Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku tapahtuvat alkioittain Transponointi muuttaa rivit sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi Matriisitulo AB tuottaa matriisin C, jonka alkio c ij on A:n i. rivin ja B:n j. sarakkeen sisätulo Neliömatriisin A determinantti A on eräänlainen matriisin skaalausvakio Tärkeä tulos: Matriisin A determinantti det A 0 jos ja vain jos A:n rivit ovat lineaarisesti riippumattomat 7.2.2018 2
Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään raaka-aineita A, B ja C. Kuinka paljon raaka-aineita A, B ja C on käytettävä, kun 1. Tehdään 100 kg:n erä 2. Entsyymiä E on oltava 8000 mg ja 3. Erä saa maksaa 2000? Ehdoista 1-3 saadaan yhtälöryhmä: 1. x 1 + x 2 + x 3 = 100 2. 40x 1 + 340x 2 + 60x 3 = 8000 3. 10x 1 + 60x 2 + 20x 3 = 2000 A B C Valmistettava määrä (kg) x 1 x 2 x 3 Entsyymin E määrä (mg/kg) 40 340 60 Hinta ( /kg) 10 60 20 Yhtälöryhmän voi esittää matriisimuodossa: Kerroinmatriisi A 1 1 1 40 340 60 10 60 20 Muuttujavektori x x 1 x 2 x 3 = Ax = b Side-ehto- Vektori b 100 8000 2000 3
Lineaarikuvaus Oletetaan, ettei side-ehtoa (massaa, entsyymin E määrää ja hintaa) ole kiinnitetty etukäteen Tällöin matriisi A määrittelee lineaarisen funktion, joka kuvaa kaikki mahdolliset raakaainemääräyhdistelmät x = [x 1, x 2, x 3 ] R 3 massa- E:n määrä-hinta-yhdistelmiksi y = [y 1, y 2, y 3 ] R 3 : A: R 3 R 3, y = Ax Kerroinmatriisi A Raakaainemäärävektori x 1 1 1 40 340 60 10 60 20 x 1 x 2 x 3 = Massa-E:n määrähintavektori y y 1 y 2 y 3 Esim. Jos raaka-aineita on x 1 = 5 kg, x 2 = 10 kg, x 3 = 20 kg, niin vastaava massa-e:n määrä-hintayhdistelmä on Ax = y y = 1 1 1 40 340 60 10 60 20 5 10 20 = = 35 4800 1050 4
Lineaarikuvaus Yleisemmin: Jokainen matriisi A R m n määrittelee funktion A: R n R m, y = Ax: y = Ax = a 11, a 12 a 1n a m1, a m2 a mn x 1 x n = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n m n n 1 m 1 Tällaista funktiota sanotaan (matriisin A määrittelemäksi) lineaarikuvaukseksi 5
Käänteiskuvaus Alkuperäistä yhtälöryhmää vastaus kysymykseen 1 1 1 40 340 60 10 60 20 x 1 x 2 x 3 = 100 8000 2000 ratkaistaessa halutaan Mikä on x = x 1 x 2 x 3, jos Ax = 100 8000 2000? Yleisemmin voidaan kysyä neliömatriisin A määrittelemään lineaarikuvaukseen liittyen: Mikä on x = x 1 x 2 x 3, jos Ax = y 1 y 2 y 3 = y? Jos vastaus on olemassa, se saadaan lineaarikuvauksen käänteisfunktiolla eli käänteiskuvauksella, jonka määrittää käänteismatriisi A 1 : R 3 R 3, x = A 1 y 6
Käänteiskuvaus Esim. Mikä on x, jos 1 2 1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 = 4 3? 1 ቊ x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 x 2 + x 3 = 3 x 2 = 3 x 1 + x 3 = 10 liian vähän yhtälöitä, ääretön määrä ratkaisuja 3 Esim. Mikä on x, jos 1 1 2 1 0 2 x 1 x 2 = 1 1 2? x 1 + x 2 = 1 ቐ2x 1 x 2 = 1 2x 2 = 2 x 1 = 0 ቐx 1 = 1 liikaa yhtälöitä, ei ratkaisua x 2 = 1 Käänteiskuvausta on mielekästä tarkastella vain neliömatriisien tapauksessa 7
Käänteiskuvauksen graafinen tulkinta A:n rivit lin. riippumattomat Jos A R 2 2, yhtälöryhmän Ax = y ratkaisu x = A 1 y on kahden suoran leikkauspisteessä Leikkauspisteitä eli ratkaisuja x on Yksi, jos suorat ovat erisuuntaiset, esim. A = 1 2 1 1, y = 2 1 : ቊ x 1 + 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1 ቊ x 2 = 1 0.5x 1 x 2 = 1 + x 1 ቊ x 1 = 0 x 2 = 1 A:n rivit lin. riippuvat A:n rivit lin. riippuvat Ääretön määrä, jos suorat ovat samat, esim. A = 1 2 1 2, y = 2 2 : ቊ x 1 + 2x 2 = 2 x 1 2x 2 = 2 ቊx 2 = 1 0.5x 1 x 2 = 1 0.5x 1 Ei yhtään, jos suorat ovat samansuuntaiset mutteivät samat, esim. A = 1 2 1 2, y = 2 2 : ቊ x 1 + 2x 2 = 2 x 1 2x 2 = 2 ቊ x 2 = 1 0.5x 1 x 2 = 1 0.5x 1 8
Käänteiskuvauksen olemassaolo Luennoilta 3 ja 4 muistamme, ettei käänteismatriisin A 1 määrittämää funktiota (tai mitään muutakaan funktiota) ole olemassa, ellei se kuvaa lähtöjoukkonsa vektoria y yksikäsitteisesti arvojoukkonsa vektoriksi x = A 1 y Edellä nähtiin, että kun A R 2 2, yhtälöryhmän Ax = y ratkaisu x = A 1 y on yksikäsitteinen jos ja vain jos matriisin A rivit ovat lineaarisesti riippumattomat Käänteismatriisi A 1 R 2 2 on olemassa jos ja vain jos matriisin A R 2 2 rivit ovat lineaarisesti riipumattomat Tämä pätee myös yleisemmin: Käänteismatriisi A 1 R n n on olemassa jos ja vain jos matriisin A R n n rivit ovat lineaarisesti riippumattomat 9
Matriisin aste Matriisin A R m n aste rank(a) on matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien / sarakkeiden lukumäärä Esim. A = 1 2 3 4 5 6 Rm n Rivivektorit [1,2,3] ja [4,5,6] ovat keskenään lineaarisesti riippumattomat, sillä ei ole olemassa vakiota a siten, että a [1,2,3]= [4,5,6] Sarakevektoreista aina kaksi on keskenään lineaarisesti riippumattomia, mutta kolme ei; esim. 1 1 4 + 2 2 5 = 3 6 Matriisin aste rank A = 2 Esim. B = 1 2 3 2 4 6 Rm n Rivivektorit riippuvat lineaarisesti toisistaan, sillä 2 [1,2,3]= [2,4,6] Kukin sarakevektori riippuu lineaarisesti kummastakin muusta sarakevektorista, sillä: 2 2 4 = 2 3 3 6 Matriisin aste rank B = 1 1 2 = 10
Matriisin aste Kaikille matriiseille A R m n pätee: rank(a) min{n, m} (lineaarisesti riippumattomia rivejä / sarakkeita ei voi olla enempää kuin rivejä / sarakkeita) Jos rank A = min{m, n}, matriisia sanotaan täysiasteiseksi Esim. A = 1 2 3 4 5 6 Rm n : rank A = 2 = min{2,3} A on täysiasteinen Esim. A = 1 2 3 2 4 6 Rm n : rank A = 1 < min{2,3} A ei ole täysiasteinen Erityisesti täysiasteisen neliömatriisin A R n n aste on n Neliömatriisi A on täysiasteinen Neliömatriisin A rivit ja sarakkeet ovat lin.riippumattomat Tällöin kalvon 9 laatikko voidaan kirjoittaa myös muotoon Käänteismatriisi A 1 R n n on olemassa jos ja vain jos matriisi A R n n on täysiasteinen 11
Presemo-kysymys Määritä matriisin A = 1 3 2 6 3 9 aste. 1. rank A = 1 2. rank A = 2 3. rank A = 3 12
Matriisin täysiasteisuus ja determinantti Neliömatriisin A täysiasteisuus voidaan helposti todeta A:n determinantin avulla, kun muistetaan viime luennon tulos: Matriisin A determinantti det A 0 jos ja vain jos A:n rivit ovat lineaarisesti riippumattomat mikä oli yhtäpitävää matriisin täysiasteisuuden kanssa sekä käänteismatriisin A 1 olemassaolon kanssa 13
Determinantti, täysiasteisuus ja käänteismatriisin olemassaolo Neliömatriisi A on täysiasteinen det A 0 Käänteismatriisi A 1 on olemassa 14
Presemo-kysymys Onko matriisin A = 1 1 1 40 340 60 10 60 20 käänteismatriisi A 1 olemassa? 1. Kyllä 2. Ei 7.2.2018 15
Käänteismatriisi Matriisin A käänteismatriisi A 1 määritellään siten, että AA 1 = A 1 A = I Matriisia, jolla on olemassa käänteismatriisi, sanotaan kääntyväksi, säännölliseksi tai epäsingulaariseksi Matriisia, jolla ei ole olemassa käänteismatriisia, sanotaan singulaariseksi 16
Käänteismatriisin laskeminen 2 2- matriiseille 2 2-matriisin A = a b c d käänteismatriisi on A 1 = 1 det A d b c a = 1 ad bc d c b a Esim. A = 1 2 3 4 A 1 = 1 1 4 2 3 2 1 4 2 3 1 = 3 1 2 2 Tulos voidaan tarkistaa laskemalla tulot AA 1 ja A 1 A: AA 1 = 1 2 3 4 2 1 3 1 2 2 = 2 + 3 1 1 6 + 6 3 2 = 1 0 0 1 = I A 1 A = 2 1 3 1 2 2 2 + 3 4 + 4 1 2 3 4 = 3 2 3 3 2 = 1 0 0 1 = I 2 17
Presemo-kysymys Määritä käänteismatriisi A 1, kun A = 2 2 1 3 1. A 1 = 3 4 1 4 1 2 1 2 2. A 1 = 1 1 2 2 1 3 2 3. A 1 = 3 2 1 2 18
Presemo-kysymys Määritä käänteismatriisi A 1, kun A = 1 2 2 4 1. A 1 = 1 2 1 4 1 4 1 8 2. A 1 = 4 2 2 1 3. Käänteismatriisia ei ole olemassa 7.2.2018 19
Käänteismatriisin laskeminen yleisessä tapauksessa Käänteismatriisi lasketaan yleisesti kaavalla A 1 = 1 det A adj(a) missä adj(a) on A:n liittomatriisi (ei käsitellä) Isojen käänteismatriisien laskeminen käsin on kuitenkin työlästä Excel (kömpelöhkö): Maalaa käänteismatriisin kokoinen alue ja paina F2 Kirjoita alueen vas. yläkulman soluun =MINVERSE(range), missä range = alkuperäinen matriisi Paina yhtäaikaa Shift+Ctrl+Enter www.wolframalpha.com (hidas): Syntaksi: inverse{{1,0,2}, {2,3,1},{4,2,3}} Matlab (täydellinen): Syntaksi matriisin luomiseen: A=[1 0 2; 2 3 1; 4 2 3] Syntaksi käänteismatriisin laskemiseen: inv(a)
Käänteismatriisi vs. käänteisluku Reaaliluvun a R käänteisluku 1 a erikoistapaus R on käänteismatriisin 1-ulotteinen Käänteismatriisin ominaisuus AA 1 = A 1 A = I vastaa käänteisluvun ominaisuutta a 1 a = 1 a a = 1 Singulaarisen matriisin A R n n (det A = 0) kääntäminen vastaa nollalla jakamista: 1 a = 0, =?!?!? a det A = 0, A 1 = 1 adj(a) =?!?!? det A 21
Käänteismatriisin laskusäännöt Jos A ja B ovat säännöllisiä neliömatriiseja ja k on vakio, niin 1. (A 1 ) 1 = A 2. (AB) 1 = B 1 A 1 3. (ka) 1 = 1 k A 1 4. (A T ) 1 = (A 1 ) T 22
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu käänteismatriisilla Pirjo valmistaa laskiaisriehaansa gin tonic -boolia. Kuinka paljon Pirjon tulee ostaa giniä ja tonicia, jotta 1. Boolia olisi 10 litraa ja 2. Alkoholin osuus olisi 10%? Giniä Tonicia Määrät (l) x 1 x 2 Alkoholin osuus (%/l) 50% 0% Ehdoista 1-2 saadaan yhtälöryhmä: 1. x 1 + x 2 = 10 2. 0.5x 1 + 0x 2 = 0.1 x 1 + x 2 0.4x 1 0.1x 2 = 0 Matriisimuodossa Ax = b: Matriisiyhtälön ratkaisu: A 1 = 1 1 1 = 1 0.4 0.1 0.5 1 1 0.4 0.1 x 1 x 2 = 10 0 x 1 x 2 = 1 0 0.4 0.1 0.1 1 0.4 1 = 0.2 2 0.8 2 1 10 0 Ax = b A 1 Ax = A 1 b Ix = A 1 b x = A 1 b x 1 x 2 = 0.2 2 0.8 2 10 0 = 2 8 23
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu käänteismatriisilla Kuinka paljon raaka-aineita A, B ja C on käytettävä, kun 1. Tehdään 100 kg:n erä 2. Entsyymiä E on oltava 8000 mg ja 3. Erä saa maksaa 2000? A B C Valmistettava määrä (kg) x 1 x 2 x 3 Entsyymin E määrä (mg/kg) 40 340 60 Hinta ( /kg) 10 60 20 Ehdoista 1-3 saatiin matriisiyhtälö Ax = b: 1 1 1 x 1 100 x 1 40 340 60 x 2 = 8000 x 2 = 10 60 20 x 3 2000 x 3 1 1 1 40 340 60 10 60 20 1 100 8000 2000 = 1.6 0.02 0.14 0.1 0.005 0.01 0.5 0.025 0.15 100 8000 2000 = 40 10 50 24
Presemo-kysymys Pena valmistaa kilpailevaan laskiaisriehaansa boolia marjalikööristä (18 %) ja kuohuviinistä (12 %). Kuinka paljon Penan tulee ostaa marjalikööriä ja kuohuviiniä, jotta boolia olisi 10 litraa ja alkoholin osuus olisi 13 %? 1. 1 2 litraa marjalikööriä, 8 1 litraa kuohuviiniä 3 3 2. 2 litraa marjalikööriä, 8 litraa kuohuviiniä 3. 2 1 litraa marjalikööriä, 7 2 litraa kuohuviiniä 3 3 7.2.2018 25
Yhteenveto Lineaarinen n:n yhtälön ja n:n muuttujan yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa Ax = b, missä A R n n, x, b R n Yhtälöryhmä voidaan ratkaista käänteismatriisin A 1 avulla, jos sellainen on olemassa: x = A 1 b Neliömatriisin A käänteismatriisi A 1 on olemassa jos ja vain jos Matriisi A on täysiasteinen Matriisin A rivit ja sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat Matriisin determinantti det A 0 a b Matriisin A = c d R2 2 Determinantti det A = ad bc Käänteismatriisi A 1 = 1 ad bc d c b a 26
Harjoittele verkossa! http://www.wolframalpha.com/problem-generator/ Matrices Determinantti: Determinant Käänteismatriisi: Inverse Matriisin aste: Matrix rank 7.2.2018 27