F P H. Näön tarkkuus ja television katselu O L C F D H J B S. Referenssitapaus: Katsellaan HD-lähetystä 40 HD-televisiosta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "F P H. Näön tarkkuus ja television katselu O L C F D H J B S. Referenssitapaus: Katsellaan HD-lähetystä 40 HD-televisiosta"

Transkriptio

1 1 Näön tarkkuus ja television katselu DI Markku Kiskola, versio plus Referenssitapaus: Katsellaan HD-lähetystä 40 HD-televisiosta Ns. normaalinäköinen ihminen katselee mielellään 40 HDTV-televisiota noin kahden metrin päästä. Tällöin hän ei juuri eikä juuri erota TV-kuvasta yksittäisiä kuva-alkioita eli pikseleitä, eikä kuvan epätarkkuus muutenkaan ärsytä. Tämä on optimaalinen katseluetäisyys. Toki kuvaa voi katsoa kauempaakin, muttei mielellään paljoakaan lähempää. Tarkemmin ottaen: 1080p-kuvaa (progressiivisesti skannattua) normaalinäköinen henkilö katselee mielellään 1,6 metrin päästä. Kuva voi olla liikkuva tai liikkumaton. Tässä on oletettu, että nykyaikaisen television pikselit ovat kiinni toisissaan, ilman merkittäviä suojavyöhykkeitä. Jos HDTV-kuva on 1080i (lomitellusti skannattu, Yle) ja liikkuva, kuvaa katselee normaalinäköinen mielellään merkittävästi kauempaa, noin 2,3 m päästä, johtuen lomittelun kuvan liikkeeseen tuomasta epämääräisyydestä (HD-tarkkuuden 720p, MTV3, optimi katseluetäisyys olisi 2,4 m (= 1,6 x 1080/720), eli lähes sama kuin Ylen lomitellun. Skaalaus koko näytölle kuitenkin pienentää hiukan tätä720p-etäisyyttä, ks. myöhemmin). Urheilua lukuun ottamatta, kuva on usein jotain liikkuvan ja liikkumattoman väliltä, joten noin 2 m on suositeltava etäisyys kun kuvatarkkuus on esim. Ylen lähettämä 1080i. Normaalinäöllä tarkoitetaan henkilöä, joka voi esim. vaivatta ajaa autoa ilman silmälaseja. Teknisesti ottaen normaalinäköinen ihminen selviää testikatselusta niin, että näkee alla olevan Snellen in näkökartan alimmaisen rivin: 5 kaari 8,866 mm 20 jalkaa ~ 6 m L E T F P H O L C F D H J B S E P T Z O C F D H J L T I P H 20/200 20/100 20/70 20/50 20/40 20/30 20/25 20/20

2 2 Normaaliksi moitteettomaksi näkökyvyksi referoidaan tavallisesti Snellen in näkökartan arvo 20/20 (etäisyys jalkoina/kohteen suuruus). Normaalinäkökyky kohteen muodon tunnistamiseen on siis 5 kaariminuutin kulma. Jotta henkilö mieltäisi tämän pienimmän kirjaimen H-kirjaimeksi, hänen pitää pystyä erottamaan siitä 5 yhtä etäällä olevaa pistettä (tämä on helposti ymmärrettävissä esim. E- kirjaimen pystysuunnasta). Siksi optikot referoivat normaalinäön tarkkuudeksi yhden kaariminuutin, ja optikon termeillä normaalinäön visus on yksi. Tämä on näkötarkkuus jolla kuva-alkiot eli kaksi viereistä pistettä voidaan VIELÄ JUURI JA JUURI NÄHDÄ ERILLISINÄ. Television pikselit eivät enää näy ärsyttävän selkeästi erillisinä. Tästä päästään referenssitapauksen optimikatseluetäisyyteen, p HD-televisiolle täsmälleen 1,6 m. Joidenkin harvojen henkilöiden näkökyky voi olla erittäin tarkka, 1 kaariminuutin sijasta vain 1 / 2,5 kaariminuuttia (visus on 2,5). Tällaisen henkilön pitää periaatteessa katsoa televisiota 2,5-kertaisen välimatkan päästä normaalinäköiseen verrattuna, ettei television epätarkkuus ärsytä. Mikäli voi juuri ja juuri ajaa autoa ilman silmälaseja, on näön tarkkuus 1 kaariminuutin sijaan noin 2 kaariminuuttia (visus 0,5), ja tällainen henkilö katsoo televisiota mielellään puolta lähempää, että yksityiskohdistakin saa helpommin selvää. Entä muut television koot, ja miten SD ja UHD Kaikki edellä oleva oli siis 40 HDTV-televisiolle kun katsellaan HD-lähetyksiä. Muille televisiokooille pätee, että optimimaalinen katseluetäisyys on aina suoraan verrannollinen television kokoon. Tämä pätee siis myös SD- ja UHD-tapauksiin. Mikäli HD-televisiosta katsotaan SD-lähetystä (i), optimimaalinen katseluetäisyys HDkatseluun verrattuna on periaatteessa 1,875 kertainen HD-kuvan katseluun verrattuna, koska HD-kuvan (i) alkuperäinen pystytarkkuus on täsmälleen tämän verran parempi. Käytännön ero ei ole aivan näin suuri, koska HD-televisio osaa skaalata älykkäästi SD-kuvan HD-kuvaksi ja näyttää sen. Käytännön katselutäisyys lienee 1,5-kertaisen luokkaa. Ja jos katselee valtaosin HD-lähetyksiä, kannattaa pitää vain hiukan enemmän etäisyyttä pelkkiin HD-lähetyksiin verrattuna, ja sietää välillä tuleva huonompi SD-lähetysten laatu. Jos televisio on UHD-kelpoinen ja näytettävä kuva (esim. netistä) on UHD, pitää televisiota periaatteessa katsoa puolta lähempää HD-lähetyksen katseluun verrattuna, koska alkuperäisiä pikseleitä on täsmälleen kaksinkertainen määrä (sekä vaaka, että pystysuunnassa) verrattuna HD-lähetykseen katsottuna samasta televisiota. Tässäkään ero ei käytännössä ole näin suuri, koska UHD-televisio osaa skaalata älykkäästi HD-kuvan UHD-kuvaksi ja näyttää sen hiukan parempana kuin mitä HD-televisio tekisi tätä HD-lähetystä katsottaessa. UHD-televisiosta voi siis katsoa HD-lähetystä lähempää kuin mitä samankokoisesta HDtelevisiosta katsoisi, ehkä lähimmillään noin 3/4-matkan päästä (tämä noin 3/4-osaa tulee oletuksesta, että samalta etäisyydeltä HD-lähetystä katsottuna UHD-television on hyvä olla kooltaan noin1,4-kertainen verrattuna HD-televisioon, josta täsmällinen arvo olisi 1/1,4 = 0,71 matkan päästä).

3 3 Mikäli UHD-televisiosta katsellaan valtaosan ajasta HD- ja merkittävästi myös SD-lähetýksiä, lienee optimikatseluetäisyys vain hiukan lähempänä kuin jos samankokoisesta HDtelevisiosta katsottaisiin pelkkiä HD-lähetyksiä. Esim. runsaan kahden metrin päästä voisi silloin katsoa 40 HD-television sijaan 50 UHD-televisiota, eli noin 1,25-kertaista televisiokokoa (1,4-kertaisen sijaan). Tällöin usein katsellun SD-kuvan huono laatu ei ärsyttäne liikaa, mutta toisaalta menetetään enemmän UHD-television tuomaa terävyyden lisäysvaikutelmaa. Mikäli näön tarkkuus poikkeaa normaalista (kuten se useimmiten tekee), skaalautuu optimaalinen katseluetäisyys aina edellä kuvatun mukaisesti. Henkilökohtaisen näkökyvyn ääripäistä johtuvat television kokovaatimuserot voivat siis olla paljonkin suurempia kuin mitä UHD/SD aiheuttaa. Esim. terävänäköinen pärjää 22 koolla siinä missä huononäköinen tarvitsee hyvinkin 88 koon, samalta etäisyydeltä katsottuna! Ja televisiota saa kyllä katsoa kokoonsa nähden kauempaakin. UHD:n tai HD:n terävyyshyötyä ei ole pakko ulosmitata. Useinhan vielä huoneen televisiohyllyn/pöydän tila tai muu sisustussyy, tai taloudellinen tilanne, sanelee television maksimikoon. Huomautuksia: Television koko tuumina (1 tuuma = 2,54 cm) tarkoittaa kuvaruudun halkaisijan mittaa tuumina, mitattuna näkyvän kuva-alueen nurkasta näkyvän kuva-alueen vastakkaisen nurkkaan. Tavallisesti käyttäjä haluaa käyttää television asetusta, jossa televisio skaalaa kuvan vääristymättä AINA koko ruudun peittäväksi (upconverting, upscaling) sillä poikkeuksella, että vanha 4:3 kuvasuhteen kuva skaalautuu 16:9 kuvasuhteen näytön ylä-ja alareunoille niin että reunoissa on tyhjää, tämäkin siis kuvaa vääristämättä. Skaalaus koskee myös 720p HD-tarkkuutta (MTV3), joka skaalataan aina ylöspäin koska nykyisten televisioiden näyttöpaneelin resoluutio on lähes poikkeuksetta 1920x1080. Nämä koko ruudun peittävät ylös-skaalaukset ovat jo NorDigissa vaadittuja. Nykyisten televisioiden näyttöpaneeli näyttää kuvan AINA progressiivisena full HD:nä, 1080p, tavallisesti vielä 100 Hz kenttätaajuudella joka on tässä sama kuin kuvataajuus. Puuttuvat, eli joka toinen kuva, interpoloidaan olemassa olevista kuvista. Jos käytetään lisäksi STB:tä, jo se osaa nykyisin tarjota television näyttöpaneelille 50 Hz 1080p-muotoa vaikka alkuperäinen kuva olisikin ollut 576i eli vain SD-laatu. Katso myös alla olevan linkin kätevää laskuria ja sen kuvaa: Laskuri antaa hivenen liian suuria katseluetäisyyksiä (kertoimella 1,09). Tämä tulee todennäköisesti laskurin tuuma/sentti-pyöristyksistä, koska linkin kuvan taulukossa on tulos lähes oikein: siis p katsellaan sen mukaan 1,62 metristä. Jostain selittämättömästä syystä laskuri antaa UHD:lle kertoimella 1,4 liian suuren optimi katseluetäisyyden: siis 1,4 x 1/2 x HD. Kertoimen pitäisi olla 1, koska vaaka- ja pystypikseleitä on UHD-kuvassa täsmälleen kaksinkertainen määrä HD-kuvaan verrattuna.

4 4 Ehkä laskurissa on ajateltu että alkupäinen kuva on aina HD, ja 1,4 on UHD-television näytön skaalaushäviö laadussa?? Täten laskuri antaisikin arvon osapuilleen oikein myös UHD-tapauksessa, paitsi i/p on huomioimatta. Sen sijaan linkin kuvan (Optimal viewing distance by size of the television and resolution) käyrissä tämä kerroin on oikeaoppisesti likimain 1,0 eli kuva näyttäisi siten olevan oikein kun katsotaan UHD-tv:stä UHD-lähetystä. Käyrästökuvan mukaan 50 UHD 2160p:tä katsellaan 0,95 metristä teoreettisen 1,0 metrin sijasta. Tässä siis kuva antaa taas hivenen liian pieniä katseluetäisyyksiä, mutta aika täsmälleen siis oikein. Alla on vielä tämä linkistä kopioitu kuva (joka siis tuntuu oikealta, mutta siinä on vain progressiiviset eli p-tapaukset) Kuvan käyrästö on laadittu normaalinäköiselle. Yksittäisiä pikseleitä ei pysty näkemään kun katsellaan vähintään kunkin käyrästön viivan yläpuolella olevalta etäisyydeltä, eli käyrän osoittamaa arvoa kauempaa. Mikäli katsoo liian läheltä, lähempää kuin käyrän viiva osoittaa, näkee kuvasta yksittäiset pikselit. Kuvassa 480p tarkoittaa sekä DVD- että SD-laatua (viimeksi mainittukin progressiivisena, käytännössähän kuva on kuitenkin lomiteltu eli i). Esim. 50 HD-televisiosta voi katsoa kuvan käyrän mukaan progressiivisia 1080p HD-lähetyksiä 1,95 m päästä (teoreettisesti 2 metrin päästä), ei lähempää, sillä muuten erottaa kuvan pikselit. Mutta koska lähetykset ovat käytännössä i eli lomiteltuja, niin on katsottava vähintään noin 2,4 metrin päästä (teoreettisesti 2,5 m päästä). Koska UHD-televisiosta katsotaan Suomessa käytännössä HD-lähetyksiä, lienee paikallaan suurentaa kuvan UHDetäisyys vähintään kertoimella 1,75 (i). Esimerkiksi 60 UHD-televisiota katsotaan siis kuvan mukaan (jos katsottaisiin UHD-lähetyksiä) 1,15 metrin päästä, mutta käytännössä HD i-lähetyksiä 2,0 m päästä (teoreettisesti 2.1 m päästä).

5 5 Käyrästössä ei myöskään ole huomioitu koodauksen (MPEG-2, AVC tai HEVC) mahdollisesti kuvaan aiheuttamia ajoittaisia virheitä (ns. artifacts tai jopa pikselöityminen). Niitä ei kuitenkaan Suomessa käytännössä juuri esiinny eli niiden merkitys katseluetäisyyteen on huomattavasti pienempi kuin esim. kuvan lomittelen aiheuttamien häiriöiden. Loppukommentit televisionäytöistä ja kuvan skaalauksesta Näytöistä yleensä Tavallaan ei mitään uutta ole auringon alla. Kännyköissä ja tableteissa on jo käytetty LED/LCD-näyttöjen ohella myös OLED-näyttöjä nimikkeellä AMOLED. Kännyköissä on jo jopa ollut Quantum Dot näyttöjä. Näiden mobiililaitteiden katselussa pätee aivan sama sääntö kuin suurissa televisioissakin. Niitä katsellaan niin, että pikselit näkyvät vähän pienemmässä kuin yhden kaariminuutin kulmassa. Jos näitä 5 tai 10 mobiililaitteita katsotaan 20 cm etäisyydeltä, kännykkää jopa lähempää, päästään samaan vaatimukseen: Näytön tarkkuuden pitää olla HD- tai UHD-luokkaa. Uutta on, että suuren television hyvin valovoimaiset ja suuret pikselit pystytään nyt tekemään niin, että valmistusprosessi on massatuotantoon tarpeeksi luotettava ja edullinen. Kuinka hyvin UHD-televisio skaalaa HD-lähetyksen täydeksi näytöksi (upconversion, upscaling) Tämä kysymys on varmasti se kriittisin näytettävän kuvan laadun kannalta, sillä Suomessa (kuten muuallakin) katsellaan toistaiseksi lähes poikkeuksetta HD-lähetyksiä, vaikka omistaisi UHD-television. Kysymykseen ei ole selkeää vastausta, eikä kovin seikkaperäistä argumentointia löydy edes googlaamalla. Monet asiantuntijat toistavat mielipiteissään, että täydellinen skaalaaminen ei ole edes teoreettisesti mahdollista. Toki näin, mutta samat asiantuntijat myöntävät, että parannusta voidaan saada aikaan, jopa merkittävää sellaista. Ovatpa asiantuntijat todistaneet demoja, joissa eivät ole pystyneet näkemään eroja alkuperäisen UHD:n ja sen HDversion välillä, kun viimeksi mainittu on ensin skaalattu takaisin UHD:ksi. Eihän sen pitäisi olla teoreettisesti mahdollista. Tällaisissa demoissa käytetään spesialisoituneiden yritysten HD:sta UHD:hen skaalaavaa laitetta. Kaikki ovat sitä miltä, että jos skaalaus tehdään huonosti, lopputulos huonontaa kuvaa eikä paranna sitä. Mutta on helppo kuvitella, että yksinkertaiset kuviot voi skaalata ongelmitta aivan täydellisesti, kuten viivan, ristin, kolmion, neliön, ympyrän, jne. Hyvin yksinkertainen mutta huono keino olisi laittaa 1080-tarkkuuden kuvan jokaisen vaaka- ja pystyjuovan väliin tyhjä pikselirivi, ja täyttää se vierekkäisten alkuperäisten pikselien keskiarvolla, pikselistä riippuen vaaka-, pysty- tai ristisuunnan keskiarvolla (yksinkertainen lineaarinen interpolointi). Näin saataisiin kerralla 2160-kuva. Tämä interpolointi on kuitenkin aivan liian suoraviivainen eikä huomioi mitenkään kuvakohteen muotoa. Esim. pelkkä hiukan vino ja terävä viiva olisi tarpeettoman pehmeä ja resoluutiosta johtuvat jaksottaiset pykälät jäisivät samansuuruisiksi ja samaan paikkaan. Alla on kuva tästä. Siinä parempi interpolointi terävöittää viivaa, mutta pykäläongelma jää.

6 6 Entä miten televisiovalmistajat tekevät tämän skaalauksen? Kuvan skaalauksessa käytetään apuna interpolointialgoritmia (päätellään uutta tietoa tunnettuihin kuvioihin perustuen), jolla muodostetaan uudet pikselit ympärillä oleviin pikseleihin perustuen ja sitten monistetaan ne. Algoritmiin voi kuulua esim. neljä vaihetta. Monet valmistajat kajoavat jopa kontrastiin kuvassa olevien kohteiden reunojen elävöittämiseksi. Tämä on monimutkainen prosessi ja vaatii lisäksi reaaliaikaisena erittäin suuren laskentatehon. Televisiovalmistajilla on periaatteessa kullakin oma skaalausmenetelmänsä, joka on varjeltu tehdassalaisuus. Käytännössä kuitenkin valtaosa televisiovalmistajista tukeutuu tällä hetkellä kahden suurimman korealaisen televisiovalmistajan näyttöpaneeleihin, ja siis skaalaukseen. Mikäli käytettään tällaisia hyviä näyttöjä, useat suomalaisetkin televisioalan asiantuntijat ovat todenneet, että skaalauksessa saavutetaan silminnähtävä kuvan parannus (siis verrattuna samaan kuvaan HD-television näytöltä). Tämä on merkittävää, koska kuvien erot ovat joka tapauksessa hyvin pieniä ja vaikeasti havaittavia. Onko kuva hyvän skaalauksen jälkeen sitten huonompi vai jopa parempi kuin alkuperäinen 4K, on paljolti makuasia: Skaalaus pyrkii pehmentämään hiukan muotojen ääriviivoja, ja usein on kyse siitä pitääkö enemmän hivenen pehmeämmästä kuvasta vai ei. Entä miten käytännön UHD-television ostotilanteissa (koko ja kuvan laatu) Tässä dokumentissa ja myös dokumentissa Smart TV alias/vs. Hybridi-tv on käytetty oletusta, että televisio osaa tehdä skaalauksen sen verran hyvin että se voi olla kooltaan 1,4-kertainen verrattuna HD-televisioon, kun katsellaan samalta etäisyydeltä. (Jos skaalaus ei paranna kuvaa ollenkaan, televisioiden pitäisi olla samankokoisia. Ja tietysti UHD-televisio voisi olla kooltaan kaksinkertainen, jos skaalaus olisi täydellinen. Kuvan laatu voi huonosti tehdyssä skaalauksessa myös huonontua, jolloin samalta etäisyydeltä katsottuna UHD-television pitäisi olla pienempi kuin HD-television). Kaiken edellä olevan perusteella tämä 1,4-kertainen koko lienee turvallinen oletus mitoittaa omaa UHD-television hankintaa, mikäli televisio ei ole halpavalmistajien mallia. Oletus voi olla jopa pessimistinen parin vuoden kuluttua.

7 7 Voit helposti laskea itse tarvittavan UHD-televisiosi koon tämän dokumentin jo laskettuja arvoja skaalaamalla (mitä kauempaa niin sitä suurempi koko, ja mitä lähempää niin sitä pienempi koko, skaalaa myös oman ja perheesi näöntarkkuuden mukaan eli tarvittava koko jaetaan lopuksi näön visus-arvolla). Tai katso suoraan tarvittava koko tämän dokumentin käyrästä, mutta muista jakaa käyrän antama koko 1,75 : llä, ja jakaa sitten vielä näkösi visus-arvolla. Ostotilanteessa on kuitenkin hyvä katsoa UHD-televisiosta vaikka Ylen lähettämää HD-kuvaa suunnittelemaltasi katsomisetäisyydeltä. Näin tulee samalla varmistettua UHD-näytön sopiva koko vielä näöntarkkuutesi testatusti huomioiden. Mikäli voit vielä katsoa rinnan HD-vastaanottimesta samaa kuvaa, voit vielä suorittaa UHD/HD-vertailun, ja varmistaa siten UHD-näytön skaalauksen toimivuuden ja muutenkin UHD-näytön yleisen laadun. Voit silloin myös omien havaintojesi perusteella päättää, kumman haluat ostaa, HD-television vai kalliimman UHDtelevision. Jos vertailee käytännössä Yle:n ja MTV3:n alkuperäisen HD-kuvan laatua UHD-televisiosta, MTV3 voi näyttää samalta etäisyydeltä katsottuna hiukan paremmalta olettaen että kuvan alkuperäislaatu on hyvä ja että television näytön ylöspäin skaalaus toimii hyvin. Erot ovat kuitenkin pieniä. Mutta liikkumattomalla kuvalla Ylen kuva voi olla jopa parempi, onhan 1080:sta vähemmän skaalattavaa kuin 720:sta. Käytännössä UHD-televisio on tavallisesti vertailutilanteessa selvästi kirkkaampi kuin HD-televisio ja siinä on vielä kontrastin lisääjä. Siten UHD-kuva näyttää vertailtaessa peruslähtökohtaisesti paremmalta, ja jopa ansiottoman paljon terävämmältä, mikä vaikeuttaa muuta kuvan laatuvertailua. Himmeän kuvan yleisvaikutelma on kovin huono, mutta himmeys peittää virheitäkin. HD-televisiot voitaisiin teknisesti valmistaa yhtä kirkkaiksi, joten näyttää siltä, että valmistajat panostavat nyt UHD-television laatuun ja jättävät HD-television laadun kehittelyn toistaiseksi vähemmälle. Vielä on niin, että kuvan kirkkauksissa on usein huomattavan suuria valmistajakohtaisia eroja (vaikka ne olisivat kaikki uusia LED/LCD-televisoita, ja kaikki UHD tai kaikki HD). Näin siitä huolimatta, että näyttöpaneelit ovat alun perin muutaman suuren TV-valmistajan tekemiä. Joko alkuperäisvalmistajat eivät myy tai muut valmistajat eivät osta hyviä näyttöpaneeleita. Tämä ilmiö liittynee siihen, että näyttöpaneelien kirkkaus (ja siten myös havaittava kuvan kontrasti) kasvaa vuosittain uusien mallien myötä. TV-maailma on muuttunut viimeisinä kuukausina valtavasti. Kun lukee kotiin viikoittain kannettuja mainoksia tai vierailee vaikkapa Prisman TV osastolla, huomaa että ylivoimainen valtaosa myytävistä televisioista on nykyään UHD-televisioita. HD televisioita saa suorastaan etsiä jopa niin, että UHD/HD-vertailu myymälässä vaikeutuu kun ei löydä sopivan kokoista HD-televisiota. Trendi varmasti jatkuu. Siten HD-lähetysten katsominen UHD-televisiosta tulee kotioloissa olemaan jatkossa hyvin yleistä. Tällöin joudutaan usein pakostakin tilanteeseen, jossa pienehköä UHD-televisiota katsotaan samalta etäisyydeltä kuin mitä olisi katsottu samankokoista HD-televisiota. Sillä kotiin ei yksinkertaisesti mahdu tai ei haluta suurempaa. Mutta hyvä niin, onhan se vähintään yhtä terävä ja kirkkaampi.

8 8 P.S. Ari Ikosen nyrkkisääntö normaalinäköiselle television Nokia-ajoilta Katso SD-televisiota etäisyydeltä, jolta ojennetun oikean kätesi nyrkkiin puristettu kämmen (sormet vasemmalla) peittää juuri ja juuri koko television näkyvän kuva-alan korkeussuunnassa. Katso HD-televisiota niin, että molemmat nyrkit pinottuna toistensa päälle peittävät television kuvan (kuva peittyy siis 2 nyrkinmitalla). Tätä voisi ehkä nyt laajentaa: Katso UHD-televisiosta HD-lähetyksiä niin, että ylempi nyrkki korotetaan peukalon verran ylemmäs (jolloin tavallaan siis vajaat 3 nyrkinmittaa peittää television kuvan). Toisaalta kuvan kontrasti ja värien dynamiikka eli HDR voidaan katsoa kuvan kokonaislaadun kannalta tärkeämmäksi kuin kuvan tarkkuuden lisäys HD:stä UHD:hin. Tätä mieltä ovat nimenomaan alan asiantuntijat ja TV-toimijat. BBC ja NHK ovat hahmotelleet tapaa, jolla HDR voitaisiin toteuttaa broadcast verkoissa niin, että HDR toimisi myös HD-lähetyksissä. Severipohjaisissa eli ei-reaaliaikaisissa UHD streamaus-palveluissa, kuten Netflix tai Amazon Prime Instant Video, HDR on huomattavasti helpommin toteutettavissa ja jo todellisuutta. HDR on voitu toteuttaa ongelmitta myös uuteen Ultra HD Blu-ray soittimeen.

9 9 Kirjallisuusviitteet: Upscaling Ei selkeätä numeroarvoja antavaa viitettä, mutta katso esimerkiksi linkkiä: tai linkkiä jonka katselutestien mukaan television tekemä skaalaus onnistuu hyvin kuvan parantamisessa, muttei ihan täydellisesti. Joitakin hienon hienoja yksityiskohtia katoaa alkuperäiseen UHD-kuvaan verrattuna. Mutta artifacteja ei ole. Eli HD-kuvaan verrattuna hienon hienoja yksityiskohtia on merkittävästi enemmän ja kuvakohteiden reunat ovat kauttaaltaan tasaisemmat HD-kuvan reunojen rosoisuuteen nähden. tai linkkiä jossa valotetaan miten upscaling toimii, ja onko siitä hyötyä. Kuvan lomittelun vaikutus optimaaliseen katseluetäisyyteen Jukka Hämäläinen, HDTV displays, Broadcasting Engineering World Edition -lehti May 2004 Miten HDR voidaan toteuttaa broadcast-verkoissa Tämä linkki luotaa UHD-vastaanottimiin tarvittavaa HLG-ominaisuutta (Hybrid Log Gamma), jolla HDR saataisiin toteutettua broadcast verkkoihin (BBC/NHK). Tätä HDR:n toteutustapaa vastaanotinvalmistajat ovat alkaneet BBC:n mukaan toteuttaa vuoden 2016 lopulla, jolloin se hyväksyttiin myös DVB-suosituksiin. Hankaluutena järjestelmän luomisessa on live-tuotannossa tarvittavan enkoodauksen toteuttaminen. Mikäli NorDigin kautta päädytään aikanaan Pohjoismaissa ja sitten Suomessakin HLG:n käyttöön, ainakin johtavan korealaisen ja johtavan japanilaisen laitetoimittajan mukaan uusimman sukupolven UHD TV-laite voidaan päivittää (software update tai firmware update) sitä tukevaksi, ellei se sitä jo tue. Kaiken lisäksi HDR:ssä on kaksi kilpailevaa perusstandardia: Teollisuusallianssin HDR10 (nykyisin myytävissä UHD-vastaanottimissa, myös Netflix-pavelussa) ja Dolby Vision. Näiden molempien toteutus tarvitsee tuotantoympäristöön hankalan metadatan, mikä voidaan välttää HLG:n avulla.

10 10 Suomen NorDigista täsmennetty Unified-spesifikaatio mainitsee jo UDH:n ja HEVC-kuvakoodauksen, ja antaa siten mahdollisuuden testata UHD-television perustoiminnon Antenna Ready HD testien yhteydessä. NorDig ei itse vielä mainitse mitään UHD:sta, mutta HEVC, HDR yms. työ on käynnissä, ja seuraava NorDig Unified versio ilmestynee jo tänä vuonna. Suomen antenniverkon nykyiset Rules of Operation, RoO, eli verkon toimintasäännöt Nämä eivät vielä luonnollisesti voi ottaa kantaa antenniverkon UHD-lähetyksiin.

PIKSELIT JA RESOLUUTIO

PIKSELIT JA RESOLUUTIO PIKSELIT JA RESOLUUTIO 22.2.2015 ATK Seniorit Mukanetti ry / Tuula P 2 Pikselit ja resoluutio Outoja sanoja Outoja käsitteitä Mikä resoluutio? Mikä pikseli? Mitä tarkoittavat? Miksi niitä on? Milloin tarvitaan?

Lisätiedot

Uuden television hankkiminen ei lähes 20 vuoteen ole ollut helppoa, eikä ole ihan helppoa nykyisinkään

Uuden television hankkiminen ei lähes 20 vuoteen ole ollut helppoa, eikä ole ihan helppoa nykyisinkään 12.4.2017 Markku Kiskola, DI, eläkkeellä Ylestä ja Digitasta Uuden television hankkiminen ei lähes 20 vuoteen ole ollut helppoa, eikä ole ihan helppoa nykyisinkään 1 Käytetyt lyhenteet DVB-verkon ja sen

Lisätiedot

TV: Ostaako vai odottaako?...uudempi tekniikka on aivan kulman takana

TV: Ostaako vai odottaako?...uudempi tekniikka on aivan kulman takana TV: Ostaako vai odottaako?...uudempi tekniikka on aivan kulman takana Lähes sata vuotta tv-historiaa Kokeiluja 1920-luvulla: USA, Eurooppa Tv-lähetyksiä 1928: USA BBC: Koelähetykset 1929, säännölliset

Lisätiedot

Näyttöresoluution säätäminen

Näyttöresoluution säätäminen Näyttöresoluution säätäminen Nestekidenäyttöteknologian (LCD) luonteen mukaisesti kuvaresoluutio on aina kiinteä. Näytön parhaan suorituskyvyn takaamiseksi aseta näyttö sen suurimpaan mahdolliseen resoluutioon,

Lisätiedot

Videotoisto Nexus 7 tableteilla: Android 4.4 KitKat selvästi edellistä versiota heikompi

Videotoisto Nexus 7 tableteilla: Android 4.4 KitKat selvästi edellistä versiota heikompi Videotoisto Nexus 7 tableteilla: Android 4.4 KitKat selvästi edellistä versiota heikompi - Android 4.3 Jelly Bean ja 4.4 Kitkat käyttöjärjestelmien videotoiston suorituskyvyn vertailu Nexus 7 tabletilla

Lisätiedot

Muita kuvankäsittelyohjelmia on mm. Paint Shop Pro, Photoshop Elements, Microsoft Office Picture Manager

Muita kuvankäsittelyohjelmia on mm. Paint Shop Pro, Photoshop Elements, Microsoft Office Picture Manager Missio: 1. Asentaminen 2. Valokuvien tarkastelu, tallennus/formaatit, koko, tarkkuus, korjaukset/suotimet, rajaus 3. Kuvan luonti/työkalut (grafiikka kuvat) 4. Tekstin/grafiikan lisääminen kuviin, kuvien/grafiikan

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

NEX-3/NEX-5/NEX-5C A-DRJ-100-12(1) 2010 Sony Corporation

NEX-3/NEX-5/NEX-5C A-DRJ-100-12(1) 2010 Sony Corporation NEX-3/NEX-5/NEX-5C Tässä esitteessä on kuvattu tämän laiteohjelmapäivityksen sisältämät 3Dtoiminnot. Lisätietoja on Käyttöoppaassa ja mukana toimitetun CD-ROMlevyn α Käsikirjassa. 2010 Sony Corporation

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kenguru 2015 Ecolier (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2015 Ecolier (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 13 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Keski-Suomen Valokuituverkot Oy Miksi valokuitu?

Keski-Suomen Valokuituverkot Oy Miksi valokuitu? Keski-Suomen Valokuituverkot Oy Miksi valokuitu? Miksi valokuitu? 1 Sisältö Mistä puolueetonta tietoa? Miksi valokuitu? Mihin maailma on menossa? Mitä hyötyä jo tänään? Mitä tarkoittaa pilvipalvelut Operaattori

Lisätiedot

Screen Size 77/65 Picture. Infinite Contrast. Pixel Dimming. ULTRA Luminance Local Dimming. HDR Effect Dolby Vision HLG HDR10

Screen Size 77/65 Picture. Infinite Contrast. Pixel Dimming. ULTRA Luminance Local Dimming. HDR Effect Dolby Vision HLG HDR10 OLED W7 77/65 Yksinkertainen tyylikkyys. Taydellisyys. Kuva-Seinässä Täydellisyys. Tyylikäs, Kuva-Seinässä-TV on ainoa luokassaan. Kuva sulautuu seinään. Itsevalaisevat pikselit vahvoine, puhtaine väreineen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

DVB- ja internet-palvelut saman vastaanottimen kautta

DVB- ja internet-palvelut saman vastaanottimen kautta DVB- ja internet-palvelut saman vastaanottimen kautta Timo Santi 8.11.2012 Termiviidakko Epäviralliset tulkinnat Termi OTT (Over The Top) Connected TV IPTV Internet TV Web TV Cord Cutters Tulkinta Internetin

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Kysymyksiä ja vastauksia HD- eli teräväpiirtolähetyksien katseluun tarvittavien laitteiden hankintaan

Kysymyksiä ja vastauksia HD- eli teräväpiirtolähetyksien katseluun tarvittavien laitteiden hankintaan Kysymyksiä ja vastauksia HD- eli teräväpiirtolähetyksien katseluun tarvittavien laitteiden hankintaan 1) Asun kaapeli-tv-taloudessa. Millaiset laitteet tarvitsen katsellakseni maksullisia teräväpiirtolähetyksiä?

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Datatähti 2019 loppu

Datatähti 2019 loppu Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio

Lisätiedot

S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta

S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta Heikki Hyyti 60451P Harjoitustyö 2 visuaalinen prosessointi Treismanin FIT Kuva 1. Kuvassa on Treismanin kokeen ensimmäinen osio, jossa piti etsiä vihreätä T kirjainta.

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi

Lisätiedot

Asiantuntijan vinkit television valintaan

Asiantuntijan vinkit television valintaan Asiantuntijan vinkit television valintaan Kaareva vai litteä, HD vai UHD, iso vai isompi? Tässä Samsungin asiantuntijan neuvot television valintaan. Samsungin Technonomic Index -tutkimuksen mukaan keskiverto

Lisätiedot

Satelliitti- ja antenniliitto SANT ry www.sant.fi

Satelliitti- ja antenniliitto SANT ry www.sant.fi www.sant.fi 1 Jäseninä: Satelliitti- ja antenniliitto SANT toimii n. 100 antennialan yrityksen edunvalvojana ja yhteenliittymänä Antenniurakointiliikkeitä Antennialan laitevalmistajia ja maahantuojia Antennitarvikkeiden

Lisätiedot

Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara

Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset 15.7. 14.11.2014 Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara Avaintulokset 2500 2000 Ylös vaellus pituusluokittain: 1500 1000 500 0 35-45 cm 45-60 cm 60-70 cm >70 cm 120

Lisätiedot

Esitystavat 4K ja 8K. Mitä esitystavat 4K ja 8K ovat, milloin tulevat, vai tulevatko ja miksi. Muutama olettamus miksi. Koonnut Pekka Mielityinen 1

Esitystavat 4K ja 8K. Mitä esitystavat 4K ja 8K ovat, milloin tulevat, vai tulevatko ja miksi. Muutama olettamus miksi. Koonnut Pekka Mielityinen 1 Mitä esitystavat 4K ja 8K ovat, milloin tulevat, vai tulevatko ja miksi. Muutama olettamus miksi. Koonnut Pekka Mielityinen 1 Teräväpiirtotekniikan tarkkuus on 1080 juovaa ja 1920 pistettä juovalla Elämme

Lisätiedot

Projektoriratkaisut. Kuvakoolla on väliä opetuksessa

Projektoriratkaisut. Kuvakoolla on väliä opetuksessa Projektoriratkaisut Kuvakoolla on väliä opetuksessa MIKSI KUVAKOKO ON TÄRKEÄ ASIA? Tässä oppaassa perehdytään kuvakoon, kustannustehokkuuden ja kuvanlaadun tärkeyteen, mikä auttaa sinua löytämään optimaalisen

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2018 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2018 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 0 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

Graafiset käyttöliittymät Sivunparantelu

Graafiset käyttöliittymät Sivunparantelu Graafiset käyttöliittymät Sivunparantelu Johdanto Tarkoituksenamme on parantaa Konebox.fi-verkkokaupan nettisivuja. Ensivaikutelman perusteella sivusto tuntuu todella kömpelöltä ja ahdistavalta. Sivu on

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi Tilastotiedettä Tilastotieteessä kerätään tietoja yksittäisistä asioista, ominaisuuksista tai tapahtumista. Näin saatua tietoa käsitellään tilastotieteen menetelmin ja saatuja tuloksia voidaan käyttää

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten

Lisätiedot

Kiipulan ammattiopisto. Liiketalous ja tietojenkäsittely. Erja Saarinen

Kiipulan ammattiopisto. Liiketalous ja tietojenkäsittely. Erja Saarinen Kiipulan ammattiopisto Liiketalous ja tietojenkäsittely Erja Saarinen 2 Sisällysluettelo 1. Johdanto... 3 2. Hyvät internetsivut... 3 3. Kuvien koko... 4 4. Sivujen lataus... 4 5. Sivukartta... 5 6. Sisältö...

Lisätiedot

Kannettava DVD soitin Daewoo DPC-7200PD

Kannettava DVD soitin Daewoo DPC-7200PD Kannettava DVD soitin Daewoo DPC-7200PD Laitteeseen tutustuminen: Yläkuva laitteesta 1. LCD panelin sammutus kytkin 2. Laajakuva 3. Pysäytys 4. Edellinen 5. Seuraava 6. Toista 7. Valikko painike Nuolinäppäimet:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

KUVANKÄSITTELY THE GIMP FOR WINDOWS OHJELMASSA

KUVANKÄSITTELY THE GIMP FOR WINDOWS OHJELMASSA KUVANKÄSITTELY THE GIMP FOR WINDOWS OHJELMASSA Ohjeistuksessa käydään läpi kuvan koon ja kuvan kankaan koon muuntaminen esimerkin avulla. Ohjeistus on laadittu auttamaan kuvien muokkaamista kuvakommunikaatiota

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys

Lisätiedot

KARTTAILTAPÄIVÄ 27.9.09 Haukkavuori Paikalla: Ari Hietanen Kari Hovi Heikki Kyyrönen Seppo Tuominen Kari Ylönen Asko Määttä.

KARTTAILTAPÄIVÄ 27.9.09 Haukkavuori Paikalla: Ari Hietanen Kari Hovi Heikki Kyyrönen Seppo Tuominen Kari Ylönen Asko Määttä. KARTTAILTAPÄIVÄ 27.9.09 Haukkavuori Paikalla: Ari Hietanen Kari Hovi Heikki Kyyrönen Seppo Tuominen Kari Ylönen Asko Määttä Askon jutustelu GPS:n 1 vaihe 2000-2007 Mittaukset maastossa tallentimeen; DGPS

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

KUVAMUOKKAUS HARJOITUS

KUVAMUOKKAUS HARJOITUS KUVAMUOKKAUS HARJOITUS VÄRI, PARANNUS, KUVAKOKO, KEHYKSET Kuvan väri- ja valoisuusarvot ovat sidoksissa kuvanottohetken valaistukseen. Harjoituksen kuva on kuvattu loistevaloissa ja värisävy ei ole kohdallaan.

Lisätiedot

AntenniTV kaikkialle, kaikkiin päätelaitteisiin

AntenniTV kaikkialle, kaikkiin päätelaitteisiin AntenniTV kaikkialle, kaikkiin päätelaitteisiin Cable Days 17.4.2012 Vesa Erkkilä vesa.erkkila(a)digita.fi MobiiliTV vai TV mobiililaitteissa? Erillisen broadcast-verkon (esim. DVB-H) kautta toteutettu

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut Kenguru 2006 sivu 1 3 pistettä 1. Kenguru astuu sisään sokkeloon. Se saa käydä vain kolmion muotoisissa huoneissa. Mistä se pääsee ulos? A) a B) b C) c D) d E) e 2. Kengurukilpailu on pidetty Euroopassa

Lisätiedot

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10)

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10) Tehtävä 40. Kirjoita ohjelma, jossa luetaan 20 lukua, joiden arvot ovat välillä 10 100. Kun taulukko on täytetty, ohjelma tulostaa vain ne taulukon arvot, jotka esiintyvät taulukossa vain kerran. Tehtävä

Lisätiedot

Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Sivu 0 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Tehdään laadukas painotuote

Tehdään laadukas painotuote Tehdään laadukas painotuote 8 vinkkiä valokuvien ottamisesta ja toimittamiseen painotuotteisiin 1. Kuvaa kameran parhailla asetuksilla Kuvien tarkkuuden ja tiedostopakkauksen vaikutukset ovat korostuneet

Lisätiedot

Sony BRAVIA TV-mallisto täydentyy uusilla. 4K ULTRA HD -malleilla. Saammeko esitellä: X91C-televisio on nyt huippuohut, huippuälykäs ja huippusuuri

Sony BRAVIA TV-mallisto täydentyy uusilla. 4K ULTRA HD -malleilla. Saammeko esitellä: X91C-televisio on nyt huippuohut, huippuälykäs ja huippusuuri Lehdistötiedote 2.9.2015 Sony BRAVIA TV-mallisto täydentyy uusilla 4K ULTRA HD -malleilla. Saammeko esitellä: X91C-televisio on nyt huippuohut, huippuälykäs ja huippusuuri Ällistyttävä 75-tuuman 4K Ultra

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Kenguru 2018 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2018 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 0 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saat 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Maanpäällisen verkon HD-kokeilun tulokset ja johtopäätökset. Pekingin olympialaiset 2008. 13.11.2008 Timo Kiiskinen

Maanpäällisen verkon HD-kokeilun tulokset ja johtopäätökset. Pekingin olympialaiset 2008. 13.11.2008 Timo Kiiskinen Maanpäällisen verkon HD-kokeilun tulokset ja johtopäätökset Pekingin olympialaiset 2008 13.11.2008 Timo Kiiskinen Lähetyksien teknisiä tietoja Digita lähetti Pekingin olympialaiset HD-tasoisena seuraavin

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö

Lisätiedot

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Kuinka monta kokonaislukua on lukujen 19,03 ja,009 välissä? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) enemmän kuin 17 Luvut 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

Lisätiedot

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2 BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden

Lisätiedot

Ohjeita luennoitsijoille AV-tekniikasta

Ohjeita luennoitsijoille AV-tekniikasta 1 (5) Ohjeita luennoitsijoille AV-tekniikasta 1. Luentosalin AV-tekniikka ja esityksen valmistelu Messukeskuksen luentotilojen perusvarustukseen kuuluu langallinen nettiyhteys puhujapöntössä, kannettava

Lisätiedot

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ henri.t.talviaho@student.jyu.fi Kuva 1. Nuoli TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ 30.3.2016 1. Näytöt... 3 1.1. Kuvaputkinäytöt (Cathode Ray Tube (CRT))... 3 1.2. Kuvanlaatuun vaikuttavia tekijöitä...

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

JAVA-OHJELMOINTI 3 op A274615

JAVA-OHJELMOINTI 3 op A274615 JAVA-OHJELMOINTI 3 op A274615 Layoutit Teemu Saarelainen teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: http://java.sun.com/docs/books/tutorial/index.html Vesterholm, Kyppö: Java-ohjelmointi, Talentum 2004. Layout

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

DNA:n antenniteräväpiirtoverkon. Juhani Simpanen Kehityspäällikkö DNA Oy GSM

DNA:n antenniteräväpiirtoverkon. Juhani Simpanen Kehityspäällikkö DNA Oy GSM DNA:n antenniteräväpiirtoverkon pilotointi Juhani Simpanen p Kehityspäällikkö DNA Oy GSM +358 44 730 2560 juhani.simpanen@dna.fi Esityksen sisältö DNA tänään DNA HDTV-verkon pilotti HDTV-verkon ominaisuudet

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Televisio ja videopalvelut nyt ja tulevaisuudessa 2019 SANOMA MEDIA FINLAND TINA ÅSTRÖM

Televisio ja videopalvelut nyt ja tulevaisuudessa 2019 SANOMA MEDIA FINLAND TINA ÅSTRÖM Televisio ja videopalvelut nyt ja tulevaisuudessa 2019 SANOMA MEDIA FINLAND TINA ÅSTRÖM 4.9.2019 JOHDANTO Osin samanlainen tutkimus toteutettiin vuosina 2013, 2015, 2017 ja 2018. Eri vuosien tuloksia vertaillaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota KAKSI välilyöntiä (SEURAA ALUEMERKINTÄÄ) 4:n jälkeen 3/4 +5^2

PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota KAKSI välilyöntiä (SEURAA ALUEMERKINTÄÄ) 4:n jälkeen 3/4 +5^2 PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä 3/4+^2 3 4+ 2 Kirjoita muuten sama, mutta ota KAKSI välilyöntiä (SEURAA ALUEMERKINTÄÄ) 4:n jälkeen 3/4 +^2 3 + 4 2 Kopioi

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019

Lisätiedot

Havainto ja sen kirjaaminen sekä Itsearvioinnin ja ulkopuolisen havainnoinnin sudenkuoppia. C: Tuomas Leinonen

Havainto ja sen kirjaaminen sekä Itsearvioinnin ja ulkopuolisen havainnoinnin sudenkuoppia. C: Tuomas Leinonen Havainto ja sen kirjaaminen sekä Itsearvioinnin ja ulkopuolisen havainnoinnin sudenkuoppia C: Tuomas Leinonen Havainto VAT:ssa havainnolla tarkoitetaan tunnetussa toimintaympäristössä tehtyä huomiota asiakkaan

Lisätiedot

Antenniverkon kehittyminen Ajankohtaista DNA:lta

Antenniverkon kehittyminen Ajankohtaista DNA:lta Julkinen Antenniverkon kehittyminen Ajankohtaista DNA:lta Sisältö DNA:n televisioliiketoiminta Televisiokatselun muutosten vaikutukset Antenniverkko osana DNA:n televisiotarjontaa Yhteenveto Julkinen /

Lisätiedot

6. Etäisyydenmittari 14.

6. Etäisyydenmittari 14. 97 ilmeisessä käsirysyssä vihollisen kanssa. Yleensä etäiyyden ollessa 50 m. pienempi voi sen käyttämisestä odottaa varmaa menestystä; paras etäisyys on 25 m. tai sitä pienempi. Sillä missä tilanahtaus

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

2.1 Yksinkertaisen geometrian luonti

2.1 Yksinkertaisen geometrian luonti 2.1 Yksinkertaisen geometrian luonti Kuva 2.1 Tiedon portaat Kuva 2.2 Ohjelman käyttöliittymä suoran luonnissa 1. Valitse Luo, Suora, Luo suora päätepistein. 2. Valitse Pystysuora 3. Valitse Origo Origon

Lisätiedot

DNA Viihde- ja digitaalisten sisältöjen tutkimus 2015: TV tuli puhelimeen. Yhteenveto medialle

DNA Viihde- ja digitaalisten sisältöjen tutkimus 2015: TV tuli puhelimeen. Yhteenveto medialle DNA Viihde- ja digitaalisten sisältöjen tutkimus 2015: TV tuli puhelimeen Yhteenveto medialle Viihde- ja digitaalisten sisältöjen tutkimus, helmikuu 2015 2 Yhteenveto Tabletit, tietokoneet ja älypuhelimet

Lisätiedot

Tietotekniikan valintakoe

Tietotekniikan valintakoe Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tietotekniikan valintakoe 2..22 Vastaa kahteen seuraavista kolmesta tehtävästä. Kukin tehtävä arvostellaan kokonaislukuasteikolla - 25. Jos vastaat useampaan

Lisätiedot

Seuraavat kysymykset koskevat erilaisia tekijöitä, jotka liittyvät digitaaliseen mediaan ja digitaalisiin laitteisiin kuten pöytätietokoneet,

Seuraavat kysymykset koskevat erilaisia tekijöitä, jotka liittyvät digitaaliseen mediaan ja digitaalisiin laitteisiin kuten pöytätietokoneet, Seuraavat kysymykset koskevat erilaisia tekijöitä, jotka liittyvät digitaaliseen mediaan ja digitaalisiin laitteisiin kuten pöytätietokoneet, kannettavat tietokoneet, älypuhelimet, tablettitietokoneet,

Lisätiedot

Kielioppivideon tekeminen

Kielioppivideon tekeminen Kielioppivideon tekeminen Otavan Opisto 2013 1 Kielioppivideo Kielioppivideolla tarkoitetaan sellaista oppimateriaalia, jossa opettaja selostaa kielioppiin liittyviä asioita. Puheen lisäksi näytetään tekstiä

Lisätiedot

Uudet näkökyvyn ajoterveysvaatimukset, niiden tutkiminen ja arviointi

Uudet näkökyvyn ajoterveysvaatimukset, niiden tutkiminen ja arviointi Uudet näkökyvyn ajoterveysvaatimukset, niiden tutkiminen ja arviointi Maija Mäntyjärvi Silmätautiopin professori, emerita Itä-Suomen yliopisto Kuopio Konsultoiva silmälääkäri TTL Helsinki Laki ja asetus

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu T-76.115 Tietojenkäsittelyopin ohjelmatyö. Testitapaukset - Xlet

Teknillinen korkeakoulu T-76.115 Tietojenkäsittelyopin ohjelmatyö. Testitapaukset - Xlet Testitapaukset - Xlet Sisällysluettelo 1. Johdanto...3 2. Testattava järjestelmä...4 2.1 Koko järjestelmän yleiskuvaus...4 2.2 Xlet-demosovellus ja sen toimintaperiaate...5 3. Testitapaukset...6 3.1 Objektien

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot