Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja. Aki Taanila 2.2.2011



Samankaltaiset tiedostot
Määrällisen aineiston esittämistapoja. Aki Taanila

Määrällisen aineiston esittämistapoja. Aki Taanila

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

AINEISTON ESITTÄMINEN JA KUVAILU 5. luku

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat:

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

Kvantitatiiviset menetelmät

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä!

Aki Taanila AINEISTON ESITTÄMINEN JA KUVAILU

Aki Taanila AINEISTON ESITTÄMINEN JA KUVAILU

Korrelaatiokerroin. Hanna Heikkinen. Matemaattisten tieteiden laitos. 23. toukokuuta 2012

Kandidaatintutkielman aineistonhankinta ja analyysi

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA AINEISTO...

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty

Esim. Pulssi-muuttujan frekvenssijakauma, aineisto luentomoniste liite 4

Til.yks. x y z

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Teema 5: Ristiintaulukointi

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja

3. a) Mitkä ovat tilastolliset mitta-asteikot? b) Millä tavalla nominaaliasteikollisen muuttujan jakauman voi esittää?

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Hannu mies LTK 180 Johanna nainen HuTK 168 Laura nainen LuTK 173 Jere mies NA 173 Riitta nainen LTK 164

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?

Ennen seuraavia tehtäviä tarkista, että KUNNAT-aineistossasi on 12 muuttujaa ja 416 tilastoyksikköä.

pisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

MTTTP1, luento KERTAUSTA

Ennen seuraavia tehtäviä tarkista, että KUNNAT-aineistossasi on 12 muuttujaa ja 416 tilastoyksikköä.

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

DATAN ESITTÄMINEN JA KUVAILU

Leikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastomenetelmien lopputyö

Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu

... Vinkkejä lopputyön raportin laadintaan. Sisältö 1. Johdanto 2. Analyyseissä käytetyt muuttujat 3. Tulososa 4. Reflektio (korvaa Johtopäätökset)

MTTTP1, luento KERTAUSTA

1 PROSENTTILASKENTAA 7

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

MTTTP1, luento KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ. Tunnusluvut. 1) Sijainnin tunnuslukuja. Keskilukuja moodi (Mo) mediaani (Md) keskiarvo, kaava (1)

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Taloyhtiöiden jätehuoltopalvelut

r = n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

1 PROSENTTILASKENTAA 7

2. Aineiston kuvailua

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.

Til.yks. x y z

Matin alkuvuoden budjetti

Tilastotieteen johdantokurssin harjoitustyö. 1 Johdanto Aineiston kuvaus Riippuvuustarkastelut...4

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

1 TILASTOJEN KÄYTTÖ 7. Mitä tilastotiede on 7 Historiaa 8 Tilastotieteen nykyinen asema 9 Tilastollisen tutkimuksen vaiheet 10

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä

Aki Taanila AIKASARJOJEN ESITTÄMINEN

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

tilastotieteen kertaus

11. Jäsenistön ansiotaso

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

Mitä tilastotiede on 7 Historiaa 8 Tilastotieteen nykyinen asema 9 Tilastollisen tutkimuksen vaiheet 10

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

Webropol 3.0 tulosten raportointi. Aki Taanila

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

SPSS-perusteet. Sisältö

MTTTP1, luento KERTAUSTA

Tutkimusmenetelmät I Määrällisen tutkimuksen osuus (2.5 op) "kynä-paperi"-harjoitukset/til

Itä-Suomen seudulliset liikkumistutkimukset 2018

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

ISÄNNÖINTIYRITYSTEN TALOUSBAROMETRI 2015

Itä-Suomen seudulliset liikkumistutkimukset Itä-Suomen liikkumistutkimus 2015

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET

Transkriptio:

Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja Aki Taanila 2.2.2011 1

Tilastokuviot Pylväs Piirakka Viiva Hajonta 2

Kuviossa huomioitavia asioita 1 Kuviolla tulee olla tarkoitus ja tehtävä (minkä tiedon haluat välittää katsojalle?) Kuviolla tulee olla kohderyhmä (kenelle kuvio on tarkoitettu?) Kokeile eri vaihtoehtoja ja valitse tarkoitukseen ja kohderyhmälle parhaiten sopiva esitystapa Kuvion tulee olla selkeä ja helposti ymmärrettävä Johdata katsojan huomio esitettävään asiaan, eikä kuvion tehosteisiin 3

Kuviossa huomioitavia asioita 2 Esitä tiedot peittelemättä ja rehellisesti Otsikoi akselit ja esitä käytetyt yksiköt selkeästi Ilmoita tiedon lähde, jos tieto on peräisin ulkopuolisesta lähteestä Lisää tarvittaessa kuvioon huomautuksia korostaaksesi epätavallisten tai poikkeavien arvojen syitä Yhdistä kuvio luontevasti sitä edeltävään sanalliseen selitykseen, jossa kerrot mihin asioihin katsojan pitää kuviossa kiinnittää huomioita 4

Pylväskuvio Pylväillä voidaan kuvata mm. lukumääriä, prosenttiosuuksia, rahamääriä ja keskiarvoja Suosi vaakapylväitä, kun esität eri pylväissä kategorisen muuttujan eri luokkia Suosi pystypylväitä, kun esität eri pylväissä määrällisen muuttujan eri luokkia 5

miljoonaa euroa Pylväskuvion rakenne 6 5 4 3 2 1 0 2001 2002 2003 Turku Tampere Helsinki 6

Lukumääriä pylväskuviona Ylempi korkeakoulu 2 Korkeakoulu 22 Toinen aste 30 Peruskoulu 27 0 10 20 30 40 Henkilöä Työntekijöiden koulutus (n=81) 7

Keskiarvoja pylväskuviona Työtovereihin 4,06 Työympäristöön 3,22 Työtehtäviin 3,20 Johtoon 3,06 Palkkaan 2,11 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Keskiarvo (1=Erittäin tyytymätön, 5=Erittäin tyytyväinen) Tyytyväisyys työn eri osa-alueisiin (n=81-82) 8

Työntekijöitä Histogrammi (ryhmitelty määrällinen muuttuja) 30 25 20 15 10 5 0 0-1600 1601-2100 2101-2600 2601-3100 3101-3600 3601- Palkka euroa Työntekijöiden palkkajakauma (n=82) 9

100 % pinottu pylväskuvio Erittäin tyytymätön Tyytymätön Neutraali Tyytyväinen Erittäin tyytyväinen Palkkaan Johtoon Työtehtäviin Työympäristöön Työtovereihin 0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 % Prosenttia vastaajista Tyytyväisyys työn eri osa-alueisiin (n= 81-82) 10

Viivakuvio Viivakuvio sopii aikasarjan esittämiseen Aikasarjoja esitettäessä viivakuvion vaaka-akselilla on aika Arvoakseli voidaan aloittaa muualtakin kuin nollakohdasta, jos halutaan kuvata vaihtelua itsessään Arvoakselia ei saa katkaista, jos halutaan tarkastella vaihtelun osuutta kokonaismäärästä 11

Miljoonaa euroa Viivakuvion rakenne 6 5 4 3 2 1 0 2001 2002 2003 Vuosi Turku Tampere Helsinki 12

henkilöauto mrd km joukkoliikenne mrd km Viivakuvio (kaksi arvoakselia) 70 65 60 55 50 45 40 35 30 Henkilöauto Joukkoliikenne 1980 1985 1990 1995 2000 2005 Vuosi 14 13,5 13 12,5 12 Kotimaanliikenteen henkilökilometrit henkilöautolla ja joukkoliikenteessä vuosina 1980-2009 (Lähde: Tilastokeskus) 13

Liikevaihto (milj. euroa) Hajontakuvio 70,0 65,0 60,0 55,0 50,0 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 110,0 120,0 130,0 Markkinointikustannukset (10 000 euroa) Hajontakuvio on havainnollinen väline kahden määrällisen muuttujan välisen riippuvuuden tarkasteluun 14

Piirakkakuvio Kuvaa kokonaisuuden jakaantumista osiin; muuhun tarkoitukseen piirakkaa ei tule käyttää Kaikkien kokonaisuuden osien oltava mukana Piirakka ei ole suositeltavaa, jos siivuja on enemmän kuin 6 15

Piirakkakuvio esim. Turku 7 % Tampere 19 % Helsinki 74 % Myynnin suhteellinen osuus eri toimipisteissä 16

Taulukointi Yhteenvetotaulukko Luokittelu Ristiintaulukointi 17

Yhteenvetotaulukko Koulutus Lukumäärä % Summa % Peruskoulu 27 33,3 33,3 Toinen aste 30 37,0 70,4 Korkeakoulu 22 27,2 97,5 Ylempi korkeakoulu 2 2,5 100,0 Yhteensä 81 100,0 18

Ryhmittely Yleensä määrälliset muuttujat täytyy ryhmitellä ennen taulukointia Tällaisia muuttujia ovat esim. palkka, liikevaihto, polttoaineen kulutus, henkilön paino,... 19

Ryhmiteltävä aineisto 52,0 64,7 60,3 55,9 56,2 56,4 68,2 62,1 58,9 59,4 59,8 54,5 64,9 60,6 61,0 61,7 56,8 69,4 62,7 63,6 64,0 60,2 55,8 66,2 67,0 67,9 62,0 57,6 55,9 56,4 54,4 64,8 60,5 59,4 59,5 56,7 68,9 62,6 60,8 61,4 60,0 55,7 65,7 63,1 63,8 61,8 57,2 77,1 66,8 67,1 Ohessa otos desibelimittauksia asuntoalueella sijaitsevassa risteyksessä Jos havainnot halutaan taulukoida, niin tarvitaan ryhmittelyä 20

Ryhmittelyn suorittaminen Etsi pienin ja suurin (52,0 ja 77,1) Päätä ryhmien lukumäärä (6) Laske ryhmäväli siten, että ryhmät peittävät hieman enemmän kuin pienimmän ja suurimman välisen matkan (5) Valitse ensimmäisen ryhmän alaraja (50) 21

Ryhmitelty yhteenvetotaulukko Desibeliä Lukumäärä % Summa % 50,0-54,9 3 6 6 55,0-59,9 16 32 38 60,0-64,9 21 42 80 65,0-69,9 9 18 98 70,0-74,9 0 0 98 75,0-79,9 1 2 100 50 100 22

Huomioita ryhmittelystä Esitä ryhmien rajat havaintojen tarkkuudella Esitä ryhmien rajat siten, ettei ole epäselvää mihin ryhmäänn mikin arvo kuuluu Tasaväliset ryhmät, jos mahdollista (esim. palkkoja ei useinkaan voi ryhmitellä tasavälisesti) Vältä avoimia ryhmiä (iän kohdalla joudutaan käyttämään usein avointa ryhmää esim. 65+) Enemmän ryhmiä Tarkempaa tietoa Vähemmän ryhmiä Helppolukuisempi taulukko 23

Ristiintaulukointi Soveltuu riippuvuuksien tarkasteluun ja ryhmien vertailuun Ryhmäkohtaisia lukumääriä ja/tai prosentteja Prosenttien vertailu helpompaa kuin lukumäärien vertailu Sukupuoli Tyytyväisyys johtoon Mies n=63 Nainen n=19 Yhteensä n=82 Tyytymätön 34,9 % 5,3 % 28,0 % Neutraali 36,5 % 36,8 % 36,6 % Tyytyväinen 28,6 % 57,9 % 35,4 % Yhteensä 100,0 % 100,0 % 100,0 % 24

Tunnuslukuja Moodi Keskiarvo ja keskihajonta Mediaani Neljännekset ja muut prosenttipisteet Geometrinen keskiarvo Korrelaatiokerroin 25

Miksi tunnuslukuja lasketaan? Tunnuslukuja lasketaan, jotta muodostuisi todellista vastaava mielikuva tarkasteltavasta asiasta. x Reaalimaailma 26

Keskipalkka? 35000 5500 4500 2500... pääjohtajan mielestä keskipalkka on yli 5900 (keskiarvo)... ulkopuolisen mielestä keskipalkka on 2500 (mediaani)... työntekijöiden mielestä keskipalkka on 1500 (moodi) 1500 27

Muuttujan mitta-asteikko ja tunnusluvut Kategorisille muuttujille moodi Asteikolla mitatuille muuttujille keskiarvo, keskihajonta (vähintään 5-portainen asteikko, joka voidaan olettaa tasaväliseksi) Asteikolla mitatuille sopii joissain tapauksissa moodi Määrällisille muuttujille keskiarvo ja keskihajonta Määrällisille muuttujille viiden luvun yhteenveto: pienin, alaneljännes, mediaani, yläneljännes, suurin Määrällisille muuttujille voidaan lisäksi laskea muita prosenttipisteitä 28

Moodi Moodi eli tyyppiarvo on useimmin esiintyvä havaintoarvo Sopii kategorisille muuttujille Esim. Lehden tyypillinen lukija on akateemisesti koulutettu 35-45-vuotias mies 29

Keskiarvo Keskiarvo: havaintojen summa jaettuna havaintojen lukumäärällä Keskiarvon kohdalta keinulauta saadaan tasapainoon Keskiarvo on herkkä erityisen suurille ja pienille arvoille Keskiarvon yhteydessä käytetään keskihajontaa vaihtelun mittaamiseen 30

Keskihajonta Keskiarvon yhteydessä vaihtelun mittarina käytetään keskihajontaa Keskihajonta on havaintojen keskimääräinen poikkeama keskiarvosta 31

Keskihajonnan laskeminen Lasketaan yksittäisen havainnon poikkeama keskiarvosta ja korotetaan poikkeama toiseen potenssiin 2 ( x i x) Lasketaan kaikkiin havaintoihin liittyvien poikkeamien toisten potenssien summa ( x x) 2 i Jaetaan otoskoolla, jolloin saadaan poikkeamien toisten potenssien keskiarvo (kutsutaan varianssiksi). Kumotaan lopuksi toinen potenssi neliöjuurella 2 ( x i n x) 32

Perusjoukon keskihajonta Kun arvioidaan otoksen avulla perusjoukon keskihajontaa, tehdään vielä tekninen korjaus korvaamalla luku n luvulla n-1 Voidaan osoittaa, että näin saadaan parempi arvio 33

Volatiliteetti Keskihajontaa käytetään yleisesti arvopaperin kokonaisriskin mittarina Tässä yhteydessä keskihajontaa kutsutaan volatiliteetiksi Prosentuaalisista päivätuotoista laskettu volatiliteetti muunnetaan vuositasolle kertomalla se kaupantekopäivien (250) neliöjuurella 34

Volatiliteetteja Osake Volatiliteetti 12 kk (21.11.2007) SanomaWSOY 20 % UPM-Kymmene 24 % Nokia 28 % Tietoenator 36 % Perlos 45 % Biotie Therapies 77 % 35

Mediaani Jos havainnot laitetaan suuruusjärjestykseen, niin mediaani on keskimmäinen havainto tai kahden keskimmäisen keskiarvo Puolet havainnoista mediaania pienempiä, puolet mediaania suurempia Mediaani ei ole herkkä erityisen suurille tai pienille arvoille mediaani 36

Neljännekset eli kvartiilit Jos havainnot laitetaan järjestykseen, niin alaneljänneksen (alakvartiili) alapuolelle jää 25% ja yläneljänneksen (yläkvartiili) alapuolelle jää 75% havainnoista 50% 25% 25% alaneljännes yläneljännes 37

Prosenttipisteet eli Fraktiilit alaneljännes on 25% prosenttipiste Mediaani on 50% prosenttipiste yläneljännes on 75% prosenttipiste Vastaavalla tavalla voidaan muodostaa muitakin prosenttipisteitä (esim. 5%, 95%) Prosenttipisteet sopivat havainnollisuutensa vuoksi hyvin jakauman kuvailuun (esim. asuntojen neliömetrihinnat, työntekijäryhmän palkat, osakkeen päivätuotot jne.) 38

Prosenttipisteitä Kerrostaloyksiöiden neliöhintojen (euroa) prosenttipisteitä vuonna 2007 Prosenttipiste Helsinki (N=250) Tampere (N=250) Pienin 2136 1176 10% 2655 1552 25% 3108 1804 Mediaani 3785 2255 75% 4544 2684 90% 5137 3000 Suurin 7515 4763 39

Geometrinen keskiarvo Peräkkäisiä muutoksia kuvaaville prosenttiluvuille käytetään geometrista keskiarvoa Geometrinen keskiarvo kuvaa keskimääräistä muutosvauhtia Geometrinen keskiarvo on n:s juuri muutoskertoimien tulosta 40

Geometrinen keskiarvo esim. Jos peräkkäiset hinnan muutokset ovat 1,5%; 2,3%; -1,2% ja 10,0%, niin muutoskertoimet ovat 1,015; 1,023; 0,988 ja 1,100 Geometrinen keskiarvo: 4 1,015 1,023 0,988 1,100 Tämä keskiarvo kuvailee keskimääräistä hinnan muutosta Neljä peräkkäistä 3,07% suuruista hinnan muutosta johtaa samaan lopputulokseen kuin alkuperäiset hinnanmuutokset 1,0307 41

Pearsonin korrelaatiokerroin Pearsonin korrelaatiokerroin mittaa lineaarista eli suoraviivaista riippuvuutta. 42

Korrelaatiokertoimen arvot Täydellinen negatiivinen korrelaatio Ei korrelaatiota Täydellinen positiivinen korrelaatio -1.0 -.5 0 +.5 +1.0 43

Pearsonin korrelaatiokertoimia 44

Korrelaatiokertoimen arvon karkea tulkinta r < 0,3 muuttujien välillä ei ole juurikaan lineaarista riippuvuutta 0,3 < r < 0,7 muuttujien välillä on jonkin verran lineaarista riippuvuutta r > 0,7 muuttujien välillä on selvä lineaarinen riippuvuus. 45

Muita tunnuslukuja vaihteluväli (väli suurimmasta pienimpään) varianssi (keskihajonnan toinen potenssi) variaatiokerroin (keskihajonta/keskiarvo) mittaa suhteellista vaihtelua; variaatiokertoimen avulla voidaan vertailla eri asteikoilla mitattujen muuttujien vaihtelua 46

Tiekartta Tarkoitus Kategorinen Muuttujan mitta-asteikko Määrällinen Yhteenveto muuttujan arvoista Yhteenvetotaulukko Pylväskuvio Piirakkakuvio Moodi Ryhmitelty yhteenvetotaulukko Histogrammi Keskiarvo*, keskihajonta* 5 luvun yhteenveto Ryhmien vertailu Ristiintaulukointi Keskiarvojen ja keskihajontojen vertailu* Muiden tunnuslukujen vertailu Kahden muuttujan välinen riippuvuus Ristiintaulukointi Pylväskuvio 100 % pinotut pylväät Hajontakuvio Aikasarjakuvio Korrelaatiokerroin* Mielipideasteikoille sopii kategoristen muuttujien menetelmät. Jos mielipideasteikko on vähintään 5-portainen ja voidaan olettaa tasaväliseksi, niin tähdellä* merkityt määrällisten muuttujien menetelmät ovat harkinnanarvoisia. 47