Insinöörimatematiikka D Demonstraatio 7, 6.7... Ratkaise dierentiaalihtälöpari = = Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( = Matriisin ominaisarvot ovat i ja i ja näihin kuuluvat ominaisvektorit ( i, ja (i,. Näin ollen leinen ratkaisu on = c e it ( i c e it ( i Ratkaisu toisin: Sijoittamalla lemmästä lausekkeesta alempaan saadaan =, mihin voidaan soveltaa ritettä = e λt ja näin saadaan λ =, mistä λ = ±. Täten = c e it c e it ja = = c ie it c ie it. Eulerin kaavan perusteella ratkaisu voidaan kirjoittaa mös muotoon = b sin t b cos t ja = = b cos t b sin t.. Ratkaise dierentiaalihtälöpari = 3 t =. Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( ( 3 = ( t Matriisin ominaisarvot ovat ja ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (, ja ( 3,. Näin ollen homogeenisen htälöparin leinen ratkaisu on = c e t ( c e t ( 3 Yksittäisratkaisua varten kirjoitetaan pari muotoon { (D 3 = t (D = Soveltamalla operaattoria D alempaan htälöön ja lisäämällä lempi htälö saadaan (D (D 3 = t (D 6D 3 = t 6 = t, josta Laplace-muunnoksilla saadaan s Y 6sY Y = s, josta Y = s (s (s = 3 3 s. s s 3 s
ja = 3 et et t 3 3. Homogeenisen htälön ratkaisujen perusteella ksittäisratkaisuksi voidaan valita mös = t 3 3. Tällöin = = ( t 3 3 = t 3 Näin ollen htälöparin leinen ratkaisu on ( ( = c e t c e t 3 ( t 3 t 3 3 3. Olkoon k vakio. Muunna toisen kertaluvun dierentiaalihtälö s = k s ensimmäisen kertaluvun dierentiaalihtälöpariksi kättämällä funktiota r = s. Vastaus: { r = k s s = r. Kolme jousta ja kaksi massaa on ktkett kuvion osoittamalla tavalla. Etäisdet on valittu siten, että lepotilassa ssteemin jousista ei ksikään ole jännittnt. Hooken lain mukaan jousen aiheuttama voima siihen kiinitettn kappaleeseen on F = k, missä on jousen poikkeama tasapainoasemastaan ja k jousivakio. Merkitään ensimmäisen massan poikkeamaa lepoasemasta :llä ja toisen :llä ja valitaan oikeanpuoleinen suunta positiiviseksi. Kirjoita Newtonin lain mukaiset liikehtälöt :lle ja :lle ja ratkaise näin muodostuva DY-pari. Kappaleiden massoiksi oletetaan kg ja jousivakioiksi N/m. Kitkavoimia ei otata huomioon. Ohje: Hödnnä derivoinnin operaattorimerkintää. Vastaus: Kätetään aluksi massoista merkintojä m ja m sekä jousivakioista k, k ja k 3. Tällöin m = k k ( ja m = k ( k 3. Sijoittamalla tehtävän vakiot saadaan dierentiaalihtälöpari = =, joka voidaan operaattorimerkinnällä kirjoittaa muotoon { (D = (D = Soveltamalla jälkimmäiseen htälöön operaattoria D saadaan { (D = (D (D =
ja htälöt hteen laskemalla saadaan mikä voidaan kirjoittaa mös muotoon ((D =, ( 3 =. Tämän ratkaisut ovat saadaan ritteellä = e λt, josta λ λ 3 = λ = 3 tai λ = ja edelleen λ {±i 3, ±i}. Näin ollen reaaliset ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon = sin t cos t 3 sin 3t cos 3t ja = (D = sin t cos t 3 sin 3t cos 3t. Huomautus Vakioiden ja ollessa reaalisia voidaan piirtää suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat ja, jolloin hpotenuusa on d = ja sin θ = /d, cos θ = /d. Tällöin sin t cos t = d ( d sin t d cos t = d (sin θ sin tcos θ cos t = d cos(t θ. Täsmälleen samoin saadaan 3 sin 3t cos 3t muotoon d cos( 3t θ, jolloin ratkaisut saadaan kirjoitettua tiiviimpään muotoon = d cos(t θ d cos( 3t θ. ja = d cos(t θ d cos( 3t θ. Newtonin jäähtmislain mukaan lämpötilan muutosnopeus on verrannollinen lämpötilojen erotukseen. Olkoot, ja z lämpötilat kellarissa, asuinkerroksessa ja ullakolla. Oletetaan ulkoilman lämpötilaksi, maan lämpötilaksi, ja ajanhetkellä t = kellarin lämpötilaksi sekä asuinkerroksen ja ullakon lämpötilaksi. Ajanhetkellä t = ktketään päälle sähkölämmitin, joka nostaisi asuinkerroksen lämpötilaa tunnissa, mikäli erists olisi tädellinen. Näin ei kuitenkaan ole, vaan lämpöä siirt kellarista maahan, asuinkerroksen lattian kautta kellariin (tai päinvastoin, 3 asuinkerroksen seinien kautta ulos, asuinkerroksen katon kautta ullakolle ja ullakon katon kautta ulkoilmaan. Olkoot Newtonin jäähtmislain mukaiset kertoimet k =, k =, k 3 =, k = ja k =. Kirjoita dierentiaalihtälörhmä lämpötiloille, ja z ja ratkaise se mainituilla alkuehtoilla. Kauanko kuluu, että asuinkerroksen lämpötila kohoaan :een? Vastaus: DY-rhmä on = ( ( = ( ( ( z z = (z (z ja se voidaan kirjoittaa mös matriisimuotoon = z 3 z
Kerroinmatriisin ominaisarvot ovat (likimääräisesti.6,.67, ja. sekä näitä vastaavat ominaisvektorit (.9, 3.6,, (.777,.73, ja (.6366,.393,. Näin ollen homogeenisen htälörhmän ratkaisu on muotoa z = e.t.9 3.6 e.7t..7 3 e.t.6.39 Yksittäisratkaisu voidaan lötää kuten tehtävässä. Toinen tapa on kättää vakiofunktioritettä: koska dierentiaalihtälön ei-homogeenisen osan funktioit ovat vakioita, voidaan toivoa että rite (,, z = (A, B,, jossa A, B ja ovat vakioita, voisi tuottaa ksittäisratkaisun. Sijoittamalla tämä rite dierentiaalihtälöön saadaan = 3 A B Koska kerroinmatriisi on kääntvä, saadaan tästä A B = 3 = 6 7 Dierentiaalihtälön leinen ratkaisu on täten muotoa.9. = e.t 3.6 e.7t.7 z 3 e.t.6.39 6 7 ja alkuehtojen mukaan (t = =.9 3.6..7 3.6.39 6 7, Mikä voidaan kirjoittaa muotoon.9..6 3.6.7.39 3 = 3 6 7 Tästä htälöstä 3 =.9..6 3.6.7.39 3 6 7 =.967.7676.363 Näin ollen = 3.e.t.7e.7t 6.7e.t 7 Asuinkerroksen lämpötila ei siis koskaan saavuta arvoa. t 7 9.37.
6. Kuvan RL-piirin muodostavat jännitelähde V, vastus R, kondensaattori ja käämi L. Sähkövirta I tarkoittaa varauksen Q muutosta ajan suhteen: I = dq dt. Vastuksen päiden välinen jännite on V = RI, kondensaattorin V = Q ja käämin V 3 = L di dt. Kirchhon. säännön mukaan V on sama kuin piirin komponenttien hteenlaskettu jännite. Kirjoita sähkövirralle I toisen kertaluvun dierentiaalihtälö. Johtimien vastusta ei oteta huomioon. Selosta miten dierentiaalihtälö ratkaistaan (ratkaisua ei tarvitse esittää. V R L Kirchhon. säännön mukaan RI Q di L dt = V (t, josta derivoimalla saadaan RI I LI = V (t. Kseessä on vakiokertoiminen, toisen kertaluvun dierentiaalihtälö, jonka homogeenisen osan ratkaisut saadaan ritteellä I = e λt ja ksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla. 7. Ajanhetkellä t = kuvan mukaiset l säiliöt ovat tännä vettä ja kummassakin on liuenneena g suolaa. Säiliöihin aletaan johtamaan suolaliuosta kuvaan merkitillä nopeuksilla ja konsentraatioilla. Kirjoita dierentiaalihtälöt suolan määrille ja (grammoina ja ratkaise kirjoittamasi DY-pari. l/min, g/l l/min, g/l 3 l/min l/min l/min Vastaus: = = 3 = = 3, mikä voidaan edelleen kirjoittaa matriisimuotoon = ( 3 ( Koska matriisin ominaisarvot ovat ja ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (, 3 T ja (, T, saadaan homogeenisen htälön ratkaisuksi = ( 3 e t ( e t.
Yksittäisratkaisua varten arvataan, että (, = (A, B, missä A ja B ovat vakioita, toimii. Sijoittamalla tämä rite htälöön saadaan ( ( = 3 ( A B josta ratkeaa (A, B = (, 7. Näin ollen ( ( = 3 e t (, ( e t 7 Sijoittamalla t = saadaan alkuehtojen perusteella ( ( ( ( ( = 3 7 3 = ( 9 6, josta ratkeaa (, = ( 7, 3 7 ja siis ( = ( e t 3 ( 7 7 3 ( e t 7 Ratkaisu toisin: Kättämällä operaattorimerkintää voidaan dierentiaalihtälöpari kirjoittaa muotoon { (D = 3 (D =. Soveltamalla lempään htälöön operaattoria D, kertomalla alempi luvulla ja laskemalla htälöt hteen saadaan ((D (D 3 = (D 9 D =, mikä voidaan kirjoittaa mös muotoon 9 =. Homogeeniselle htälölle ratkaisut saadaan ritteellä = e λt, josta λ 9 λ = λ {, }. Yksittäisratkaisuksi voidaan Laplace-muunnoksilla tai kokeilemalla lötää vakiofunktio =. Täten Ylemmästä htälöstä taas saadaan = e t e t. = (D = 3 e t e t 7 Sijoittamalla t = saadaan alkuehtojen perusteella = ja = 3 7, mikä voidaan kirjoittaa muotoon { = 9 3 = 6, josta voidaan ratkaista = 7 ja = 3 7.