SUOMEN SUHDANNEVAIHTELUIDEN TYYLITELLYT FAKTAT
|
|
- Reijo Pakarinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 SUOMEN SUHDANNEVAIHTELUIDEN TYYLITELLYT FAKTAT Ilari Ahola Helsingin yliopisto Valtiotieteellinen tiedekunta Taloustiede Pro gradu -tutkielma Lokakuu 2012
2 1 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Valtiotieteellinen tiedekunta Tekijä Författare Author Ahola, Ilari Tapani Työn nimi Arbetets titel Title Suomen suhdannevaihteluiden tyylitellyt faktat Oppiaine Läroämne Subject Taloustiede Työn laji Arbetets art Level Pro gradu -tutkielma Tiivistelmä Referat Abstract Aika Datum Month and year Lokakuu 2012 Laitos Institution Department Politiikan ja talouden tutkimuksen laitos Sivumäärä Sidoantal Number of pages 113 Tutkielman tavoitteena on kuvata Suomen suhdannevaihteluille tyypillisiä piirteitä eli niin sanottuja tyyliteltyjä faktoja. Yhdysvaltalaisessa tutkimuskirjallisuudessa tyyliteltyjä faktoja on laskettu erityisesti reaalisten suhdannevaihteluiden teoriaa kehitettäessä. Suomen suhdannevaihteluiden tyyliteltyjä faktoja ei ole aiemmin perusteellisesti tutkittu. Suomen aineistolla saatuja tuloksia on tarkoitus myös verrata Yhdysvaltojen tuloksiin, ja arvioida, mistä mahdolliset erot johtuvat. Aineistona on käytetty 37:ää Suomen taloutta kuvaavaa neljännesvuosittaista aikasarjaa. Suurin osa aikasarjoista kattaa vuodet , mutta aikasarjat alkavat viimeistään vuodesta Vuosille neljännesvuosittainen huoltotase on tuotettu itse indikaattorimuuttujia painottamalla. Huoltotase-erien lisäksi tärkeimpiä tutkimuksessa tarkasteltavia muuttujia ovat työntekoa, tuottavuutta, palkkoja ja hintoja kuvaavat muuttujat. Vertailun helpottamiseksi Yhdysvaltojen osalta on käytetty myös samankaltaista aineistoa. Suurin osa tutkituista aikasarjoista on epästationaarisia, joten niistä on ollut tarpeen puhdistaa trendi suhdannekomponenttien tutkimiseksi. Tähän on käytetty laajan suosion saanutta Hordrick Prescott-suodinta, mutta myös muita mahdollisia menetelmiä on tutkielmassa arvioitu. Stationaarisiksi saaduista aikasarjoista on laskettu niiden keskihajonnat, autokorrelaatiot sekä ristikorrelaatiot maataloudettoman yksityisen sektorin bruttokansantuotteen kanssa. Tutkimustulosten perusteella Suomessa suhdannevaihtelut ovat noin 1,3-kertaa voimakkaampia kuin Yhdysvalloissa. Tämä havainto koskee liki kaikkia huoltotaseen eriä, sillä suhteessa yksityiseen BKT:hen kysynnän erien käyttäytyminen on hyvin samankaltaista kuin Yhdysvalloissa. Yksityisen kulutuksen keskihajonta on nimittäin molemmissa maissa noin puolet pienempää ja yksityisten investointien, viennin sekä tuonnin keskihajonta noin 2,5- kertaista yksityiseen BKT:hen nähden. Kulutus ja investoinnit korreloivat melko vahvasti suhdannesyklin kanssa. Asuinrakennusinvestoinnit käyttäytyvät poikkeavasti, sillä erän keskihajonta on Yhdysvalloissa huomattavasti Suomea suurempaa. Yhdysvalloissa asuinrakennusinvestoinnit ovat myös ainoa sykliä johtava kysynnän erä, kun muut erät ovat syklin kanssa samanaikaisia tai seuraavat sitä viiveellä. Suomessa vienti on ainoa sykliä selkeästi johtava muuttuja, vaikka korrelaatio ei olekaan kovin vahvaa. Yleisesti muuttujien autokorrelaatiot ja ristikorrelaatiot syklin kanssa ovat Suomessa jonkin verran heikompia kuin Yhdysvalloissa. Suhdannevaihteluiden vaikutus työmarkkinoihin on Suomessa suhteellisesti pienempää kuin Yhdysvalloissa. Tämä johtuu luultavasti Yhdysvaltojen Suomea joustavammista työmarkkinoista. Samasta syystä saattaa myös johtua se, että Suomessa reaalipalkka seuraa sykliä selvällä viiveellä, kun Yhdysvalloissa muuttuja taas johtaa sykliä. Muiden tutkittujen muuttujien, kuten hintatason, inflaation ja tuottavuuden, käyttäytyminen on molemmissa maissa melko samankaltaista. Tutkimusajanjakson ja trendinpuhdistusmenetelmän valinta vaikuttavat saatuihin tuloksiin jonkin verran, mutta saatu yleiskuva suhdannevaihteluiden käyttäytymisestä näyttäisi melko vakaalle näistä valinnoista riippumatta. Avainsanat Nyckelord Keywords Suhdannevaihtelut, tyylitellyt faktat, HP-suodin, Suomen historiallinen neljännesvuositilinpito
3 2 SAATTEEKSI Tein tätä tutkimusta harjoittelijana ja tilastonlaatijana Tilastokeskuksessa syyskuusta 2011 toukokuuhun Haluan kiittää Tilastokeskusta tutkimuksen rahoituksesta ja monilta eri asiantuntijoilta saamistani tiedoista ja neuvoista. Erityisesti haluan kiittää ohjaajaani professori Antti Ripattia sekä erikoistutkija Arto Kokkista lukuisista aiheeseen liittyvistä keskusteluista. Lisäksi esitän kiitokseni Tuomas Rothoviukselle, Olli Savelalle ja Raimo Nurmiselle historialliseen neljännesvuositilinpitoon perehdyttämisestä ja Samu Hakalle sekä Pasi Koikkalaiselle nykyisiin käytäntöihin opastamisesta. Olen kiitollinen myös arkistonhoitaja Kari Degerstedtille avusta vanhojen tilastojulkaisujen löytämiseksi. Lopuksi haluan kiittää esimiehiäni Faiz Alsuhailia ja Paula Koistinen-Jokiniemeä kannustuksesta ja käytännön järjestelyiden hoitamisesta. Helsingissä Ilari Ahola
4 3 SISÄLLYS 1 JOHDANTO KÄSITTEET JA TUTKIMUSMENETELMÄT Suhdannevaihteluiden määrittely Ensimmäisten momenttien laskeminen Spektrianalyysi Ihanteellisen suodin Lineaarinen trendi Hodrick Prescott-suodin Baxter King-suodin Muut taajuusperusteiset suotimet Mekaanisten suodinten ongelmat Unobserved component -menetelmä Beveridge Nelson-hajotelma Suodinten vertailua TYYLITELLYT FAKTAT KIRJALLISUUDESSA Merkitys suhdannetutkimuksessa Määrittelyyn liittyvät ongelmat BKT ja kysyntäerät Työmarkkina- ja tuotannontekijämuuttujat Nimelliset muuttujat Ulkomaankaupan muuttujat Kansainvälinen vertailu AINEISTO Yhdysvaltojen aineisto Suomen ja Yhdysvaltojen neljännesvuositilinpidon vertailua Suomen moderni neljännesvuositilinpito Suomen historiallinen neljännesvuositilinpito Sarjojen kausitasoitus ja yhdistäminen... 45
5 4 4.6 Yksityinen BKT ja väestön määrä Työllisyys ja tehdyt työtunnit Tuottavuuslaskelmat Hinnat ja palkat Rahan määrä ja korot Muut muuttujat Aineiston kokoaminen käytännössä TULOKSET SUOMEN AINEISTOLLA Yleinen suhdannekehitys Yksityinen kulutus Yksityiset investoinnit Julkiset menot Työllisyys ja tehdyt työtunnit Reaalipalkka ja tuottavuuslaskelmat Nimelliset muuttujat Ulkomaankaupan muuttujat Muut muuttujat Spektrianalyysin tulokset Tulosten herkkyysanalyysi YHTEENVETO JA JOHTOPÄÄTÖKSET LÄHTEET LIITE luvun neljännesvuositilinpidon laskentamenetelmät LIITE 2: Yhdysvaltojen aineiston lähteet
6 5 1 JOHDANTO Suhdannevaihteluiden tutkimus on toinen makrotaloustieteen päähaaroista kasvuteorian ohella. Suhdannevaihtelut ovat kiinnostavia, sillä ne vaikuttavat ihmisten jokapäiväiseen elämään sekä yritysten ja julkisen vallan tekemiin päätöksiin. Tavallisen ihmisen on helpompi havaita suhdannevaihteluita kuin talouden pitkää kasvutrendiä, sillä suhdannevaihtelut lisäävät tilapäisesti työttömyyttä ja omasta kulutuksestaan voi joutua väliaikaisesti tinkimään. Sen sijaan elintason vähittäiseen nousuun tottuu nopeasti. Myös yritysten voitot ovat riippuvaisia suhdannevaihteluista, samoin julkisen sektorin tulot ja menot. Julkisella vallalla on myös kiinnostusta pyrkiä tasaamaan suhdannevaihteluita talouspolitiikan keinoin. Suhdannevaihteluiden tyylitellyt faktat ovat empiirisen tutkimuksen pohjalta tehtäviä yleistyksiä suhdannevaihteluiden säännönmukaisuuksista. Tyylitellyt faktat antavat karkean kuvan makrotaloudellisten muuttujien monimutkaisista yhteismuutoksista, ja niiden avulla voidaan arvioida teoreettisten mallien kykyä kuvata todellisuutta. Tyyliteltyjä faktoja on tutkittu erityisesti Yhdysvaltojen aineistolla 1980-luvulta lähtien käyttämällä useimmiten Hordrickin ja Prescottin (1997) kehittämää menetelmää trendin puhdistamiseksi aikasarjoista. Uranuurtajia tällä sarjalla ovat olleet reaalisten suhdannevaihteluiden teorian kehittäjät Kydlandista ja Prescottista (1982) alkaen. Myöhemmin esimerkiksi King ja Rebelo (1999) ovat jatkaneet samaa työtä. Lisäksi tyyliteltyjä faktoja laskeneista suhdanneteorian kehittäjistä on syytä mainita Cooleyn ja Prescottin (1995) artikkeli sekä samassa kirjassa ilmestyneet muut artikkelit. Pelkästään tyyliteltyjen faktojen laskemiseen ovat puolestaan keskittyneet esimerkiksi Kydland ja Prescott (1990) sekä Stock ja Watson (1999). Suomen aineistolla suhdannevaihteluiden tyyliteltyjä faktoja ei ole aiemmin perusteellisesti tutkittu, joten tämän tutkielman tärkein tavoite on antaa kuva Suomen suhdannevaihteluiden yleispiirteistä ja verrata saatuja tuloksia Yhdysvaltoihin. Vertailun tarkoituksena on saada selville, miten ja miltä osin Suomen suhdannevaihtelut poikkeavat Yhdysvaltojen suhdannevaihteluista sekä mistä syistä nämä erot mahdollisesti johtuvat. Järkevän vertailun tekemiseksi tutkimuksessa käytetään samoja menetelmiä kuin yhdysvaltalaisessa tutkimuskirjal-
7 6 lisuudessa, eli kausitasoitetuista neljännesvuosiaikasarjoista poistetaan trendi Hodrick Prescott-suotimella. Muitakin mahdollisia menetelmiä esitellään ja vertaillaan tutkielmassa. Suodatetuista aikasarjoista lasketaan niiden keskihajonta, ensimmäisen asteen autokorrelaatio sekä ristikorrelaatio maataloudettoman yksityisen sektorin BKT:n kanssa. Tutkielmaa varten on koottu laaja 37 Suomen taloutta kuvaavan neljännesvuosittaisen aikasarjan aineisto vuosille Jotkin aikasarjoista tosin alkavat hieman myöhemmin, mutta viimeistään vuodesta Tämän aikasarja-aineiston tuottaminen on tavallaan tutkielman sivutuote samoin kuin se, että tutkielma toivottavasti myös edistää tilastojen tuottajien ja käyttäjien välistä vuoropuhelua sekä auttaa Tilastokeskusta tilastotuotannon laaduntarkkailussa. Tutkielman luvussa 2 määritellään, mitä suhdannevaihteluilla tarkalleen tarkoitetaan sekä esitellään tyyliteltyjen faktojen laskemisessa käytettäviä menetelmiä. Erityisesti esitellään ja vertaillaan erilaisia tapoja poistaa ajassa kasvavista aikasarjoista niiden trendikomponentti. Luvussa 3 pohditaan tyyliteltyjen faktojen merkitystä sekä esitetään kirjallisuudessa saatuja tuloksia Yhdysvaltojen suhdannevaihteluiden tyylitellyistä faktoista. Luvussa 4 on ensin esitelty vertailuaineistona käytettävää Yhdysvaltojen aineistoa sekä käsitelty Yhdysvaltojen ja Suomen kansantalouden tilinpidon eroavaisuuksia. Lisäksi on kerrottu Suomen aineiston kokoamisessa käytetyistä lähteistä ja menetelmistä. Luvussa 5 esitellään tutkimustuloksia eli Suomen suhdannevaihteluille saatuja tyyliteltyjä faktoja. Tuloksia verrataan Yhdysvaltoihin, ja pohditaan mahdollisten erojen syitä. Lisäksi muuttujien tarkastelussa sovelletaan spektrianalyysia, ja arvioidaan saatujen tulosten herkkyyttä tehdyille menetelmävalinnoille. Luku 6 sisältää yhteenvedon ja johtopäätökset.
8 7 2 KÄSITTEET JA TUTKIMUSMENETELMÄT Tässä luvussa määritellään ensinnä suhdannevaihtelut, minkä jälkeen esitellään tyyliteltyjen faktojen empiirisessä tutkimuksessa käytettyjä menetelmiä. Menetelmistä ensinnä käsitellään aikasarjoista tutkittavia perustunnuslukuja ja tämän jälkeen esitellään spektrianalyysia. Spektrianalyysin tuntemus helpottaa huomattavasti trendin puhdistamiseen liittyvien ongelmien ymmärtämistä. Näitä ongelmia käsitellään tämän jälkeen laajemmin esittelemällä ja vertailemalla erilaisia suotimia ja muita menetelmiä. 2.1 Suhdannevaihteluiden määrittely Suhdannevaihteluiden empiirisen tutkimuksen uranuurtajien Burnsin ja Mitchellin (1946) klassisen määritelmän mukaan suhdannesykli voidaan jaotella neljään osaan: ensinnäkin kasvujaksoon, jolloin taloudellinen toimeliaisuus on vilkasta samanaikaisesti monilla eri aloilla, toiseksi taantumiseen, kun suhdannehuippu on ohitettu, kolmanneksi supistumiseen, kun talous on lamassa ja neljänneksi elpymiseen, jota seuraa jälleen uuden syklin kasvujakso. Suhdannesyklit ovat toistuvia, mutteivät säännöllisiä ja niiden kesto voi vaihdella reilusta vuodesta aina yli kymmeneen vuoteen. Vaihtelut ovat luonteeltaan sellaisia, ettei niitä voi jakaa lyhyempiin sykleihin. Klassisen suhdannevaihtelun määritelmän mukaan taantumassa bruttokansantuotteen on pienennyttävä absoluuttisesti vähintään kahtena perättäisenä vuosineljänneksenä. Modernissa ajattelussa suhdannevaihtelut ovat kasvusyklejä eli BKT:n poikkeamia pitkän aikavälin kasvutrendistä, kuten esimerkiksi Lucas (1977) määritteli, vaikka hän ei määritellytkään trendiä tarkasti. Pitkän aikavälin talouskasvusta johtuen klassisessa teoriassa taantumat ovat siis lyhyempiä ja nousukaudet pidempiä, kun taas modernissa ajattelussa talous on kasvutrendinsä ylä- ja alapuolella keskimäärin yhtä pitkän ajan. Suhdannevaihteluiden määritelmään kuuluu oleellisesti niiden pituus, sillä suhdannesyklit on erotettava pidemmän aikavälin kasvutrendistä ja toisaalta lyhyen aikavälin satunnais- ja kausivaihtelusta. Tässä tutkielmassa nojaudutaan Stockin ja Watsonin (1999) määritelmään,
9 8 jonka mukaan suhdannevaihteluiden pituus on 6 32 neljännesvuotta eli puolestatoista vuodesta kahdeksaan vuoteen. Näkemyksensä he perustavat yhdysvaltalaisen NEBERtutkimuslaitoksen suhdannevaihteluiden ajoituskomitean listaan Yhdysvaltojen suhdannehuippujen ajankohdista vuosina Kyseisenä ajanjaksona lyhin täysi suhdannesykli oli kestoltaan 6 ja pisin 39 neljännesvuotta. Tarkastelujakson 30 täydestä syklistä 90 % oli kuitenkin pituudeltaan alle 32 neljännesvuotta. Suhdannevaihteluiden kannalta mielenkiintoiset neljännesvuosiaikasarjojen voi katsoa koostuvan neljästä osasta: ensinnäkin pitkän aikavälin rakenteellista kasvua kuvaavasta trendistä, toiseksi keskipitkän aikavälin suhdannesykleistä, kolmanneksi vuoden sisäisestä kausivaihtelusta ja neljänneksi epäsäännöllisestä satunnaisvaihtelusta eli valkoisesta kohinasta. Tavallisesti, kun aikasarjoja ryhdytään analysoimaan, käytetään valmiiksi kausitasoitettua aineistoa. Analyysin helpottamiseksi aikasarjoista halutaan myös poistaa trendi. Satunnaisvaihtelua sen sijaan ei useinkaan erotella, vaan se jää osaksi syklistä komponenttia, jonka käyttäytymisestä ollaan kiinnostuneita. Vaikka suhdannevaihteluiden historia on pitkä, keskitytään tässä tutkielmassa toisen maailmansodan jälkeiseen aikaan, kuten monissa muissakin tarkasteluissa. Esimerkiksi Stock ja Watson (1999) perustelevat tätä sillä, että suhdannevaihteluiden luonne on muuttunut uuden teknologian sekä rahoitusjärjestelmän ja muiden instituutioiden kehittymisen myötä, kun on siirrytty maatalousyhteiskunnasta kohti palveluyhteiskuntaa. Lisäksi varhaisessa aineistossa on merkittäviä puutteita, eikä se ole vertailukelpoista uudemman aineiston kanssa. Varhaisten maatalousyhteiskunnan suhdannevaihteluiden voi katsoa aiheutuneen pitkälti säästä ja muista olosuhdetekijöistä, jotka saattoivat aiheuttaa esimerkiksi katovuosia. Tällaiset ilmiöt ovat melko vieraita modernin talouden suhdannevaihteluiden synnylle. 2.2 Ensimmäisten momenttien laskeminen Taloudelliset aikasarjat kasvavat ajassa usein eksponentiaalisesti, joten ensimmäiseksi tutkittavasta sarjasta on syytä ottaa logaritmi. Tällöin siitä saadaan lineaarinen. Syklisten komponenttien tutkimista varten aikasarjasta puhdistetaan valitulla menetelmällä trendi,
10 9 jolloin siitä saadaan myös stationaarinen. Tämän jälkeen trendipoikkeamille voidaan alkaa laskea erilaisia tunnuslukuja. Ensimmäisenä tutkitaan yleensä muuttujien keskihajontoja ja verrataan niitä keskenään. Näin voidaan arvioida sitä, kuinka paljon aikasarjoissa on vaihtelua, ja erityisesti, onko vaihtelu suurempaa vai pienempää kuin muilla aikasarjoilla. Toiseksi lasketaan useinkin muuttujien autokorrelaatiokertoimia, eli sitä, kuinka paljon muuttujan arvo korreloi sen omien, edeltävinä periodeina toteutuneiden, arvojen kanssa. Autokorrelaatio siis mittaa aikasarjan jatkuvuutta, eli sitä, kuinka paljon aikasarjan saama arvo riippuu sen edellisistä arvoista. Kolmanneksi muuttujien välisiä yhteyksiä voidaan laskea korrelaatiokertoimien avulla. Mitä suurempi positiivinen korrelaatio muuttujien välillä on, sitä samankaltaisempaa muuttujien vaihtelu on. Negatiivinen korrelaatio puolestaan merkitsee sitä, että muuttujien kehityssuunnat ovat toisiinsa nähden vastakkaiset. Korrelaatiokertoimien avulla voidaan myös pyrkiä arvioimaan johtaako jokin muuttuja toista muuttujaa suhdannesykleissä vai seuraako se sitä viiveellä. Tällöin korrelaatio lasketaan ensimmäisen muuttujan tietyllä hetkellä saaman arvon ja toisen muuttujan kyseistä hetkeä ennen ja jälkeen saamien arvojen välillä. Tuloksia tulkittaessa on kuitenkin muistettava, että tilastollisesti merkitsevä korrelaatio ei tarkoita välttämättä sitä, että muuttujien välillä olisi syy seuraus-suhde. 2.3 Spektrianalyysi Edellä esitellyt ensimmäiset momentit tuottavat aikasarjoista melko pelkistettyä tietoa. Aikasarjojen luonnetta voidaan kuitenkin syvemmin tutkia spektrianalyysin keinoin. Muuttujien syklistä käyttäytymistä voidaan kuvata estimoimalla niiden spektri. Spektrianalyysissa Fourier-muunnoksen avulla aikasarjan kokonaisvarianssi saadaan jaettua eri taajuuksien varianssiksi. Spektri voidaan tulkita tiheysfunktioksi, jolloin kahden taajuuspisteen väliin jäävä tiheys vastaa sitä osuutta kokonaisvarianssista, joka aikasarjalla on näiden pisteiden välillä. Siitä, missä kohdin spektritiheysfunktiolla on eniten massaa, voidaan päätellä, minkä pituiset syklit aikasarjassa painottuvat. Syklien pituus voi vaihdella kahdesta periodista aina koko havaintojakson pituuteen asti.
11 10 Levy ja Dezhbakhsh (2003) määrittelevät sarjan y t spektrin Fourier-muunnoksena sen autokovarianssifunktiosta γ(.) seuraavasti: (1) () = 1 2 () missä ja taajuutta mitataan sykleinä periodia (radiaaneina) kohti. Koska () on symmetrinen kohdan = 0 suhteen, tarkastellaan yleensä vain väliä 0. Taajuusmielessä syklin pituus on siis syklin pituuden käänteisluku, joka kerrotaan yleensä vielä 2π:llä. Käänteislukuesityksen vuoksi spektritiheysfunktion tulkinnassa pitää olla tarkkana. Esimerkiksi 32 periodin pituista sykliä vastaa taajuusalueella sykli, jonka pituus on 2π 1/32 = π/16 0,20. Spektritiheysfunktiota tulkinnassa on otettava huomioon se, että funktio perustuu estimaattiin, joten sille voidaan haluttaessa laskea luottamusväli. Estimoinnin tuottamaa raakaversiota on syytä tasoittaa, jotta tulos olisi luotettavampi ja sitä olisi helpompi tulkita. Kuvioon 1 on piirretty Suomen BKT:n ensimmäisen differenssin tasoittamaton spektri ja kuviossa 2 on saman sarjan tasoitettu spektri, jolloin kuviota on huomattavasti helpompi tulkita. Toisaalta estimaatin liiallisen tasoittamisen seurauksena menetetään arvokasta informaatiota, sillä spektrissä näkyvät kiinnostavat piikit tasoittuvat tai saattavat kadota kokonaan. Kuviot 3 ja 4 havainnollistavat sitä, miten spektritiheysfunktiota tulkitaan. Kuviossa 3 on piirrettynä Suomen kausitasoittamattoman BKT:n spektri. Noin taajuudella 1,6 oleva piikki johtuu sarjan sisältämästä kausivaihtelusta, eli sarjassa on paljon komponentteja, joiden syklin pituus on neljä neljännestä. Lisäksi sarjassa on piikki noin taajuudella 3,1, eli sarjassa on myös huomattavasti korkeataajuista satunnaisvaihtelua. Kuviossa 4 on Suomen kausitasoitetun BKT:n spektri, jolloin kuvion 3 kahta piikkiä ei ole enää havaittavissa. Kuvioissa olevien kahden pystyviivan väliin jäävä alue kuvaa suhdannevaihteluiden esiintymisaluetta. Tällä alueella on kuvioissa jonkin verran tiheysmassaa, mutta suurin osa siitä on taajuudella 0 0,2. Tämä johtuu sarjan sisältämästä trendistä eli hyvin matalataajuisesta vaihtelusta. Kuvion 4 spektri on hyvin tyypillinen monille taloudellisille neljännesvuosiaikasarjoille.
12 11 KUVIO 1: Differenssin tasoittamaton spektri KUVIO 2: Differenssin tasoitettu spektri Suomen kausitasoitettu BKT 1990:1-2011: Suomen kausitasoitettu BKT 1990:1-2011: Taajuus Taajuus KUVIO 3: Alkuperäisen sarjan spektri KUVIO 4: Kausitasoitetun sarjan spektri Suomen BKT 1990:1-2011: Suomen BKT 1990:1-2011: Taajuus Taajuus Myös kahden aikasarjan välisen yhteyden vahvuutta voidaan arvioida spektrianalyysin avulla. Tällöin puhutaan koherenssista eli muuttujien välisestä ristispektritiheydestä. Se voidaan tulkita itseisarvoksi muuttujien välisestä tietyn taajuisesta korrelaatiokertoimesta. Koherenssin kuvaajan avulla voidaan siis arvioida sitä, millä taajuusvälillä muuttujien välinen korrelaatio on vahvin. Kuvaaja kuitenkaan kerro, onko korrelaatio positiivinen vai negatiivinen. Koherenssin kuvaajan tulkinta on siis muutoin vastaava spektrin tulkinnan kanssa, mutta tiettyjen taajuuspisteiden välinen massa tulkitaan muuttujien väliseksi korrelaatioksi, ei muuttujan omaksi varianssiksi.
13 Ihanteellisen suodin Kydland ja Prescott (1990) ovat määritelleet hyvän trendinpuhdistusmenetelmän ominaisuuksia. Menetelmän tuottaman trendin tulisi ensinnäkin olla sellainen, jonka taloustieteen opiskelija piirtäisi alkuperäisen aikasarjan kuvaajan päälle. Toiseksi trendin tulisi olla lineaarinen transformaatio alkuperäisestä aikasarjasta ja samaa transformaatiota tulisi käyttää keskenään verrattaville aikasarjoille. Kolmanneksi havaintojakson pidentämisen ei tulisi merkittävästi vaikuttaa trendipoikkeamien arvoihin, mahdollisesti lukuun ottamatta alkuperäisen sarjan alku- ja loppupäitä. Lopuksi menetelmän tulee olla hyvin määritelty ja helposti toistettavissa, eikä se saa perustua arvosteluun. Baxter ja King (1999) puolestaan edellyttävät hyvältä suotimelta hieman erilaisia ominaisuuksia. Ensinnä suotimen tulee suodattaa pois komponentit, joiden sykli on halutun pituinen, eikä se saa koskea muihin komponentteihin. Toiseksi suodatus ei saa aiheuttaa vaihesiirtoa eli suodatetut komponentit eivät saa alkaa johtaa tai seurata viiveellä alkuperäistä aikasarjaa. Kolmanneksi suotimen tulee olla optimaalinen approksimaatio ihanteellisesta suotimesta. Neljänneksi suotimesta saatavat suhdannekomponentit eivät saa olla riippuvaisia havaintojakson pituudesta. Viidenneksi suodatetun aikasarjan pitää olla stationaarinen vaikka alkuperäisessä aikasarjassa olisikin trendi. Lopuksi suotimen pitää olla käytännöllinen. 2.5 Lineaarinen trendi Tilastollisista trendinpuhdistusmenetelmistä yksinkertaisimpia ovat lineaariseen regressioon sekä ensimmäiseen differenssiin perustuvat menetelmät. Esimerkiksi Baxter (1991) analysoi näitä menetelmiä. Lineaaristen menetelmien ongelmana voi pitää sitä, että niiden tuottama kasvutrendi on liian tasainen. Kasvutrendi on joko viivasuora tai se sallii esimerkiksi vain yhden murroskohdan, jossa trendin kulmakerroin muuttuu. Tästä syystä menetelmän tuottamat syklit ovat usein hyvinkin isoja ja pitkiä.
14 13 Ensimmäinen differenssi puolestaan vahvistaa syklisessä komponentissa korkeataajuista vaihteluita, mikä ei suhdannevaihteluita tarkasteltaessa ole toivottavaa. Vaikka ensimmäinen differenssi ei eksplisiittisesti määrittele mitään trendiä, on siinä implisiittisenä oletuksena lineaarinen trendi. Kasvunopeus nimittäin sisältää informaatiota sekä trendikasvusta että syklisestä vaihtelusta, ja trendikasvun vaikutus voidaan haluttaessa poistaa vähentämällä kasvunopeudet omasta keskiarvostaan. Lisäksi ensimmäinen differenssi aiheuttaa vaihesiirron, sillä differenssisarja alkaa johtaa alkuperäistä sarjaa hienoisesti. 2.6 Hodrick Prescott-suodin Etenkin ja 90-luvuilta lähtien suosiota ovat saavuttaneet monimutkaisemmat menetelmät, jotka perustuvat useinkin jonkinlaisen liukuvan keskiarvon laskemiseen aikasarjasta. Hodrickin ja Prescottin (1997) 1980-luvun alussa tunnetuksi tekemä ja sittemmin laajasti käytetty HP-suodin jakaa aikasarjan y t trendikomponenttiin g t ja sykliseen komponenttiin c t seuraavasti: (2) = + kaikille " = 1, %. Suotimen määritelmä uran {g t } tasaisuudelle on sen toisen differenssin neliöiden summa. Sykliset komponentit ovat poikkeamia trendikomponentista ja pitkällä aikavälillä niiden keskiarvo on lähellä nollaa. Näin ollen saadaan seuraava minimointiongelma trendikomponenttien selvittämiseksi: (3) Min *+, - 1,./ [( 7 ) ( 7 4 )] 4 ; 67 missä c t = y t g t ja λ on positiivinen parametri, joka rankaisee trendin vaihtelevuudesta. Mitä suurempi λ:n arvo on, sitä tasaisempi on kasvutrendi eli λ:n lähestyessä ääretöntä lähestyy kasvutrendi lineaarista trendiä. Vastaavasti λ:n lähestyessä nollaa, lähestyy trendi alkuperäistä aikasarjaa.
15 14 KUVIO 1: Suomen yksityinen BKT (pl. maatalous) Kausitasoitettu sarja HP-trendi Logaritmi Vuosineljännes Neljännesvuosiaikasarjoja tarkasteltaessa Hodrick ja Prescott valitsevat λ:n arvoksi Valinta perustuu siihen, että 5 % muutos syklisessä ja 1/8 % muutos kasvukomponentissa on melko suuri yhtenä vuosineljänneksenä. Näin ollen λ = 5/(1/8) eli λ = Heidän mukaansa tulokset eivät ole kovin herkkiä λ:n arvoille, mutta on suositeltavaa käyttää samaa arvoa kaikille tutkittaville aikasarjoille. Kuvioon 5 on piirretty päällekkäin Suomen yksityisen BKT:n logaritmi ja HP-suotimen sille tuottama trendi. 2.7 Baxter King-suodin Baxter ja King (1999) esittelevät tunnetuksi tulleen käytännön sovelluksen bandpasssuotimesta. Suodin päästää lävitseen vain ne aikasarjan komponentit, joiden syklinen vaihtelu on halutulla välillä eli suhdannevaihteluiden tapauksessa kuuden ja 32 neljännesvuoden välillä. Suodin siis poistaa aikasarjasta vaihtelut, joiden sykli on haluttua pidempi tai lyhyempi. Täydellinen bandpass-suodin on ääretöntä astetta oleva liukuva keskiarvo, joten
16 15 käytännön sovelluksissa approksimaatio tästä suotimesta on välttämätön. Baxter ja King suosittelevat approksimaatiota, jossa liukuva keskiarvo lasketaan siten, että aikasarjan 12 ensimmäistä ja viimeistä havaintoa menetetään (K = 12). He perustelevat tätä sillä, että useampien havaintojen menettäminen ei enää merkittävästi parantaisi approksimaation tarkkuutta, kun taas päinvastainen heikentäisi sitä merkittävästi. Murray (2003) antaa BK-suotimelle selkeämmän matemaattisen esityksen kuin Baxter ja King (1999). Murrayn (2003) mukaan äärettömään kaksipuoliseen liukuvaan keskiarvoon perustuvalla ihanteellisella suotimella on seuraava esitys: A (4)?(@) = 6A Jotta ei tapahdu vaihesiirtoa, edellytetään symmetriaa, eli pitää olla? =?. Suotimen siirtofunktio määrää sen, missä määrin suodatetun sarjan sykliset komponentit vastaavat alkuperäisen sarjan syklisiä komponentteja. BK-suodin on suunniteltu päästämään lävitseen aikasarjan stationaarisen komponentin, jonka syklien pituus on puolestatoista kahdeksaan vuotta. Ihanteellisen suotimen taajuusmielessä ilmaistu siirtofunktio stationaariselle aikasarjalle saa siis seuraavan muodon: 1 jos 16 (5) C() = D 3. 0 muutoin N Ihanteellinen suodin tarvitsisi äärettömän pitkän aikasarjan, joten suotimesta käytetään typistettyä versiota. Täten saadaan seuraava optimaalinen approksimaatio: (6)? O (@) = O 6O ja vastaava siirtofunktio on α O (). Lisäksi tätä approksimaatiota käytettäessä menetetään aineistosta 2K havaintoa.
17 16 Murray (2003) jatkaa, että BK-suodin on suunniteltu siten, että se muuntaa trendin sisältävät sarjat stationaarisiksi. Tämä on saavutettu siten, että taajuudella nolla suotimen taajuusvaste (engl. frequency response) on nolla. Siten BK-suodin voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti: (7)? O (@) 7 )R O7 (@) 7 4 R O7 (@), missä O7 (8) R O7 (@) = 3 R T T ja termin R O7 (@) kertoimet määräytyvät seuraavasti: (9) R T = 3 (V h ) O X6 T Y7? X. BK-suodin siis poistaa aikasarjasta lineaariset ja kvadraattiset trendit kahteen yksikköjuureen saakka, sillä suotimessa on kaksi differenssioperaattoria. Baxterin ja Kingin (1999) mukaan BK-suotimen etuna HP-suotimeen nähden on se, että se suodattaa myös lyhytsykliset satunnais- ja kausivaihtelut pois aikasarjasta. Epätoivottua satunnaisvaihtelua voivat aiheuttaa esimerkiksi mittausvirheet ja lakot. Lisäksi BK-suodin on helpompi soveltaa aineistoon etenkin, jos on kyse muusta kuin neljännesvuosiaineistosta, sillä HP-suodinta käytettäessä parametrin λ sopivan arvon määritys voi olla vaikeaa. BKsuodinta käytettäessä aikasarjan alusta ja lopusta menetetään havainnot kolmen vuoden osalta, mutta tämä on lähinnä näennäistä, sillä HP-suotimen tuottamat arvot ovat epätarkkoja aikasarjan alku- ja loppupäissä. BK-suotimen haittapuoleksi voi katsoa sen, että se poistaa korkeataajuisen vaihtelun, jolloin saatetaan menettää arvokasta informaatiota. Toisaalta tämä on hyvä, sillä kiinnostuksen kohteena on suhdannesyklien esiintymisalue. Joka tapa-
18 17 uksessa lyhytaikaisen vaihtelun poistaminen lisää huomattavasti syklisten komponenttien autokorrelaatiota ja jonkin verran myös aikasarjojen keskinäistä korrelaatiota. 2.8 Muut taajuusperusteiset suotimet Baxter ja King (1999) esittelevät lisäksi highpass-suodinta, joka on sukua bandpasssuotimelle, mutta suodattaa pois vain yli 32 neljännesvuotta pitkät syklit. Highpass-suodin on siten hyvin lähellä HP-suodinta, josta on otettu pois 12 ensimmäistä ja viimeistä havaintoa, sillä kumpikaan menetelmä ei suodata lyhyitä syklisiä muutoksia pois. He toteavat myös, että HP-suotimen käyttöön tottuneet voivat pitää highpass-suodinta parempana kuin bandpass-suodinta. Jo ennen Baxterin ja Kingin esittelemää BK-suodinta on samaa bandpass-nimitystä käytetty niin sanotusta taajuussuotimesta. Esimerkiksi Englund ym. (1992) esittelevät tätä taajuusaluetekniikkaan perustuvaa menetelmää, jossa HP-suotimen 1 avulla stationaariseksi saadusta aikasarjasta lasketaan sen spektri Fourier-muunnoksen avulla. Spektristä poistetaan korkeataajuiset vaihtelut, joita HP-suodin ei poista, ja käänteisellä Fourier-muunnoksella aikasarja palautetaan alkuperäiseen muotoon. Eri suotimia vertaillut Canova (1994) toteaa, että taajuussuodin pystyy HP-suotimen ohella tuottamaan parhaiten NBER:n ajoittamat Yhdysvaltojen suhdannesyklien huiput ja pohjat. 2.9 Mekaanisten suodinten ongelmat Harvey ja Jaeger (1993) esittävät kriittisiä huomioita HP-suotimesta, sillä sen mekaaninen käyttö voi johtaa keinotekoiseen vaikutelmaan aikasarjan syklisestä käyttäytymisestä. Cogleyn ja Nasonin (1995) mukaan syynä vaikutelmaan on HP-suotimen soveltaminen epästationaarisiin aikasarjoihin. Nelsonin ja Kangin (1981) mukaan keinotekoisia syklejä on nimittäin mahdollista saada aikaan puhdistamalla satunnaiskulun tuottama aikasarja trendistä. Harveyn ja Jaegerin mukaan sykliset komponentit erottelevan menetelmän pitäisi olla paitsi yhtäpitävä aikasarjan stokastisten ominaisuuksien kanssa myös pystyä esittämään 1 HP-suotimen sijaan olisi myös mahdollista käyttää ensimmäistä differenssiä.
19 18 merkityksellistä informaatiota. He esittävät, että rakenteellinen aikasarjamalli tuottaa parempia tuloksia. Mallissa trendi ja sykli sovitetaan yhtäaikaisesti, jolloin vältytään sudenkuopilta. Harvey ja Jaeger väittävät, että HP-suodin on suunniteltu yksinomaan Yhdysvaltojen neljännesvuosittaisen BKT-sarjan puhdistamiseen trendistä. Rakenteellisen aikasarjamallin ja HP-suotimen tuottamat sykliset komponentit ovat nimittäin hyvin samanlaiset. Sen sijaan esimerkiksi Itävallan aineistolla laskettaessa näiden kahden menetelmän tuottamat BKT:n sykliset komponentit eroavat havaittavasti toisistaan. Lisäksi rakenteellisen aikasarjamallin avulla syklisestä komponentista saadaan satunnaisvaihtelu pois, jolloin kuvaajasta tulee huomattavasti tasaisempi HP-suotimeen verrattuna. Myös muuntyyppisten aikasarjojen käsittelyssä HP-suodin voi tuottaa ongelmia. Esimerkiksi oletus siitä, että hintatasolla olisi tasainen trendi, ei ole Harveyn ja Jaegerin mukaan vakuuttava. Muun muassa muutokset välillisessä verotuksessa tai öljyn hinnassa voivat aiheuttaa hintatason yhtäkkisiä muutoksia suuntaan tai toiseen. Hintataso siis määräytyisi ennemmin satunnaiskulun kuin tasaisen trendin pohjalta. Tätä he havainnollistavat aikasarjalla perusrahan määrästä Yhdysvalloissa. HP-suodin tuottaa paljon pidempiä ja voimakkaampia syklejä, joita ei kirjoittajien mukaan ole välttämättä olemassa. Näennäisten syklien pohjalta vedetyt johtopäätökset taas ovat todennäköisesti vääriä. Lopuksi Harvey ja Jaeger varoittavat kaavamaisesti kausitasoitetun aineiston käyttämisessä syklisten komponenttien estimoinnissa. Mikäli kausitasoituksessa ei ole huomioitu mahdollisia ajan mukana tulevia muutoksia kausivaihtelun luonteessa, voi rakenteellisenkin aikasarjamallin soveltaminen saada aikaan näennäisiä syklejä. Tästä kirjoittajat esittävät esimerkkinä Ison-Britannian BKT-aikasarjan, jossa kausitasoitetun sarjan syklinen käyttäytyminen ei vastaa yleisesti tunnustettuja syklejä. Sen sijaan kausitasoittamattoman sarjan käyttäminen tuottaa tunnetut syklit paljon paremmin, silloin kun käytetään rakenteellista aikasarjamallia.
20 Unobserved component -menetelmä Bjørnlandin (2000) havainnollisesti esittelemän rakenteellisten aikasarjojen mallin oletuksena on, että alkuperäisestä neljännesvuosiaikasarjasta ei voida suoraan havaita sen kaikkia neljää komponenttia eli komponentit ovat näkymättömiä. Tästä syystä mallia kutsutaan yleisesti havaitsemattomien komponenttien malliksi (engl. unobserved component method), joten siitä käytetään tästä lähtien lyhennettä UC-malli. Mallissa näkymättömillä komponenteilla oletetaan olevan ARIMA-esitys, niiden oletetaan olevan stokastisia ja niihin vaikuttavien häiriöiden toisistaan riippumattomia. Tällöin stokastinen trendi saa seuraavan esityksen: (10) = 7 +Z 7 +[ Z =Z 7 + \ missä Z on trendin kulmakerroin ja [ sekä \ ovat normaalisia ja riippumattomia valkoista kohinaa olevia häiriöitä ja niiden varianssit ovat vastaavasti ]^4 ja ] _ 4. Syklinen komponentti määritellään puolestaan seuraavasti: (11) =`cos8 b 7 +`sin8 b 7 +d = `sin8 b 7 +`cos8 b 7 +d 7 missä ` on vaimennustekijä siten että 0 ` 1, 8 b on syklin taajuus radiaaneina ja d sekä d ovat riippumattomia valkoisen kohinan häiriöitä variansseilla ] 4 e. Alkuperäisen aikasarjan kausikomponenttia estimoidaan trigonometrisena funktiona ja satunnaiskomponentin oletetaan olevan valkoista kohinaa. Lopulta koko malli voidaan estimoida suurimman uskottavuuden menetelmällä käyttäen Kalman-suodinta ja STAMP-ohjelmistoa. Harveyn ja Jaegerin (1993) mukaan yllä kuvatun mallin syklinen komponentti noudattaa ARMA(2,1)-prosessia ja trendi noudattaa ARIMA(0,2,1)-prosessia. On kuitenkin mahdol-
21 20 lista tehdä rajaus ] 4 _ =0, jolloin trendi yksinkertaistuu satunnaiskuluksi, jolla on kehityssuunta. Jos lisäksi ]^4=0, tulee trendistä deterministinen. Mikäli vain jälkimmäinen pätee, trendi noudattaa edelleen I(2)-prosessia, mutta siitä tulee suhteellisen tasainen. Tutkijan on itse valittava, asettaako ]^4=0 eli oletetaanko trendin olevan tasainen. BKT:n kaltaisille sarjoille tämä oletus on luonteva. Nimellisille muuttujille, kuten hinnoille, oletus saattaa kuitenkin olla epärealistinen edellisessä alaluvussa mainituista syistä Beveridge Nelson-hajotelma Canovan (1998) ja Bjørnlandin (2000) eri trendinpuhdistusmenetelmiä vertailevissa tutkimuksissa on mukana myös Beveridgen ja Nelsonin (1981) esittelemä hajotelma. Hajotelmassa pitkäaikainen komponentti noudattaa satunnaiskulkua, jolla on kehityssuunta. Lyhytaikainen komponentti puolestaan noudattaa stationaarista prosessia, jonka keskiarvo on nolla. Mallissa sama sokki aiheuttaa sekä trendin että syklin, joten nämä komponentit korreloivat keskenään täydellisesti. Bjørnlandin mukaan BN-hajotelma ei ole optimaalinen ja se on hyvin lähellä HP-suodinta, jossa tasoitusparametri lambdan arvo on alhainen eli trendi ei ole kovin tasainen Suodinten vertailua Kuvioon kuusi on piirretty HP- ja BK-suodinten tuottamat trendipoikkeamat Suomen yksityiselle BKT:lle. Suodinten tuottamat trendipoikkeamat muistuttavat huomattavasti toisiaan, mutta BK-käyrä on pehmeäliikkeisempi, koska se ei sisällä kaikkein korkeataajuisinta satunnaisvaihtelua. Kuviossa 7 on puolestaan verrattu samalla aineistolla HP-suodinta ensimmäisen differenssin tuottamiin kasvuasteisiin. Ensimmäinen differenssi on jo hyvin erilainen HP-sykliin verrattuna, sillä se korostaa korkeataajuista vaihtelua. Lisäksi ensimmäinen differenssi näyttäisi hieman edistävän HP-sykliä. Kuviossa 8 on vielä vertailtu HPsuodinta highpass-suotimeen, joka siis käytännössä on BK-suodin, joka ei poista korkeataajuista satunnaisvaihtelua. Käyrät ovat hyvin samanlaisia havaintojen menetystä lukuun ottamatta.
22 21 KUVIO 6: HP- ja BK-suodinten vertailua Poikkeama trendistä HP-sykli BK-sykli Vuosineljännes KUVIO 7: HP-suotimen ja ensimmäisen differenssin vertailua Poikkeama trendistä HP-sykli 1. differenssi Vuosineljännes KUVIO 8: HP- ja highpass-suodinten vertailua Poikkeama trendistä HP-sykli Highpass Vuosineljännes
23 22 Kuvioihin 9 ja 10 on piirretty HP- ja BK-suodinten tuottamien syklien spektrit. Verrattaessa näitä spektrejä kuvioon neljä nähdään, että suodatuksessa hyvin matalataajuinen vaihtelu katoaa liki kokonaan taajuuden nolla tuntumassa. BK-suodin poistaa lisäksi korkeataajuisen satunnaisvaihtelun, joka HP-suodatetun sarjan spektrissä on havaittavissa. Kun taas tehdään vertailua kuvioon 2, havaitaan, että ensimmäinen differenssi painottaa korkeataajuista vaihtelua huomattavasti HP-suodinta enemmän. KUVIO 9: HP-syklin spektri KUVIO 10: BK-syklin spektri Tiheys Tiheys Taajuus Taajuus HP-suodin on ollut hyvin suosittu reaalisten suhdannevaihteluiden teorian kehittäjien keskuudessa, sillä sitä ovat käyttäneet esimerkiksi Kydland ja Prescott (1982; 1990), King ja Rebelo (1999) sekä Rebelo (2005). Lisäksi Prescott (1986) käyttää highpass-suodinta. Tuoreemmassa tyyliteltyjen faktojen tutkimuksessa BK-suodin sen sijaan näyttää saavuttaneen suosiota, sillä sitä soveltavat esimerkiksi Stock ja Watson (1999) sekä Agresti ja Mojon (2003). Stock ja Watson (2005) käyttävät kausitasoitettuun aineistoon rinnakkain sekä UC-mallia että BK-suodinta. UC-malli on lisäksi mukana Canovan (1998) ja Bjørnlandin vertailussa. Canova ei ota vertailussaan kantaa suodinten paremmuuteen, mutta Bjørnland tuntuu pitävän kausitasoittamattomaan aineistoon sovellettua UC-mallia parhaana, vaikka käyttääkin pelkästään taajuussuodinta verratessaan Norjan suhdannevaihteluiden yhtenevyyttä muihin maihin.
24 23 3 TYYLITELLYT FAKTAT KIRJALLISUUDESSA Kun aikasarjoista on saatu tutkijan valitsemalla menetelmällä erotettua syklinen ja trendikomponentti, voidaan niiden säännönmukaisuuksia alkaa tutkia. Kaldor (1957) määritteli, että on olemassa monia suuria suhdelukuja. Ne näyttävät olevan suhteellisen vakaita pitkällä aikavälillä, vaikka monet taloudelliset aikasarjat kasvavat vuosikymmenestä toiseen. Näitä havaintoja on alettu kutsua tyylitellyiksi faktoiksi eli empiirisen tutkimuksen pohjalta tehtäviksi yleistyksiksi. Kaldorin määrittelemät kasvuteorian kehittämisessä hyödynnettävät tyylitellyt faktat, kuten työ- ja pääomatulojen osuudet kansantulosta ovat likimain vakiot pitkällä aikavälillä, eivät kuitenkaan kuulu tämän tutkielman aihepiiriin. Tämän tutkielman keskiössä ovat sen sijaan suhdannevaihteluiden tyylitellyt faktat. Lucasin (1977) tunnetuksi tullut toteamus siitä, että kaikki suhdannesyklit ovat samanlaisia maasta ja ajasta riippumatta, on ollut tärkeä alkusysäys suhdannevaihteluiden tyyliteltyjen faktojen empiiriselle ja teoreettiselle tutkimukselle. Artikkelissaan hän nimittäin esittää suhdannevaihteluille joukon säännönmukaisuuksia keskihajontoihin ja korrelaatiokertoimiin perustuen. Tämän luvun tarkoituksena on esitellä näitä säännönmukaisuuksia yhdysvaltalaiseen tutkimuskirjallisuuteen perustuen. 3.1 Merkitys suhdannetutkimuksessa Tyyliteltyjen faktojen merkityksen tiivistää hyvin Canova (1998), jonka mukaan ne antavat karkean yhteenvedon makrotaloudellisten suureiden monimutkaisista yhteismuutoksista. Lisäksi muuttujien vaihtelevuuden suuruutta voidaan karkeasti mitata, ja pyrkiä löytämään taloudellisen aktiivisuuden muutoksia ennakoivia indikaattoreita. Näitä säännönmukaisuuksia makrotaloustieteilijät voivat käyttää apuna arvioidessaan teoreettisten malliensa vastaavuutta todellisuuteen. Pääasiassa tyyliteltyjen faktojen laskemiseen keskittyvät esimerkiksi Kydland ja Prescott (1990), Baxter (1991), Hodrick ja Prescott (1997), Canova (1998) sekä Stock ja Watson (1999).
25 24 Reaalisen suhdannevaihteluiden teorian kehittäjät Kydlandista ja Prescottista (1982) lähtien ovat pyrkineet laskemaan tyyliteltyjä faktoja Yhdysvaltojen suhdannevaihteluille useimmiten HP-suodinta käyttäen. Tyyliteltyjä faktoja he ovat tämän jälkeen verranneet kehittämänsä teoreettisen mallin tuottamiin tuloksiin. Muita tyyliteltyjä faktoja hyödyntäviä kirjoittajia ovat olleet muun muassa Prescott (1986), Plosser (1989) sekä tuoreimpana King ja Rebelo (1999). Reaalisten suhdannevaihteluiden teoriassa keskeisiä suhdannevaihteluiden syitä ovat reaaliset ja niistä etenkin teknologiasokit. Teoreettisen mallin kalibroinnin jälkeen teknologiasokkeja simuloimalla on saatu aineisto, josta lasketut tyylitellyt faktat ovat yllättävänkin samanlaisia reaalitalouden faktojen kanssa. Nämä tulokset ovat vastakkaisia muun muassa Friedmanin (1968) näkemysten kanssa, sillä rahapolitiikan vaikutusta ei oteta malleissa lainkaan huomioon. Suhdanneteoreettisia malleja kehittäessään ovat tyyliteltyjä faktoja laskeneet myös Cooley ja Prescott (1995), työmarkkinoiden osalta Kydland (1995) ja nimellisiin suureisiin keskittyen Cooley ja Hansen (1995) sekä King ja Watson (1996). 3.2 Määrittelyyn liittyvät ongelmat Tyyliteltyjen faktojen määrittelemisen kannalta ongelmallista on se, että tulokset saattavat olla riippuvaisia sen suhteen, mikä trendinpuhdistusmenetelmä valitaan. Laajasti eri menetelmiä Yhdysvaltojen aineistolla vertailevan Canovan (1998) mukaan menetelmän valinta vaikuttaa tuloksiin, sillä eri menetelmien tuottamat trendit eroavat toisistaan merkittävästikin. Tämä on ongelma, sillä trendin eksaktista määrittelystä ei ole yksimielisyyttä. Lisäksi vaikka menetelmiä rajattaisiin siten, että niiden tuottamien syklien pituus on neljästä kuuteen vuotta, tuottavat eri menetelmät edelleen jonkin verran erilaisia tuloksia. Norjan aineistolla vastaavaa vertailua samansuuntaisin tuloksin tekee Bjørnland (2000). Myös Baxter (1991) käsittelee tätä ongelmaa hieman suppeammassa muodossa ja testaa lisäksi tyyliteltyjen faktojen eroja kiinteän ja vaihtuvan valuuttakurssin oloissa. Seuraavissa osioissa pyritään kirjallisuuden pohjalta esittelemään Yhdysvaltojen suhdannevaihteluiden tyyliteltyjä faktoja. Tutkimuksissa käytetään poikkeuksetta kausitasoitettua neljännesvuosiaineistoa, jota on saatavilla vuodesta 1947 alkaen. Vuodesta 1947 aloittavat esimerkiksi Baxter (1991) sekä King ja Rebelo (1999). Vuodesta 1954 aloittaminen on
26 25 kuitenkin huomattavasti yleisempää ja näin tekevät muiden muassa Plosser (1989), Kydland ja Prescott (1990), sekä Stock ja Watson (1999). Perusteluna tälle on se, että Korean sodan aikana julkinen kulutus oli huomattavan suurta, mikä saattaisi vaikuttaa tuloksiin. Tarkastelujaksot luonnollisesti päättyvät kaikissa tutkimuksissa jokunen vuosi ennen niiden julkaisuajankohtaa. Kirjallisuudessa käytetään pääsääntöisesti HP-suodinta, mutta joissain 1990-luvun puolivälin jälkeisissä tutkimuksissa on käytetty myös valikoimaan tullutta BK-suodinta. Muita suotimia käytetään harvoin ja usein vain haluttaessa verrata tuloksia eri suodinten kesken. Seuraavissa osioissa esitetyt luvut on siten saatu yhdistelemällä Stockin ja Watsonin (1999), Baxterin ja Kingin (1999), Cooleyn ja Prescottin (1995) sekä Kydlandin ja Prescottin (1990) tuloksia ellei toisin mainita. Tässä yhteydessä on keskitytty yksinomaan BK- ja HPsuotimia käyttäen saatuihin tuloksiin, sillä suodinten käyttö on laajimmalle levinnyttä, ja niiden tuottamat tulokset ovat melko samankaltaisia. Yleisellä tasolla BK-suotimen tuottamat keskihajonnat ovat aavistuksen pienempiä HP-suotimeen verrattuna, sillä BK-suodin poistaa aikasarjoista suuren osan korkeataajuisesta satunnaisvaihtelusta. Toisaalta BKsuotimen avulla lasketut auto- ja ristikorrelaatiot ovat tavallisesti samasta syystä hivenen suurempia. Näihin HP- ja BK-suodinten tuottamiin tuloksiin on kuitenkin etenkin rahataloudellisten muuttujien osalta syytä suhtautua pienellä varauksella aiemmin esitellystä Harveyn ja Jaegerin (1993) kritiikistä johtuen. 3.3 BKT ja kysyntäerät Tyyliteltyjen faktojen tarkastelussa bruttokansantuote on tärkein muuttuja, sillä sen voi katsoa kuvaavan suhdannetilannetta parhaiten ja siten siihen on luonnollista verrata muiden muuttujien käyttäytymistä. Kirjallisuudessa on kuitenkin käytetty muutamia erilaisia tapoja bruttokansantuotteen mittaamiseen. Etenkin hieman vanhemmassa tutkimuksessa, esimerkiksi Kydland ja Prescott (1990) sekä Baxter (1991), on ollut tapana käyttää muuttujana bruttokansantuloa (engl. GNP = Gross National Product). Syynä tähän on se, että kansainvälisesti käytetty bruttokansantuote (engl. GDP = Gross Domestic Product) otettiin pääasialliseksi taloustilanteen kuvaajaksi Yhdysvalloissa vasta vuonna BKT:tä on siis alettu
27 26 käyttää vasta uudemmissa tutkimuksissa (esimerkiksi Stock ja Watson 1999). Molemmilla tavoilla laskien BKT:n keskihajonta on noin 1,7 1,8 prosenttia. Ensimmäisen asteen autokorrelaatio on puolestaan noin 0,85, mikä merkitsee suhteellisen vahvaa sidosta edeltävien arvojen kanssa. Toinen mielenkiintoinen, vaikkakaan ei niin yleisesti käytetty, näkökulma bruttokansantuotteeseen on lukea siitä pois maataloustuotanto ja julkinen sektori. Tätä lähestymistapaa käyttävät Plosser (1989) sekä King ja Watson (1996), jotka lisäksi lukevat pois asumisen ja huomioivat pääoman kulumisen eli käyttävät nettosuuretta. King ja Watson perustelevat tätä sillä, että pois luettavien sektoreiden panosten ja tuotosten mittaaminen on ongelmallista. Heidän määrittelemänsä BKT:n hajonta kohoaa 2,7 prosenttiin, mikä on puolitoistakertainen verrattuna koko BKT:n hajontaan. Näiden kahden muuttujan käyttäytymisen välistä eroa havainnollistaa kuvio 11. KUVIO 11: Yhdysvallat, BKT ja yksityinen BKT ilman maataloutta Poikkeama HP-trendistä, prosenttia BKT Yks. BKT Vuosineljännes Maataloudettoman yksityisen sektorin tarkastelun voi katsoa antavan paremman kuvan talouden suhdannevaihteluista, sillä ne vaihtelut, joista ollaan kiinnostuneita, tapahtuvat juuri tässä talouden markkinaehtoisesti toimivassa osassa. Osin julkisin varoin tuetun maataloussektorin suhdannevaihteluiden voi katsoa aiheutuvan paljolti sääolosuhteista ja olevan siten hieman erillään muusta taloudesta. Julkisen sektorin voi puolestaan katsoa vaikuttavan muuhun talouteen, eikä olevan osa sitä. Lisäksi julkisen sektorin tuotoksesta suuren osan muodostavat markkinattomat julkishyödykkeet. Toisaalta maataloustuotanto ja julkinen sektori ovat osa kansantaloutta, vaikka niiden arvonlisäyksen mittaamisessa olisikin ongelmia.
28 27 Yksityinen kulutus voidaan jakaa kestävien, puolikestävien ja lyhytikäisten tavaroiden sekä palveluiden kulutukseen. Kestokulutushyödykkeet ovat taloustieteellisessä mielessä ennemmin kotitalouksien tekemiä investointeja kuin kulutusta, joten ne luetaan usein investoinneiksi. Menettelyä tukee se, että kestävien tavaroiden keskihajonta on liki viisi prosenttia, kun muun kulutuksen keskihajonta on noin 0,8 % eli alle puolet suhteessa BKT:n vaihteluun. Palvelusten kulutuksen keskihajonta on vielä hieman tätäkin pienempi ja eikestävien tavaroiden hieman suurempi. Koko yksityisen kulutuksen keskihajonta on noin 1,3 %, mikä sekin on pienempi kuin BKT:llä. Yksityisen kulutuksen, pois lukien kestokulutushyödykkeet, korrelaatio BKT:n kanssa on hieman menetelmästä riippuen noin 0,8, eikä muuttuja näytä johtavan sykliä tai seuraavan sitä viiveellä. Muuttujan autokorrelaatio on myös melko vahvaa eli 0,8 0,9 tasolla. Muuttujan käyttäytymistä suhteessa yksityiseen BKT:hen on lisäksi havainnollistettu kuviossa 12. Näitä tuloksia voidaan tulkita siten, että ihmiset pyrkivät pitämään jokapäiväisen kulutustasonsa melko vakaana, sillä sen vaihtelu on pienehköä vaihtelun ollessa kuitenkin hyvin myötäsyklistä. Lisäksi kuluttajat tinkivät huonompina aikoina ensimmäiseksi isoista hankinnoista, sillä vaihtelu kestokulutushyödykkeiden kulutuksessa on suurta. Investoinneista voidaan erotella asuinrakennusinvestoinnit, muut rakennusinvestoinnit, investoinnit koneisiin, laitteisiin ja kuljetusvälineisiin sekä varastojen muutos. Investoinneiksi käsitetään kuitenkin yleensä, kuten tässäkin tutkielmassa, kiinteät investoinnit, joihin varastoinvestoinnit eivät lukeudu. Kuten jo edellä mainittiin, kestokulutushyödykkeet sisällytetään tässä tutkielmassa investointeihin. Joissain tutkimuksissa, esimerkiksi Plosser (1989), tarkastellaan vain yrityssektorin tekemiä investointeja eli asuinrakennuksia ei lueta mukaan. Investointien keskihajonta on melko tarkasti kolme kertaa suurempaa BKT:hen verrattuna. Investointien autokorrelaatio ja korrelaatio BKT:n kanssa ovat samaa luokkaa kuin kulutuksellakin. Asuinrakennusinvestointien hajonta on kuitenkin liki kaksinkertainen muihin investointeihin verrattuna, ja varastojen muutoksen keskihajonta on asuinrakennusinvestoin-
29 28 tejakin suurempaa. Joissain tutkimuksissa varastojen muutos suhteutetaan BKT:hen tai sen trendiin, sillä negatiivisiakin arvoja saavasta muuttujasta ei voida ottaa logaritmia. Sama ongelma koskee myöhemmin käsiteltävää nettovientiä. Muiden rakennusinvestointien keskihajonta on puolestaan hieman pienempää ja laitteistoinvestointien hieman suurempaa kuin kiinteiden investointien yhteensä. Investointien suuren vaihtelun voi katsoa johtuvan siitä, että kyseessä ovat isot ja kalliit hankinnat, joiden kannattavuutta mietitään tarkkaan. Hyvinä aikoina tällaisten investointien tekemiseen voi myös olla paremmin varaa ja uskallusta. King ja Rebelo (1999) toteavat, että investointien suuren vaihtelevuuden on katsottu todistavan Keynesin näkemyksen siitä, että investointipäätöksiä tekevillä ihmisillä on eläimellinen mielenlaatu. Investointien käyttäytymistä suhteessa yksityiseen BKT:hen on havainnollistettu kuviossa 13. KUVIO 13: Yhdysvallat, yksityiset kiinteät investoinnit Poikkeama HP-trendistä, prosenttia Vuosineljännes Julkisiin menoihin lasketaan sekä julkinen kulutus että julkiset investoinnit niin paikallisella kuin kansallisellakin tasolla. Julkisten menojen keskihajonta on hieman tutkimuksesta riippuen noin puolitoista kertaa suurempaa BKT:hen verrattuna ja sen autokorrelaatio on melko suuri, yli 0,9. Julkisten menojen korrelaatio BKT:n kanssa on korkeintaan 0,2 tasolla, joten se on käytännössä olematonta. Muuttujan syklistä irrallinen käyttäytyminen on siis hyvin erilaista kulutukseen ja investointeihin verrattuna. Tämän perusteella voi todeta, että muutokset julkisissa menoissa eivät todennäköisesti vaikuta merkittävästi suhdannevaihteluihin. Tästä syystä niihin ei kiinnitetä huomiota etenkään teknologiasokkeihin keskittyvässä RBC-kirjallisuudessa. Huomattavaa on kuitenkin se, että Stockin ja Watsonin (1999) laskelmien mukaan suuri keskihajonta johtuu suurista vaihteluista puolustusmenoissa.
Neljännesvuositilinpito kurkottaa 1960-luvulle*
Kansantaloudellinen aikakauskirja 109. vsk. 1/2013 Neljännesvuositilinpito kurkottaa 1960-luvulle* Ilari Ahola VTM Suomessa tuotettava tilastotieto on kansainvälisesti katsottuna nopeaa ja luotettavaa.
Harjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus 28.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan
Vaikuttaako kokonaiskysyntä tuottavuuteen?
Vaikuttaako kokonaiskysyntä tuottavuuteen? Jussi Ahokas Itä-Suomen yliopisto Sayn laki 210 vuotta -juhlaseminaari Esityksen sisällys Mitä on tuottavuus? Tuottavuuden määritelmä Esimerkkejä tuottavuudesta
KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET
KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:
S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte
Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus
Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus 1. Elintason kasvu 2. Kasvun mittaamisesta 3. Elintason osatekijät Suomessa 4. Elintason osatekijät OECD-maissa 5. Työn tuottavuuden kasvutekijät Tämä on pääosin Mankiw
SUHDANNEVAIHTELU, TALOUSTILASTOT JA ENNUSTEET. Markku Lanne TTT-kurssi
SUHDANNEVAIHTELU, TALOUSTILASTOT JA ENNUSTEET Markku Lanne TTT-kurssi 1.2.2012 Mitä on suhdannevaihtelu? Kokonaistaloudellisen aktiviteetin eli reaalisen bruttokansantuotteen (BKT) vaihtelu trendinsä ympärillä.
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
Ennuste vuosille (kesäkuu 2019)
ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2019 2021 (kesäkuu 2019) 11.6.2019 11:00 EURO & TALOUS 3/2019 TALOUDEN NÄKYMÄT Suomen talouden ennuste vuosille 2019 2021 kesäkuussa 2019. Kesäkuu 2019 1. HUOLTOTASE, MÄÄRÄT
Dynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
3. Tietokoneharjoitukset
3. Tietokoneharjoitukset Aikasarjan logaritmointi Aikasarjoja analysoidaan usein logaritmisessa muodossa. Asialooginen perustelu logaritmoinnille: Muuttujan arvojen suhteelliset muutokset ovat usein tärkeämpiä
Ennuste vuosille
ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2018 2021 18.12.2018 11:00 EURO & TALOUS 5/2018 TALOUDEN NÄKYMÄT Suomen talouden ennuste vuosille 2018 2021. Joulukuu 2018 1. HUOLTOTASE, MÄÄRÄT Viitevuoden 2010 hinnoin,
Ennuste vuosille
ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2018 2020 19.6.2018 11:00 EURO & TALOUS 3/2018 TALOUDEN NÄKYMÄT Suomen talouden ennuste vuosille 2018 2020 kesäkuussa 2018. Kesäkuu 2018 1. HUOLTOTASE, MÄÄRÄT Viitevuoden
Ennuste vuosille
ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2017 2019 13.6.2017 11:00 EURO & TALOUS 3/2017 TALOUDEN NÄKYMÄT Suomen talouden ennuste vuosille 2017 2019 kesäkuussa 2017. Eurojatalous.fi Suomen Pankin ajankohtaisia
SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA
SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA Sisältö Ennustetaulukot vuosille 2017 2019 (kesäkuu 2017) 3 ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2017 2019 EILEN 11:00 EURO & TALOUS 3/2017 TALOUDEN NÄKYMÄT
Katsaus korruption vaikutuksesta Venäjän alueelliseen talouskasvuun ja suoriin ulkomaisiin investointeihin
INSTITUUTIOTTALOUSKASVUNEDELLYTYKSENÄ KatsauskorruptionvaikutuksestaVenäjänalueelliseentalouskasvuunjasuoriin ulkomaisiininvestointeihin2000 2010 AshekMohamedTarikHossain HelsinginYliopisto Valtiotieteellinentiedekunta
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin
Jatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
talletetaan 1000 euroa, kuinka paljon talouteen syntyy uutta rahaa?
TALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 1.6.2017 1. Kerro lyhyesti (korkeintaan kolmella lauseella ja kaavoja tarvittaessa apuna käyttäen), mitä tarkoitetaan seuraavilla käsitteillä: (a) moraalikato (moral hazard) (b)
KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset
KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun
Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
Neljännesvuositilinpito
Kansantalous 2014 Neljännesvuositilinpito 2014, 1. vuosineljännes Neljännesvuositilinpidon EKT2010:n mukaiset aikasarjat julkistettu, bruttokansantuote väheni 0,4 prosenttia ensimmäisellä neljänneksellä
Kansantalouden kuvioharjoitus
Kansantalouden kuvioharjoitus Huom: Tämän sarjan tehtävät liittyvät sovellustiivistelmässä annettuihin kansantalouden kuvioharjoituksiin. 1. Kuvioon nro 1 on piirretty BKT:n määrän muutoksia neljännesvuosittain
14 Talouskasvu ja tuottavuus
14 Talouskasvu ja tuottavuus 1. Elintason kasvu 2. Kasvun mittaamisesta 3. Elintason osatekijät Suomessa 4. Elintason osatekijät OECD-maissa 5. Työn tuottavuuden kasvutekijät Tämä on pääosin Mankiw n ja
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Ennuste vuosille
ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2015 2017 10.12.2015 11:00 EURO & TALOUS 5/2015 TALOUDEN NÄKYMÄT Joulukuu 2015 1. HUOLTOTASE, MÄÄRÄT Viitevuoden 2010 hinnoin, prosenttimuutos edellisestä vuodesta Bruttokansantuote
6.2.3 Spektrikertymäfunktio
ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA
SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA Sisältö Ennustetaulukot 3 ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2016 2018 TÄNÄÄN 11:00 EURO & TALOUS 3/2016 TALOUDEN NÄKYMÄT Kesäkuu 2016 1. HUOLTOTASE, MÄÄRÄT
SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA
SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA Sisältö Ennustetaulukot vuosille 2017-2019 3 ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2017 2019 TÄNÄÄN 11:00 EURO & TALOUS 5/2016 TALOUDEN NÄKYMÄT Joulukuu 2016
BLOGI. Kuvio 1. BKT, Inflaatio ja reaalikorko. Lähde: Tilastokeskus, Suomen Pankin laskelmat
BLOGI Suomen talous ei ole kasvanut bruttokansantuotteella mitattuna vuoden 2011 jälkeen (kuvio 1). Kotimainen kysyntä, ja erityisesti investoinnit ovat olleet hyvin vaimeita huolimatta siitä, että pankkiluottojen
6. Tietokoneharjoitukset
6. Tietokoneharjoitukset 6.1 Tiedostossa Const.txt on eräällä Yhdysvaltalaisella asuinalueella aloitettujen rakennusurakoiden määrä kuukausittain, aikavälillä 1966-1974. Urakoiden määrä on skaalattu asuinalueen
Onko työn tuottavuuden kasvutrendi todella hidastumassa?
Kansantaloudellinen aikakauskirja 103. vsk. 2/2007 Onko työn tuottavuuden kasvutrendi todella hidastumassa? Markku Lanne professori kansantaloustieteen laitos, helsingin yliopisto ä skettäin Matti pohjola
Ennuste vuosille
ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2017 2020 18.12.2017 11:00 EURO & TALOUS 5/2017 TALOUDEN NÄKYMÄT Suomen talouden ennuste vuosille 2017 2020 joulukuussa 2017. Tässä esitetyt luvut voivat poiketa hieman
Makrotaloustiede 31C00200
Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Kansantalouden tilinpito 1 Monisteen sisältö Kansantalouden tilinpito, BKT Nimelliset ja reaaliset suureet Logaritmiset luvut, indeksit Maksutase Taloudellisten muuttujien
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus 7.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA. Karoliina Ljungberg
Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA Karoliina Ljungberg 16.04.2009 Ohjaajat: Ari Venäläinen, Jouni Räisänen
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
Suomen talouden näkymät
Juha Kilponen Ennustepäällikkö, Suomen Pankki Suomen talouden näkymät 2017-2019 13.6.2017 Julkinen 1 Kansainvälisen talouden ympäristö kasvulle suotuisampi Suomen vientikysyntä vahvistuu maailman reaalitalouden
Ennuste vuosille
ENNUSTETAULUKOT Ennuste vuosille 2015 2017 10.6.2015 11:00 EURO & TALOUS 3/2015 TALOUDEN NÄKYMÄT Kesäkuu 2015 1. HUOLTOTASE, MÄÄRÄT Viitevuoden 2010 hinnoin, prosenttimuutos edellisestä vuodesta Bruttokansantuote
Talouden näkymät
Juha Kilponen Ennustepäällikkö, Suomen Pankki Talouden näkymät 2016-2019 13.12.2016 Kansainvälisen talouden kasvu hieman kesäkuussa ennustettua hitaampaa Vuotuinen prosenttimuutos Kesäkuu 2016 Joulukuu
6.5.2 Tapering-menetelmä
6.5.2 Tapering-menetelmä Määritelmä 6.7. Tapering on spektrin estimointimenetelmä, jossa estimaattori on muotoa f m (ω) = 1 m ( ) k w 2π m Γ(k)e ikω, k= m missä Γ on otosautokovarianssifunktio ja ikkunafunktio
SUOMEN PANKKI Rahapolitiikka- ja tutkimusosasto. Suomen talouden näkymät Ennusteen taulukkoliite
Rahapolitiikka- ja tutkimusosasto Suomen talouden näkymät 2008 2010 Ennusteen taulukkoliite 9.12.2008 Lisämateriaalia Euro & talous -lehden numeroon 4/2008 Rahapolitiikka- ja tutkimusosasto Joukukuu 2008
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä Tehtävä 4.1. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu AR(1)-, AR(2)-, MA(1)- ja MA(2)-malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla.
Rahapolitiikan tutkimus ja toimintatavat: Kuinka rahapolitiikan tutkimus vaikuttaa rahapolitiikkaan?
Rahapolitiikan tutkimus ja toimintatavat: Kuinka rahapolitiikan tutkimus vaikuttaa rahapolitiikkaan? Pankinjohtaja, professori Seppo Honkapohja Esityksen rakenne Inflaatio, kasvu ja rahapolitiikka 1970-luvulta
SUOMEN PANKKI Rahapolitiikka- ja tutkimusosasto. Suomen taloudelliset näkymät Ennusteen taulukkoliite
Suomen taloudelliset näkymät 2005 2007 Ennusteen taulukkoliite 30.3.2005 Lisämateriaalia Euro & talous -lehden numeroon 1/2005 Taulukkoliite Taulukko 1. Taulukko 2. Taulukko 3. Taulukko 4. Taulukko 5.
Kansantaloudessa tuotetaan vehnää, jauhoja ja leipää. Leipä on talouden ainoa lopputuote, ja sen valmistuksessa käytetään välituotteena jauhoja.
Taloustieteen perusteet Kesä 2014 Harjoitus 4: MALLIRATKAISUT Juho Nyholm (juho.nyholm@helsinki.fi Tehtävä 1 Kansantaloudessa tuotetaan vehnää, jauhoja ja leipää. Leipä on talouden ainoa lopputuote, ja
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Valtiotieteellinen tiedekunta
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Valtiotieteellinen tiedekunta Laitos Institution Department Politiikan ja talouden tutkimuksen laitos Tekijä Författare Author Virta, Mikko Antero Työn nimi Arbetets
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
Tuottavuustutkimukset 2015
Kansantalous 2016 Tuottavuustutkimukset 2015 Kansantalouden tuottavuuskehitys 1976-2015 Arvonlisäyksen volyymin muutoksiin perustuvissa tuottavuustutkimuksissa on laskettu kansantalouden työn- ja kokonaistuottavuuden
r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
Aika/Datum Month and year Kesäkuu 2012
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos/Institution Department Filosofian, historian, kulttuurin ja taiteiden tutkimuksen laitos Humanistinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Veera Lahtinen
Noususuhdanne vahvistuu tasapainoisemman kasvun edellytykset parantuneet
Juha Kilponen Suomen Pankki Noususuhdanne vahvistuu tasapainoisemman kasvun edellytykset parantuneet 18.12.2017 18.12.2017 Julkinen 1 Talouden yleiskuva Kasvu laajentunut vientiin, ja tuottavuuden kasvu
HE 106/2017 vp Hallituksen esitys eduskunnalle valtion talousarvioksi vuodelle 2018
HE 106/2017 vp Hallituksen esitys eduskunnalle valtion talousarvioksi vuodelle 2018 Talouden näkymät Hallituksen talousarvioesityksessä Suomen talouskasvun arvioidaan olevan tänä vuonna 2,9 prosenttia.
Kappale 1: Makrotaloustiede. KT34 Makroteoria I. Juha Tervala
Kappale 1: Makrotaloustiede KT34 Makroteoria I Juha Tervala Makrotaloustiede Talouden kokonaissuureiden, kuten kansantuotteen, työllisyyden, inflaation ja työttömyysasteen tutkiminen. Taloussanomien taloussanakirja
8.9.2010. Postiosoite: 00022 TILASTOKESKUS puhelin: (09) 17 341 telefax: (09) 1734 3429
8.9.200 Postiosoite: 00022 TILASTOKESKUS puhelin: (09) 7 34 telefax: (09) 734 3429 Tiedustelut: Pasi Koikkalainen, +358 9 734 3332, e-mail: kansantalous.suhdanteet@tilastokeskus.fi Samu Hakala, +358 9
Aikasarjamallit. Pekka Hjelt
Pekka Hjelt Aikasarjamallit Aikasarja koostuu järjestyksessä olevista havainnoista, ja yleensä se on tasavälinen ja diskreetti eli havaintopisteet ovat erillisiä. Lisäksi aikasarjassa on yleensä autokorrelaatiota
Taloudellinen katsaus
Taloudellinen katsaus Syksy 2018 Tiedotustilaisuus 14.9.2018 Talousnäkymät Reaalitalouden ennuste 14.9.2018 Jukka Railavo, finanssineuvos Talousnäkymät Talous on nyt suhdanteen huipulla. Työllisyys on
Tutkimus- ja kehittämismenojen pääomittaminen kansantalouden tilinpidossa. Ville Haltia
Tutkimus- ja kehittämismenojen pääomittaminen kansantalouden tilinpidossa Ville Haltia 17.9.2013 Sisältö Tausta t&k-menojen pääomittamiselle Yleistä kansantalouden tilinpidosta Pääomittamisen menetelmät
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 1 AIKASARJA ILMAN SYSTEMAATTISTA VAIHTELUA... 2 1.1 Liukuvan keskiarvon menetelmä... 2 1.2 Eksponentiaalinen tasoitus... 3 2 AIKASARJASSA
PALJON RINNAKKAISIA JUONIA
PALJON RINNAKKAISIA JUONIA Talousennustaminen (suhdanne / toimialat) Mitä oikeastaan ennustetaan? Miten ennusteen tekeminen etenee? Miten toimialaennustaminen kytkeytyy suhdanne-ennusteisiin? Seuranta
Nopein talouskasvun vaihe on ohitettu
Meri Obstbaum Suomen Pankki Nopein talouskasvun vaihe on ohitettu Euro ja talous 5/2018 18.12.2018 1 Euro ja talous 5/2018 Pääkirjoitus Ennuste 2018-2021 Kehikot Julkisen talouden arvio Työn tuottavuuden
Identifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
Ennustetaulukot. 1. Huoltotase, määrät. 2. Kysyntäerien vaikutus kasvuun Huoltotase, hinnat
Ennustetaulukot 1. Huoltotase, määrät Viitevuoden 2000 hinnoin, prosenttimuutos edellisestä vuodesta 8,2 3,1 3,9 2,7 2,5 17,6 2,6 4,2 6,1 7,0 20,1 5,1 7,4 5,9 6,5 2,1 2,6 2,9 2,4 2,0 1,0 0,4 1,2 0,5 0,8
Kvantitatiiviset menetelmät
Kvantitatiiviset menetelmät HUOM! Tentti pidetään tiistaina.. klo 6-8 Vuorikadulla V0 ls Muuttujien muunnokset Usein empiirisen analyysin yhteydessä tulee tarve muuttaa aineiston muuttujia Esim. syntymävuoden
Miten kuvata taloudellista hyvinvointia? Olli Savela, yliaktuaari, kansantalouden tilinpito Näkökulmia talouteen ja hyvinvointiin seminaari 7.3.
Miten kuvata taloudellista hyvinvointia? Olli Savela, yliaktuaari, kansantalouden tilinpito Näkökulmia talouteen ja hyvinvointiin seminaari 7.3.2011 Kansantalouden tilinpito Kansainvälinen talouden kuvaus-
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Tuottavuustutkimukset 2016
Kansantalous 2017 Tuottavuustutkimukset 2016 Työn tuottavuus kasvoi 1,2 prosenttia vuonna 2016 Kansantalouden tilinpidon arvonlisäyksen volyymin ennakkotietoihin perustuva työn tuottavuuden kasvuvauhti
Talouden näkymät
Juha Kilponen Suomen Pankki Talouden näkymät 2015-2017 Euro & talous Julkinen 1 Suomen talouden tilanne edelleen hankala Suomen talouden kasvu jää ennustejaksolla euroalueen heikoimpien joukkoon Suomen
pitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
1. Keskimääräisen nimellistuottoprosentin laskenta
1 3.10.2011/TELA/Tuotonlaskentaryhmä/R.Vanne Yli vuoden mittaisen aikavälin tuoton raportointi 1. Keskimääräisen nimellistuottoprosentin laskenta FIVAn määräykset yksityisalojen työeläkevakuuttajille sisältävät
Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
Tarkastusmuistio Poliisin toimintojen yhdistäminen ja liikennevalvonnan määrä
Tarkastusmuistio Poliisin toimintojen yhdistäminen ja liikennevalvonnan määrä Liittyy tarkastukseen: 5/2019 Poliisin liikennevalvonta Tekijä: Ville Vehkasalo Päivämäärä: 24.9.2018 Diaarinumero: 248/54/2017
Taloudellinen katsaus
Taloudellinen katsaus Kevät 2018 Tiedotustilaisuus 13.4.2018 Talousnäkymät Reaalitalouden ennuste 13.4.2018 Jukka Railavo, finanssineuvos Talousnäkymät Kasvu jatkuu yli 2 prosentin vuosivauhdilla. Maailmantaloudessa
Harjoitustehtävät 6: mallivastaukset
Harjoitustehtävät 6: mallivastaukset Niku Määttänen & Timo Autio Makrotaloustiede 31C00200, talvi 2018 1. Maat X ja Y ovat muuten identtisiä joustavan valuuttakurssin avotalouksia, mutta maan X keskuspankki
Työeläkelaitokset julkisessa taloudessa
Mauri Kotamäki, VM Versio 7.1.2016 klo 14:15 Risto Vaittinen, ETK Reijo Vanne, Tela Työeläkelaitokset julkisessa taloudessa Työeläkelaitokset sisältyvät kansantalouden tilinpidossa julkisyhteisöihin, joiden
Ennustetaulukot. 1. Huoltotase, määrät. 2. Kysyntäerien vaikutus kasvuun 1. 3. Huoltotase, hinnat
Ennustetaulukot 1. Huoltotase, määrät Viitevuoden 2000 hinnoin, prosenttimuutos edellisestä vuodesta 8,2 3,6 2,8 0,4 1,8 16,1 7,4 0,7 0,0 5,6 21,5 8,6 3,2 0,4 6,0 3,1 2,7 3,7 1,2 1,4 0,9 0,6 0,1 0,4 0,7
1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
Makrotaloustiede 31C00200
Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2017 Harjoitus 5 Arttu Kahelin arttu.kahelin@aalto.fi 1. Maan julkisen sektorin budjettialijäämä G-T on 5 % BKT:sta, BKT:n reaalinen kasvu on 5% ja reaalikorko on 3%. a)
Taloudellinen katsaus
Taloudellinen katsaus Talvi 2018 Tiedotustilaisuus 17.12.2018 Talousnäkymät Reaalitalouden ennuste 17.12.2018 Jukka Railavo, finanssineuvos Talousnäkymät Talouden korkeasuhdanne on taittumassa. Työllisyys
Taloudellinen katsaus
Taloudellinen katsaus Kevät 2019 Tiedotustilaisuus 4.4.2019 Talousnäkymät Reaalitalouden ennuste 4.4.2019 Jukka Railavo, finanssineuvos Talousnäkymät Nousukauden lopulla: Työllisyys on korkealla ja työttömyys
Voidaanko fiskaalisella devalvaatiolla tai sisäisellä devalvaatiolla parantaa Suomen talouden kilpailukykyä?
Juha Kilponen Suomen Pankki Voidaanko fiskaalisella devalvaatiolla tai sisäisellä devalvaatiolla parantaa Suomen talouden kilpailukykyä? Helsinki, Economicum 30.11.2015 Mielipiteet ovat kirjoittajan omia
Suhdannevaihtelu, taloustilastot ja ennusteet
Suhdannevaihtelu, taloustilastot ja ennusteet Henri Nyberg Politiikan ja talouden tutkimuksen laitos, taloustiede Helsingin yliopisto Taloudelliset termit tutuiksi, 29.1.2014 Suhdannevaihtelu Mitä on suhdannevaihtelu?
Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Finanssipolitiikkaa harjoitetaan sekä koko maan tasolla että paikallistasolla kunnissa. Mitä perusteita tällaiselle kahden tason politiikalle on?
!" # $ Tehtävä 1 %&'(&)*+,)**, -./&,*0. &1 23435 6/&*.10)1 78&99,,: +800, (&)**,9)1 +8)**, 7;1*)+,)**, (&6,,77. )0; '?@0?(; (, ',)00&(, &1 9&/9.,*0, (, 0&)*,,70, +,0,7,*0, -./&,*0..*0,A
YLEISKUVA - Kysymykset
INSIGHT Käyttöopas YLEISKUVA - Kysymykset 1. Insight - analysointityökalun käytön mahdollistamiseksi täytyy kyselyn raportti avata Beta - raportointityökalulla 1. Klikkaa Insight välilehteä raportilla
Verotus ja talouskasvu. Essi Eerola (VATT) Tulevaisuuden veropolitiikka -seminaari 25.09.2009
Verotus ja talouskasvu Essi Eerola (VATT) Tulevaisuuden veropolitiikka -seminaari 25.09.2009 Johdantoa (1/2) Talouskasvua mitataan bruttokansantuotteen kasvulla. Pienetkin erot talouden BKT:n kasvuvauhdissa
1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén
Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sonifikaatio Menetelmä Sovelluksia Mahdollisuuksia Ongelmia Sonifikaatiosovellus: NIR-spektroskopia kariesmittauksissa
9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
Maailmantalouden suuret kysymykset Suhdannetilanne ja -näkymät
Samu Kurri Suomen Pankki Maailmantalouden suuret kysymykset Suhdannetilanne ja -näkymät Euro & talous 1/2015 25.3.2015 Julkinen 1 Maailmantalouden suuret kysymykset Kasvun elementit nyt ja tulevaisuudessa
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo