Antiikin Kreikan kartografit Ilppo Soininvaara

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Antiikin Kreikan kartografit Ilppo Soininvaara"

Transkriptio

1 Antiikin Kreikan kartografit Ilppo Soininvaara Antiikin Kreikan historia, ja sen filosofit ovat tunnettuja saavutuksistaan useilla tieteenaloilla. Kreikkalaisten aikaansaannoksista lukiessa ei voi kun hämmästellä, miten pitkälle kreikkalaiset filosofit ja yleisnerot olivat taiteiden lisäksi kehittäneet luonnontieteiden osaamista. Antiikin tieteentekijöillä ei ollut käytössään meidän aikamme välineistöä, mutta he kykenivät puhtaasti loogisella päättelyllä suorituksiin, jotka tuntuvat uskomattomilta. Maantiede oli yksi tärkeistä tieteenaloista antiikin kreikassa, olivathan tuon ajan kreikkalaiset tunnettuja kauppiaita ja matkaajia, jotka perustivat siirtokuntia ympäri Välimerta. Tieto alueista ja kansoista, sekä reiteistä oli elintärkeää kaupanteon kannalta. Me olemme nykyisin tottuneet esittämään kartalla lähes mitä tahansa, mutta varhaisantiikin aikana kartat olivat vielä tuntematon käsite. Kreikkalaiset tukeutuivatkin matkoillaan matkakuvauksiin ja erinäisiin katalogeihin, joissa lueteltiin kaupunkeja, kyliä tai muita maamerkkejä tietyn matkareitin varrelta, ja näiden maamerkkien tai välipisteiden avulla suunnistettiin haluttuun paikkaan. Varsinaisia mittauksia välimatkoista ei tehty, vaan etäisyydet kerrottiin matka-aikoina, jotka luonnollisesti etenkin merialueilla saattoivat olla hyvin epäluotettavia. Antiikin filosofien töihin kuuluu paljon maantieteellisiä kuvauksia; kreikkalaiset olivat kiinnostuneita ympäristöstään, mutta maantieteessä keskityttiin lähinnä asuttujen alueiden ja eri kansojen kuvailuihin. Luonto ei juuri kiinnostanut varhaisia maantieteilijöitä, ellei siitä ollut hyötyä suunnistuksen kannalta, maantieteelliset kuvailut olivat lähinnä ihmismaantiedettä. (Raaflaub et al. 2009) Suurin osa siitä tiedosta, mitä meillä on antiikin kreikkalaisista ja heidän saavutuksistaan, on peräisin aikalaiskirjoituksista ja myöhäisemmistä historiateoksista, jotka ovat käyttäneet vielä lähteinään aikalaisteoksia. Iso osa alkuperäisistä kirjoituksista ja etenkin kartoista ovat hävinneet. Strabo, joka oli itsekin yksi antiikin merkittävimpiä maantieteilijöitä, on muutaman muun ohella yksi tärkeimpiä lähteitä varhaisempien kreikkalaistieteilijöiden saavutuksiin (Perseus Encyclopedia). Vaikka kiitettävän paljon antiikin kirjoituksia on säilynyt, ja näin ollen meillä periaatteessa on saatavillamme hyvin tietoa aiheesta, tulee muistaa lähteiden konteksti. Antiikin kreikkalaisilla oli oma tyylinsä tallentaa tietoja, eikä lähteitä aina voida pitää täysin luotettavina. Uskomukset ja uskonnot linkittyivät empiirisen tiedon kanssa saumattomasti yhteen etenkin varhaisempien tieteilijöiden maailmankuvissa. Samaan aikaan tieteilijä pystyi harrastamaan pitkälle vietyä matematiikkaa vuoren korkeuteen ja kulmiin liittyen, pitämään uskottavana, että vuoren päällä todella asui jumalia tai henkiä (Raaflaub et al. 2009). Samoin antiikin filosofeille on omintakeista samat paheet kuin meille nykyään, he esimerkiksi omivat surutta omien suurmiestensä keksinnöiksi muualta lainattuja asioita, vaikkapa mittaukseen käytetyn gnomon kepin (Daly 1879). Myös muinaiskreikan kieli aiheuttaa päänvaivaa, esimerkiksi Pothecary (1997) on selvittänyt Strabon käyttämän meidän aikanamme - ilmauksen todellista merkitystä; tämä on oiva esimerkki siitä, että emme voi täysin varmasti aina luottaa töihin sellaisenaan. Antiikin lähteissä on myös jonkin verran ristiriitaisuuksia.

2 Antiikin historioitsijat antavat yleensä Anaksimandrokselle kunnian olla ensimmäisen (kreikkalaisen) maailmankartan tekijä (Raaflaub et al. 2009; Daly 1879; Harley & Woodward 1987). Anaksimandros (n eaa.) oli Thaleen, kuuluisan astronomin, oppilas. Tuohon aikaan kartalle ei luonnollisestikaan ollut mitään omaa sanaa kreikan kielessä, ja karttojen yleistyminen käyttöesineiksi oli hidasta. Alkuun kartat olivat lähinnä filosofien välineitä maailman ja sen rakenteen pohdinnassa. Anaksimandroksen kartta (kuva 1), kuten suuri osa hänen muistakaan töistään, ei ole säilynyt, mutta siitä löytyy kirjoitettuja kuvauksia, joiden avulla on luotu rekonstruktioita. Anaksimandroksen maailmankuvan mukaan maa oli sylinterin mallinen (Daly 1879), ja asutun alueen olevan sylinterin päällä. Kartta muistuttaa keskiajan TO-karttaa: maailma on jakautunut kolmeen mantereeseen, joita vesistöt erottavat toisistaan. Maa-alueita ympäröi Oceanus-joki, joka rajasi sylinterin reunoja, ja näin ollen toimi maailman rajana (Daly 1879; Harley & Woodward 1987). Tällainen maailmankuva on ilmeisesti ollut varsin yleinen, mutta ei vailla kritiikkiä. Herodotos kirjoitti pitävänsä ajatuksia maailmaa ympäröivästä, tyhjyyteen rajautuvasta joesta naurettavina, mutta häntä aiemmin maailmankuva on hyvinkin voinut olla kyseisen kaltainen (Raaflaub et al. 2009). Anaksimandroksen kartta oli vielä hyvin alkeellinen ja yksinkertainen, pelkkä havainnollistus maailman mahdollisesta rakenteesta. Se oli kuitenkin alku kartografiselle esittämismuodolle. Hekataios (n eaa.) paranteli Anaksimandroksen karttaa asettamalla karttaan lisää sisältöä, yksityiskohtaisempaa tietoa tunnettujen paikkojen sijainneista. Hekataios oli tunnettu Aasian matkaaja, jonka kaksi matkakertomusta eivät ole säilyneet, mutta jotka ovat olleet aikanaan merkittäviä tiedonlähteitä (Daly 1879; Raaflaub et al. 2009). Hekataioksen myötä voidaan ajatella alkaneen tieteellisemmän otteen (kreikkalaisessa) kartografiassa. Hän yhdisti empiiristä tietoa paikoista karttaan pelkän maailmanpohdinnan sijaan. Kartat yleistyivät hyvin hitaasti filosofien töistä kansan pariin käyttöesineiksi. Vasta 300-luvulla eaa. kartat alkoivat olla arkipäivää, mutta on olemassa varhaisempia tarinoita ja vitsejä karttoja ymmärtämättömistä, oppimattomista, joiden tietämättömyydelle naurettiin. Yksi kenties tunnetuimpia tarinoita varhaisista kartoista, ja niiden käyttämisestä kartanlukutaidottomuutta hyödyntäen on Herodotuksen kertomus Aristagoraasta. Miletoksen johtaja Aristagoras pyrki saamaan Spartan kuninkaan Cleomeneksen mukaansa sotaretkelle Persiaa vastaan, ja toi tämän eteen kartan, johon oli merkitty koko matka Spartasta Persian pääkaupunkiin Susaan saakka. Aristagoraan tarkoituksena ei ollut näyttää Cleomenekselle reittiä perille, vaan nimenomaan huijata tätä matkan pituudesta, sillä Cleomenes ei kyennyt ymmärtämään mittakaavaa. (Raaflaub et al. 2009) Pikkuhiljaa kartat kuitenkin alkoivat tulla tutummiksi ja Harley & Woodward (1987) antavatkin viitteitä kartoista ja pohjapiirroksista, jotka kertovat karttamaisen esitystavan yleistymisestä käytännön elämän asteille, esimerkiksi kaivoksen ja rakennusten pohjapiirroksia 400-luvulta eaa. Kolmannella vuosisadalla eaa. kartografia alkoi kehittyä nopeasti teoriasta käytäntöön. Yksi tärkeimmistä tekijöistä maailmankarttojen kehitykselle olivat

3 matkakertomukset, ja niiden avulla saatu tieto kaukaisista maista. Aleksanteri Suuren sotaretki kauas Intiaan oli hyvin merkittävä tekijä Aasian tuntemuksen kannalta. Aleksanteri määräsi mukaansa suuren joukon tieteilijöitä, joista osan tehtävä oli taltioida kuljetut matkat ja etäisyydet tarkasti, ja näin luotiin ensi kertaa ajan mittapuulla tarkkoja karttoja itäisistä alueista. Toinen merkittävä matkaaja oli Massilialainen Pytheas, joka oli kaupankävijä, ja tutkimusmatkaaja sekä etevä matemaatikko. Pytheas purjehti Atlantilla Britanniaan, Orkneysaarille ja aina pohjoisen jäisille vesille saakka, ja kertoo löytäneensä sieltä tarujen Thulen, kenties Islannin. Aikalaiset ja historioitsijat, kuten Strabo, pitivät Pytheasta huijarina, ainakin koskien pohjoisia alueita. Nykytietämyksen valossa Pytheaan kertomukset kuulostavat uskottavammilta, mutta tuolloin yleinen käsitys oli, että Euroopan keskiosien korkeudella oli jo äärimmäisen kylmää. Matkakertomuksista ja mittauksista oli varmasti apua kartografian kehittymiselle, mutta tuon ajan karttoja ei ole säilynyt, emmekä tiedä niistä juurikaan. Joitakin kirjallisia kuvauksia kartoista on olemassa, mutta ne eivät kerro kaikkea. Oman lisänsä asian tulkintaan tuo esimerkiksi Strabon oma negatiivinen asenne Pytheaan suhteen. (Harley & Woodward 1987) Arvailuja maapallon pyöreydestä esiintyvät jo varhaisissa teoksissa. Historioitsija Diogenes Laertius mainitsee Parmenideen olleen ensimmäinen, joka esitti ajatuksen maapallosta, ja pallo sijaitsi tämän mukaan universumin keskellä. Ilmeisesti Sokrates ( eaa.), jota toisinaan on pidetty yhtenä merkittävimmistä ajattelijoista maapallon todellisen muodon suhteen, on saanut ajatuksen juuri Parmenideeltä (Daly 1879). Toisten arvioiden mukaan ensimmäisenä pallosta olisikin puhunut Archytas Tarentumilainen (Dutka 1993). Aristoteles ( ekr.) oli kuitenkin jo vakuuttunut maan pyöreydestä, ja perusteli asiaa muun muassa maan varjolla auringonpimennyksen aikana. Aristoteleellä oli jopa ehdotuksensa maan ympärysmitaksi, stadionia, joka käyttäen Herodotosta lähteenä stadionin mitaksi, olisi hämmästyttävän lähellä todellista. Aristoteleen jälkeen käsitys pallon muotoisesta maailmasta oli muodostunut yleiseksi oppineiden keskuudessa, joskaan ei kansan parissa. (Dutka 1993; Daly 1879) Yksi merkittävimmistä kreikkalaisista maantieteilijöistä oli Eratosthenes ( eaa.). Eratosthenestä voidaan pitää jopa tieteellisen kartografian isänä, niin merkittävä on hänen asemansa tieteenalan kehitykselle ollut. Eratosthenes oli monitieteilijä useiden kreikkalaisten suurmiesten tapaan, mutta hänen merkittävimmät työnsä liittyivät maapallon tuntemuksen ja maailmankartan kehitykseen (Harley & Woodward 1987). Eratosthenes oli syntyjään kyreneläinen, opiskellut Ateenassa ja toimi lopulta Aleksandrian kirjaston johtajana. Hänen tunnetuin työnsä oli maapallon ympärysmitan laskeminen. Eratostheneksen omia töitä ei ole säilynyt, mutta aikalaiskirjoitukset ovat selostaneet tämän metodeja, joskin hieman kiistanalaisesti. Edes Eratostheneksen käyttämistä mitoista ei ole täyttä yksimielisyyttä. Hän käyttää mittayksikkönä Stadionia, mutta sen sisällöstä on eri käsityksiä, jonka vuoksi hänen työnsä ja tuloksensa herättävät keskustelua yhä edelleen (Brown 1979, Dutka 1993). Eratostheneksen metodi maapallon ympärysmitan laskemiseksi oli yksinkertaisen nerokas. Hän perusti laskelmansa kolmeen alkuhavaintoon tai oletukseen:

4 maahan saapuvat auringonsäteet ovat yhdensuuntaisia, matka kahden mittauspisteen välillä Aleksandriasta Syeneen on 5000 stadionia, mittauspisteet sijaitsevat samalla pituuspiirillä, ja että Syene sijaitsee kääntöpiirillä. Näin ollen Eratosthenes määritti mittauspisteissä auringon gnomon-mittakepille luoman varjojen pituuden avulla mittapisteiden välisen ympyrän sektorin pituuden, ja sen avulla koko maapallon ympäryksen. Hän joutui kuitenkin lisäämään tulokseensa 2000 stadionia, saadakseen 60:lla jaollisen luvun, ja päätyi näin tulokseen Stadionia. (Dutka 1993; Brown 1979; Daly 1879; Harley & Woodward 1987) Mittaus ei ollut lopulta kovin tarkka. Mittapisteiden välimatka ei ollut täsmällinen, pisteet eivät tosiasiassa sijainneetkaan täsmälleen samalla meridiaanilla eikä Syene sijainnut aivan kääntöpiirillä. Näin ollen Eratostheneksen alkuarvot olivat jo pielessä, ja lisäksi gnomon ja varjon pituuden laskeminen olivat ilmeisen epätarkkoja mittauskeinoja. Eratosthenes tuskin myöskään ymmärsi riittävästi valonsäteiden taittumisesta tai muista asiaan liittyvistä fysikaalisista ilmiöistä (Dutka 1993). Suurin kiista koskee kuitenkin Stadionin pituutta, ei ole selvää, kuinka pitkä oli Eratostheneksen käyttämä stadion, sillä mittayksikön pituus on historian saatossa vaihdellut. Jos käytetään hyväksi keskimääräistä käsitystä stadionin pituudesta, on Eratostheneksen stadionia noin kilometriä, mikä on hyvin lähellä totuutta (Dutka 1993; Brown 1979). On kuvaavaa, että Aristoteles päätyi lukemaan stadionia, mikä oli myös hyvin lähellä totuutta, mikäli stadionin mittaa tulkitaan eritavalla. Eratostheneksen mittaustapa ja tulos olivat merkittäviä, mutta Poseidoniuksen hieman myöhemmin määrittelemä arvo, minkä Strabo vielä virheellisesti välitti eteenpäin huomattavasti pienemmäksi vääristyneenä, valikoitui aikanaan oikeana pidetyksi (Brown 1979). Eratostheneksen toinen päätyö oli kolmeosainen Geographica, jossa hän antoi tarkat ohjeet maailmankartan tekemiseen (Harley & Woodward 1987). Eratosthenes oli omaksunut Dicearchuksen ajatuksen jakaa maailma kahtia eteläiseen ja pohjoiseen, sekä itäiseen ja läntiseen osaan. Eratosthenes määritti vertausleveyspiirinsä kulkemaan Gibraltarilta Ateenan kautta Pohjois-Intiaan, sekä keskimeridiaanin kulkemaan Rhodoksen kautta, ja määritti sijainteja näiden suhteen. On kuitenkin sanottu, että etäisyydet, joita Eratosthenes käytti paikkojen sijoittamiseen kartallaan, eivät olleet hänen omiaan, vaan summittaisia lainauksia eri lähteistä. Hän kuitenkin laski tunnetun maailma koon, ja asetti sen pallon pinnalle, ja määritteli asumiskelvollisen vyöhykkeen, joka kiersi maapallon vyönkaltaisesti tiettyjen leveysasteiden välillä, ja piti mahdollisena, että asuttuja saarekkeita tällä vyöhykkeellä on enemmänkin, kuin pelkkä tuolloin tunnettu maailma (Brown 1979; Harley & Woodward 1987). Eratosthenes tavallaan keksi pituus ja leveyspiirit, mutta ei käyttänyt niitä vielä kovin tieteellisesti. Hän määritti pituuspiirejä kulkemaan tunnettujen paikkojen kautta, eikä matemaattisten laskelmien suhteen. Hipparkhos myöhemmin esitti tästä voimakasta kritiikkiä. Eratostheneksen kartta ei ole säilynyt, mutta siitäkin löytyy rekonstruktio (Kuva 2), jota Harley & Woodward kuitenkin varoittavat pitämästä kovin tarkkana kopiona. Vaikka Strabo, ja muut aikalaiset eivät pitäneet Eratostheneksen karttoja tarpeeksi tieteellisinä tai luotettavina, jäi tämä kuitenkin elämään suurena kartografina ja astronomina sekä

5 matemaatikkona, joka oli yksi harvoista, jota Strabo piti kritiikkinsä arvoisena (Brown 1979). Eratosthenestä voidaan pitää ensimmäisenä, joka aloitti projektioiden ja koordinaatistojen kehittämisen (Harley & Woodward 1987), ja joka puhtaan matemaattisesti määritti maapallon kokoluokkaa ja etäisyyksiä matka-aika-arvioiden sijaan (Daly 1879). Eratosthenes myös esitti jo varhain, että purjehtiminen suoraan Gibraltarilta länteen johtaisi matkaajan Intiaan (Brown 1979). Hipparkhos ( eaa.) tunnetaan parhaiten astronomina ja matemaatikkona, trigonometrian isänä. Hän määritteli esimerkiksi Kuun ja Auringon etäisyyksiä maapallosta (Toomer 1974), mutta oli kuitenkin myös merkittävä kartografi, joka kehitti pidemmälle ja tieteellisemmäksi Eratostheneksen pituus- ja leveyspiirejä. Hipparkhos keksi jakaa maapallon 360 asteeseen, navalta navalle kulkeviin pituuspiireihin, ja päiväntasaajan suuntaisiin leveyspiireihin, jotka kulkivat matemaattisessa suhteessa toisiinsa, ja joiden väliin voitiin aina muodostaa uusia, tarkkaan määriteltyjä pituus- tai leveyspiirejä (Daly 1879). Hipparkhosta voidaan pitää ensimmäisenä puhtaan tieteellisenä kartografina. Hän perusti kaikki havaintonsa vain tarkkaan laskettuihin mittauksiin, ja kritisoikin Eratosthenestä paitsi tämän summittaisista pituus- ja leveyspiireistä, niin myös tämän ajatuksista Intian sijainnista. Eratosthenes määritteli Intian liian pohjoiseen, luottaen liiaksi vanhempaan tietämykseen. Hipparkhos oli puolestaan valmis hylkäämään vanhan, varmana pidetyn tiedon, ja luottamaan pelkästään astronomisiin laskuihinsa. Vaikka Hipparkhoksenkaan laskut eivät aina olleet täydellisen oikeassa, olivat ne huomattavasti kehittyneempiä, kuin aiemmin. Paljon kertoo myös Hipparkhoksen kyvyistä, että Strabo, joka on pääasiallinen lähde suurimpaan osaan aiemmista maantieteilijöistä, ei ymmärtänyt Hipparkhoksen töitä, vaan tallensi ne Geographicaansa väärin (Shcheglov 2005). Hipparkhos myös kyseenalaisti vallitsevat käsitykset asumiskelpoisesta maailmasta. Hän väitti, että asuttava maailma jatkuu huomattavan pitkälle tunnetun maailman ulkopuolelle, esimerkiksi etelässä päiväntasaajalle saakka. Joidenkin tutkijoiden mielestä Hipparkhos ei edes aina yrittänyt ratkoa maantieteellisiä ongelmia, vaan keskittyi puhtaasti kritisoimaan edeltäjiään näiden virheistä kehittääkseen parempia metodeja kartan tekoon (Shcheglov 2005). Hipparkhoksen kartta (kuva 3) on jo selkeästi tieteellisemmän oloinen. Hän ei kuitenkaan kyennyt ratkaisemaan maapallon kaarevuuden ongelmaa kaksiulotteisessa kartassaan kovin tehokkaasti, mutta hänen työnsä astronomian ja kartografian saralla olivat huomattavan merkittävässä asemassa tuleville kartografeille, ja näiden töille. Ptolemaios, jota pidetään yhtenä kartografian merkkipaaluna, on selkeästi saanut vaikutteita Hipparkhoksen uraauurtavasta tavasta jakaa maapallo asteisiin, joita käytämme yhä edelleen.

6 LÄHTEET Brown, L. A. (1979, 1. p. 1949). The story of maps. Dover Publications Inc., New York. Daly, C (1879). The Early History of Cartography, or What We Know of Maps and Map- Making before the Time of Mercator, Journal of the American Geographical Society of New York, Vol. 11 (1879), pp Dutka, Jacques (1993). Eratosthenes' measurement of the earth reconsidered. Archive for History of Exact Sciences 20. VIII. 46/1993, sivut Harley, J & Woodward, D (1987). Cartography in prehistoric, ancient, and medieval Europe and the Mediterranean. 622 s. University of Chicago Press. Perseus Encyclopedia < text?doc=perseus%3atext%3a %3aid%3dstrabo&redirect=true> Pothecary, S (1997). The expression "our times" in Strabo's Geography, Classical Philology Vol. 92, No. 3 (Jul., 1997), pp , The University of Chicago Press Raaflaub, K (2009). Geography and ethnography : Perceptions of the world in pre-modern societies, Wiley-Blackwell, Hoboken, NJ, Yhdysvallat Shcheglov, D (2005). Hipparchus on the Latitude of Southern India. Greek, Roman, and Byzantine Studies 45/2005, sivut Toomer, G (1974). Hipparchus on the distances of the sun and moon. Archive for History of Exact Sciences 31. XII. 14/1974, 2, sivut LIITTEET Kuva 1. Rekonstruktio Anaksimandroksen kartasta (

7 Kuva 2. Rekonstruktio Eratostheneen kartasta ( Kuva 3. Kartta vuodelta 100 eaa., mahdollisesti Hipparkhoksen (

Kartografian historiaa ja perusteita. Taru Tiainen

Kartografian historiaa ja perusteita. Taru Tiainen Kartografian historiaa ja perusteita Taru Tiainen 18.4.2016 Alkutehtävä Piirrä Joensuun kartta Aikaa n. 5 minuuttia Alkutehtävä Mikä vaikuttaa karttasi tekoon? Miksi kartta on näköisensä? Mitä tämän tehtävän

Lisätiedot

PIKAOPAS 1. Kellotaulun kulma säädetään sijainnin leveys- asteen mukaiseksi.

PIKAOPAS 1. Kellotaulun kulma säädetään sijainnin leveys- asteen mukaiseksi. Käyttöohje PIKAOPAS 1. Kellotaulun kulma säädetään sijainnin leveysasteen mukaiseksi. Kellossa olevat kaupungit auttavat alkuun, tarkempi leveysasteluku löytyy sijaintisi koordinaateista. 2. Kello asetetaan

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Elämänkatsomustieto Satu Honkala, Antti Tukonen ja Ritva Tuominen Sisällys Opettajalle...4 Oppilaalle...5 Työtavoista...6 Elämänkatsomustieto oppiaineena...6 1. HYVÄ ELÄMÄ...8

Lisätiedot

Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä

Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä A1. Antiikin kreikkalainen monitieteilijä Eratosthenes (276-194) eaa. onnistui ensimmäisenä mittaamaan 240 eaa. maapallon ympärysmitan

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet

Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet Päivämäärä.. Oppilaitos.. Nimi.. Tehtävä 1 Millainen kielenoppija sinä olet? Merkitse rastilla (x) lauseet, jotka kertovat sinun tyylistäsi oppia ja käyttää kieltä. 1. Muistan

Lisätiedot

1) Ymmärrä - ja tule asiantuntijaksi askel askeleelta

1) Ymmärrä - ja tule asiantuntijaksi askel askeleelta Tarkkailuharjoitus 4..4. Tarkkailu- harjoitus Tarkkailuvihkotekniikka Alla on kuvattu askel askeleelta etenevät ohjeet siitä, kuinka kuluttajien tarpeita voidaan paljastaa. Tämä metodi auttaa sinua tekemään

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi

Lisätiedot

Selkokartat Pohjoismaat ja Baltia

Selkokartat Pohjoismaat ja Baltia Selkokartat ohjoismaat ja Baltia Selkokartat - ohjoismaat ja Baltia Tekijä:... Tuija iili-jokinen Kuvitus:...Jussi Koskela Asiantuntijakonsultointi:...Ilkka skola Taitto ja kansikuva:...jussi Koskela Kustantaja:...Valteri-koulu

Lisätiedot

MYYTIT Totta vai tarua?

MYYTIT Totta vai tarua? MYYTIT Totta vai tarua? MYYTTI ON TARINA Arkikielessä myytti merkitsee usein epätotta, satua, juttua vain. Tämä on myytin todellisen olemuksen sivuuttamista ja vähättelyä! Maailmassa on muitakin totuuksia

Lisätiedot

Yksilöllisen oppimisen menetelmä. Ville Aitlahti, @matikkamatskut, www.matikkamatskut.com

Yksilöllisen oppimisen menetelmä. Ville Aitlahti, @matikkamatskut, www.matikkamatskut.com Yksilöllisen oppimisen menetelmä Yksilöllisen oppimisen menetelmä Tarve menetelmän takana: http://youtu.be/dep6mcnbh_c Oman oppimisen omistaminen Opettajan tietyt raamit toiminnalle Oman oppimisen omistaminen

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

Lataa Tieteen lyhyt historia - vai pitkä tie luonnonfilosofian ja empirismin kohtaamiseen - Tuomo Suntola. Lataa

Lataa Tieteen lyhyt historia - vai pitkä tie luonnonfilosofian ja empirismin kohtaamiseen - Tuomo Suntola. Lataa Lataa Tieteen lyhyt historia - vai pitkä tie luonnonfilosofian ja empirismin kohtaamiseen - Tuomo Suntola Lataa Kirjailija: Tuomo Suntola ISBN: 9789526723686 Sivumäärä: 290 Formaatti: PDF Tiedoston koko:

Lisätiedot

Sävel Oskar Merikanto Sanat Pekka Ervast

Sävel Oskar Merikanto Sanat Pekka Ervast Sävel Oskar Merikanto Sanat Pekka Ervast KUOLEMAN KUNNIAKSI Pekka Ervast Oskar Merikanto Teoksen taustaa Tukholman kongressi 1913 ja Oskar Merikanto. Kuten lukijamme tietävät, pidetään ensi kesänä Tukholmassa

Lisätiedot

MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN

MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN Matematiikka ja matematiikan soveltaminen, 4 osp Pakollinen tutkinnon osa osaa tehdä peruslaskutoimitukset, toteuttaa mittayksiköiden muunnokset ja soveltaa talousmatematiikkaa

Lisätiedot

Tieteellisiä havaintoja kännykällä

Tieteellisiä havaintoja kännykällä Tieteellisiä havaintoja kännykällä Havainto Arkipäivässäkin voi tehdä tieteellisiä havaintoja erilaisista luonnonilmiöistä. Tieteellisiin havaintoihin kuuluu havainnon dokumentointi ja erilaisten mittausten

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

GeoGebran 3D paketti

GeoGebran 3D paketti GeoGebran 3D paketti vielä kehittelyvaiheessa joitakin puutteita ja virheitä löytyy! suomennos kesken parhaimmillaan yhdistettynä 3D-lasien kanssa tilattavissa esim. netistä (hinta noin euron/lasit) 3D-version

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Tähtitieteen historiaa

Tähtitieteen historiaa Tähtitiede Sisältö: Tähtitieteen historia Kokeellisen tiedonhankinnan menetelmät Perusteoriat Alkuräjähdysteoria Gravitaatiolaki Suhteellisuusteoria Alkuaineiden syntymekanismit Tähtitieteen käsitteitä

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka. 2: Helpot ja monimutkaiset. Luento 2. Monimutkaiset ongelmat. Monimutkaiset ongelmat

Kieli merkitys ja logiikka. 2: Helpot ja monimutkaiset. Luento 2. Monimutkaiset ongelmat. Monimutkaiset ongelmat Luento 2. Kieli merkitys ja logiikka 2: Helpot ja monimutkaiset Helpot ja monimutkaiset ongelmat Tehtävä: etsi säkillinen rahaa talosta, jossa on monta huonetta. Ratkaisu: täydellinen haku käy huoneet

Lisätiedot

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana. Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5

Lisätiedot

Fysiikan historia Luento 2

Fysiikan historia Luento 2 Fysiikan historia Luento 2 Ibn al- Haytham (Alhazen), ensimmäinen tiedemies Keskiajan tiede Kiinnostus =iloso=iaa ja luonnontiedettä kohtaan alkoi laantua Rooman vallan kasvaessa Osa vanhasta tiedosta

Lisätiedot

Luento 6: 3-D koordinaatit

Luento 6: 3-D koordinaatit Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen MAANTIETO Maantiedon päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle 8 ja niitä täydentävä tukimateriaali Opetuksen tavoite Sisältöalueet Maantieteellinen tieto ja ymmärrys T1 tukea oppilaan jäsentyneen karttakuvan

Lisätiedot

Mikä ihmeen Global Mindedness?

Mikä ihmeen Global Mindedness? Ulkomaanjakson vaikutukset opiskelijan asenteisiin ja erilaisen kohtaamiseen Global Mindedness kyselyn alustavia tuloksia Irma Garam, CIMO LdV kesäpäivät 4.6.2 Jun- 14 Mikä ihmeen Global Mindedness? Kysely,

Lisätiedot

Pisan 2012 tulokset ja johtopäätökset

Pisan 2012 tulokset ja johtopäätökset Pisan 2012 tulokset ja johtopäätökset Jouni Välijärvi, professori Koulutuksen tutkimuslaitos Jyväskylän yliopisto PISA ja opettajankoulutuksen kehittäminen-seminaari Tampere 14.3.2014 17.3.2014 PISA 2012

Lisätiedot

Harjoittelijoiden palaute yliopiston tukemasta harjoittelusta 2012

Harjoittelijoiden palaute yliopiston tukemasta harjoittelusta 2012 Harjoittelijoiden palaute yliopiston tukemasta harjoittelusta 2012 Urapalvelut/ Susan Blomberg Yliopisto tukee opiskelijoidensa työharjoittelua myöntämällä harjoittelutukea tutkintoon sisällytettävään

Lisätiedot

Herra on Paimen. Ps. 100:3 Tietäkää, että Herra on Jumala. Hän on meidät luonut, ja hänen me olemme, hänen kansansa, hänen laitumensa lampaat.

Herra on Paimen. Ps. 100:3 Tietäkää, että Herra on Jumala. Hän on meidät luonut, ja hänen me olemme, hänen kansansa, hänen laitumensa lampaat. Herra on Paimen Ps. 100:3 Tietäkää, että Herra on Jumala. Hän on meidät luonut, ja hänen me olemme, hänen kansansa, hänen laitumensa lampaat. Joh. 10:11 Minä olen se hyvä paimen. Joh. 10:11 Minä olen

Lisätiedot

Vuosilustot ilmastohistorian tulkkina

Vuosilustot ilmastohistorian tulkkina Esitelmä Voitto Valio Viinasen Inarin rajahistoria II kirjan julkistamistilaisuudessa Inarin Siidassa 16.12.2006 Vuosilustot ilmastohistorian tulkkina Mauri Timonen Metla, Rovaniemen tutkimusyksikkö Metsäntutkimuslaitos

Lisätiedot

Asiakirjojen vertailu-kurssi

Asiakirjojen vertailu-kurssi Asiakirjojen vertailu-kurssi Revussa voi verrata keskenään kahta PDF:ää ja automaattisesti näyttää niiden väliset erot. Piirrosten ja kaaviokuvien vertailu sujuu siten helposti ja nopeasti. Kun haluat

Lisätiedot

Viestintätieteet VIESTINTÄTIETEET , N = 193

Viestintätieteet VIESTINTÄTIETEET , N = 193 Viestintätieteet 2013-15 VIESTINTÄTIETEET 2013-15, N = 193 Viestintätieteiden opiskelijoilla pitkä matematiikka (27 %) on pienemmällä osuudella kuin lyhyt (40 %) tai ei matematiikkaa (33 %). Reaaliaineista

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Ohje tutkielman tekemiseen

Ohje tutkielman tekemiseen Sauvon koulukeskus 2011 Ohje tutkielman tekemiseen Aiheen valinta Etsi materiaalia Valitse itseäsi kiinnostava aihe. Sovi opettajan kanssa aiheen rajaus. Pyydä opettajalta tutkielmapassiin merkintä aiheen

Lisätiedot

Evoluutiopuu. Aluksi. Avainsanat: biomatematiikka, päättely, kombinatoriikka, verkot. Luokkataso: 6.-9. luokka, lukio

Evoluutiopuu. Aluksi. Avainsanat: biomatematiikka, päättely, kombinatoriikka, verkot. Luokkataso: 6.-9. luokka, lukio Evoluutiopuu Avainsanat: biomatematiikka, päättely, kombinatoriikka, verkot Luokkataso: 6.-9. luokka, lukio Välineet: loogiset palat, paperia, kyniä Kuvaus: Tehtävässä tutkitaan bakteerien evoluutiota.

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat

1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat 1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat Kun matemaattista probleemaa lähdetään ratkaisemaan yhtälöä hyväksi käyttäen, tilanne on vaikeampi kuin ratkaistaessa yhtälöä mekaanisesti. Nyt on näet itse laadittava

Lisätiedot

Humanistiset tieteet

Humanistiset tieteet Humanistiset tieteet 2013-15 Kielet kuuluvat humanistisiin tieteisiin, joten aluksi tarkastellaan humanistisia tieteitä yleensä. Kielissä on todistusvalinnan kannalta peräti 17 vaihtoehtoa, joista monet

Lisätiedot

10.11.2011. Ja Pohjolan karttakuvan hahmottuminen (n. 1427-1626) Olaus Magnus ja Pohjolan karttakuvan hahmottuminen 1500-luvulla

10.11.2011. Ja Pohjolan karttakuvan hahmottuminen (n. 1427-1626) Olaus Magnus ja Pohjolan karttakuvan hahmottuminen 1500-luvulla Ja Pohjolan karttakuvan hahmottuminen (n. 1427-1626) Olaus Magnus ja Pohjolan karttakuvan hahmottuminen 1500-luvulla 1 Maanmittaus määrittää mittauksin maastokohteiden sijaintia, muotoa ja kokoa (pinta-ala).

Lisätiedot

Fysikaaliset tieteet, kemia ja matemaattiset tieteet

Fysikaaliset tieteet, kemia ja matemaattiset tieteet Fysikaaliset tieteet, kemia ja matemaattiset tieteet LUONNONTIETEET 2013-15 Tarkastellaan kokonaiskuvan saamiseksi ensin luonnontieteitä kokonaisuutena. Luonnontieteissä pitkän matematiikan paino on suuri

Lisätiedot

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä. POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että

Lisätiedot

SIIVOJA HALLITSEE EKG-REKISTERÖINNIN, VAIKKA SE ON VAIKEAA JOPA KLIINISEN FYSIOLOGIAN ERIKOISHOITAJILLE!

SIIVOJA HALLITSEE EKG-REKISTERÖINNIN, VAIKKA SE ON VAIKEAA JOPA KLIINISEN FYSIOLOGIAN ERIKOISHOITAJILLE! Hanna-Maarit Riski Yliopettaja Turun ammattikorkeakoulu SIIVOJA HALLITSEE EKG-REKISTERÖINNIN, VAIKKA SE ON VAIKEAA JOPA KLIINISEN FYSIOLOGIAN ERIKOISHOITAJILLE! JOHDANTO Iltasanomissa 17.3.2011 oli artikkeli,

Lisätiedot

Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä.

Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä. elämä alkaa tästä 2008 Evangelism Explosion International Kaikki oikeudet pidätetään. Ei saa kopioida missään muodossa ilman kirjallista lupaa. Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä. Asteikolla

Lisätiedot

Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25

Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25 1 Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25 Hepreankielisessä sanassa eikev on hyvin paljon tarkoitusta. Ensimmäinen tarkoitus on: johdonmukainen, askel askeleelta eteenpäin. Sana eikev tarkoittaa myös kantapäätä. Kaikkivaltias

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

ELOKUVATYÖKALUN KÄYTTÖ ANIMAATION LEIKKAAMISESSA. Kun aloitetaan uusi projekti, on se ensimmäisenä syytä tallentaa.

ELOKUVATYÖKALUN KÄYTTÖ ANIMAATION LEIKKAAMISESSA. Kun aloitetaan uusi projekti, on se ensimmäisenä syytä tallentaa. ELOKUVATYÖKALUN KÄYTTÖ ANIMAATION LEIKKAAMISESSA Kun aloitetaan uusi projekti, on se ensimmäisenä syytä tallentaa. Projekti kannattaa tallentaa muutenkin aina sillöin tällöin, jos käy niin ikävästi että

Lisätiedot

JEESUS RUKOILEE GETSEMANESSA

JEESUS RUKOILEE GETSEMANESSA Suomen Tunnustuksellinen PYHÄKOULUMATERIAALI 1(5) JEESUS RUKOILEE GETSEMANESSA 1. Kertomuksen taustatietoja a) Missä kertomus tapahtui Getsemane-niminen puutarha, yrttitarha Öljymäellä. b) Ajallinen yhteys

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot, Opintokortti

MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot, Opintokortti MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot, Opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin

Lisätiedot

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien

Lisätiedot

Mihin teoreettista filosofiaa tarvitaan?

Mihin teoreettista filosofiaa tarvitaan? Mihin teoreettista filosofiaa tarvitaan? Puhe virtaa virtaavassa maailmassa, puhe virtaa virtaavassa maailmassa ja sinun täytyy itse tietää miltei kaikki. Paavo Haavikko TIETÄMISEN HAASTEET TIETOYHTEISKUNNASSA

Lisätiedot

Kolminaisuusoppi. Jumala: Isä - Poika - Pyhä Henki

Kolminaisuusoppi. Jumala: Isä - Poika - Pyhä Henki Kolminaisuusoppi Jumala: Isä - Poika - Pyhä Henki KOLMINAISUUSOPPI - KIRKON TÄRKEIN OPPI Kolminaisuusoppia pidetään yhtenä kristinuskon tärkeimmistä opeista. Se erottaa kirkon uskon muista uskonnoista.

Lisätiedot

2.12.2011. Titta Hänninen

2.12.2011. Titta Hänninen 2.12.2011 Titta Hänninen Kotitehtävätekstit! Palauta viimeistään, viimeistään, viimeistään ensi viikolla (koska meillä on viimeinen tunti)! OHJE JEŠTĔ JEDNOU: 1. Etsi internetistä jokin suomenkielinen

Lisätiedot

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia. Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan

Lisätiedot

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti

Lisätiedot

Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely)

Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely) Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely) Viivi Halla-aho 30.9.2013 Ohjaaja: Dos. Johanna Tamminen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Tuntisuunnitelma Maanjäristykset Kreikassa Työohje

Tuntisuunnitelma Maanjäristykset Kreikassa Työohje Tuntisuunnitelma Maanjäristykset Kreikassa Työohje Johdanto: Kreikassa on Euroopan maista eniten maanjäristyksiä ja se on yksi koko maailman seismisesti aktiivisimmista maista. Siksi tietämys maanjäristysten

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Lataa Fysiikka - Hannu Karttunen. Lataa

Lataa Fysiikka - Hannu Karttunen. Lataa Lataa Fysiikka - Hannu Karttunen Lataa Kirjailija: Hannu Karttunen ISBN: 9789525329322 Sivumäärä: 133 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 39.85 Mb Fysiikka on jaoteltu oppikirjoissa perinteisesti sellaisiin

Lisätiedot

AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE

AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE Tavoite: Tarkkaillaan auringon vaikutusta valon lähteenä ja sen vaihtelua vuorokauden ja vuodenaikojen mukaan. Oppilaat voivat tutustua myös aurinkoenergian käsitteeseen.

Lisätiedot

Vastaajan nimi. Yhteiskuntatieteiden tiedekunta Hallintotieteiden valintakoe Valintakokeesta saatava yhteispistemäärä max. 40 pist.

Vastaajan nimi. Yhteiskuntatieteiden tiedekunta Hallintotieteiden valintakoe Valintakokeesta saatava yhteispistemäärä max. 40 pist. 1 Yhteiskuntatieteiden tiedekunta Hallintotieteiden valintakoe 14.6.2005 Valintakokeesta saatava yhteispistemäärä max. 40 pist. TEHTÄVÄ I (max. 15 pistettä) Artikkeli Epäluottamusta luovat tekijät kunnanhallituksen

Lisätiedot

Tentti erilaiset kysymystyypit

Tentti erilaiset kysymystyypit Tentti erilaiset kysymystyypit Monivalinta Monivalintatehtävässä opiskelija valitsee vastauksen valmiiden vastausvaihtoehtojen joukosta. Tehtävään voi olla yksi tai useampi oikea vastaus. Varmista, että

Lisätiedot

ARVI-järjestelmän ohje arvioinnin syöttäjälle 13.4. 2015

ARVI-järjestelmän ohje arvioinnin syöttäjälle 13.4. 2015 ARVI-järjestelmän ohje arvioinnin syöttäjälle 13.4. 2015 Sisältö ARVI-menettelyn perusteet... 1 Arvioinnin syöttäminen... 2 Arvion lähettäminen TE-toimistoon... 5 Sovelluksen sulkeminen... 6 Virhetilanteiden

Lisätiedot

JEESUS ARMAHTAA AVIONRIKKOJANAISEN

JEESUS ARMAHTAA AVIONRIKKOJANAISEN Suomen Tunnustuksellinen PYHÄKOULUMATERIAALI 1(5) JEESUS ARMAHTAA AVIONRIKKOJANAISEN 1. Kertomuksen taustatietoja a) Kertomuksen tapahtumapaikka - pyhäkössä Suomen Tunnustuksellinen PYHÄKOULUMATERIAALI

Lisätiedot

Kristuksen kaksiluonto-oppi

Kristuksen kaksiluonto-oppi Kristuksen kaksiluonto-oppi Katolinen kirkko muotoili kolminaisuusopin 300- ja 400-luvuilla ja täydensi sitä Kristuksen kaksiluonto-opilla Khalkedonin kirkolliskokouksessa vuonna 451. Kirkolla on ollut

Lisätiedot

Löydätkö tien. taivaaseen?

Löydätkö tien. taivaaseen? Löydätkö tien taivaaseen? OLETKO KOSKAAN EKSYNYT? LÄHDITKÖ KULKEMAAN VÄÄRÄÄ TIETÄ? Jos olet väärällä tiellä, et voi löytää perille. Jumala kertoo Raamatussa, miten löydät tien taivaaseen. Jumala on luonut

Lisätiedot

Osaava henkilöstö kotouttaa kulttuurien välisen osaamisen arviointi. Työpaja 8.5.2014 Hämeenlinna

Osaava henkilöstö kotouttaa kulttuurien välisen osaamisen arviointi. Työpaja 8.5.2014 Hämeenlinna Osaava henkilöstö kotouttaa kulttuurien välisen osaamisen arviointi Työpaja 8.5.2014 Hämeenlinna Osaamisen arviointi Osaamisen arvioinnin tavoitteena oli LEVEL5:n avulla tunnistaa osaamisen taso, oppiminen

Lisätiedot

Lukutaitotutkimukset arviointiprosessina. Sari Sulkunen Koulutuksen tutkimuslaitos, JY sari.sulkunen@jyu.fi

Lukutaitotutkimukset arviointiprosessina. Sari Sulkunen Koulutuksen tutkimuslaitos, JY sari.sulkunen@jyu.fi Lukutaitotutkimukset arviointiprosessina Sari Sulkunen Koulutuksen tutkimuslaitos, JY sari.sulkunen@jyu.fi Kansainväliset arviointitutkimukset Arvioinnin kohteena yleensä aina (myös) lukutaito Kansallisista

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Mercatorin kartta. Antti Rasila Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

Mercatorin kartta. Antti Rasila Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Solmu 1/2007 1 Mercatorin kartta Antti Rasila Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Matematiikasta yleistajuisesti kirjoittamisen tekee usein haasteelliseksi konkreettisten esimerkkien ja sovellusten

Lisätiedot

MAA5 Vektori, Opintokortti

MAA5 Vektori, Opintokortti MAA5 Vektori, Opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin täytettynä

Lisätiedot

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15 Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Vetelin kunta Oppimisen seurantalomake 0-2 lk

Vetelin kunta Oppimisen seurantalomake 0-2 lk Vetelin kunta Oppimisen seurantalomake 0-2 lk Koulu: Oppilas: ÄIDINKIELI Lukeminen 20. Luet kokonaisia kirjoja. 19. Osaat tehdä johtopäätöksiä lukemastasi. 18. Löydät lukemastasi tarvittavia tietoja. 17.

Lisätiedot

KURSSIVALINNAT & YLIOPPILASKIRJOITUKSET

KURSSIVALINNAT & YLIOPPILASKIRJOITUKSET KURSSIVALINNAT & YLIOPPILASKIRJOITUKSET Ohjeita kurssivalintojen tekemiseen ylioppilaskirjoitusten näkökulmasta Tämän koonnin tavoitteena on auttaa Sinua valitsemaan oikeat kurssit oikeaan aikaan suhteessa

Lisätiedot

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet:

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: PALKKIANTURI Työssä tutustutaan palkkianturin toimintaan ja havainnollistetaan sen avulla pienten ainepitoisuuksien havainnointia. Työn mittaukset on jaettu kolmeen osaan,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Kuuluisat matemaatikot tutuiksi

Kuuluisat matemaatikot tutuiksi Koostanut: Elina Viro Opettajalle Kuuluisat matemaatikot tutuiksi Kohderyhmä: Projekti voidaan toteuttaa 7., 8., 9. luokalla, mutta 9. luokalla taustalla oleva matematiikka on tutuinta. Esitiedot: - Taustalla

Lisätiedot

KuLTTuuRiERoT asukkaiden Tavoissa

KuLTTuuRiERoT asukkaiden Tavoissa 4 Kulttuurierot asukkaiden tavoissa Moderni tiedonvälitysteknologia on muutamassa vuosikymmenessä kutistanut maapallon meidän omaksi takapihaksemme. Ehkäpä juuri siksi unohdamme nykyään helposti kulttuurien

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Taulukot. Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1

Taulukot. Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1 Taulukot Jukka Harju, Jukka Juslin 2006 1 Taulukot Taulukot ovat olioita, jotka auttavat organisoimaan suuria määriä tietoa. Käsittelylistalla on: Taulukon tekeminen ja käyttö Rajojen tarkastus ja kapasiteetti

Lisätiedot

MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti

MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin

Lisätiedot

Nöykkiön koulu Opetussuunnitelma Maantieto. Espoon kaupungin opetussuunnitelmalinjaukset VUOSILUOKAT 7 9. 7.lk

Nöykkiön koulu Opetussuunnitelma Maantieto. Espoon kaupungin opetussuunnitelmalinjaukset VUOSILUOKAT 7 9. 7.lk Nöykkiön koulu Opetussuunnitelma Maantieto 9.10 b Maantieto Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Lisätiedot

AINEISTOKOKEEN KYSYMYKSET Vastaa aineistokokeen tekstien ja muistiinpanojesi perusteella seuraaviin tehtäviin (1 2). Vastaa täydellisillä suomen kielen virkkeillä. Vastausaikaa on 55 minuuttia (klo 13.55

Lisätiedot

KURSSIVALINNAT & YLIOPPILASKIRJOITUKSET

KURSSIVALINNAT & YLIOPPILASKIRJOITUKSET KURSSIVALINNAT & YLIOPPILASKIRJOITUKSET Ohjeita kurssivalintojen tekemiseen ylioppilaskirjoitusten näkökulmasta Tämän koonnin tavoitteena on auttaa Sinua valitsemaan oikeat kurssit oikeaan aikaan suhteessa

Lisätiedot

MAB2 Geometria, Opintokortti. Nimi:

MAB2 Geometria, Opintokortti. Nimi: MAB2 Geometria, Opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin täytettynä

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot