https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017"

Transkriptio

1 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017

2 /2 2 Osaamistavoitteet https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600&id x=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017 Opiskelija osaa käyttää opintojaksolla esiteltyjä tilastollisia menetelmiä sekä ymmärtää niihin liittyvän teorian. Hän osaa annetussa tutkimustilanteessa suorittaa tilastollisen päättelyn joko valmiiksi annettujen tai itse laskemiensa tulosten perusteella. Hän osaa valita asetettuun tutkimusongelmaan liittyen sopivan menetelmän, suorittaa tilanteeseen sopivalla ohjelmistolla kyseisen analyysin sekä tulkita saadut tulokset.

3 /3 Esim. Tampereella keväällä 2006 myynnissä olleita kerrostalohuoneistoja, aineisto _2006.sav sivulta https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoj a/ Tutkimuskohteita 1) Vaikuttaako sijainti neliöhintaan? y = neliöhinta x = sijainti SPSS-harj. 1 teht. 3a

4 /4 2) Vaikuttaako huoneiden lukumäärä neliöhintaan? Miten sijainti vaikuttaa tähän riippuvuuteen? y = neliöhinta x = huoneiden lukumäärä (luokiteltuna) z = sijainti SPSS-harj. 1 teht. 3b

5 /5 3) Vaikuttaako sijainti huoneiden lukumäärään? y = huoneiden lukumäärä (luokiteltuna) x = sijainti SPSS-harj. 2 teht. 3 4) Miten huoneiston koko vaikuttaa hintaan? Miten sijainti vaikuttaa tähän riippuvuuteen? y = hinta x = neliöt z = sijainti SPSS-harj. 3 teht. 2

6 /6 3 Kurssin kotisivu https://coursepages.uta.fi/mttta1/kevat-2018/ Opetus Kurssi-info (sisältö, tentit, harjoitushyvitys) Luennot, luentorunko, kaavat, taulukot Harjoitukset, tehtävät, ohjeet (Moodle), ratkaisut Esimerkkiaineistoja Oheiskirjallisuutta Usein kysyttyä Linkkejä Palaute

7 /7 4 Kertausta Seuraaviin kohtiin 1) 8) on koottu lyhyesti olennaisimmat asiat, jotka oletetaan opintojaksolla tunnetuiksi aiempien opintojen perusteella. 1) Empiiriset jakaumat yksiulotteiset taulukot, graafiset esitykset, tunnusluvut kaksiulotteiset ristiintaulukko, pisteparvi, korrelaatiokerroin ehdolliset jakaumat riippuvuus, ehdolliset tunnusluvut, laatikkojana-kuvio toteutus SPSS:llä (tai muulla ohjelmistolla)

8 /8 2) Satunnaismuuttuja X todennäköisyysjakauma, tiheysfunktio f(x) kertymäfunktio F(x) = P(X x) E(X) = µ, Var(X) = 2 3) Todennäköisyysjakaumia X ~ N(µ, 2 ), Z = (X - µ)/ ~ N(0, 1) P(Z z) = (z), P(Z z ) =, P(Z z /2 ) = /2 Studentin t-jakauma P(t df t,df ) =, P(t df t /2,df ) = /2

9 /9 4) Satunnaisotos X 1, X 2,..., X n Luentorunko s. 3 entorunko.pdf#page=4 5) Otossuure, otosjakauma Esim. X ~ N(µ, 2 /n), jos satunnaisotos normaalijakaumasta.

10 /10 6) Estimointi Estimointi on populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla. Voidaan myös muodostaa väli (luottamusväli), jolla arvioidaan tuntemattoman parametrin olevan. Estimaattori otossuure, jolla estimoidaan tuntematonta parametria. Estimaatti on estimaattorin arvo. Harhaton estimaattori Estimaattorin keskivirhe (= estimaattorin keskihajonta)

11 /11 7) Testaus Tilastollinen hypoteesi väite populaatiosta, usein populaation jakauman parametrista. Hypoteesin testaus on väitteen tutkimista otoksen perusteella. Asetetaan nollahypoteesi (H 0 ) ja vaihtoehtoinen hypoteesi (H 1 ). Testisuure on otossuure, jota käytetään hypoteesin tutkimisessa.

12 /12 Testisuureen jakauma tunnetaan nollahypoteesin ollessa tosi. Otoksesta lasketun testisuureen arvon perusteella nollahypoteesi hyväksytään tai hylätään kiinnitetyllä riskitasolla. p-arvo on pienin riskitaso, jolla H 0 voidaan hylätä. Ks. testauksen vaiheet tarkemmin luentomoniste s. 4. entorunko.pdf#page=5

13 /13 8) Joitain testaustilanteita H 0 : µ 1 = µ 2 Esim uentorunko.pdf#page=7 Riippumattomien otosten t-testi odotusarvojen yhtäsuuruuden testaamiseksi.

14 /14 H 0 : = 0 Esim uentorunko.pdf#page=7. Prosenttiosuuden tutkiminen Z-testillä.

15 /15 Lisätietoja: Luentorungon luvussa 1 orunko.pdf#page=3 on lyhyt kertaus olennaisimmista asioista, jotka oletetaan opintojaksolla tunnetuiksi aiempien opintojen perusteella.

16 /16 Tarvittaessa kertaukseen ja tietojensa täydentämiseen voi käyttää kurssien MTTTP1 (https://coursepages.uta.fi/mtttp1/syksy-2017/ ) MTTTP5 (https://coursepages.uta.fi/mtttp5/syksy-2017/ ) materiaaleja.

17 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento Luku 2 Varianssianalyysi 2.1 Yksisuuntainen varianssianalyysi Esim Tutkitaan golfpallojen keskimääräisiä lentomatkoja, saadaan tulokset: Merkki Keskiarvo Keskihajonta Lukumäärä A 251,28 5, B 261,06 3, C 269,95 4,501 10

18 /2 H 0 : µ A = µ B = µ C H 1 : kaikki µ:t eivät samoja F-testisuure H 0 :n testaamiseksi Annettujen lukujen perusteella voidaan laskea testisuureelle arvo, saadaan F hav. = 36,87 ja p-arvo < 0,0001. Hylätään H 0 ja päätellään odotusarvoissa olevan eroja.

19 /3 Fisherin F-jakauman tiheysfunktion kuvaajia F-jakauma määritellään kaksin vapausastein, F df1,df2

20 /4 Määritellään F ;df1, df2 siten, että P(F df1, df2 >F ;df1,df2 )=. Näitä arvoja taulukosta kun = 0,01 tai = 0,05.

21 /5 Esim Testisuure noudattaa H 0 :n ollessa tosi F-jakaumaa vapausastein 2 ja 27. F 0,01;2,27 = 5,49 < F hav. = 36,87, joten H 0 hylätään 1 %:n riskitasolla.

22 /6 Esim Tutkitaan keskimääräisiä neliöhintoja Tampereen keskustassa, Länsi- ja Itä-Tampereella H 0 : µ K = µ L = µ I H 1 : kaikki µ:t eivät samoja Aineisto sivulta https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/

23 /7 Koska p-arvo < 0,001, hylätään ja päätellään eroja olevan. Päättely taulukkoarvon (http://www.sis.uta.fi/tilasto/mttta1/kevat2018/f_jakauma.pdf ) perusteella: F 0,01; 2, 226 4,61 < F hav. = 173,035, joten H 0 hylätään 1 %:n riskitasolla.

24 /8 Onko kaikkien alueiden välillä eroja? Länsi- ja Itä-Tampereen välillä ei eroja, muissa on. Tutkitaan odotusarvojen yhtäsuuruutta pareittain, päättely p-arvon tai luottamusvälin perusteella.

25 /9 Varianssianalyysin liittyvät oletukset ja laskukaavat Y 11, Y 12,, Y 1n1 satunnaisotos N(µ 1, ):sta Y 21, Y 22,, Y 2n2 satunnaisotos N(µ 2, ):sta... Y I1, Y I2,, Y InI satunnaisotos N(µ I, ):sta Oletetaan, että = = = riippumattomia. ja otokset H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ I H 1 : kaikki µ:t eivät samoja

26 /10 SST = ( ), =, = + SSB=, = = ( ) = SST = SSB + SSW MSB = SSB/(I-1) MSW = SSW/(n-I) E(MSW) = 2 aina E(MSB) = 2, jos H 0 tosi F = MSB/MSW ~F I-1, n-i, kun H 0 tosi H 0 hylätään riskitasolla, jos F hav > F ; I-1, n-i.

27 /11 Esim Valmennusmenetelmien vaikutus urheilusuoritukseen H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 H 1 : kaikki odotusarvot eivät samoja Urheilusuoritukset menetelmittäin Menetelmä 1: 6, 4, 6, 4 Menetelmä 2: 14, 9, 10, 11 Menetelmä 3: 5, 11, 8, 8

28 /12

29 /13 F 0,01; 2, 9 = 8,02 < F hav. = 9, joten H 0 hylätään 1 %:n riskitasolla. Voidaan sanoa, että p-arvo = P(F 2,9 > 9) <0,01.

30 /14

31 SPSS-tulos /15

32 /16 Jos H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ I hylätään, niin voidaan tutkia mitkä odotusarvot poikkeavat toisistaan. Tutkitaan odotusarvoja pareittain testin tai luottamusvälin avulla. Esim Vain menetelmien 1 ja 2 välillä eroja.

33 /17 Oletusta varianssien yhtäsuuruudesta voidaan myös testata (Levenen testi). Tällöin H 0 : = =. Jos variansseja ei voida olettaa samoiksi (Levenen testin p-arvo < 0,05), niin käytetään Welchin tai Brown-Forsythen testejä odotusarvojen yhtäsuuruuden testaamisessa.

34 /18 Esim Varianssien yhtäsuuruuden testaaminen H 0 : = = Hyväksytään H 0, koska p-arvo = 0,811 > 0,05. Voidaan siis olettaa varianssit yhtä suuriksi.

35 /19 Nimitys varianssianalyysi tulee siitä, että testisuure on kahden varianssiestimaattorin osamäärä. Jos I = 2, niin H 0 : µ 1 = µ 2. Tällöin t 2 = F.

36 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento Kertausta ja täydennystä 1-VA H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ I H 1 : kaikki µ:t eivät samoja

37 /2 Oletetaan riippumattomat otokset: Y 11, Y 12,, Y 1n1 satunnaisotos N(µ 1, ):sta Y 21, Y 22,, Y 2n2 satunnaisotos N(µ 2, ):sta... Y I1, Y I2,, Y InI satunnaisotos N(µ I, ):sta Oletetaan lisäksi, että = = =.

38 /3 Neliösummat: ( ) = + ( ) 2 ks. kaavakokoelma

39 /4 Esim Tutkitaan autotyyppien A, B, ja C kulutusta (miles per gallon), orunko.pdf#page=15

40 /5

41 /6 Esim Tutkitaan golfpallojen keskimääräisiä lentomatkoja, saadaan tulokset: Merkki Keskiarvo Keskihajonta Lukumäärä A 251,28 5, B 261,06 3, C 269,95 4, H 0 : µ A = µ B = µ C H 1 : kaikki µ:t eivät samoja = 260,76, n = 30, I = 3, n 1 = n 2 = n 3 = 10

42 /7 = ( ) = = , , ,501 = 638,36 SSB= SSB = 10(251,28-260,76) (261,06-260,76) (269,95-260,76) 2 = 1744,17

43 /8 MSB = SSB/(I-1) MSB = 1744,17/2 = 872,08 MSW = SSW/(n-I) MSW = 638,36/27 = 23,64 F = MSB/MSW ~ F I-1, n-i, kun H 0 tosi F hav. = 872,08/23,64 = 36,87 > F 0,01;2,27 = 5,49, joten H 0 hylätään 1 %:n riskitasolla. Päätellään odotusarvoissa olevan eroja. Voidaan sanoa, että p- arvo = P(F 2,27 > 36,87) <0,01.

44 /9 Esim. Miehillä iän vaikutus kudostiheyteen Aineisto rasvaprosentti.sav sivulta

45 /10

46 /11 H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 H 1 : kaikki odotusarvot eivät samoja Koska p-arvo <0,001, niin H 0 hylätään, päätellään eroja olevan. Monivertailusta huomataan, että kaikkien ikäryhmien välillä ei kuitenkaan ole eroja.

47 /12

48 /13 Populaatioiden varianssit voitiin olettaa samoiksi (H 0 : = = = hyväksytään, koska p-arvo 0,291>0,05), joten varianssianalyysin käyttö sallittua.

49 Varianssianalyysi nettilaskurilla: - > ANOVA -> /14

50 / Kaksisuuntainen varianssianalyysi Esim. Tutkitaan kolmen autotyypin polttoaineen kulutusta (kulutus = mailit/gallona) huomioiden kuljettajan ikä (5 ikäryhmää), aineisto oja/autotnb2va.sav Tehdään aluksi yksisuuntaiset varianssianalyysit.

51 y = kulutus x = autotyyppi /16

52 /17

53 /18

54 y= kulutus x = ikäryhmä /19

55 /20

56 /21

57 /22 Kulutuksen ehdolliset keskiarvot ryhmitellen sekä ikäryhmän että autotyypin mukaan

58 /23 Nyt y= kulutus x 1 = autotyyppi x 2 = ikäryhmä Suoritetaan kaksisuuntainen varianssianalyysi. Halutaan selvittää miten autotyyppi ja ikäryhmä yhdessä vaikuttavat kulutukseen. Tutkitaan autotyypin ikäryhmästä riippumatonta vaikutusta (omavaikutusta), ikäryhmän autotyypistä riippumatonta vaikutusta (omavaikutusta) sekä autotyypin ja ikäryhmän yhdysvaikutusta. Ks. #page=21

59 /24 Päätellään: ikäryhmittäin kuljettajien väliset erot erilaiset eri autotyypeillä. Myös molemmilla selittäjillä on omavaikutusta (p-arvot <0,01).

60 /25 SPSS-ohjeet Ehdolliset keskiarvot graafisesti Graphs-> Line-> Multiple-> Variable -> kulutus-> Category Axis-> ikaryhma -> Define line by->auto 2-VA General Linear Model -> Univariate -> Dependent -> kulutus-> Fixed Factors ->auto, ikaryhma, Model -> auto, ikaryhma, interaction

61 /26 Esim. Rakennusajan ja sijainnin vaikutus keskineliöhintaan, SPSS-monisteen esimerkki 19

62 /27 Aineisto sivulta https://coursepages.uta.fi/mtttp1/esimerkkiaineistoja/

63 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento Luku 3 2 -yhteensopivuus- ja riippumattomuustestit yhteensopivuustesti H 0 : otos peräisin tietystä jakaumasta H 1 : otos ei peräisin tästä jakaumasta Esim. H 0 : otos peräisin normaalijakaumasta H 0 : otos peräisin tasajakaumasta

64 /2 Esim. Eräällä kurssilla opiskelijat generoivat satunnaislukuja vastaamalla kysymyksiin: 1. Ravistele päätäsi ja arvo yksi kokonaisluku heittotulos: n=40 2. Ravistele päätäsi uudelleen ja arvo yksi kokonaisluku heittotulos: n=40

65 /3 3. Ravistele päätäsi ja heitä rahaa klaava kruuna heittotulos: 21 (52,5%) 19 n=40 4. Ravistele päätäsi uudelleen ja heitä rahaa klaava kruuna heittotulos: 13 (32,5%) 27 n=40 Voidaanko ajatella, että ensimmäinen kokonaisluvun valinta on otos diskreetistä tasajakaumasta? Jos olisi, niin jokainen numero olisi esiintynyt 4 kertaa. Voidaanko ajatella, että rahanheiton tulos on otos jakaumasta, jossa klaavoja 50 %? Jos olisi, niin klaavoja pitäisi olla 20 ja kruunia 20.

66 /4 Olkoot riippumattomat Z i ~N(0, 1), i = 1,, k. Tällöin noudattaa nk. jakaumaa vapausastein k, merkitään. Tällöin E( ) = k, Var( ) = 2k. jakauman tiheysfunktion kuvaaja, muoto riippuu vapausasteista

67 /5 Määritellään siten, että. Näitä arvoja on taulukoitu, ks.

68 /6 Tarkastellaan muuttujan frekvenssijakaumaa. Oletetaan, että jakaumassa on k kappaletta luokkia ja näiden luokkien frekvenssit f 1, f 2,, f k. Testataan sitä, ovatko havaitut frekvenssit sopusoinnussa H 0 :n mukaisten nk. teoreettisten eli odotettujen frekvenssien e 1, e 2,, e k kanssa.

69 /7 Jos H 0 : otos peräisin tietystä jakaumasta on tosi, niin = ~. H 0 hylätään riskitasolla, jos >,. Testiä voidaan käyttää, jos kaikki teoreettiset frekvenssit ovat > 1 ja enintään 20 % < 5.

70 /8 Esim. Rahanheitto H 0 : Otos peräisin jakaumasta, jossa klaavoja ja kruunia yhtä paljon 1. rahanheitto f i e i klaavoja kruunia = ( ) + ( ) = 0,1

71 /9., = 3,84 > = 0,1, H 0 hyväksytään 5%:n riskitasolla. Voidaan siis ajatella, että rahanheitto tehty satunnaisesti. 2. rahanheitto f i e i klaavoja kruunia = ( ) Koska + ( ) = 4,9., = 3,84 < = 4,9<., niin 0,025 < p-arvo < 0,05. = 5,02,

72 /10 Esim. Ystäväsi väittää, että suomalaisista 10 % on vasenkätisiä. Tutkit asiaa ja valitset satunnaisesti 400 suomalaista, joista 56 on vasenkätisiä. Uskotko ystäväsi väitteen? H 0 : 10 % suomalaisista on vasenkätisiä f i vasenkätisiä 56 0,1 400 = 40 ei-vasenkätisiä 344 0,9 400 = 360 e i = ( ) + ( ) = 7,11

73 /11 = 6,63 = 7,88,,,, H 0 hylätään 1 %:n riskitasolla, mutta ei 0,5 %:n riskitasolla, siis 0,005 < p-arvo < 0,01. Laskuri ja p- arvon arviointi p 0,008151

74 /12 Toisin H 0 : = 10 H 1 : /400 2,67 p-arvo = 2(1- (2,67)) = 2(1-0,9962) = 0,0076

75 /13 Jos 2 -yhteensopivuustestissä luokkien lukumäärä on kaksi, niin 2 = Z 2. Edellisessä esimerkissä 7,11 2,67 2.

76 /14 Esim Nopanheitto, orunko.pdf#page=26 H 0 : Otos peräisin Tasd(1, 6):sta silmäluku f i e i /6 = 20, / / / / /6

77 /15 = >., (8 20,3) 20,3 = 16, ,3 20,3 = 40,6 H 0 hylätään, nopanheitto ei ole tapahtunut satunnaisesti.

78 /16 Esim Asiakkaiden laskujen maksutavat, orunko.pdf#page=25 H 0 : ei tapahtunut muutosta H 1 : on tapahtunut muutos f i ajoissa 287 0,8x400 = kk myöhässä 49 0,1x400 = 40 2 kk myöhässä 30 0,06x400 = 24 yli 2 kk myöhässä 34 0,04x400 = 16 e i. = ( ) = 27,58 >., = 12,84 Päätellään muutosta tapahtuneen.

79 /17 Laskuri Pelkän p-arvon määrittäminen e_prob.html

80 /18 Esim Onko painoindeksi normaalisti jakautunut? orunko.pdf#page=26 H 0 : Otos peräisin N(25.58, ):sta Painoindeksi frekv. odotettu frekv. alle 20,1 9 11,5 = e 1 20,1-21,4 15 6,3 21,4-25, ,3 25,5-28, ,6 28,5-32, ,1 yli 32,2 9 7,

81 /19 e 1 = 97 P(X 20,1) = 97 ((20,1-25,58)/4,66) = 97 (-1,18) = 97 (1- (1,18)) = 97 0,119= 11,5 Vastaavalla tavalla lasketaan muidenkin luokkien odotetut frekvenssit. Saadaan = >.,. (9 11,5) 11,5 = 12,84 + 7,5 7,5 = 13,94

82 /20 Päätellään, että otos ei peräisin normaalijakaumasta. Huom! Vapausasteet pienenevät estimoitujen parametrien verran.

83 /21 Laskurin antama tulos, vapausasteissa ei huomioitu estimointia.

84 /22

85 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento Kertausta ja täydennystä 2 - yhteensopivuustestistä H 0 : otos peräisin tietystä jakaumasta H 1 : otos ei peräisin tästä jakaumasta Jos H 0 : otos peräisin tietystä jakaumasta on tosi, niin = ~.

86 /2 Esim. Plasma-aineisto, sivulla y = painoindeksi (paino/pituus 2 )

87 /3 H 0 : Otos peräisin N(26.16, ):sta Vaihtoehtoisia testejä normaalisuuden testaamiseksi: SPSS -> Analyze -> Descriptive Statistics -> Explore Plots -> Normality plots with tests H 0 hylätään molemmilla testeillä, koska p-arvot < 0,001. Otos ei peräisin normaalijakaumasta.

88 Esim. Generoitu 100 lukua N(0, 1):stä, SPSSfuntio RV.NORMAL(0,1) /4

89 /5 H 0 : Otos peräisin N(-0.16, 1,018 2 ):sta H 0 hyväksytään molemmilla testeillä, koska p- arvot > 0,05. Satunnaislukugeneraattori OK.

90 / riippumattomuustesti Ristiintaulukon perusteella riippumattomuuden testaaminen H 0 : X ja Y ovat riippumattomia H 1 : X ja Y ovat riippuvia

91 /7 Esim. Tampereella myydyt pienet asunnot, aineisto t_asunnot_2009.sav

92 /8 H 0 : Kunto ja sijainti ovat riippumattomia H 1 : Kunto ja sijainti ovat riippuvia H 0 hyväksytään, koska p-arvo on 0,605 > 0,05.

93 Tarkastellaan yleisesti ristiintaulukkoa /9

94 /10 Määritetään ristiintaulukkoon teoreettiset frekvenssit e ij siten, että oletetaan H 0 : X ja Y riippumattomia on tosi. Tällöin oltava Jos H 0 on tosi, niin

95 /11 Nyt H 0 hylätään riskitasolla, jos >, Jos I =2 ja J = 2 (nelikenttä), niin testisuure voidaan laskea myös kaavalla =

96 /12 Testiä voidaan käyttää: a) (I-1)(J-1) = 1 n >40 20 n 40 kaikkien teoreettisten frekvenssien oltava 5. b) (I-1)(J-1) > 1 kaikkien teoreettisten frekvenssien oltava > 1 ja enintään 20 % saa olla alle 5.

97 /13 Esim. Edellisestä ristiintaulukosta testisuureen laskeminen.

98 /14

99 /15 Esim. Monisteesta Leppälä, R., Ohjeita tilastollisen tutkimuksen toteuttamiseksi IBM SPSS Statistics - ohjelmiston avulla, , esimerkki 13 Kyselylomake eistoja/arviointi_lomake.pdf Y = Opintojakson työläys X = Opintosuunta H 0 : X ja Y ovat riippumattomia H 1 : X ja Y ovat riippuvia

100 /16

101 /17 Testin käyttöön liittyvät oletukset tällä luokituksella kunnossa, vain 16,7 % (1/6) odotetusta frekvensseistä alle 5 ja kaikki > 1. Pienin riskitaso, jolla H 0 voidaan hylätä, on 0,022. Tätä suuremmilla riskeillä H 0 hylätään, pienemmillä hyväksytään.

102 /18

103 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento Kertausta ja täydennystä 2 -riippumattomuustesti Ristiintaulukon perusteella riippumattomuuden testaaminen H 0 : X ja Y ovat riippumattomia H 1 : X ja Y ovat riippuvia

104 /2 Ristiintaulukkoa Jos H 0 on tosi, niin

105 /3 Nyt H 0 hylätään riskitasolla, jos. >, Jos I =2 ja J = 2 (nelikenttä), niin testisuure voidaan laskea myös kaavalla =

106 /4 Esim Naisten ja miesten tenttimenestyminen orunko.pdf#page=31 Miehet Naiset Yht. Hylätty Hyväksytty Yht H 0 : ei riippuvuutta. = ( ) H 0 hyväksytään, ei riippuvuutta. = 0,09787 < 3,84 =, ;

107 /5 Esim. Tutkimuksessa vertailtiin erään kasvaimen yleisyyttä kahdella rottalajilla A ja B. Valittiin satunnaisesti molemmista ryhmistä 100 samanikäistä rottaa. Rotat pidettiin samankaltaisissa olosuhteissa vuoden ajan. Vuoden seurannan jälkeen kasvain löytyi 25:ltä lajin A rotalta ja 15:ltä lajin B rotalta. Onko kasvaimen yleisyys samanlaista molemmilla lajeilla?

108 /6 H 0 : ei riippuvuutta Laji A Laji B On kasvain Ei kasvainta = ( ) = 3,125 < 3,84 =, ; H 0 hyväksytään, yleisyys samanlaista. P( > 3,125) = 0,0771, ks.

109 /7 Laskureita _NROW_NCOLUMN_form.html

110 /8 Missä mennään? Menetelmien valinnasta ma/menetelmatyypit.html

111 /9 Luku 4 Regressioanalyysi Voidaanko y:n vaihtelua selittää samanaikaisesti useammalla muuttujalla? Voidaanko tätä riippuvuutta mallintaa? Tarkastellaan tilanteita, joissa sekä selitettävä että selittäjät ovat kvantitatiivisia.

112 /10 Esim. Erilaisia pisteparvia, tilastoyksikkönä auto

113 /11

114 /12

115 Malli Kulutus = Teho /13

116 /14 Estimoidaan mallin parametrit 0 ja 1. Saadaan = 4,435, = 0,016 Pisteparveen sovitetun suoran yhtälö = 4, ,016, y = Kulutus, x = Teho

117 /15

118 Merkitään Y = Polttonesteen kulutus (120 km/h) x = Polttonesteen kulutus (90 km/h) Malli Y = x /16

119 /17 Estimoidaan mallin parametrit 0 ja 1. Saadaan = 1,316, = 1,061 Pisteparveen sovitetun suoran yhtälö = 1, ,061

120 /18 Esim. Aineisto Jalkapalloilijat_2006 sivulta

121 Malli ja estimoinnin tulos: /19

122 /20 Esim. Aineisto Rasvaprosentti sivulta

123 Malli ja estimoinnin tulos: /21

124 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento Regressioanalyysi 4.1 Yksi selittävä muuttuja Esim Poimittu samanikäisiä puita, mitattu poikkileikkauspinta-ala sekä puun kuutiomäärä Pinta-ala Tilavuus 2,59 0,161 3,89 0,273 9,63 0,633

125 /2

126 /3 Malli Tilavuus = Pinta-ala + Estimointi

127 /4 Jos pinta-ala on 4,60, niin arvioitu tilavuus on 0, ,066 4,60 = 0,310. Jos pinta-ala on 4, niin arvioitu tilavuus on 0, ,066 4= 0,270.

128 /5 Yhden selittäjän regressiomalli Y = x +, missä Y on satunnaismuuttuja, havaittavissa oleva, selitettävä x on selittäjä, ei-satunnainen, havaittavissa oleva on satunnaismuuttuja, ei havaittavissa 0 ja 1 mallin parametrit, estimoidaan aineiston avulla

129 /6 Malli voidaan esittää myös muodossa = + +, = 1,2,, (1) Malliin liittyvät oletukset ovat i ~ N(0, 2 ) ja i :t ovat riippumattomia

130 /7 Näistä oletuksista seuraa E(Y i ) = E( x i + i ) = E( 0 ) + E( 1 x i ) + E( i ) = x i Var(Y i ) = Var( x i + i ) = Var( i ) = 2 Lisäksi Y i ~N( x i, 2 ) Jokaista x:n arvoa kohden on olemassa Y:n todennäköisyysjakauma, joka on normaalijakauma. Havainnot näistä normaalijakaumista, graafisesti

131 /8 Mallin (1) parametrien estimointi = = 1 1 = = =

132 /9 Esim Lannoitemäärän vaikutus satoon

133 /10 x i y i x i y i 2 x i = 1 1 = = 0, = = , = 32,857

134 /11 Voidaan osoittaa, että = = Estimoidut y:n arvot saadaan = +, = 1,, Määritellään residuaalit e i = y i - i Tämä suoran on Y:n odotusarvon estimaatti

135 /12 Esim (jatkoa) x i y i i = 32,857+0,06786x i e i = y i - i ,857+0, =39, ,64 = 0, ,857+0, =46, ,43 =-1, =-3, = 5, = 3, =-3, ,857+0, =80, ,36 =-0,36

136 /13 Neliösummat ö = ö + ää ö ö SST = ( ) SSR = ( ) SSE = ( )

137 /14 Selityskerroin R 2 = SSR/SST Selitysaste, selitysprosentti 100 R 2 Korrelaatiokerroin = Mallin (1) tilanteessa (r xy ) 2 = R 2.

138 Esim (jatkoa) /15

139 /16 SST = ( ) = = SSE = ( ) = = 1350 = 0, (-0,36) 2 = 60,7 SSR = SST SSE = ,7 = 1289,3 R 2 = SSR/SST = 0,955

140 /17 = = = = 0,977 (r xy ) 2 = R 2 0,977 2 = 0,955

141 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento Regressioanalyysi 4.1 Yksi selittävä muuttuja (kertausta ja jatkoa) Regressiomalli = + +, = 1,2,, (1) Malliin liittyvät oletukset i ~ N(0, 2 ) ja i :t ovat riippumattomia

142 /2 Mallin estimointi = = 1 1 = = = = +, e i = y i - i

143 /3 Neliösummat ö = ö + ää ö ö SST = ( ) SSR = ( ) SSE = ( ) MSE = SSE/(n-2) =

144 /4 Selityskerroin R 2 = SSR/SST Selitysaste, selitysprosentti 100 R 2 Korrelaatiokerroin = Mallin (1) tilanteessa (r xy ) 2 = R 2.

145 /5 Testaukset H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 0 = ~,, = /

146 /6 H 0 : 0 = 0 H 1 : 0 0 = ~,, = ( 1 + )

147 /7 Esim (jatkoa) Malli: Satomäärä = Lannoitemäärä + Kertoimien testaus

148 /8 SSE = ( ) = 0, (-0,36) 2 = 60,7 SS x = /7= = 2800/7 = 400 MSE = 60,7/(7-2) = 12,143 = = 12,143/ = 0,007 = 12, = 2,

149 /9 Päättelyt taulukkoarvon perusteella: H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 0 t 0,01/2,7-2 = 4,032 < 10,304, H 0 hylätään eli lannoitemäärä pidetään mallissa H 0 : 0 = 0 H 1 : 0 0 t 0,01/2,7-2 = 4,032 < 11,157, H 0 hylätään eli vakio syytä olla mallissa

150 /10 Regressiomalli ilman vakiokerrointa = +, = 1,2,, (2) Estimointi = =, Huom! Tällöin R 2 ei ole käytettävissä.

151 /11 Esim. Aineisto Tre_myydyt_asunnot_2009, sivulla Malli: Hinta = Neliöt +

152 /12 Hypoteesi H 0 : 0 = 0 hyväksytään, vakiokerroin voidaan jättää pois mallista.

153 /13 Estimoidaan uusi malli Hinta = Neliöt + Nyt ei voida laskea selitysprosenttia!

154 /14 Estimoinnin tulos origon kautta kulkeva suora = 2310,309 Neliöt

155 /15 Korrelaatiokertoimen testaus Populaatiossa muuttujien X ja Y välinen korrelaatiokerroin = Cov(X, Y)/ X Y. Tätä estimoidaan otoskorrelaatiokertoimella = = ( )( )

156 /16 Testaus H 0 : = 0 H 1 : 0 = 2 ~,

157 /17 Esim Esimerkin muuttujat y = satomäärä x = lannoitemäärä r = 0,977, n = 7 H 0 : = 0 H 1 : 0 0,977 = = 10,304 >, / ; = 4,032 0,977 2 H 0 hylätään 1 %:n riskitasolla. Päätellään lineaarista riippuvuutta olevan.

158 Esim. Aineisto Jalkapalloilijat_2006 sivulla y = paino x = pituus r xy = 0,823679, n = /18

159 /19 H 0 : = 0 H 1 : 0 = 0, , = 17,908 >, ; = 2,617 H 0 hylätään 1 %:n riskitasolla. Päätellään lineaarista riippuvuutta olevan.

160 /20 Regressiomalli: Paino = Pituus + H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 0 t hav. = 17,908 Siis korrelaatiokertoimen testaus on sama kuin regressiomallissa (1) 1 :n testaus!

161 /21 Esim. Aineisto Jalkapalloilijat_2006 sivulla Regressioanalyysin tuloksia jalkapalloilijat.pdf

162 /1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento Yksi selittävä muuttuja (täydennystä) Regressiomalli = + +, = 1,2,, (1)

163 /2 Regressiomallissa (1) oletetaan, että i ~ N(0, 2 ) ja i :t ovat riippumattomia Näiden oletusten voimassaoloa tutkitaan residuaalien avulla. Koska satunnaisvirheistä i ei ole havaintoja, niin estimoidaan niitä estimoidun mallin avulla lasketuilla residuaaleilla = = Tutkitaan normaalisuus-, vakiovarianssisuus- ja riippumattomuusoletuksia näiden residuaalien avulla. Voidaan käyttää graafisia esityksiä, esimerkiksi seuraavia:

164 Normaalisuusoletuksen tutkiminen esim. histogrammin avulla /3

165 Vakiovarianssisuuden ja riippumattomuuden tutkiminen pisteparvien avulla /4

166 Ei voida olettaa, että Var( i ) = 2, i = 1,, n (heteroskedastisuus) /5

167 /6 Mallin riittävyyden tutkiminen Esimerkki riittämättömästä mallista Pisteparvissa voidaan käyttää x-akselilla myös selittäjää.

168 /7 Esim. Autojen ominaisuuksia Y = Huippunopeus, x = Teho

169 /8 Jäännöstarkastelut Väärä mallin valinta

170 Y = Kiihtyvyys, x = Teho /9

171 /10 Jäännöstarkastelut Väärä mallin valinta

172 Y = Kulutus 120km/h, x = Kulutus 90 km/h /11

173 Jäännöstarkastelut /12

174 Esim. Aineisto Rasvaprosentti sivulla y = rasvaprosentti x = vyötärön ympärys /13 Ks. kevat2015/ra_rasvaprosentti.pdf

175 Jäännöstarkastelut /14

176 / Useampi selittävä muuttuja Kaksi selittäjää (2-RA) = + + +, = 1,2,, (2) Malliin liittyvät oletukset Estimointi i ~ N(0, 2 ) ja i :t ovat riippumattomia = + +,

177 /16 Testaukset H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 0 = ~, H 0 : 2 = 0 H 1 : 2 0 = ~,

178 /17 H 0 : 0 = 0 H 1 : 0 0 = ~, H 0 : 1 = 2 =0 H 1 : molemmat eivät nollia = = 2 3 ~ 2, 3,

179 /18 Neliösummat SST = SSR + SSE MSR = SSR/2, MSE = SSE/(n-3) = Selityskerroin R 2 = SSR/SST

180 Esim. 2 Aineisto Rasvaprosentti sivulla y = rasva% x 1 = vyötärön ympärys x 2 = ikä /19 Regressioanalyysin tulokset /RA_rasvaprosentti.pdf

181 /20 Regressiomallissa hypoteesin = + +, = 1,2,, H 0 : 1 = 0 testaaminen voidaan tehdä joko t-testillä tai F-testillä, testisuureiden välinen yhteys = = =

182 /21 Esim. Jalkapalloilijat y = paino x = pituus t 2 = F

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo? MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo

Lisätiedot

MTTTP1, luento KERTAUSTA

MTTTP1, luento KERTAUSTA 26.9.2017/1 MTTTP1, luento 26.9.2017 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2017/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina. [MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko, kevät 2004

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko, kevät 2004 Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko, kevät 2004 Esimerkkien ratkaisut http://mtl.uta.fi/tilasto/tiltp3/kevat2004/kaikki_esimerkit.pdf Raija Leppälä 19. joulukuuta 2003 Sisältö 1

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501 Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

voidaan hylätä, pienempi vai suurempi kuin 1 %?

voidaan hylätä, pienempi vai suurempi kuin 1 %? [MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 5 viikko 42 6.10.2017 klo 10:42:20 Ryhmät: ke 08.30 10.00 LS C6 Paajanen ke 10.15 11.45 LS

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Raija Leppälä puh , sähköposti

Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Raija Leppälä puh , sähköposti Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Raija Leppälä puh. 03-2156301, sähköposti raija.leppala@uta.fi 3.2.01 Tilastollisten menetelmien perusteet II,TILTP3 Luentorunko, kevät

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

2. Keskiarvojen vartailua

2. Keskiarvojen vartailua 2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Yleistetyistä lineaarisista malleista

Yleistetyistä lineaarisista malleista Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

Luento 4.9.2014 1 JOHDANTO

Luento 4.9.2014 1 JOHDANTO 1 1 JOHDANTO Luento 4.9.2014 Tilastotiede menetelmätiede, joka käsittelee - tietojen hankinnan suunnittelua otantamenetelmät koejärjestelyt kyselylomakkeet - tietojen keruuta - tietojen esittämistä kuvailevaa

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas NORMAALIJAKATUNEISUUDEN TESTAUS H 0 : Muuttuja on perusjoukossa normaalisti jakautunut. H 1 : Muuttuja ei ole perusjoukossa normaalisti

Lisätiedot

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI 18.5.2007 VARIANSSIANALYYSI 1 JOHDANTO...2 VARIANSSIANALYYSI...3 Yksisuuntainen varianssianalyysi...3 Kaksisuuntainen varianssianalyysi ilman toistoja...6 Kaksisuuntainen

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14974&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14974&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017 24.10.2017/1 MTTTP5, luento 24.10.2017 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14974&id x=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot