 Joten e A Xe Λ X 4 e 2 4 3 4e e 2 e 2 ] e 3 4e 2 + 4e 4e 2 e Loppuviikon tuntitehtävä 2 Olkoon A C n n kääntyvä matriisi Näytä, että on olemassa kertoimet c,, c n siten, että A c I + c A + + c n A n Olkoon p A (z A:n karakteristinen polynomi, p A (z det(zi A nxn matriisin karakteristinen polynomi on astetta n p A (z voidaan siten kirjoittaa muodossa p A (z a n z n + a n z n + + a z + a, joillain a, a,, a n C Cayley-Hamiltonin lauseen (Eirola: Lineaarialgebra -monisteen Lause 4 mukaan p A (A, eli saadaan p A (A a n A n + a n A n + + a A + a I (4 Koska A on kääntyvä, on olemassa A siten, että AA I Kun kerrotaan (3 puolittain A :llä saadaan a n A n A + a n A n A + + a AA + a IA a n A n + a n A n 2 + + a I + a A (5 6
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Jos olisi a, niin p A (z a n z n + a n z n + + a z + z(a n z n + a n z n 2 + + a jolloin p A (λ λ on eräs A:n ominaisarvo Koska matriisin determinantti on sen ominaisarvojen tulo deta A ei kääntyvä Ristiriita Siis täytyy olla a a, joten (4 voidaan jakaa a :lla puolittain Järjestelemällä termejä hieman saadaan Nimetään kertoimet uudestaan saadaan eli haluttu muoto Loppuviikon kotitehtävä a Määritä matriisin A A a a I a 2 a A a n a c a a c a 2 a jne, A n 2 a n a A n A c I + c A + + c n 2 A n 2 + c n A n 3 3 2 2 ominaisarvot ja -vektorit b Määritä a-kohdan matriisille Jordanin hajotelma A V JV a Lasketaan A:n ominaisarvot 3 λ det(a λi det λ (2 λ(λ 2 4λ + 4 (2 λ 3 3 2 2 λ Saadaan siis λ 2 Nyt lasketaan A:n vektorit: (A λix x 3 2 ja näin saadaan x t, t t R\{} gaussaamalla x x 2 x 3 b Eirola: Lineaarialgebra -monisteen kpl 4 Lause 45 nojalla matriisi on diagonaalisoituva täsmälleen silloin kun sen ominaisarvoista voidaan muodostaa kanta 7
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Seuraus 46 matriisi on diagonaalisoituva täsmälleen silloin kun kaikille ominaisarvoille on voimassa m a (λ m g (λ Jos matriisi ei ole diagonaalisoituva, se on Lause 4:n nojalla kuitenkin similaarinen jonkun Jordan matriisin kanssa Jordan matriisin muodostamis menettelyssä ominaisarvon λ kertaluku, jolle m a (λ > m g (λ, ominaisvektorien joukkoa täydennetään yhtälön (A λiw k+ w k ratkaisuilla w k+ Tässä w on ominaisvektori Nyt m a (2 3 ja m g (2 Merkitään w x t, jossa voidaan valita t (A 2Iw 2 w Eli w 2 t Valitaan w 2 t (A 2Iw 3 w 2 Eli w 3 2 3 t Valitaan w 3 w 2 3 2 + t 2 3, t R w 3 3 2 2 + 3, t R gaussaamalla w 2 gaussaamalla w 3 Koska A:lla on vain yksi ominaisarvo λ 2 matriisissa J on vain yksi Jordan lohko Näin ollen λ 2 J λ 2 λ 2 ja V (w w 2 w 3 2 3 Lasketaan V Sovelletaan Gaussin algoritmia, eli muunnetaan [V I] muotoon [I V ] Saadaan V 3 2 8 2 3
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 A:n jordan hajotelma on siis A AJV 2 3 2 2 2 3 2 Loppuviikon kotitehtävä 2 Tämän tehtävän laskut tehdään Matlabilla Palauta vastauksenasi pohdintasi, käyttämäsi komennot ja saamasi tulokset Luo matriisi A komennolla A[4,-,-2,2;7,-4,-2,;-6,6,3,-8;-3,3,5,-] a Diagonalisoituuko A? Miksi / miksi ei? Jos diagonalisoituu, niin laske sen diagonaalihajotelma b Onko A:lla olemassa Schurin hajotelma? Jos on, laske se, ja tarkista, että hajotelman matriisi Q on unitaarinen c Onko A similaarinen jonkin Jordanin kanonisen muodon kanssa? Jos on, etsi A:n Jordanin hajotelma Minkä kokoisia ovat Jordanin lohkot? Miksi? d Jos matriisilla on sekä Schurin että Jordanin hajotelmat, selvitä kumman niistä Matlab laskee nopeammin e Laske A 2 sekä suoraan matriisista A että yllä saamiesi hajotelmien avulla Onko tuloksissa jotakin eroja? Miksi? 9