Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille 802160P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Kevät 2018
Sisältö 1 Matriisialgebra 3 11 Määritelmä 3 12 Matriisien laskutoimituksia 4 121 Matriisien yhteen- ja vähennyslasku 4 122 Skalaarilla kertominen 5 123 Matriisien kertolasku 5 13 Erikoistyyppisiä matriiseja 7 131 Diagonaalimatriisi 7 132 Identiteetti matriisi eli Yksikkömatriisi 7 133 Nollamatriisi 8 14 Transponoitu matriisi 9 15 Matriisin determinantti 10 151 Determinantin määrääminen 10 152 Determinantin ominaisuuksia 11 16 Käänteismatriisi 13 161 Menetelmiä käänteismatriisin ratkaisemiseksi 13 162 Käänteismatriisin ominaisuuksia 14 17 Lineaarisen yhtälöryhmän matriisimuoto ja sen ratkaiseminen 15 18 Panos-tuotos malli 19 2 Yhden muuttujan funktion optimointi 22 21 Funktion f(x) ääriarvo 22 22 Paikallisten ääriarvokohtien löytäminen 23 23 Paikallisten ääriarvokohtien laatu 26 3 Kahden muuttujan funktion optimointi 29 31 Normaalit ääriarvot (ei sidotut) 29 311 Kahden muuttujan funktion absoluuttiset ja paikalliset ääriarvot 29 312 Kahden muuttujan funktion paikalliset ääriarvokohdat 29 313 Kahden muuttujan funktion ääriarvon laatu 30 32 Sidotut ääriarvot 31 321 Sidotut ääriarvot yhtälörajoitteen tapauksessa 31 322 Sidotut ääriarvot epäyhtälörajoitteen tapauksessa 32 323 Absoluuttiset ääriarvot ehtoalueessa 33 324 Hyötyfunktion maksimi 34 1
4 Usean muuttujan funktion ääriarvoista 36 41 Normaali ääriarvo (ei sidottu) 36 411 Usean muuttujan funktion ääriarvokohta 36 412 Usean muuttujan funktion ääriarvon laatu 37 42 Sidotut ääriarvot 39 421 n:n muuttujan ja m:n yhtälörajoitteen tapaus, missä m < n 39 422 n:n muuttujan ja yhden epäyhtälörajoitteen tapaus 41 5 Lineaarinen optimointi 42 51 Geometrinen ratkaisu 42 52 Kantaratkaisu menetelmä 44 2
1 Matriisialgebra Matriisien avulla voidaan - ratkaista yhtälöryhmiä - ratkaista optimointitehtäviä - laatia erilaisia malleja esim panos-tuotos malli 11 Määritelmä Matriisi on taulukko a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn m n = A m n = (a ij ) = (a ij ) m n, missä luvut a ij ovat reaalilukuja Lukuja a ij sanotaan matriisin A alkioiksi Alkio a ij on matriisin A i:nnellä vaakarivillä ja j:nnellä pystyrivillä oleva alkio Matriisi, jossa on m vaakariviä ja n pystyriviä, on m n matriisi; merkitään A m n Jos m = n, niin A on neliömatriisi Kaksi matriisia a 11 a 1n A = a m1 a mn m n b 11 b 1s ja B = b r1 b rs r s ovat samat eli A = B, jos ja vain jos (i) m = r ja n = s (ii) a ij = b ij i, j Jos matriisissa n = ( 1 eli se on m 1-matriisi, niin kysymyksessä on m ulotteinen u1 ), missä u i on vektorin ū i komponentti pystyvektori ū = u m Vastaavasti v = (v 1,, v n ) on n-ulotteinen vaakavektori eli 1 n matriisi ja v i on vektorin v i komponentti 3
12 Matriisien laskutoimituksia 121 Matriisien yhteen- ja vähennyslasku Matriisit A ja B voidaan laskea yhteen (vähentää toisistaan) jos ja vain jos ne ovat molemmat m n matriiseja Olkoot A ja B m n matriiseja, ts a 11 a 1n A = a m1 a mn m n b 11 b 1n B = b m1 b mn m n Tällöin a 11 + b 11 a 1n + b 1n A + B = a m1 + b m1 a mn + b mn m n Vastaavasti a 11 b 11 a 1n b 1n A B = a m1 b m1 a mn b mn m n Matriisien yhteenlasku on 1 vaihdannainen: A + B = B + A, 2 liitännäinen: A + (B + C) = (A + B) + C Matriisien vähennyslaskulla on 1 voimassa: A (B + C) = A B C Esimerkki 11 Laske ( ) ( ) 2 5 10 0 3 4 9 1 7 5 12 6 + ( 20 8 ) 7 1 9 6 4
122 Skalaarilla kertominen Matriisilaskennassa reaalilukua kutsutaan skalaariksi Olkoon nyt A = (a ij ) m n ja k R Tällöin a 11 a 1n ka = k a m1 a mn m n ka 11 ka 1n = ka m1 ka mn m n = (ka ij ) m n = Ak Esimerkki 12 Laske 3 ( 0 2 ) 1 5 3 8 Huomautus A B = A + ( B) = A + ( 1) B 123 Matriisien kertolasku Matriisien A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) r s tulo AB on mahdollinen jos ja vain jos n = r Siis matriisin A pystyrivien lukumäärä on sama kuin matriisin B vaakarivien lukumäärä Matriisi A on tulon AB edellinen tekijä ja B jälkimmäinen tekijä Olkoon A = (a ij ) m n ja B = (b ij ) n s Tällöin missä A m n B n s = (AB) m s = (c ij ) m s, c ij = n a ik b kj k=1 eli alkio c ij saadaan matriisin A i:nnen vaakarivin ja matriisin B j:nnen pystyrivin pistetulona 5
Siis a 11 a 1n AB = a m1 a mn m n b 11 b 1s b n1 b ns n s = n n a 1k b k1 a 1k b ks k=1 n n a mk b k1 a mk b ks k=1 k=1 k=1 m s Esimerkki 13 Olkoon ( ) 6 9 3 5 8 A =, B = 1 7 10 4 1 2 3 5 11 3 2 ja C = ( ) 4 7 1 9 2 5 2 3 Laske AB, BA ja AC Matriisien kertolasku on 1 liitännäinen: A(BC) = (AB)C, 2 ei vaihdannainen: siis yleensä AB BA Esimerkki 14 Laske 0 (2, 1, 0) 1 2 ( ) 1 1 0 1 ( 0 1 1 1 0 1 (2, 1, 0) 2 ) ( ) 0 1 1 1 ( ) 1 1 0 1 6
13 Erikoistyyppisiä matriiseja 131 Diagonaalimatriisi Olkoon A = (a ij ) n n neliömatriisi Matriisin A päälävistäjän muodostavat alkiot a 11, a 22,, a nn Matriisi A on diagonaalimatriisi, jos matriisin A muut alkiot paitsi mahdollisesti päälävistäjän alkiot ovat nollia Eli a 11 a 1n A = a n1 a nn on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0, kun i j, eli n n a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 A = 0 0 a (n 1)(n 1) 0 0 0 0 a nn n n 132 Identiteettimatriisi eli Yksikkömatriisi Yksikkömatriisi on diagonaalimatriisi, jonka kaikki päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä Siis A = (a ij ) n n on yksikkömatriisi, jos { aij = 0, i j a ii = 1, i = 1, 2,, n Yksikkömatriisia merkitään symbolilla I n (= I n n ) Siis 1 0 0 0 0 1 0 0 I n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n n 7
Esimerkiksi I 1 = (1), I 2 = ( ) 1 0 0 1 0, I 3 = 0 1 0 0 1 0 0 1 Lause 11 Olkoon A m n matriisi Tällöin A m n I n = I m A m n = A m n 133 Nollamatriisi Matriisi A = (a ij ) m n on nollamatriisi, jos a ij = 0 i, j Nollamatriisia merkitään Ōm n Siis 0 0 0 0 0 0 Ō m n = 0 0 0 m n Esimerkiksi Ō 2 3 = ( ) 0 0 0 0 0 0 Lause 12 Olkoon A m n matriisi Tällöin ja A m n + Ōm n = Ōm n + A m n = A m n A m n Ō n k = Ōm k sekä Ō k m A m n = Ōk n 8
14 Transponoitu matriisi Olkoon A m n matriisi Matriisin A transponoitu matriisi A T on n m matriisi, jonka i vaakarivi on matriisin A i pystyrivi (ja vastaavasti j pystyrivi on matriisin A j vaakarivi) Jos a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn m n a 11 a 21 a m1, niin A T a 12 a 22 a m2 = a 1n a 2n a mn n m Huomautus (u 1,, u n ) T = u 1 ja v 1 T = (v 1,, v n ) u n v n Huomautus Diagonaalimatriisin D transponoitu matriisi D T on aina alkuperäinen diagonaalimatriisi, eli D T = D Esimerkki 15 Olkoon Määrää A T 1 2 6 7 4 11 A = 14 5 9 0 1 2 Neliömatriisi A = (a ij ) n n on symmetrinen, jos a ij = a ji i, j Tällöin A = A T Huomautus Olkoot A = (a ij ) m n, B = (b ij ) m n ja C = (c ij ) n r Tällöin (A + B) T = A T + B T ja (BC) T = C T B T 9
15 Matriisin determinantti Determinantti on yksikäsitteinen reaaliluku ja määritellään vain neliömatriiseille Matriisin A determinanttia merkitään det A ja A 151 Determinantin määrääminen 2 2 -matriisin determinantti: Kun niin ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 2 2 det A = A = a 11 a 22 a 12 a 21, 1 1 -matriisin determinantti: Kun niin Esimerkki 16 Laske A = ( a 11 )1 1, det A = A = a 11 8 1 3 4 Determinantin määrittäminen yleisesti: Olkoon matriisi A n n ja n > 2 Matriisi M ij on sellainen (n 1) (n 1) matriisi, joka saadaan matriisista A n n poistamalla siitä i vaakarivi ja j pystyrivi Matriisi M ij on matriisin A paikkaan ij liittyvä alimatriisi Determinantti det M ij = M ij on matriisin A paikkaan ij liittyvä alideterminantti Skalaari A ij = ( 1) i+j M ij on matriisin A paikkaan ij liittyvä kofaktori 10
Jos n > 2, niin matriisin A n n determinantti palautuu 2 2 matriisin tapaukseen seuraavasti: Matriisin A determinantti det A = A = n a ij ( 1) (i+j) M ij j=1 i {1,, n} Tällöin det A on kehitetty i vaakarivin mukaan Samoin det A = A = n a ij ( 1) (i+j) M ij i=1 j {1,, n}, jolloin det A on kehitetty j pystyrivin mukaan Edellä n n matriisin A determinantti det A = A määrätään sen tiettyjen (n 1) (n 1) alimatriisien determinanttien avulla Menettelyä jatkamalla saadaan (n 1) (n 1) matriisien determinantit määrättyä niiden tiettyjen (n 2) (n 2) alimatriisien determinanttien avulla Toistamalla yo menettelyä jokaisen n n matriisin A determinantti voidaan palauttaa sen tiettyjen 2 2 alimatriisien determinanteiksi Tässä menettelyssä matriisin A determinantin kehittäminen voidaan aloittaa sen minkätahansa vaaka- tai pystyrivin mukaan Esimerkki 17 Olkoon Määrää A 3 0 2 A = 6 8 1 0 3 4 152 Determinantin ominaisuuksia Olkoot A ja B n n-matriiseja 1) Jos matriisin A jokin vaakarivi (tai pystyrivi) kerrotaan vakiolla c R, niin determinantti muuttuu c kertaiseksi 11
Esimerkki 18 Laske 9 12 15 1 7 1 1 1 1 2) Jos matriisin A johonkin riviin lisätään jokin muu samansuuntainen rivi vakiolla kerrottuna, determinantin arvo ei muutu Tavoite: Paljon nollia riville, jonka suhteen determinantti kehitetään Esimerkki 19 Laske 3 0 2 6 8 1 0 3 4 3) Jos matriisi A = (a ij ) on yläkolmiomatriisi, jolloin kaikki alkiot päälävistäjän alapuolella nollia, tai alakolmiomatriisi, jolloin kaikki alkiot päälävistäjän yläpuolella nollia, niin det A = A = a 11 a 22 a nn 4) Jos A = (a ij ) on diagonaalimatriisi, niin A = a 11 a 22 a nn 5) Jos matriisin A jokin vaakarivi (tai pystyrivi) koostuu pelkästään nollista, niin A = 0 (Kehitetään determinantti ko rivin suhteen) 6) Jos matriisin A kaksi samansuuntaista riviä ovat samat, niin A = 0 7) A = A T 8) AB = BA = A B Esimerkki 110 Olkoon Määrää A 3 0 2 A = 6 8 1 0 3 4 12
16 Käänteismatriisi Olkoon A n n neliömatriisi Sellaista n n matriisia B, joka toteuttaa ehdon AB = BA = I n sanotaan matriisin A käänteismatriisiksi ja merkitään B = A 1 Kaikilla neliömatriiseilla ei ole käänteismatriisia Matriisi, jolla on käänteismatriisi, on säännöllinen Lause 13 Matriisilla A n n on käänteismatriisi A 1 olemassa jos ja vain jos det A 0 Tällöin käänteismatriisi A 1 on yksikäsitteinen ja AA 1 = A 1 A = I n 161 Menetelmiä käänteismatriisin ratkaisemiseksi 1) Käänteismatriisi kofaktorien ja determinantin avulla: Olkoon A n n matriisi, jolle det A 0 Olkoon K seuraava matriisin A kofaktorien A ij muodostama matriisi: A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n K =, A n1 A n2 A nn missä A ij = ( 1) i+j M ij Tällöin on paikkaan ij liittyvä kofaktori A 1 = 1 det A KT Esimerkki 111 Määritä matriisin 0 2 3 A = 1 3 3 1 2 2 käänteismatriisi A 1 13
2) Gaussin eliminoimismenetelmä: Olkoon a 11 a 1n A = a n1 a nn n n Muodostetaan matriisi a 11 a 12 a 1n 1 0 0 ( ) a 21 a 22 a 2n 0 1 0 A In = a n1 a n2 a nn 0 0 1 n 2n Tässä matriisissa voidaan i) vaakarivi kertoa millä tahansa vakiolla, ii) jokin vaakarivi lisätä vakiolla kerrottuna toiseen vaakariviin, iii) vaihtaa vaakarivit keskenään Näillä operaatioilla pyritään muuttamaan matriisi ( A ( ) I B, jolloin matriisi B = A 1 I ) muotoon Esimerkki 112 Määritä matriisin 0 2 3 A = 1 3 3 1 2 2 käänteismatriisi 162 Käänteismatriisin ominaisuuksia Olkoon A ja B n n matriiseja, joille A 1 ja B 1 on olemassa Tällöin 1) (A 1 ) 1 = A, 2) (A 1 ) T = (A T ) 1, 3) (AB) 1 = B 1 A 1, 4) det (A 1 ) = 1 det A 14
17 Lineaarisen yhtälöryhmän matriisimuoto ja sen ratkaiseminen 1) Tarkastellaan yhtälöryhmää, jossa muuttujien lukumäärä on sama kuin yhtälöiden lukumäärä: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = c 2 (1) a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = c n missä kertoimet a ij ja vakiot c i ovat tunnettuja reaalilukuja Kyseessä on n:n muuttujan x 1,, x n vakiokertoiminen lineaarinen n:n yhtälön ryhmä Siis muuttujien lukumäärä on sama kuin yhtälöiden lukumäärä Yhtälöryhmä (1) voidaan esittää matriisimuodossa: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn n n x 1 x 2 c 1 c 2 = x n c n 1 n n 1 (2) eli muodossa A X = C (3) Jos kerroinmatriisilla A on käänteismatriisi olemassa, niin kerrotaan yhtälö (3) puolittain vasemmalta käänteismatriisilla A 1 ja saadaan: A 1 (A X) = A 1 C (A 1 A) X = A 1 C I X = A 1 C X = A 1 C (4) Lause 14 Jos matriisi A on säännöllinen eli A 1 on olemassa eli det A 0, niin yhtälöryhmän (1) yksikäsitteinen ratkaisu on X = A 1 C 15
Esimerkki 113 Ratkaise yhtälöryhmä 2y 3z = 1 x + 3y + 3z = 2 x 2y 2z = 1 Lause 15 (Cramerin sääntö) Oletetaan, että yhtälöryhmässä (1) on n tuntematonta ja n yhtälöä sekä det A 0 eli yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu X = A 1 C Cramerin sääntö yhtälöryhmän ratkaisemiseksi ilman käänteismatriisin A 1 laskemista on seuraava: x 1 = 1 A c 1 a 12 a 1n c 2 a 22 a 2n c n a n2 a nn x 3 = 1 A, x n = 1 A, x 2 = 1 A a 11 a 12 c 1 a 1n a 21 a 22 c 2 a 2n, a n1 a n2 c n a nn a 11 a 1(n 1) c 1 a 21 a 2(n 1) c 2 a n1 a n(n 1) c n a 11 c 1 a 13 a 1n a 21 c 2 a 23 a 2n, a n1 c n a n3 a nn Esimerkki 114 Ratkaise yhtälöryhmä 3x + y z = 2 x 2y + z = 9 4x + 3y + 2z = 1 16
2) Tarkastellaan yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = c 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = c m (5) eli n:n muuttujan x 1,, x n ja m:n yhtälön ryhmää Nyt voi olla n = m tai n m Tämä yhtälöryhmä (5) voidaan esittää matriisimuodossa a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn m n x 1 x 2 c 1 c 2 = x n c n 1 m m 1 (6) Matriisiesitys on tällöin muotoa: A X = C, missä A = (a ij ) m n (7) Tapauksessa n m käänteismatriisi A 1 ei ole olemassa ja det A ei ole olemassa, joten menetelmät X = A 1 C ja Cramer eivät toimi Samoin, jos n = m, mutta det A = 0, niin menetelmät X = A 1 C ja Cramer eivät toimi Seuraavana esiteltävää Gaussin eliminoimismenetelmää voidaan kuitenkin soveltaa aina Lause 16 (Gaussin eliminoimismenetelmä) Gaussin eliminoimismenetelmä perustuu siihen, että yhtälöryhmään (5) voidaan soveltaa seuraavia alkeismuunnoksia sen ratkaisun muuttumatta: (a) yhtälöiden järjestyksen vaihto (b) yhden tai useamman yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla (c) yhden tai useamman yhtälön kerrannaisen lisääminen muihin yhtälöihin 17
Yhtälöryhmän asemasta tarkastelemme täydennettyä kerroinmatriisia (A C) = a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n c 2 a m1 a m2 a mn c m (8) m (n+1) Nyt yhtälöryhmän (5) alkeismuunnoksia (a), (b) ja (c) vastaa täydennettyyn kerroinmatriisiin (8) kohdistuvat muunnokset: (a) vaakarivien järjestyksen vaihto (b) yhden tai useamman vaakarivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla (c) vaakarivin kertominen vakiolla ja sen lisääminen toiseen vaakariviin Näillä muunnoksilla matriisi (8) pyritään saamaan muotoon 1 0 0 0 1 0 0 0 1 X = ( I ) X, (9) josta saadaan ratkaisu X Tai muotoon 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 B, (10) joka avataan takaisin yhtälöryhmäksi Esimerkki 115 x + 3y z = 1 x 2y + z = 2 2x y + z = 3 18
18 Panos-tuotos malli Tunnetaan eräs panos-tuotos taulu: x i1 x i2 x i3 x in y i x 1 x 11 x 12 x 13 x 1n y 1 x 2 x 21 x 22 x 23 x 2n y 2 x 3 x 31 x 32 x 33 x 3n y 3 x n x n1 x n2 x n3 x nn y n Vaakarivillä tuottajan i kokonaistuotannon x i käyttö välituotteina x ij tuottajien j tuotannossa sekä käyttö lopputuotteena y i Tuottajien lukumäärä siis n ja x i = x i1 + x i2 + x i3 + + x in + y i Muodostetaan malli, joka kertoo yleisesti lopputuotteiden kysynnän perusteella tuottajien kokonaistuotannon: x i1 x i2 x i3 x in y i x 1 x 11 x 12 x 13 x 1n y 1 x 2 x 21 x 22 x 23 x 2n y 2 x 3 x 31 x 32 x 33 x 3n y 3 x n x n1 x n2 x n3 x nn y n Mallin muodostaminen tapahtuu vaakarivien perusteella: x i = n x ij + y i, missä n on tuottajien lukumäärä (11) j=1 19
Mallin kiinteät panoskertoimet lasketaan eräästä tunnetusta panos-tuotos taulusta seuraavasti: a ij = x ij x j x ij = a ij x j, missä 0 a ij 1 (12) Panoskerroin a ij ilmaisee kuinka paljon tuottaja j tarvitsee tuottajan i tuotantoa yhden tuoteyksikön tuottamiseen Sijoittamalla yhtälö (12) yhtälöön (11) saadaan: x i = n a ij x j + y i, missä i = 1,, n j=1 Eli x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n + y 1 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + + a 2n x n + y 2 x n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + + a nn x n + y n Edellä saatu kokonaistuotantojen yhtälöryhmä saadaan Matriisi muotooon eli x 1 x 2 x n n 1 a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n = a n1 a n2 a n3 a nn n n x 1 x 2 y 1 y 2 + x n y n 1 n n 1 X = A X + Ȳ, missä X =kokonaistuotanto, Ȳ = loppukysyntä ja A = nk teknillinen matriisi 20
Tästä saadaan ratkaistua tuottajien kokonaistuotannot x i, kun tunnetaan kertoimet a ij ja lopputuotteiden kysynnät y i, eli tiedetään halutut lopputuotemäärät ja suhde kuinka paljon tuottaja tarvitsee toisten tuottajien tuotantoa välituotteina Siis X = A X + Ȳ X A X = Ȳ I X A X = Ȳ (I A) X = Ȳ Kertomalla yhtälö (I A) X = Ȳ puolittain vasemmalta käänteismatriisilla (I A) 1 saadaan X = (I A) 1 Ȳ Näin johdettu yhtälö X = (I A) 1 Ȳ on panos-tuotos malli, joka ilmaisee tuottajien kokonaistuotannon riippuvuuden suoraan lopputuotteiden kysynnästä Käänteismatriisi (I A) 1 on Leontief:n käänteismatriisi Esimerkki 116 Kahden teollisuudenalan tuotantoa kuvaa seuraava taulukko Muodosta sen avulla panos-tuotos malli (luvut milj euroa) kokonais- välikäyttö lopputuotanto A B kysyntä tuottaja A 600 150 240 210 B 480 200 120 160 21
2 Yhden muuttujan funktion optimointi 21 Funktion f(x) ääriarvo Funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f suurin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f Vastaavasti funktiolla f(x) on kohdassa x 0 D f pienin arvo, jos f(x) f(x 0 ) kaikilla x D f Suurinta arvoa sanotaan myös absoluuttiseksi maksimiksi ja pienintä arvoa absoluuttiseksi minimiksi Piste x 0 D f on funktion f paikallinen maksimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 0 ) aina, kun x D f ja x ]x 0 r, x 0 + r[ Tällöin f(x 0 ) on funktion f paikallinen maksimiarvo Vastaavasti kohta x 0 D f on funktion f paikallinen minimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) f(x 0 ) aina, kun x D f ja x ]x 0 r, x 0 + r[ Tällöin f(x 0 ) on funktion f paikallinen minimiarvo Paikallisia ääriarvoja kutsutaan myös lokaaleiksi ääriarvoiksi 22
22 Paikallisten ääriarvokohtien löytäminen Lause 21 Derivoituvan funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löytyvät derivaatan f (x) nollakohdista Derivaatan nollakohtia kutsutaan kriittisiksi pisteiksi Geometrisesti: f (x 0 ) = 0 jos ja vain jos käyrän pisteeseen x 0 piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin on nolla eli kyseinen tangentti on x-akselin suuntainen suora (funktion f(x) muutosnopeus kohdassa x 0 on 0) Lause 21 ei kuitenkaan päde kääntäen: Jos f (x 0 ) = 0, niin kriittinen piste x 0 ei ole välttämättä funktion f ääriarvokohta, vaan se voi olla myös ns satulapiste 23
Lause 22 Jatkuvan funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla 1) derivaatan f (x) nollakohdat eli kohdat, joissa f (x) = 0 2) epäderivoituvuuskohdat eli kohdat, joissa derivaattaa f (x) ei ole olemassa Esimerkki 21 Etsi funktion f(x) = x 5 + 5x 3 + 8x + 1 mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat Lause 23 Jos funktion f(x) määrittelyjoukko on suljettu tai puoliavoin väli, niin paikallinen ääriarvo voi esiintyä myös välin päätepisteissä 24
Lause 24 Funktion f(x) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla 1) funktion f(x) epäjatkuvuuskohdat 2) funktion f(x) epäderivoituvuuskohdat 3) funktion f(x) derivaatan f (x) nollakohdat 4) välin päätepisteet, mikäli funktio f(x) on määritelty suljetulla tai puoliavoimella välillä Lause 25 Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on tarvittaessa tutkittava raja-arvot lim f(x) ja lim f(x) x x 25
23 Paikallisten ääriarvokohtien laatu Lause 26 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu, derivaatan merkkikaavion käyttö) Olkoon funktio f(x) jatkuva ja olkoon lisäksi f (x 0 ) = 0 tai x 0 epäderivoituvuuskohta eli x 0 on mahdollinen paikallinen ääriarvokohta Jos funktion f(x) derivaatta f (x) muuttuu kohdassa x 0 (i) positiivisesta negatiiviseksi, niin x 0 on paikallinen maksimikohta (funktio f muuttuu aidosti kasvavasta aidosti väheneväksi) (ii) negatiivisesta positiiviseksi, niin x 0 on paikallinen minimikohta (funktio f muuttuu aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi) (iii) jos funktion f(x) derivaatta f (x) ei muuta merkkiään kohdassa x 0, niin funktiolla f(x) ei ole ääriarvokohtaa kohdassa x 0 f (x) : + + + + + + + + + + + + + + + Huomautus Lause 26 ei päde epäjatkuvuuskohdissa, vaan ne on tutkittava tarkemmin 26
Lause 27 (Absoluuttiset ääriarvot) Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on vertailtava paikallisia ääriarvoja keskenään ja lisäksi tarvittaessa tutkittava raja-arvot lim f(x) ja lim f(x) x x Esimerkki 22 Määritä ääriarvot funktiolle { x 3 + x, kun 2 x < 0 f(x) = x, kun 0 x 3 Esimerkki 23 Määritä funktion f(x) = x 4 2x 2 ääriarvot välillä [0, 3] Esimerkki 24 Etsi funktion f(x) = x 3 paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot Esimerkki 25 Määritä funktion f(x) = x 4 8x 2 + 24 ääriarvot Esimerkki 26 Määritä seuraavan funktion paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot { x 2 + x, kun x < 0 f(x) = x, kun x 0 2 Lause 28 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu, toisen derivaatan käyttö) Olkoon funktio f(x) derivoituva ja oletetaan, että x 0 on kriittinen piste eli että f (x 0 ) = 0 Tällöin 1) jos f (x 0 ) < 0, niin x 0 on paikallinen maksimikohta (funktio f ylöspäin kupera kohdassa x 0 ) 2) jos f (x 0 ) > 0, niin x 0 on paikallinen minimikohta (funktio f alaspäin kupera kohdassa x 0 ) 3) jos f (x 0 ) = 0, niin x 0 voi olla maksimikohta, minimikohta tai satulapiste eli ei voi päätellä mitään (ks derivaatan merkkikaavio Lause 26 tai Lause 29) 27
f (x) : + + + + + + + + + + + + + ++ Esimerkki 27 Määrää funktion f(x) = 3x 4 4x 3 36x 2 + 2 ääriarvot Lause 29 Olkoon f(x) jatkuva ja derivoituva funktio pisteessä x 0 Tällöin x 0 on mahdollinen paikallinen ääriarvokohta jos ja vain jos f (x 0 ) = 0 Nyt f(x 0 ) on todellinen paikallinen ääriarvo jos ja vain jos on olemassa sellainen parillinen kokonaisluku n, että f (k) (x 0 ) = 0 kaikilla k = 1, 2,, n 1 ja f (n) (x 0 ) 0 Kyseessä on lisäksi paikallinen minimi, jos f (n) (x 0 ) > 0 ja paikallinen maksimi, jos f (n) (x 0 ) < 0 Esimerkki 28 Määrää funktion f(x) = x 3 ääriarvot Esimerkki 29 Määrää funktion f(x) = x 4 ääriarvot 28
3 Kahden muuttujan funktion optimointi 31 Normaalit ääriarvot (ei sidotut) 311 Kahden muuttujan funktion absoluuttiset ja paikalliset ääriarvot Funktiolla f(x, y) on pisteessä (x 0, y 0 ) D f suurin arvo (absoluuttinen maksimi), jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) kaikilla (x, y) D f Vastaavasti funktiolla f(x, y) on pisteessä (x 0, y 0 ) D f pienin arvo (absoluuttinen minimi), jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) kaikilla (x, y) D f Esimerkki 31 Olkoon z = f(x, y) = x + y Funktion kuvaaja on taso eikä sillä siksi ole suurinta eikä pienintä arvoa Esimerkki 32 Olkoon z = f(x, y) = x 2 +y 2 1 Funktion kuvaaja on paraboloidi Suurinta arvoa ei ole, mutta pienin arvo on f(0, 0) = 1 Piste (x 0, y 0 ) D f on funktion f(x, y) paikallinen maksimikohta, jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) eräässä pisteen (x 0, y 0 ) ympäristössä Tällöin f(x 0, y 0 ) on funktion f(x, y) paikallinen maksimiarvo Vastaavasti (x 0, y 0 ) D f on funktion f(x, y) paikallinen minimikohta ja f(x 0, y 0 ) paikallinen minimiarvo, jos f(x, y) f(x 0, y 0 ) eräässä pisteen (x 0, y 0 ) ympäristössä 312 Kahden muuttujan funktion paikalliset ääriarvokohdat Lause 31 (Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat) Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva Funktion f(x, y) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään osittaisderivaattojen nollakohtana eli ratkaisemalla yhtälöpari { fx = 0 f y = 0 Osittaisderivaattojen nollakohtia kutsutaan kriittisiksi pisteiksi Huomautus Kriittinen piste, joka ei ole ääriarvokohta, on satulapiste Esimerkki 33 Määrää kriittiset pisteet funktiolle f(x, y) = x 2 y 2 29
313 Kahden muuttujan funktion ääriarvon laatu Lause 32 Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva Tällöin funktio f(x, y) on ylöspäin kupera täsmälleen silloin, kun f xx 0, f yy 0 ja f xx f yy (f xy ) 2 0 Vastaavasti funktio f(x, y) on alaspäin kupera täsmälleen silloin, kun f xx 0, f yy 0 ja f xx f yy (f xy ) 2 0 Lause 33 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu) Olkoon funktio f(x, y) jatkuva ja derivoituva ja olkoon piste (x 0, y 0 ) funktion kriittinen piste Tällöin kriittinen piste (x 0, y 0 ) on (i) paikallinen minimikohta, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 > 0, f xx > 0, f yy > 0 (ii) paikallinen maksimikohta, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 > 0, f xx < 0, f yy < 0 (iii) satulapiste eli ei ole paikallinen ääriarvokohta, jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 < 0 (iv) Testi ei kerro mitään, jos jos pisteessä (x 0, y 0 ) = f xx f yy (f xy ) 2 = 0 Tutki tarkemmin Lause 34 (Absoluuttiset ääriarvot) Etsittäessä funktion absoluuttisia ääriarvoja on vertailtava paikallisia ääriarvoja keskenään ja lisäksi tarvittaessa tutkittava raja-arvoja Esimerkki 34 Määrää funktion f(x, y) = x 3 y 3 + 3xy ääriarvot 30
32 Sidotut ääriarvot 321 Sidotut ääriarvot yhtälörajoitteen tapauksessa Oletetaan, että funktiot f(x, y) ja g(x, y) ovat jatkuvia ja derivoituvia Määrättävä funktion f(x, y) ääriarvot ehdolla g(x, y) = 0 Sijoitusmenetelmä Ratkaistaan muuttuja x tai y ehtoyhtälöstä g(x, y) = 0 (jos mahdollista) ja sijoitetaan se optimoitavaan funktioon f(x, y), jolloin saadaan yhden muuttujan funktio, jolle lasketaan ääriarvot normaalisti Esimerkki 35 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy ääriarvot ehdolla x+2y = 24 Lagrangen menetelmä Muodostetaan kohdefunktio F (x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) Määritetään kohdefunktion F (x, y, λ) kriittiset pisteet eli mahdolliset ääriarvokohdat ratkaisemalla yhtälöryhmä F x = f x λ g x = 0 F y = f y λ g y = 0 F λ = g(x, y) = 0 g(x, y) = 0 Ääriarvon laadun testaaminen kriittisessä pisteessä: Kriittisessä pisteessä paikallinen maksimikohta, jos = F xx F yy (F xy ) 2 > 0, F xx < 0 ja F yy < 0 Kriittisessä pisteessä paikallinen minimikohta, jos = F xx F yy (F xy ) 2 > 0, F xx > 0 ja F yy > 0 Testi ei anna tulosta, jos (tutkittava funktioita tarkemmin) = F xx F yy (F xy ) 2 0 31
Esimerkki 36 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy ääriarvot ehdolla x+2y = 24 322 Sidotut ääriarvot epäyhtälörajoitteen tapauksessa Etsittävä ääriarvot funktiolle f(x, y) ehdolla g(x, y) 0 Menetelmä on seuraava: 1 Ääriarvotetaan funktio f(x, y) ilman ehtoa g(x, y) 0 Eli minimoidaan/maximoidaan funktio f(x, y) Ratkaistaan kuten normaali ääriarvotehtävä Tällöin mahdollinen paikallinen ääriarvokohta (x 0, y 0 ) löytyy funktion f(x, y) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan normaali laatutarkastelu kriittiselle pisteelle (x 0, y 0 ) Jos kriittinen piste (x 0, y 0 ) toteuttaa ehdon g(x, y) 0, niin se on myös tämän ehdon mukainen sidottu paikallinen ääriarvokohta (Ääriarvokohta löytyy alueen sisältä, g(x, y) 0) 2 Tarkastellaan epäyhtälörajoitteen g(x, y) 0 sijaan yhtälörajoitetta g(x, y) = 0 Eli min/max f(x, y) ehdolla g(x, y) = 0 Ratkaistaan kuten normaali sidottu ääriarvotehtävä Lagrangen menetelmällä, missä kohdefunktio on nyt muotoa F (x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) Tällöin mahdollinen paikallinen ääriarvokohta (x 0, y 0 ) löytyy kohdefunktion F (x, y, λ) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan Lagrangen menetelmän laatutarkastelu löydetylle kriittiselle pisteelle (x 0, y 0 ) (Ääriarvokohta löytyy alueen reunalta, g(x, y) = 0) 3 Lopullinen päättely kohtiin 1 ja 2 perustuen 32
Esimerkki 37 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 Esimerkki 38 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 323 Absoluuttiset ääriarvot ehtoalueessa Maksimoi/minimoi funktio f(x, y) usean ehdon määräämässä ehtoalueessa E = {(x, y) g i (x, y) 0, i = 1,, m} Ehdot toteuttavat absoluuttiset ääriarvot löytyvät joko paikallisista ääriarvokohdista ehtoalueen E sisältä, (g i (x, y) < 0), tai sidotuista ääriarvokohdista ehtoalueen E reunalta, (g i (x, y) = 0) Lause 35 Derivoituvan funktion f(x, y) mahdolliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla: 1 Osittaisderivaattojen 0 kohdat 2 Määrittely-/tarkastelualueen E reunat 3 Määrittely-/tarkastelualueen E nurkat Jos funktio on jatkuva ja derivoituva suljetussa joukossa E, niin mahdolliset ääriarvokohdat löytyvät kohtien 1,2 ja 3 avulla Näistä valitaan pienin ja suurin Esimerkki 39 Etsi funktion f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ääriarvot joukossa E = {(x, y) x 0, y 0, x + 2y 24} 33
324 Hyötyfunktion maksimi Kuluttajan oletetaan valitsevan hyödykkeitä siten, että niiden käytöstä saatava tyytyväisyys maksimoituu Oletetaan, että kuluttajan ostot rajoittuvat kahteen hyödykkeeseen Q 1 ja Q 2 Hyötyfunktio on U = f(q 1, q 2 ), missä q 1 ja q 2 ovat hyödykkeiden kulutusmäärät Siis hyötyfunktio U = f(q 1, q 2 ) kuvaa hyödykkeiden kulutusmääristä aiheutuvaa tyytyväisyyttä Oletetaan, että hyötyfunktiolla U = f(q 1, q 2 ) on jatkuvat 1 ja 2 kertaluvun osittaisderivaatat olemassa Nämä osittaisderivaatat ovat hyödykkeiden rajahyötyjä Tyytyväisyys kasvaa kulutuksen kasvaessa eli U q 1 > 0 ja U q 2 > 0 Kuluttaja haluaa maksimoida hyötynsä, mutta kulutusta rajoittaa budjettirajoite y 0 = p 1 q 1 + p 2 q 2, missä y 0 on ostamiseen käytettävissä oleva rahamäärä ja p 1 ja p 2 ovat hyödykkeiden Q 1 ja Q 2 yksikköhintoja Maksimoidaan siis hyötyfunktio U = f(q 1, q 2 ) budjettirajoitteella y 0 = p 1 q 1 +p 2 q 2 Budjettirajoitteesta saadaan Näin ollen hyötyfunktio on yhden muuttujan q 1 funktio U = f q 2 = y 0 p 1 q 1 p 2 ( q 1, y ) 0 p 1 q 1 p 2 34
Maksimoidaan hyötyfunktio U muuttujan q 1 suhteen Asetetaan ensin U q 1 = 0 (Etsitään siis KRP) Tämä ehto on välttämätön, muttei riittävä Toisen derivaatan negatiivisuus takaa maksimin olemassaolon Täytyy siis vielä olla 2 U q 2 1 < 0 Esimerkki 310 Maksimoi hyötyfunktio U = q 1 q 2, kun p 1 = 15, p 2 = 5 ja kuluttajan tulot y 0 = 150 Ratkaisu: Budjettirajoite on 15q 1 + 5q 2 = 150 5q 2 = 150 15q 1 q 2 = 30 3q 1 Tällöin saadaan hyötyfunktio Etsitään kriittinen piste: U = q 1 q 2 = q 1 (30 3q 1 ) = 30q 1 3q 2 1 6q 1 = 30 q 1 = 5 U q 1 = 30 6q 1 = 0 q 2 = 30 3q 1 = 30 15 = 15 Koska kriittisessä pisteessä niin q 1 = 5 on maksimikohta 2 U q 2 1 = 6 < 0, Vastaava hyötyfunktion maksimiarvo on U max = q 1 q 2 = 5 15 = 75 35
4 Usean muuttujan funktion ääriarvoista 41 Normaali ääriarvo (ei sidottu) Funktiolla f(x 1,, x n ) on pisteessä (a 1,, a n ) D f suurin arvo (absoluuttinen maksimi), jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) kaikilla (x 1,, x n ) D f Vastaavasti funktiolla f(x 1,, x n ) on pisteessä (a 1,, a n ) D f pienin arvo (absoluuttinen minimi), jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) kaikilla (x 1,, x n ) D f Piste (a 1,, a n ) D f on funktion f paikallinen maksimikohta, jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) eräässä pisteen (a 1,, a n ) ympäristössä Tällöin f(a 1,, a n ) on funktion paikallinen maksimiarvo Vastaavasti (a 1,, a n ) D f on funktion f paikallinen minimikohta ja f(a 1,, a n ) paikallinen minimiarvo, jos f(x 1,, x n ) f(a 1,, a n ) eräässä pisteen (a 1,, a n ) ympäristössä 411 Usean muuttujan funktion ääriarvokohta Lause 41 (Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat) Olkoon funktio f( X) = f(x 1,, x n ) jatkuva ja derivoituva Funktion f(x 1,, x n ) mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat löydetään osittaisderivaattojen nollakohtana eli saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä f x1 = 0 f x2 = 0 f xn = 0 Osittaisderivaattojen nollakohtia kutsutaan jälleen kriittisiksi pisteiksi Huomautus Kriittinen piste, joka ei ole ääriarvokohta, on satulapiste Esimerkki 41 Määrää kriittiset pisteet funktiolle f(x 1,, x n ) = x 2 1 + + x 2 n 36
412 Usean muuttujan funktion ääriarvon laatu Olkoon f(x 1,, x n ) n:n muuttujan funktio Funktion f Hessin matriisi muodostetaan seuraavasti: f 11 f 12 f 1n f 21 f 22 f 2n H = f xx = f n1 f n2 f nn n n, missä f ij = ( ) f x i x j Olkoon a 11 a 1n A = a n1 a nn n n Matriisi A on positiividefiniitti, jos sen alideterminantit A1 = a11, An = A A2 a = 11 a 12 a 21 a 22, a 11 a 12 a 13 A3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a, 33 ovat kaikki arvoltaan positiivisia Vastaavasti matriisi A on negatiividefiniitti, jos A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, eli kaikilla i = 1,, n ( 1) i A i > 0 37
Lause 42 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu) Olkoon löydetty kriittinen piste eli mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 = (a 1, a 2,, a n ) Olkoon lisäksi H = H( X 0 ) funktion f( X) Hessin matriisi mahdollisessa paikallisessa ääriarvokohdassa X 0 Tällöin 1) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) paikallinen maksimikohta, jos funktion f( X) Hessin matriisin alideterminanteille H i ( X 0 ) pätee ( 1) i H i ( X 0 ) > 0 kaikilla i = 1,, n Siis Hessin matriisi H on negatiividefiniitti 2) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) paikallinen minimikohta, jos funktion f( X) Hessin matriisin alideterminanteille H i ( X 0 ) pätee H i ( X 0 ) > 0 kaikilla i = 1,, n Siis Hessin matriisi H on positiividefiniitti 3) Kriittinen piste X 0 ei ole paikallinen ääriarvokohta, jos H i ( X 0 ) 0 kaikilla i = 1,, n, mutta ehdot 1) tai 2) ei toteudu 4) Jos H i ( X 0 ) = 0 jollakin i = 1,, n, niin testi ei kerro mitään, joten tutki tarkemmin Esimerkki 42 Etsi paikalliset ääriarvot funktiolle f(x, y) = x 2 y + y 3 y 38
42 Sidotut ääriarvot 421 n:n muuttujan ja m:n yhtälörajoitteen tapaus, missä m < n Maksimoi/minimoi funktio f(x 1,, x n ) ehdoilla g i (x 1,, x n ) = 0, missä i = 1,, m Muodostetaan Lagrange funktio eli Kohdefunktio: L(x 1,, x n, λ 1,, λ m ) = f(x 1,, x n ) missä λ j :t ovat Lagrange-kertoimia m λ j g j (x 1,, x n ), j=1 1 o Ääriarvon mahdollinen olemassaolo (KRP): L = 0 x { i Lxi = 0, kaikilla i = 1,, n eli L g j = 0, kaikilla j = 1,, m = 0 λ j Näin saadaan mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 2 o Ääriarvon olemassaolo ja laatu: Määritellään laajennettu Hessin matriisi H = 0 0 0 0 g 1 g m x 1 x 1 g 1 x n g m x n g 1 g 1 x n x 1 g m x 1 g m x n L x1 x 1 L x1 x n L xnx1 L xnxn (m+n) (m+n) ) ( 0 = m m J m n J T n m H n n (n+m) (n+m) 39
Laajennetun Hessin matriisin H tarvittavat alideterminantit H i ovat H i ( X 0 ) = 0 0 0 0 g 1 g m x 1 x 1 g 1 x i g m x i g 1 g 1 x i x 1 g m x 1 g m x i L x1 x 1 L x1 x i L xi x 1 L xi x i, missä i = m + 1,, n Eli determinantti H i on vasemmasta yläkulmasta i:nteen muuttujaan asti otettu alideterminantti Siis nollamatriisin lisäksi otetaan mukaan i kappaletta pysty- ja vaakarivejä Nyt ääriarvon laatu mahdollisessa paikallisessa ääriarvokohdassa X 0 määräytyy seuraavasti: 1) Jos ( 1) i H i > 0, kaikilla i = m + 1,, n, niin X 0 on paikallinen sidottu maksimikohta 2) Jos ( 1) m H i > 0, kaikilla i = m + 1,, n, niin X 0 on paikallinen sidottu minimikohta 3) Jos kumpikaan ehdoista 1) ja 2) ei toteudu, niin testi ei kerro mitään, joten tutki tarkemmin Esimerkki 43 Määritä funktion f(x, y, z) = x 2 7y 10z 3 paikalliset ääriarvot ehdoilla x + y + z = 0 ja x + 2y + 3z = 0 40
422 n:n muuttujan ja yhden epäyhtälörajoitteen tapaus Ääriarvot funktiolle f(x 1,, x n ) ehdolla g(x 1,, x n ) 0 Menetelmä on seuraava: 1) Ääriarvotetaan funktio f(x 1,, x n ) ilman epäyhtälöehtoa g(x 1,, x n ) 0 Eli min/max f(x 1,, x n ) Mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 löytyy siis funktion f( X) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan normaali laatutarkastelu mahdolliselle paikalliselle ääriarvokohdalle X 0 Hessin matriisin avulla Jos paikallinen ääriarvokohta X 0 toteuttaa ehdon g(x 1,, x n ) 0, niin se on myös epäyhtälöehdon mukainen sidottu paikallinen ääriarvokohta (Ääriarvokohta löytyy siis ehtoalueen sisältä, g(x 1,, x n ) 0) 2) Tarkastellaan epäyhtälörajoitteen g(x 1,, x n ) 0 sijaan yhtälörajoitetta g(x 1,, x n ) = 0 Eli min/max f(x 1,, x n ) ehdolla g(x 1,, x n ) = 0 Ratkaistaan kuten normaali sidottu ääriarvotehtävä, missä Lagrange-funktio on nyt muotoa L(x 1,, x n, λ) = f(x 1,, x n ) λg(x 1,, x n ) Mahdollinen paikallinen ääriarvokohta X 0 löytyy siis Lagrange-funktion L( X, λ) osittaisderivaattojen nollakohtana Suoritetaan Lagrangen mukainen laatutarkastelu mahdolliselle paikalliselle ääriarvokohdalle X 0 laajennetun Hessin matriisin avulla (Ääriarvokohta löytyy siis ehtoalueen reunalta, g(x 1,, x n ) = 0) 3) Kohtiin 1) ja 2) perustuva päättely Esimerkki 44 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 Esimerkki 45 Maksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdolla x + 2y 24 41
5 Lineaarinen optimointi Tehtävä: Maksimoi/minimoi kohdefunktio f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n + c 0 (Lineaarinen!!!) rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (Lineaariset!!!) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x j 0 j = 1,, n 51 Geometrinen ratkaisu Kahden päämuuttujan tapaus: Max/min f(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 0 rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 b m x 1, x 2 0, tämä ehto ei pakollinen Muodostetaan ratkaisumonikulmio eli etsitään ehtoalue, jossa rajoitteet toteutuvat Lause 51 Jos ratkaisumonikulmio on suljettu, niin optimointitehtävän yksikäsitteinen ratkaisu löytyy ratkaisumonikulmion kärjistä Jos ratkaisuja on useita, niin ainakin kaksi niistä löytyy ratkaisumonikulmion kärkipisteistä Jos ratkaisumonikulmio on avoin alue, tutki tarkemmin 42
Esimerkki 51 Max/min f(x 1, x 2 ) = 2x 1 + 10x 2 rajoitteilla 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomautus Ratkaisumonikulmio ei välttämättä ole suljettu rajoitteilla Esimerkiksi: { { 2x1 + x 2 6 2x1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 40 5x 1 + 4x 2 40 Esimerkki 52 Min/max f(x, y) = 2x + 10y rajoitteilla 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0 Esimerkki 53 Min/max f(x, y) = 2x + 10y rajoitteilla 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0 43
52 Kantaratkaisu menetelmä Tehtävä: Maksimoi/minimoi kohdefunktio f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n + c 0 rajoitteilla a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x j 0 j = 1,, n Rajoite-epäyhtälöt muutetaan lisämuuttujien x n+1,, x n+m avulla yhtälöiksi: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n + x n+1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n x n+2 = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n + x n+m = b m x j 0 j = 1,, n + m Kantaratkaisu on edellisen yhtälöryhmän sellainen ratkaisu, jossa muuttujista x 1,, x n+m on n kappaletta arvoltaan nollia ja lisäksi positiivisuusehtoa ei huomioida Kantamuuttujat ovat ne m muuttujaa, joita ei aseteta nolliksi Hyväksyttävä kantaratkaisu on kantaratkaisu, joka toteuttaa myös positiivisuusehdon Optimaalinen kantaratkaisu on hyväksyttävä kantaratkaisu, joka antaa kohdefunktion optimiarvon 44
Lause 52 Jos kohdefunktiolla f(x 1, x 2,, x n ) on äärellinen optimi, niin ainakin yksi optimaalinen ratkaisu löytyy hyväksyttävänä kantaratkaisuna Optimointimenettely: 1) haetaan kantaratkaisut 2) valitaan hyväksyttävät kantaratkaisut 3) lasketaan funktion arvot kohdan 2) pisteissä 4) valitaan näistä haettu optimiarvo Esimerkki 54 Min/max f(x 1, x 2 ) = 2x 1 + 10x 2 rajoitteilla 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomautus Kantaratkaisu menetelmä ei toimi avoimessa alueessa Pienellä varovaisuudella kylläkin 45