Arto Sivill Sweco Rakennetekniikka Oy

Transkriptio

1 1 5. Rakenneanalyysi Rakenteen mallintaminen analyysiä varten Rakenneanalyysin yleiset vaatimukset Rakennemallin valinta Kehien luokittelu sivusiirtyvyyden ja sivusuuntaisen tuennan mukaan Liitosten mallintaminen Esimerkkejä liitosten jäykkyyksistä Shear lag-ilmiö palkeissa Virumisen ja kutistumisen huomioon ottaminen palkeissa Halkeilun mallintaminen liittopalkkien betonilaipoissa Halkeilu, kutistuminen ja viruminen liittopilareissa Epätarkkuudet Kehän epätarkkuudet Kehän kokonaistarkastelussa käytettävät rakenneosan epätarkkuudet Puristettujen rakenneosien epätarkkuudet Liittopalkkien epätarkkuudet Liitosten sovitusvirheet ja asennustoleranssit Rakenteiden stabiilius Voimasuureiden laskenta Lineaarisen kimmoteorian mukainen analyysi Lineaarinen kimmoteorian mukainen analyysi, jossa taivutusmomenttien rajallinen uudelleen jakaminen sallitaan Epälineaarinen kokonaistarkastelu Jäykkäplastinen kokonaistarkastelu Poikkileikkausten luokitus Lähdeluettelo Esimerkki 1. Toisen kertaluvun vaikutukset kehärakenteen mitoituksessa Esimerkki 2. Kertoimen α määrittäminen monikerroskehälle Esimerkki 3. Toimiiko α likikaava aina? Arto Sivill Sweco Rakennetekniikka Oy

2 5. Rakenneanalyysi 2 Kuva 5.1. Venetsian tasavallan rajoille Leccoon vuosina rakennettu Ponte Azzone Visconti ja sen rakennemalli. Rakennelaskelmissa käytettävän rakennemallin tulee vastata riittävän tarkasti toteutettavaa rakennetta, niin että rakenteen toiminnan kannalta oleelliset asiat tulevat riittävän tarkasti huomioon otetuiksi. Tähän ovat käsityöläiset ja insinöörit kautta aikain parhaan kykynsä mukaan pyrkineet, kun ovat kehitelleet erilaisia kokemusperäisiä ja matemaattisfysikaalisia malleja ennakoimaan rakenteiden käyttäytymistä kuormitettuina (ks. Kuva 5.1). Parhaiten toimivat käytännöt rakenteiden käyttäytymisen mallintamiseksi ovat säilyneet ensin suullisena ja sitten kirjallisena tietona sukupolvilta toisille. Lukuisia parhaimmiksi osoittautuneita tapoja rakenneanalyysin suorittamiseen on esitetty standardissa SFS-EN ja siinä olevissa viittauksissa muihin EN-standardeihin. Tässä esityksessä on esitetty kaikki standardissa SFS-EN esitetyt menetelmät rakenneanalyysin suorittamiseksi. Tavanomaisten liittorakenteiden suunnittelussa läheskään kaikki tässä esitetyt menetelmät eivät ole useinkaan tarpeen. 5.1 Rakenteen mallintaminen analyysiä varten Rakenneanalyysin tarkoituksena varmistaa, että rakenne kestää riittävällä todennäköisyydellä siihen käyttöiän aikana kohdistuvat kuormat. Rakenneanalyysi voidaan tehdä kolmella erilaisella tasolla (Johnson, R.P. & Anderson, D.): koko rakenteen analyysinä rakenneosan analyysinä poikkileikkauksen analyysinä Rakenneanalyysi tehdään aina käyttö- ja murtorajatilassa. Jos rakenteella on palonkestovaatimus, niin analyysi on tehtävä myös palotilanteessa. Kohteen seuraamusluokasta riippuen rakenne voi olla analysoitava myös onnettomuustilanteessa (esim. jatkuvan sortuman esto). Tässä esityksessä keskitytään pelkästään rakenneanalyysiin murtorajatilassa. Termiä kokonaistarkastelu käytetään rakenneanalyysin yhteydessä usein. Kokonaistarkastelulla tarkoitetaan tietyn geometrian omaavan ja tietyllä tavalla kuormitetun rakenteen voimasuureiden määrittämistä.

3 5.1.1 Rakenneanalyysin yleiset vaatimukset 3 Vaatimukset rakennemallin tarkkuudelle ja perusoletuksille on esitetty periaatevaatimuksena standardin SFS-EN :2005 rakenneanalyysiä käsittelevän luvun 5 alussa: Rakennemalli ja perusoletukset tulee valita standardin EN 1990 kohdan mukaisesti ja niiden tulee vastata poikkileikkausten, rakenneosien, liitosten ja tukialueiden odotettavissa olevaa toimintaa. Edellä viitataan siis rakenteen suunnitteluperusteiden osalta standardiin SFS-EN 1990:2002, jossa kohdassa asia on esitetty hieman seikkaperäisemmin asettamalla kolme periaatevaatimusta rakenneanalyysille: Mitoituslaskelmissa tulee käyttää asianmukaisia rakennemalleja ja niihin kuuluvia muuttujia. Rakennemallit valitaan niin, että ne soveltuvat rakenteen toiminnan ennakoimiseen ja tarkasteltaviin rajatiloihin riittävän tarkasti. Rakennemallien tulee perustua yleisesti tunnettuun rakennetekniikan teoriaan ja käytäntöön. Tarvittaessa ne tulee kokein osoittaa oikeiksi Rakennemallin valinta Edellä rakenneanalyysille asetetut vaatimukset saattavat aluksi näyttää triviaaleilta, mutta monessa tapauksessa niiden täyttäminen voi olla hyvinkin haastavaa. Rungon alustavassa suunnittelussa voidaan rakennemallin ja liitosten valinnalla vaikuttaa siihen, kuinka yksinkertainen tai haastava rungon rakenneanalyysistä tulee. Tavallisimpia Suomessa käytettäviä rungon rakennemalleja on esitetty seuraavissa kohdissa( Kuva 5.2). Liittorungoissa yleisimmin käytetty suomalainen rakennemalli on sivusuunnassa jäykistävillä seinillä ja kuiluilla tuettu kehärakenne, jossa palkit ovat yksiaukkoisia ja pilarit jatkuvia (Kuva 5.2 a). Jos rakenneosat eivät ole liian hoikkia, niin rungon mitoitus voidaan tehdä totutulla tavalla yksinkertaisesti. Rungon voimasuureet lasketaan lineaarisen teorian mukaan ja sen jälkeen mitoitetaan pilarit, palkit sekä liitokset toisistaan riippumattomina. Toinen melko yleinen liittorunkojen rakennemalli on sivusuunnassa tuettu kehärakenne, on jatkuvat välipohjapalkit ja nivelpäiset kerrospilarit (Kuva 5.2 b). Palkit voivat olla myös Gerberpalkkeja. Yleensä myös tämän tyyppisen rungon rakenneanalyysi voidaan tehdä totutulla tavalla yksinkertaisesti; Rungon voimasuureet lasketaan edelleen kimmoteorian mukaisesti ja pilarit, palkit sekä liitokset voidaan mitoittaa erikseen. Rungon jäykistävät rakenteet ovat niin jäykkiä, ettei jäykistävien rakenteiden vaakasiirtymistä tule lisärasituksia pilareille. Joskus sivusuunnassa tuettu kehärakenne (Kuva 5.2 c) toteutetaan niin, että keskipilarien ja jatkuvien palkkien liitos tehdään momenttijäykäksi. Reunapilarien ja palkkien liitos on useimmiten nivelellinen. Tässä tapauksessa kehän rakenneanalyysi muuttuu jo vaativammaksi, koska pilarien ja palkkien mitoitusta ei voida tehdä erillään. Jäykkänurkkaisessa kehässä erityisesti taivutusmomentti- ja leikkausvoimapinta riippuvat sauvojen jäykkyyksistä. Jos kehän voimasuureiden laskennan jälkeen palkin tai pilarin poikkileikkausta muutetaan mitoituksen yhteydessä, niin tulee kehän voimasuureet laskea uudelleen. Sivusuunnassa tukematon, jäykkänurkkainen kehä (tai osittain jäykkänurkkainen kehä) on Suomessa harvinainen, mutta eteläisemmässä Euroopassa hieman tavallisempi rakenne (Kuva 5.2 d). Suomessa tätä rakennetyyppiä on joskus käytetty niin, että palkit ovat liittorakenteena toimiva ristikoita. Runkotyypin etuna on sen parempi stabiliteetti asennustilanteessa ja oikein

4 suunniteltuna myös parempi sitkeys onnettomuustilanteessa. Etelä-Euroopassa kehärakenteen etuna on se, että kehä voidaan suunnitella toimimaan hyvin maanjäristyskuormituksessa. Jäykkänurkkaisessa kehässä voidaan kehänurkkaan (palkin päähän aivan pilarin viereen) suunnitella osittain jäykkä liitos, joka maanjäristyskuormituksessa on sitkeä, sitoo liike-energiaa ja plastisoituu hallitusti ensimmäisenä osana rungossa. Näin varmistetaan se, ettei pilareihin muodostu plastisia niveliä, mikä on tärkeää rungon sortumisen estämiseksi. Myöhemmin esitetään tarkemmat ehdot siihen, millä edellytyksillä on sallittua tehdä yksinkertainen kimmoteorian mukainen analyysi voimasuureiden laskennassa ja sauvojen mitoituksessa. 4 a) Yksiaukkoiset palkit ja jatkuvat pilarit. Kehä on tuettu sivusuunnassa jäykistävillä rakenteilla. b) Jatkuvat palkit, kerrospilarit keskellä ja jatkuvat reunapilarit. Kehä on tuettu sivusuunnassa jäykistävillä rakenteilla. c) Jatkuvat palkit ja jatkuvat pilarit. Keskipilarin ja palkin välillä on momenttijäykkä liitos. Reunapilarin ja palkin liitos nivelöity. Kehä on tuettu sivusuunnassa jäykistävillä rakenteilla. d) Jatkuvat palkit ja jatkuvat pilarit. Pilarien ja palkkien välillä on momenttijäykkä (tai osittain jäykkä) liitos. Kehää ei ole tuettu sivusuunnassa jäykistävillä rakenteilla. Kuva 5.2. Tavallisimpia Suomessa käytettäviä liittorungon rakennemalleja.

5 Kehien luokittelu sivusiirtyvyyden ja sivusuuntaisen tuennan mukaan Kehät luokitellaan neljään ryhmään sivusiirtyvyyden ja sivuttaisen tuennan perusteella (Kuva 5.4). Tähän luokitteluun perustuu se, vaaditaanko rakenteelle toisen kertaluvun P- vaikutukset huomioon ottava laskentamenetelmä, vai riittääkö pelkästään lineaarinen, kimmoteorian mukainen analyysi. Kehän sivusiirtyvyys riippuu stabiiliudesta, johon vaikuttaa sekä kehän kuormituksen suuruus että kehän jäykkyys. Hoikka, nurjahduskestävyyteen nähden raskaasti kuormitettu rakenne on alttiimpi sivusiirtymiselle kuin massiivinen, kevyesti kuormitettu rakenne. Kehä on sivusiirtyvä, jos kappaleessa 5.3 esitetystä kaavasta ( 5.11) saatava kerroin α < 10. Yksi tulkinta siihen, milloin kehä on sivusuunnassa tuettu ja milloin tukematon (Kuva 5.3) löytyy standardista SFS-EN :2005 ja sen pohjalta tehdystä käsikirjasta (Kouhi, 2009): Tasokehä on sivusuunnassa tuettu, kun vaakavoimien siirtämiseen tarkoitetun jäykistysjärjestelmän jäykkyys on vähintään 80 % koko tasokehän jäykkyydestä. Koko tasokehän jäykkyydellä tarkoitetaan tässä jäykistysjärjestelmän ja jäykistämättömän kehän jäykkyyksien summaa. Tasokehä on sivusuunnassa tukematon, jos edellä jäykistysjärjestelmän jäykkyys on alle 80 % koko tasokehän jäykkyydestä. Kuva 5.3. Sivusuunnassa tuettu kehä on esitetty vasemmalla ja sivusuunnassa tukematon kehä oikealla. Sivusiirtymättömien kehien (Kuva 5.4a) ja (Kuva 5.4b) voimasuureet voidaan laskea kimmoteorian mukaan, mikäli betonin halkeilu, betonin viruminen ja liitosten toiminta otetaan asianmukaisesti huomioon myöhemmin esitettävällä tavalla. Tällöin sivusiirtymättömän kehän voimasuureiden laskennassa ei tarvitse ottaa huomioon toisen kertaluvun P- vaikutuksia. Tulee kuitenkin huomata, että kehän sivusiirtymättömyydestä huolimatta yksittäisten sauvojen mitoituksessa voi olla otettava huomioon toisen kertaluvun P- δ vaikutukset, vaikka niitä ei koko kehän voimasuureiden laskennassa tarvitsisikaan ottaa huomioon. Yleensä sauvojen toisen kertaluvun P- δ vaikutukset otetaan huomioon pelkästään sauvojen mitoituksessa (pl. Hyvin hoikat sauvat). Sivusiirtyville kehille (Kuva 5.4c ja Kuva 5.4d) toisen kertaluvun P- vaikutukset on otettava huomioon.

6 6 a) b) c) d) a) Sivusuunnassa tuettu, sivusiirtymätön kehä. α 10. Toisen kertaluvun P- -vaikutuksia ei tarvitse ottaa huomioon kehän kokonaistarkastelussa. b) Sivusuunnassa tukematon, sivusiirtymätön kehä. α 10. Toisen kertaluvun P- - vaikutuksia ei tarvitse ottaa huomioon kehän kokonaistarkastelussa. c) Sivusuunnassa tuettu, sivusiirtyvä kehä. α < 10. Toisen kertaluvun P- -vaikutukset tulee ottaa huomioon kehän kokonaistarkastelussa. d) Sivusuunnassa tukematon, sivusiirtyvä kehä. α < 10. Toisen kertaluvun P- -vaikutukset tulee ottaa huomioon kehän kokonaistarkastelussa. Kuva 5.4. Kehien luokittelu tuennan ja sivusiirtyvyyden mukaan (Kouhi, 2009). Kehän sivusiirtyvyyteen vaikuttaa sekä kehän kuormitus että kehän jäykkyys.

7 Liitosten mallintaminen Tavanomaisessa suunnittelukäytännössä liitosten jäykkyys on yleensä idealisoitu niin, että liitokset on oletettu joko täysin jäykiksi tai kokonaan nivelellisiä. Näin liitosten toiminnan vaikutus rakenteen voimasuureisiin ja siirtymiin on yleensä ollut helppo huomioida mallintamalla sauvan päähän joko jäykkä kiinnitys tai nivel. Laskelmissa on oletettu, että nivelöity liitos sallii liittyvien sauvojen päiden välille vapaasti kulmamuutoksen, ilman että liitokseen syntyy taivutusmomenttia. Jäykkä liitos taas estää kokonaan kulmamuutoksen liitokseen liittyvien sauvojen välillä ja kestää taivutusmomenttia vähintään yhtä paljon kuin liittyvät sauvatkin (ks. Kuva 5.5). Todellisuudessa lähes kaikkien liitostyyppien jäykkyys on edellä mainittujen ääripäiden välissä ja näitä liitoksia kutsutaan osittain jäykiksi tai puolijäykiksi. Osittain jäykän liitoksen toiminta voidaan kuvata sopivan jäykällä kiertojousella, kun liitosta rasittava taivutusmomentti on riittävän pieni suhteessa liitoksen kestävyyteen. Kiertojousen jäykkyys (M Ø yhteys) on mallinnettava koko kehän rakenneanalyysissä oikein, jotta kehän voimasuureet saadaan laskettua oikein. Jos liitoksen käyttäytyminen on voimakkaasti epälineaarista, ei liitoksen jäykkyyttä voida mallintaa tarkasti pelkästään vakiojäykkyyden omaavalla kiertojousella. Tällöin liitoksen M Ø yhteys voidaan sovittaa paloittain lineaarisena käyränä vastaamaan mahdollisimman tarkasti koetuloksista mitattua osittain jäykän liitoksen M Ø yhteyttä. Jos kehässä joudutaan käyttämään osittain jäykkää, epälineaarista jousivakiota, on kehän kokonaisanalyysi tehtävä vähintäänkin geometrisesti epälineaarisella laskentamallilla. Käytännön rakennesuunnittelussa tämä on useimmiten liian työlästä. Jotta liittorakenne voidaan suunnitella standardin SFS-EN :2005 mukaan, tulee liitosten olla joko teräs- tai liittorakenteisia (ei betonirakenteisia). Kohdassa liittorakenteen liitokset luokitellaan toimintansa perusteella kolmeen, alla mainittuun ryhmään seuraavasti: jatkuva liitos osittain jatkuva liitos vapaa tuenta Liitosten jäykkyyden luokittelussa viitataan standardiin SFS-EN :2005, jonka kohdan 5.2 mukaan liitokset voidaan jakaa kolmeen luokkaan niiden jäykkyyden perusteella. Nimitykset poikkeavat hieman, mutta luokittelu on periaatteessa sama: jäykkä liitos osittain jäykkä liitos nimellinen nivelliitos Teräsrakenteen liitokset jaetaan standardissa EN :2005 kolmeen luokkaan myös niiden lujuuden perusteella: täysin luja liitos osittain luja liitos nimellisesti nivelellinen liitos Seuraavassa (Kuva 5.5) on periaatekuva liitosten jäykkyyden määrittämisestä ja standardin EN :2005 mukaiset raja-arvot liitosten luokitteluun jäykkyyden perusteella (Taulukko 5.1).

8 8 Kuva 5.5. Vasemmalla esimerkkejä jäykän, osittain jäykän ja nivelellisen liitoksen todellisesta momentti - kiertymä yhteydestä. Oikealla standardin SFS-EN :2005 mukainen liitosten jaottelu jäykkyyden perusteella alueisiin 1, 2 ja 3. Taulukko 5.1. Liitoksien luokitus jäykkyyden perusteella (EN :2005). Alue 1. Jäykkä liitos S k EI / L j. ini b b b, k b = 8 kun kehä on sivusuunnassa tuettu ja siirtymätön, ks. Kuva 5.4, tapaus a k b = 25 muut kehät, ks. Kuva 5.4, tapaukset b, c ja d. Lisäksi kehän jokaisessa kerroksessa on oltava voimassa ehto: K b / K c 0, 1. (Jos K b / K c < 0, 1, niin liitokset luokitellaan osittain jäykiksi.) Alue 2. Kaikki alueelle 2 kuuluvat liitokset luokitellaan osittain jäykiksi. Osittain jäykkä liitos Alue 3. S j. ini < 0,5 EI b / Lb Nimellinen nivel Merkinnät: K b on tarkasteltavan kerroksen yläpäässä olevien kaikkien palkkien I b / L b arvojen keski-arvo K c on tarkasteltavan kerroksessa olevien kaikkien pilarien I c / L c arvojen keski-arvo I b on palkin hitausmomentti I c on pilarin hitausmomentti L b on palkin jänneväli (pilarin keskiöiden välinen etäisyys) on pilarin kerroskorkeus L c

9 9 Kuva 5.6. Esimerkki nivelellisestä, osittain jäykästä ja jäykästä teräsrakenteen liitoksesta. Lähde: L.Gardner & D A Nethercot, Designers Guide to EN Esimerkkejä liitosten jäykkyyksistä Liittorakenteiden liitoksia ja niiden mitoittamista ei käsitellä tässä tarkasti. Seuraavassa () ja () esitetään lyhyesti vain joitain esimerkkejä jatkuvista liitoksista, osittain jatkuvista liitoksista ja vapaan tuennan liitoksista. Standardissa SFS-EN :2005 on esitetty laskentakaavoja joidenkin H- ja I-profiilien välisten liitosten jäykkyyden S j,ini määrittämistä varten. Rakenneputkien välisiä liitoksia ko. kohdassa ei käsitellä, joten tavallisimmin Suomessa käytettävien liittorakenteiden liitoksien jäykkyydet on usein selvitettävä muilla menetelmillä (kirjallisuus, FEM-laskenta, kuormituskokeet). Tavallinen konsoliliitos (a) voidaan luokitella lähes aina nivelelliseksi (vapaa tuenta). Epäsymmetrisen I-palkin ja liittopilarin (b) välinen liitos on yleensä osittain jatkuva. Tehtyjen tutkimusten mukaan liitos pystyy siirtämään momenttia, mutta kiertyy samalla (Malaska). Jatkuvan palkin ja kerrospilarin keinupalaliitos (c) on lähes aina nivelellinen (vapaa tuenta). Matalapalkin ja betonitäytteisen putkipilarin liitoksesta on mahdollista saada joko osittain jatkuva tai täysin jatkuva (d), riippuen käytettävien varusteluosien järeydestä suhteessa liittyviin sauvoihin. Kahden päällekkäisen liittopilarin välille saadaan yleensä helposti tehtyä jatkuva liitos (vastaa jäykkää liitosta teräsrakenteessa). Jatkuvan liitoksen toteuttamiseen on useita vaihtoehtoja: joko päittäishitsattu ja jatkosteräksillä varustettu liitos (a) tai yhdellä päätylevyllä varustettu hitsattu liitos (b). Päätylevyjen avulla tehdyt pulttiliitokset ovat hyvin tavanomaisia liittopilarien jatkoksia, jotka ovat joko osittain jatkuvia tai jatkuva (c). Tarvittaessa on mahdollista toteuttaa myös vapaa tuenta (vastaa nivelliitosta teräsrakenteessa) liittopilarin päähän, mutta tämä on harvinainen(d).

10 10 a) b) c) d) a) nivelellinen matalapalkin konsoliliitos. b) osittain jäykkä I-palkin pulttiliitos. c) keinupalalla varustettu nivelellinen liitos. d) jatkuva tai osittain jatkuva pultattu liitos. Kuva 5.7. Esimerkkejä palkkien liitoksista:

11 11 a) b) c) d) a) juurituella varustettu, päittäishitsattu jatkuva liitos, jossa jatkosteräkset b) yhdellä päätylevyllä varustettu jatkuva tai osittain jatkuva liitos. Ylempi pilari hitsataan työmaalla alempaan ja liitokseen asennetaan jatkosteräkset pilarista toiseen. c) osittain jatkuva tai jatkuva pulttiliitos pilarien välillä. d) keinupalalla varustettu nivelellinen liitos pilarien välillä. Kuva 5.8. Esimerkkejä pilarien liitoksista.

12 5.1.6 Shear lag-ilmiö palkeissa 12 Tarkastellaan vapaasti tuettua yksiaukkoista liittopalkkia, jossa teräspalkin päälle on valettu betonilaippa (Kuva 5.9). Shear lag-ilmiöllä tarkoitetaan palkin laipan tasossa tapahtuvia leikkausmuodonmuutoksia, joiden vuoksi palkin kanssa liittorakenteena toimivan betonilaipan normaalijännitykset (palkin akselin suunnassa) jakautuvat epätasaisesti. Jänteen keskellä betonin normaalijännitys on suurimmillaan palkin päällä ja pienenee etäisyyden kasvaessa palkista. Tämän vuoksi betoni-teräs liittopalkkien puristuslaipoille on määritelty mitoituksessa käytettävä toimiva leveys b eff. Shear lag-ilmiön voi nähdä myös siitä, että palkin tuen lähellä poikkileikkaus ei säily tasona, vaan puristuslaippa vinoutuu leikkausmuodonmuutosten vuoksi. Shear lag-ilmiö on palkin materiaalista riippumaton, ilmiö esiintyy myös esimerkiksi levälaippaisilla teräspalkeilla (vrt. SFS-EN :2007). Kuva 5.9. Shear lag ilmiö. Vasemmalla tarkasteltu liittopalkki, joka on vapaasti tuettu päistään ja jota kuormitetaan tasaisesti jakautuneella kuormalla. Keskellä on palkin leikkausjännitysjakauma ja leikkausmuodonmuutokset ylhäältäpäin katsottuna. Oikealla on esitetty betonilaipan epätasainen palkin akselin (y-akseli) suunnassa normaalijännitysjakauma, jossa suurin jännitys on piirretty tummansinisellä. Palkin jänteen keskellä vallitseva toimiva leveys ja välituella vallitseva toimiva leveys saadaan seuraavasta kaavasta: b = b + Σb eff o ei Merkinnät: b 0 palkin ulommaisten leikkausliittimien keskiöiden välinen etäisyys b ei on betonilaipan toimivan leveyden arvo yhdellä puolen palkkia, joka on L e /8, mutta enintään todellinen leveys b i (Kuva 5.10). Mitta L e on taivutusmomentin nollakohtien välinen etäisyys (Kuva 5.11). (5.1) Palkin reunatuella vallitseva toimiva leveys on kaavan (5.2) mukainen: b = b + Σβ b eff o i missä: β 0, L / b 1 i = e ei ei (5.2)

13 13 Kuva Liittopalkin betonilaipan todellinen leveys b i (b 1 ja b 2 ) keskipalkissa ja reunapalkissa. Alla (Kuva 5.11) on esitetty esimerkkejä palkin toimivan leveyden b eff määrittämisestä, kun palkki on yksiaukkoinen, jatkuva ja ulokkeellinen. Laskettaessa voimasuureita kimmoteorian mukaisella kokonaistarkastelulla voidaan jokaiselle jänteelle valita vakiosuuruinen toimiva leveys: molemmista päistä tuetuilla jänteillä voidaan käyttää jänteen keskikohdalle määritettyä b eff,1 ulokkeelle voidaan käyttää tuella määritettyä arvoa b eff,2 Kuva Momentin nollakohtien väli L e ja tehollinen betonilaipan leveys yksiaukkoisessa palkissa sekä jatkuvassa, ulokkeellisessa palkissa standardin SFS-EN :2005 mukaan.

14 5.1.7 Virumisen ja kutistumisen huomioon ottaminen palkeissa 14 Standardin SFS-EN :2005 kohdan (1)P periaatesäännön mukaan viruman ja kutistuman vaikutukset on otettava tarpeen mukaan huomioon. Murtorajatilassa kestävyyttä laskettaessa kutistumisen ja virumisen vaikutuksia ei tarvitse ottaa lainkaan huomioon, kun seuraavat ehdot täyttyvät: kaikki teräsosat kuuluvat poikkileikkausluokkaan 1 tai 2 rakenne ei ole väsytyskuormitettu rakenneosien kiepahdusta ei tarvitse ottaa huomioon (palkkien kiepahdus estetty) Kun seuraavan listan ehdot toteutuvat, voidaan viruman vaikutus ottaa huomioon kaavan (5.3) mukaisesti (Kuva 5.12): rakenne on sivusiirtymätön (kokonaistarkastelussa ei tarvitse ottaa huomioon toisen kertaluvun P- vaikutuksia) rakenne ei ole varastokäyttöön tarkoitetuissa tiloissa (SFS-EN :2002 kuormaluokka E) rakennetta ei ole jännitetty jälkijännittämisellä tai tunkkaamalla aiheutetulla esikorotuksella Aa, ekv = Ac / n missä: A a,ekv on ekvivalentti teräspoikkileikkaus ( teräkseksi redusoitu betoni ) A c on alkuperäinen betonilaipan pinta-ala n on teräksen kimmokertoimen ja efektiivisen betonin kimmokertoimen suhde Ea Ea n = = E E / 2 E cm c, eff cm on betonin sekanttikimmokerroin lyhytaikaiselle kuormitukselle (standardin SFS-EN :2005 taulukko 3.1) (5.3) Kuva Vasemmalla liittopalkin betonilaipan todellinen poikkileikkaus. Oikealla betonin pinta-ala muutettu ekvivalentiksi teräspinta-alaksi.

15 15 Mikäli edellä esitettyä yksinkertaista menettelyä ei voida soveltaa, voidaan laskea tarkemmin virumisen vaikutukset betonin ja teräksen kimmokertoimien suhteeseen n L : nl = n o 1 missä: n 0 ( + Ψ ϕ ) L t on teräksen ja betonin kimmokerroinsuhde E a / E cm lyhytaikaiselle kuormitukselle φ t on betonin virumaluku (standardin SFS-EN :2005 kohta 3.1.4) Ψ L on kuormituksen tyypistä riippuva virumisen tehokerroin, joka on: 1,10 pysyvien kuormien vaikutukselle 0,55 kutistuman vaikutuksille 1,50 tunkkaamalla jännittämisen vaikutuksille (5.4) Kutistumisen vaikutus voidaan ottaa yksinkertaisesti huomioon standardin SFS-EN :2005 liitteen C mukaan. Normaalibetonin vapaan loppukutistuman nimellinen loppuarvo on: 0,325 kuivissa ympäristöissä rakennuksen ulkopuolella ja sisäpuolella (ei liittopilarin sisällä) 0,200 muissa ympäristöissä ja liittopilarin sisällä Halkeilun mallintaminen liittopalkkien betonilaipoissa Jatkuvan liittopalkin jäykkyys muuttuu sen mukaan, onko poikkileikkaus halkeillut vai ei. Jatkuvan palkin välituella vedetty betonilaippa halkeilee helposti, minkä vuoksi palkin taivutusjäykkyys on tällä kohtaa pienempi verrattuna kentän keskikohtaan. Halkeamattoman poikkileikkauksen jäykkyys E a I 1 lasketaan olettaen teräksen kanssa liittorakenteena oleva betoni halkeilemattomaksi ja redusoimalla betonin pinta-alaa kimmokertoimien suhteella n. Halkeilleen tilan jäykkyyden laskennassa E a I 2 otetaan huomioon vain betoniraudoitus ja teräspalkin poikkileikkaus. Halkeilun vaikutus palkin välituella voidaan ottaa huomioon standardin SFS-EN :2005 kohdan (3) mukaan yksinkertaisesti (Kuva 5.13) niin, että 15 % matkalla jänteestä tuen molemmin puolin käytetään halkeilleen poikkileikkauksen jäykkyyttä E a I 2, ja muulla halkeilemattoman poikkileikkauksen jäykkyyttä E a I 1. Yksinkertaisen menettelyn edellytyksenä on, että seuraavat ehdot toteutuvat: rakenne on sivusiirtymätön palkkeja ei ole jännitetty betonilaippa on palkin päällä jatkuvassa palkissa vierekkäisten kenttien pituuksien suhteen tulee olla vähintään 0.6

16 16 Kuva Halkeilun vaikutus palkin jäykkyyteen: välituilla on haljennut poikkileikkaus E a I 2 ja muualla halkeilematon poikkileikkaus E a I 1. Esim. sivusiirtyvissä jäykkänurkkaisissa kehissä liittopalkin momenttipinta voi poiketa huomattavasti jatkuvan palkin momenttipinnasta. Edellä kuvattu yksinkertaistettu menetelmä on johdettu jatkuville palkeille, joissa on negatiivinen tukimomentti välituilla ja positiivinen kenttämomentti. Siksi yksinkertaistettu menettely ei sovellu palkkien jäykkyyksien määrittämiseen silloin, kun kyseessä on sivusiirtyvä kehä. Niille on käytettävä seuraavassa esitettyä yleisempää menetelmää. Mikäli yksinkertaista menettelyä ei voida käyttää, on taivutusjäykkyys palkin jänteen matkalla määritettävä standardin SFS-EN :2005 kohdan (2) mukaan iteroiden: Lasketaan ominaisyhdistelmiä vastaavat taivutusmomentin maksimi- ja minimiarvot standardin SFS-EN 1990:2002 kohdan mukaisesti. Laskennassa palkin poikkileikkaus oletetaan kauttaaltaan halkeilemattomaksi. Kuorman pitkäaikaisvaikutukset otetaan huomioon. Ne alueet, joissa betonin vetojännitys reunalla on vähintään kaksi kertaa f ctm, määritellään haljenneiksi poikkileikkauksiksi. Toistetaan ensimmäisen kohdan ominaisyhdistelmiä vastaavien voimasuureiden laskenta niin, että palkin haljenneiden poikkileikkauksien jäykkyys on E a I 2 ja halkeamattomien E a I 1. Edellisen kohdan haljenneen tilan tarkastelun perusteella määritellään uudelleen alueet, joissa betonin vetojännitys reunalla on vähintään kaksi kertaa f ctm. Iterointia jatketaan niin kauan, että voimasuurejakauma ei enää muutu (muutama kierros).

17 5.1.9 Halkeilu, kutistuminen ja viruminen liittopilareissa 17 Halkeilun, kutistuman ja viruman huomioon ottaminen liittopilareissa on suoraviivaisempaa kuin palkeissa. Standardin SFS-EN :2005 on kohdassa (2) annettu yksinkertaistettu taivutusjäykkyyden laskentakaava, jota voidaan käyttää kaksoissymmetrisille ja poikkileikkaukseltaan muuttumattomille liittopilareille. Määritettäessä voimasuureita tehollisen taivutusjäykkyyden arvo saadaan kaavasta (5.5): ( E I + E I K E I ) EI eff, ll = K o a a s s + e. ll missä: K o on kalibrointikerroin, jonka arvo on 0,9 K e,ll on korjauskerroin, jonka arvo on 0,5 E a I a on liittopilarin teräsosan taivutusjäykkyys E s I s E c I c cm c on liittopilarin betoniraudoituksen taivutusjäykkyys on liittopilarin halkeilemattoman betoniosan taivutusjäykkyys lyhytaikaisessa kuormituksessa (5.5) Kuorman pitkäaikaisvaikutukset otetaan huomioon käyttämällä edellä kaavassa (5.5) betonin kimmokertoimen E cm sijaan tehollista kimmokerrointa E c,eff, joka määritellään kaavassa (5.6): E c, eff missä: N Ed N G,Ed = E cm 1+ 1 ( N G, Ed / N Ed ) t ϕ on pilarin normaalivoiman mitoitusarvo on pysyvän kuorman osuus pilarin normaalivoiman mitoitusarvosta φ t on betonin virumaluku, jolla voidaan käyttää standardin SFS-EN :2005 kohdan (2) arvoja (arvot esitetty edellä käsiteltäessä palkin virumaa) (5.6) 5.2 Epätarkkuudet Kuormittamattomassa rakenteessakin on aina erilaista epätarkkuutta, joka on otettava huomioon koko rakenteen stabiliteetin tarkastelussa, laskettaessa voimasuureita ja tehtäessä yksittäisten rakenneosien mitoitusta. Tämä on kirjattu periaatevaatimuksena standardiin EN :2005 epätarkkuuksia käsittelevän kohdan 5.3. alkuun. Epätarkkuutta syntyy mm. seuraavista tekijöistä, jotka on otettava huomioon mitoituksessa: terässauvoihin valmistuksen yhteydessä syntyvät jäännösjännitykset rakenteen valmistuksen ja asentamistyön aikana syntyvät mittaepätarkkuudet, kuten poikkeama pystysuunnasta, poikkeama tasaisuudesta, käyryys, sovitusvirheet ja liitosten tahattomat epäkeskisyydet. Erityisesti hoikkien, toisen kertaluvun vaikutuksille alttiiden rakenteiden ja rakenneosien epätarkkuudet on määritettävä huolellisesti. Kun toisen kertaluvun vaikutuksia iteroidaan P- menetelmällä, on oikean alkuepätarkkuuden valinnalla ratkaiseva merkitys laskelmasta saatavan tuloksen oikeellisuuteen. Jos epäkeskisyydeksi annetaan nolla, niin P- -menetelmällä laskettaessa saadaan miten hoikka sauva tahansa (esim. pianolanka) kestämään aksiaalista puristusta tyssäyskestävyyden verran.

18 5.2.1 Kehän epätarkkuudet 18 Kuva Kehän ekvivalentti sivusiirtymä. Kehän epätarkkuudeksi on valittava kimmoteorian mukainen rakenneosan tai rakenteen nurjahdusmuoto, joka syntyy heikoimpaan suuntaan epäedullisimmassa muodossa. Yleensä rakenteen määräävin nurjahdusmuoto on nurjahdus kehän tasossa tai nurjahdus pois kehän tasosta. Joissain tapauksissa määräävin nurjahdusmuoto voi olla tästä poikkeava. Esim. jos rungon jäykistysjärjestelmän kiertojäykkyys on pieni, niin koko rakenteen määräävin nurjahdusmuoto voi olla rungon vääntönurjahdus (vrt. standardin EN :2005 kohta 5.3.2(10). Kokonaisanalyysissä tarvittavien kehien epätarkkuuksien osalta viitataan standardin EN :2005 kohtaan Kehän epätarkkuuksia ei tarvitse ottaa kokonaisanalyysissä huomioon, jos kehään kohdistuu pystykuormiin verrattuna huomattavan suuri vaakavoima (esim. tuuli), jonka rinnalla kehän epätarkkuuksista aiheutuvat ekvivalentit vaakavoimat ovat pienet. Kehän sivusiirtymiin liittyvät epätarkkuudet voidaan jättää huomioon ottamatta, kun: H Ed N Ed ( 5.7) Tavanomaisen tasokehän alkuvinous otetaan huomioon kehän jokaisessa lattia- ja kattotasossa vaikuttavalla ekvivalentilla vaakavoimalla H Ed : H Ed = φ N Ed Merkinnät: φ kaavan ( 5.9) mukainen alkuvinous (ks. Kuva 5.14) N Ed Pilarin puristavan normaalivoiman mitoitusarvo ( 5.8) φ = φ 0 α h α m Merkinnät: φ 0 on perusarvo: Ø 0 = 1/200 α h on pilareihin sovellettava korkeuden pienennystekijä on pienennystekijä, joka ottaa rivissä olevien pilarien lukumäärän α m ( 5.9)

19 19 α h 2 2,mutta α h 3 = h 1 h α m m on rakenteen korkeus metreinä 1 = 0,5 1 + m on niiden rivissä olevien pilarien lukumäärä, joiden kantama pystysuuntainen kuorma NEd on vähintään 50 % tarkasteltavassa pystysuuntaisessa tasossa olevan pilarin keskimääräisestä kuormasta Kehän kokonaistarkastelussa käytettävät rakenneosan epätarkkuudet Koko tasokehän kokonaistarkastelussa ei yksittäisen puristetun sauvan epätarkkuuksia tarvitse ottaa huomioon silloin, kun kehärakenteelle voidaan käyttää lineaarista analyysiä. Lineaarisen analyysin käyttö on mahdollista, kun kehärakenne on sivusiirtymätön. Sivusiirtymättömyys on määritelty edellä kohdan mukaisesti. Kun kerroin α 10, niin rakenne on sivusiirtymätön. Sivusiirtyvän kehärakenteen tapauksessa (kerroin α < 10) kehän muuttuneen geometrian vaikutukset on otettava huomioon aina kokonaisanalyysissä. Tämä tarkoittaa sitä, että koko kehärakenteen sivusiirtymä on otettava huomioon, kun voimasuureita lasketaan P- menetelmällä. Tämän lisäksi kokonaisanalyysissä on otettava huomioon myös yksittäisen puristetun sauvan epätarkkuudet, jos rakenneosa on tarpeeksi hoikka. Käytettäessä toisen kertaluvun analyysiä voidaan rakenneosien epätarkkuus jättää huomioon ottamatta, jos kaavan ( 5.10) mukainen ehto toteutuu: λ 0,5 N pl. Rk N Ed Merkinnät: λ on standardin SFS-EN :2005 kohdan mukainen suhteellinen hoikkuus, kun rakenneosa oletetaan päistään nivelelliseksi N on normaalivoiman mitoitusarvo Ed N. on standardin SFS-EN :2005 kohdan mukainen plastinen pl Rk puristuskestävyys Käytettäessä toisen kertaluvun analyysiä rakenneosan epätarkkuus voidaan jättää huomioon ottamatta aina silloin, kun puristettu sauva on nivelöity molemmista päistään (vrt. standardin SFS-EN :2005 kohta 5.3.2(6)). Nivelpäisen pilarin päissä tapahtuvilla kiertymillä ei ole vaikutusta muun kehän muodonmuutoksiin. ( 5.10)

20 20 a) b) c) Tapaus a) Tapaus b) Tapaus c) Sivusiirtyvä kehä, jolle α < 10. Nivelpäisinä tarkasteltavien pilarien suhteellinen hoikkuus täyttää kaavan ( 5.10) ehdon, joten koko kehän voimasuureiden laskennassa (P- analyysissä) ei tarvitse ottaa huomioon puristettujen rakenneosien epätarkkuuksia (alkukäyryys). Sivusiirtyvä kehä, jolle α < 10. Nivelpäisinä tarkasteltavien pilarien suhteellinen hoikkuus ei täytä kaavan ( 5.10) ehtoa, joten koko kehän voimasuureiden laskennassa (P- analyysissä) on otettava huomioon puristettujen rakenneosien epätarkkuus (alkukäyryys). Sivusiirtymätön kehä, jolle α 10. Puristettujen rakenneosien epätarkkuutta (alkukäyryys) ei tarvitse ottaa huomioon kehän kokonaistarkastelussa. Kokonaistarkastelu voidaan tehdä kimmoteorian mukaan. Kuva Rakenneosien epätarkkuuksien huomioon ottaminen kehän kokonaistarkastelussa.

21 Puristettujen rakenneosien epätarkkuudet Liittopilarien ja liittorakenteisten puristussauvojen alkukäyristymän muotoisten epätarkkuuksien mitoitusarvot on annettu standardin SFS-EN :2005 taulukossa 6.5, josta on poimittu tyypillisimmät tapaukset seuraavaan (Kuva 5.16). Kuvassa raudoitussuhde ρ s on raudoituksen pinta-alan suhde betonin pinta-alaan. Poikkileikkaus pyöreä tai suorakaiteen muotoinen Raudoitussuhteen rajaarvot Nurjahdusakseli Nurjahduskäyrä Pilarin vinous tai alkukäyryys ρ s 3 % mikä tahansa a L/300 3 % < ρ s 6 % mikä tahansa b L/200 Kuva Esimerkkejä standardin SFS-EN :2005 mukaisista puristettujen liittorakenteiden epätarkkuuksista. Puristettujen teräsosien epätarkkuudet otetaan huomioon standardin SFS-EN :2005 mukaisesti. Terässauvan nurjahduskestävyyttä laskettaessa epätarkkuuksien vaikutukset sisältyvät nurjahduskestävyyden kaavoihin Liittopalkkien epätarkkuudet Poikittaissuunnassa tukemattomien liittopalkkien epätarkkuuksien vaikutukset sisältyvät kiepahduskestävyyksien kaavoihin standardissa SFS-EN : Liitosten sovitusvirheet ja asennustoleranssit Edellisessä kohdassa (Kuva 5.16) esitetyt eurooppalaisten nurjahduskäyrien mukaiset epätarkkuudet perustuvat laajoihin teräspilareilla tehtyihin kokeisiin, joiden tulokset on julkaistu aikoinaan ECCS:n toimesta. Nämä alkukäyryyden arvot on valittu niin, että koetulokset on saatu vastaamaan laskettuja nurjahduskestävyyksiä (Kouhi). Teräspilareille johdetuissa eurooppalaisissa nurjahduskäyrissä on otettu huomioon koetilanteessa esiintyneet epätarkkuudet: alkukäyryys, kuorman epäkeskisyys ja alkujännitykset (ESDEP, luento 7.5.2). Nämä vaikutukset sisältyvät siis nurjahduskestävyyden kaavoihin.

22 22 Kuva Esimerkkejä standardissa SFS-EN :2008:en esitetyistä toleransseista. Kuvassa h on pilarin korkeus. Liitosten sovitusvirheet ja asennustoleranssien vaikutukset tulee ottaa huomioon rakenneanalyysissä (SFS-EN 1990:2002). Kokemus on osoittanut, että tahattomat epäkeskisyydet voivat olla tavanomaisessa liittorungossa huomattavastikin suurempia verrattuna teräspilarien kuormituskokeissa olleisiin epäkeskisyyksiin. Tämän vuoksi mitoituksessa tulisi varautua nurjahduskäyriin sisällytettyjen epäkeskisyyksien lisäksi tahattomiin, käytännön rakentamisessa syntyviin epäkeskisyyksiin. Turvallinen tapa esim. liittopilarien mitoituksessa on lisätä aina rakenneosalle epäkeskisyys, joka vastaa reilusti standardissa SFS-EN :2008 on määritettyjä toleransseja teräsrakenteiden valmistusta ja asentamista varten. Oheisessa kuvassa on esimerkkinä joitakin toleransseja (Kuva 5.17). Yleensä reilumpiin toleransseihin varautuminen ei lisää montaakaan prosenttia kustannuksia, mutta rakenteen vikasietoisuus paranee. Edellä on tarkasteltu toleransseista aiheutuvia epätarkkuuksia, jotka on otettava huomioon rakenteen kokonaistarkastelussa ja rakenneosan mitoituksessa. Liittorakenteiden liitoksissa on lähes aina epäkeskisyyksiä, jotka on otettava mitoituksessa huomioon. Rakenteen mitoituksen kannalta liitosten epäkeskisyydet ovat yleensä huomattavasti merkittävämpi tekijä kuin toleransseista johtuvat epätarkkuudet. Esimerkiksi liittopalkin ja pilarin liitoksessa voi epäkeskisyys olla tyypillisesti mm, kun taas toleransseista johtuvat epätarkkuudet ovat mm (kerroskorkeus mm).

23 23 Kuva Esimerkkejä liitosten epäkeskisyyksistä, jotka on otettava aina huomioon kehän ja rakenneosien rakenneanalyysissä. 5.3 Rakenteiden stabiilius Stabiilius riippuu rakenteen kuormituksesta ja rakenteen jäykkyydestä. Tutkittaessa kehärakenteen alttiutta sivusiirtymistä aiheutuville vaikutuksille apuna käytetään α kerrointa, joka on määritelty seuraavasti: F α = F Ed Merkinnät: F F Ed on kimmoiseen alkujäykkyyteen perustuva kimmoteorian mukainen kehän kriittinen kuorma, joka vastaa rakenteen kokonaisstabiiliuden menetystä on kehän mitoituskuorma ( 5.11) Kun palkkien tai kattopalkkien aksiaalinen puristusvoima ei ole merkittävä, voidaan kerroin α laskea standardissa SFS-EN :2005 annetulla likiarvokaavalla seuraaville rakenteille: Portaalikehät, joissa on pieni kattokaltevuus Sivusiirtyvät pilari-palkki-tyyppiset tasokehät Standardin SFS-EN :2005 kohdan 5.2.1(4)B mukaan portaalikehän kattokaltevuus on pieni, jos se on enintään 1:2 (26 ). Samassa kohdassa 5.2.1(4)B esitetään raja myös palkkien ja kattopalkkien merkittävälle normaalivoimalle. Liittorakenteisen kehän osalta nämä ehdot eivät tule kovin helposti määrääviksi Edellisen listan mukaisille kehärakenteille α saadaan laskettua jokaiselle kerrokselle erikseen kaavasta (5.12). Kaavan merkinnät on esitetty alla (Kuva 5.19).

24 H Ed α = V Ed Merkinnät: H Ed V Ed δ H,Ed h h δ H, Ed 24 (5.12) on tarkasteltavassa kerroksessa pilarien yläpäihin vaikuttavien vaakasuuntaisten kuormien ja vaakasuuntaisten korvausvoimien summa on tarkasteltavassa kerroksessa pilarien alapäihin vaikuttavien pystysuuntaisten kuormien summa tarkasteltavassa kerroksessa pilarin ylä- ja alapään vaakasiirtymien ero, kun koko kehää kuormittavat vaakasuuntaiset kuormat ja vaakasuuntaiset korvausvoimat tarkasteltavassa kerroksessa pilarin korkeus Kuva Merkinnät likimääräistä α laskentakaavaa varten. Edellä lasketun α kertoimen perusteella selviää, vaaditaanko rakenteelle toisen kertaluvun P- vaikutukset huomioon ottava laskentamenetelmä, vai riittääkö pelkästään lineaarinen, kimmoteorian mukainen analyysi. Riippuen kertoimen α suuruudesta on valittavana seuraavat kolme menettelyä. Jos kerroin α 10, niin kehän mitoituskuorman suhde kehän kriittiseen kuormaan on niin suuri, että toisen kertaluvun P- -vaikutuksia ei tarvitse ottaa huomioon. Voimasuureiden laskenta voidaan tehdä tällöin pelkästään kimmoteorian mukaan. Mikäli 3 α < 10, voidaan toisen kertaluvun vaikutukset ottaa huomioon standardissa SFS-EN :2005 kohdassa 5.2.2(6)B esitettävällä tavalla. Toisen kertaluvun vaikutukset voidaan ottaa välillisesti huomioon kertomalla kaikki rakenteeseen vaikuttavat vaakasuuntaiset kuormat (esim. tuulikuormat ja epätarkkuuksista aiheutuvat ekvivalentit vaakakuormat ØV Ed ) kaavan ( 5.13) suurennuskertoimella. Tämän jälkeen kehän voimasuureet ja siirtymät lasketaan lineaarisella analyysillä, jossa pystykuormat ovat alkuperäiset ja vaakakuormat on kerrottu kaavan ( 5.13) suurennuskertoimella α ( 5.13)

25 25 Kaava ( 5.13) soveltuu aina yksikerroksiselle kehän pystykuormista V Ed aiheutuvien toisen kertaluvun vaikutusten huomiointiin. Monikerroksisissa kehissä kaavaa voidaan käyttää, kun kaikissa kerroksissa on samanlainen: pystysuuntaisten kuormien jakautuminen vaakasuuntaisten kuormien jakautuminen kehän jäykkyys on jokaisessa kerroksessa suhteessa siinä vaikuttaviin leikkausvoimiin Mikäli α < 3, toisen kertaluvun on otettava huomioon tarkemmilla menetelmillä, esim. jollain kaupallisella laskentaohjelmistolla tai P- menetelmällä iteroiden. Kirjallisuudessa erotellaan P- ja P-δ -vaikutukset seuraavasti (ks. kuva alla): Rakenneosan toisen kertaluvun vaikutuksille käytetään merkintää P-δ Kehän toisen kertaluvun vaikutuksille käytetään merkintää P- Kuva P- ja P-δ vaikutukset. Tekijällä α otetaan huomioon P- vaikutukset. P-δ vaikutukset otetaan huomioon puristettujen sauvojen mitoituskaavoissa. 5.4 Voimasuureiden laskenta Kehän voimasuureet voidaan kuitenkin laskea standardin SFS-EN :2005 mukaisesti neljällä eri menetelmällä (Johnson, R.P. & Anderson, D.): lineaarinen kimmoteorian mukainen analyysi, jossa ei sallita palkkien ja kehien taivutusmomenttien rajallista jakautumista uudelleen (ei tehdä momenttipinnan siirtoa jatkuville palkeille). lineaarinen kimmoteorian mukainen analyysi, jossa sallitaan palkkien ja kehien taivutusmomenttien rajallinen jakautuminen uudelleen (tehdään momenttipinnan siirto jatkuville palkeille). Epälineaarinen analyysi, jossa otetaan huomioon materiaalin epälineaarisuuden vaikutukset ja rakenteen muuttuneen geometrian vaikutukset (toisen kertaluvun P- vaikutukset) Jäykkäplastinen kokonaistarkastelu murtorajatilassa, jos standardin SFS-EN :2005 kohdassa mainitut lukuisat ehdot täyttyvät. Tukien painuminen on SFS-EN :2005 kohdan 5.1.3(1)P mukaan otettava huomioon, jos tukien painuminen vaikuttaa siirtymätilaan merkittävästi. Staattisesti määrätyn rakenteen (Kuva 5.2 a) voimasuureisiin ei tukien painumisella ole vaikutusta.

26 Kuva Kehän kokonaistarkastelun vuokaavio. Kuvassa esitetyt viittaukset on tehty standardiin SFS-EN :2005, ellei muuta ole merkitty. (Johnson, R.P. & Anderson, D.) 26

27 5.4.1 Lineaarisen kimmoteorian mukainen analyysi 27 Liittorakenteisen kehän voimasuureet lasketaan lähes aina käyttäen kimmoteoriaa. Usein valitaan sellainen rakennejärjestelmä, jonka analyysi voidaan tehdä lineaarisen kimmoteorian mukaisesti. Kimmoteorian mukainen analyysi voidaan tehdä kun: rakenne on sivusiirtymätön (kerroin α 10) rakenne on sivusiirtyvä, mutta sivusiirtyvyyden vaikutukset voidaan ottaa huomioon kaavan ( 5.13) mukaisella suurennuskertoimella (kerroin 3 α < 10) lineaarinen kimmoteorian mukainen analyysi, jossa sallitaan palkkien ja kehien taivutusmomenttien rajallinen jakautuminen uudelleen (tehdään momenttipinnan siirto jatkuville palkeille). Analyysin vaiheet on esitetty edellä vuokaaviona (Kuva 5.21) ja siinä otetaan huomioon: rakenteen epätarkkuudet liitosten jäykkyys shear lag ilmiö palkeissa viruminen ja kutistuminen betonin halkeilu rakentamisvaiheiden vaikutukset (paitsi silloin jos kaikki osat kuuluvat poikkileikkausluokkaan 1 ja 2 ja kun kiepahdusta ei tarvitse tarkastaa) lämpötilan vaikutus esijännityksen vaikutukset Lineaarinen kimmoteorian mukainen analyysi, jossa taivutusmomenttien rajallinen uudelleen jakaminen sallitaan Momenttipinnan muuttaminen on ollut pitkään tuttua mitoitettaessa jatkuvia palkkeja plastisuusteorian mukaan. Myös standardi SFS-EN :2005 sallii taivutusmomenttipinnan uudelleenjakamisen rajallisesti, kun rakenne täyttää tietyt ehdot. Seuraavan listan mukaisissa tapauksissa taivutusmomenttien uudelleen jakaminen ei ole sallittua (Johnson, R.P. & Anderson, D.): rakenne on tarkasteltava toisen kertaluvun P- vaikutukset huomioon ottavalla menetelmällä (rakenne on esimerkiksi sivusiirtyvä kehä) rakenteelle tehdään väsymistarkasteluja tai mitoitusta käyttörajatilassa rakenne on sivusuunnassa tukematon (ks. Kuva 5.3). rakennuksessa käytetään osittain jäykkiä tai osittain lujia liitoksia rakennuksessa käytetään osittain betonilla täytettyjä (I tai H) palkkeja, joiden kiertymiskyky ei ole riittävä palkin korkeus muuttuu jänteen matkalla palkeissa käytetään lujaa terästä (f y > 355 MPa) ja poikkileikkausluokassa 3 tai 4 palkissa kiepahduskestävyys on määräävä (suositeltava hoikkuusraja on λlt 0. 4 kuumavalssatuilla ja λlt 0. 2 hitsatuille poikkileikkauksille). Kun hoikkuus täyttää ehdon,niin palkin kiepahduskestävyyttä ei standardin SFS-EN :2005 kohdan mukaan tarvitse tutkia) Kun yllä olevan listan mukaiset ehdot eivät rajoita, niin palkin kimmoteorian mukaisia momentteja voidaan muuttaa. Kun palkki kuuluu poikkileikkausluokkaan 1 tai 2, niin taivutusmomentteja voidaan tuella kasvattaa seuraavasti: 10%, kun on käytetty halkeilemattoman tilan tarkastelua 20% kun on käytetty halkeilleen tilan tarkastelua

28 28 Kun teräksen lujuus on enintään 355 MPa, niin taivutusmomentteja uudelleen jaettaessa palkin tuella (negatiivisia momentteja) voidaan pienentää seuraavan taulukon mukaisesti. Taulukko 5.2. Negatiivisen momentin uudelleen jakamisen ylärajat prosentteina Palkin poikkileikkausluokka negatiivisen momentin alueella Halkeilemattoman tilan analyysissä Halkeilleen tilan analyysissä PL 1 PL 2 PL 3 PL Jos liittorakenteiden palkin poikkileikkausluokka on 3 tai 4, niin edellisiä arvoja (Taulukko 5.2) voidaan käyttää vain muutettaessa liittorakenneosan momentteja. Teräspoikkileikkauksen momentteja ei jaeta uudelleen. Jos käytetään lujempaa terästä kuin S355, niin taivutusmomenttipintaa voidaan siirtää vain jos kaikki osat kuuluvat poikkileikkausluokkaan 1 tai 2. Ellei suurempaa kiertymiskykyä osoiteta, saa suurimpia negatiivia momentteja pienentää seuraavasti: 30%, kun on käytetty halkeilemattoman tilan tarkastelua 15% kun on käytetty halkeilleen tilan tarkastelua Epälineaarinen kokonaistarkastelu Epälineaariseen kokonaistarkasteluun annetaan standardissa SFS-EN :2005 niukasti ohjeita. Periaatesäännöissä todetaan vain, että leikkausliitoksen toiminta ja rakenteen muuttunut geometria tulee ottaa huomioon. Epälineaarista tarkastelua voidaan käyttää standardin SFS-EN :2005 kohdan 5.7 ja standardin SFS-EN :2005 kohdan yleisluontoisten ohjeiden mukaisesti. Epälineaarinen analyysi voi olla joko: geometrisesti epälineaarinen, mutta materiaalin suhteen lineaarinen analyysi. Analyysissä muuttuva siirtymätila otetaan huomioon, mutta materiaalimalli kimmoteorian mukainen, joten analyysi soveltuisi hyvin hoikan ja kevyesti kuormitetun rakenneosan toisen kertaluvun P- vaikutuksien tutkimiseen. materiaalin suhteen epälineaarinen, mutta geometrian suhteen lineaarinen analyysi. Soveltuu massiivisten rakenteiden (ei-hoikka) analysointiin, koska materiaalin oikea jännitysvenymä-kuvaaja otetaan huomioon, mutta rakenteen geometrian muutoksia ei oteta huomioon. geometrisesti epälineaarinen ja materiaalin suhteen epälineaarinen analyysi. Menetelmällä laaja käyttöalue, koska analyysissä otetaan huomioon materiaalin todellinen jännitys-venymäkuvaaja sekä muuttunut geometria. Tavanomaisessa rakennesuunnittelussa epälineaarista kokonaistarkastelua ei tehdä rakenteelle juuri koskaan, koska laskentamallin tekeminen analyysiä varten on vaativaa ja aikaa vievää. Menetelmä on kuitenkin hyödyllinen tutkimus- ja kehitystoiminnassa. Käytännön

29 rakennesuunnittelussa materiaalin ja geometrian suhteen epälineaarisia analyysejä tehdään lähinnä vain teräsliitoksille ja rakenneosille Jäykkäplastinen kokonaistarkastelu Standardin SFS-EN :2005 kohta käsittelee jäykkäplastista kokonaistarkastelua, jota voidaan käyttää kehärakenteiden analysointiin murtorajatilassa, kun kehärakenne ei ole altis toisen kertaluvun P- vaikutuksille (sivusiirtymätön, sivusuunnassa tuettu kehä). Pilareihin ei plastisia niveliä saa yleensä syntyä. Jotta plastisia niveliä voi muodostua rakenteeseen, tulee palkkien täyttää seuraavat vaatimukset: rakenneteräksen lujuus on enintään S355 laippojen välissä mahdollisesti olevaa betonia ei oteta huomioon kaikki plastiset nivelet kuuluvat poikkileikkausluokkaan 1 ja muut alueet luokkaan 1 tai 2 jokaisella palkin ja pilarin välisellä liitoksella on riittävä kiertymiskyky tai vaihtoehtoisesti liitoksen kestävyys 1.2-kertainen verrattuna liittyvän palkin plastisuusteorian mukaiseen taivutuskestävyyden mitoitusarvoon vierekkäisten kenttien jännemitat poikkeavat enintään 50 % lyhyemmästä reunakenttien jännemitta on enintään 115 % viereisen kentän jännemitasta keskitettyjen kuormien kohdalla kentässä tulee palkin venymätilan olla sellainen, ettei betoni murskaannu liian isojen muodonmuutosten vuoksi mikäli plastisten nivelten lähellä tarvitaan sivuttaistuentaa, saa se olla enintään palkin korkeuden päässä nivelestä puristetun teräslaipan poikittainen siirtymä on estetty plastisen nivelen kohdalla Muita ehtoja jäykkäplastisen teorian käytölle on: kaikki kehän rakenneosat ovat teräs- tai liittorakenteisia teräsmateriaali täyttää standardin SFS-EN :2005 sitkeysvaatimukset: f u / f y 1.1, murtovenymä vähintään 15 % ja kokonaistasavenymän tulee olla vähintään 15 kertaa myötövenymää suurempi teräspoikkileikkaukset täyttävät plastisuusteorian mukaisen kokonaistarkastelun asettamat vaatimukset, jotka on esitetty standardin SFS-EN :2005 kohdassa 5.6 liitoksilla tulee olla riittävä kiertymiskyky, jotta ne saavuttavat plastisuusteorian mukaisen taivutuskestävyytensä. Jos edellä listatut ehdot täyttyvät, niin jäykkäplastinen kokonaistarkastelu voidaan tehdä nk. vaiheittaisena analyysinä. Laskentaan rakenteen voimasuureet tavallisella tasokehäohjelmalla seuraavasti: lasketaan tasokehän voimasuureet kimmoteorian mukaisesti. etsitään se rakenneosa, jossa saavutetaan ensin plastisuusteorian mukainen taivutuskestävyys (= ensimmäinen plastinen nivel) lisätään rakennemalliin ensimmäisen plastisen nivelen kohdalle nivel, jossa vaikuttaa plastisen taivutusmomentin suuruinen pistemomentti nivelen kummallakin puolella. kasvatetaan kuormaa ja lasketaan kehän voimasuureet uudelleen kimmoteorian mukaan (nyt mallissa yksi plastinen nivel). etsitään seuraava rakenneosa, jossa saavutetaan toisena plastisuusteorian mukainen taivutuskestävyys (= toinen plastinen nivel) lisätään rakennemalliin toisen plastisen nivelen kohdalle nivel ja pistemomentit, kuten edellä Jatketaan iteraatiota niin kauan, kunnes rakennemalli muuttuu mekanismiksi.

30 30 Edellä kuvatulla menettelyllä saadaan selville rakenteen plastisuusteorian mukainen rajakuorma. Menetelmän etuna on se, että samalla saadaan selville plastisten nivelten muodostumisjärjestys. Haittapuolena on työläys, tosin rutiini on useissa FEM-ohjelmissa automatisoitu (Leino). 5.5 Poikkileikkausten luokitus Poikkileikkausten luokittelulla tarkoitetaan liittorakenteeseen kuuluvien teräsosien puristettujen osien hoikkuutta. Teräsrakenteen poikkileikkaus luokitellaan neljään poikkileikkausluokkaan sen perusteella, miten alttiita puristetut poikkileikkauksen osat ovat stabiiliuden menetykselle. Poikkileikkausluokkia (PL1, PL2, PL3 ja PL4) voidaan kuvata seuraavasti: PL1:ssa poikkileikkaus kykenee plastisoitumaan ja poikkileikkaukseen voi muodostua plastinen nivel, ilman että poikkileikkaus lommahtaa. Taivutuskestävyys M pl,rd. PL2:ssa poikkileikkaus kykenee plastisoitumaan, ilman että poikkileikkaus lommahtaa. Poikkileikkaukseen ei kuitenkaan voi muodostua plastista niveltä. Taivutuskestävyys M pl,rd. PL3:ssa poikkileikkauksen reunajännitys voi saavuttaa myötölujuuden, ilman että mikään osa lommahtaa. Poikkileikkaus ei voi kuitenkaan plastisoitua. Taivutuskestävyys M el,rd. PL4:ssa poikkileikkaus lommahtaa jo ennen kuin reunajännitys saavuttaa myötölujuuden. ilman että mikään osa lommahtaa. Taivutuskestävyys < M el,rd. Kuva Poikkileikkausluokat 1, 2, 3 ja 4. Rakenneanalyysin yksinkertaistamiseksi tulisi pyrkiä siihen, että kaikki liittopalkkien teräsosat kuuluvat poikkileikkausluokkaan 1 tai 2. Standardin SFS-EN :2005 mukaisessa luokittelussa noudatetaan hyvin pitkälti teräsrakenteiden sääntöjä ja kohdan periaatesäännössä viitataan standardin SFS-EN :2005 kohtaan Mikäli luokkien 1 tai 2 poikkileikkaus on negatiivisen momentin alueella (esim. välituella), tulee pintalaatan raudoituksen olla riittävän sitkeää. Lisäksi vedetyssä laipassa tulee olla raudoitusta vähintään standardin SFS-EN :2005 kohdan 5.5.1(5) mukainen määrä. Liittorakenteiden poikkileikkausten luokitteluun annetaan standardissa SFS-EN :2005 myös joitain ohjeita, joita on listattu alla (Kuva 5.23).

31 31 A) Jos palkin puristettu laippa on kiinnitetty leikkausliittimillä riittävän hyvin yläpuoliseen betonilaippaan, voidaan laipan katsoa kuuluvan poikkileikkausluokkaan 1. Liittimien etäisyys pitää olla vähintään standardissa SFS-EN :2005 kohdassa määritellyn suuruinen. B) Jos liittopalkin poikkileikkauksessa laipat kuuluvat luokkaan 1 tai 2 ja uuma kuuluu poikkileikkausluokkaan 3, niin voidaan uuma luokitella luokkaan 2 käyttämällä tehollista uumaa standardin SFS-EN :2005 kohdan 5.5.2(11) mukaan. Tehoton uuman alue on se, joka on etäämpänä kuin 20εtw neutraaliakselista tai puristetusta laipasta. C) Jos liittopalkin poikkileikkauksessa laipat kuuluvat luokkaan 1, 2 tai 3 ja uuma kuuluu poikkileikkausluokkaan 4, niin standardin SFS-EN :2005 kohdan 5.5.2(12) mukaan poikkileikkausluokka voidaan määrittää pelkkien laippojen perusteella luokkaan 2 tai 3, jos uumaa ei huomioida lainkaan taivutuskestävyyden laskennassa. Uuma mitoitetaan tällöin pelkästään leikkausvoimalle. D) Käytettäessä liittopalkkina H tai I-profiilia, jonka laippojen väli on betonoitu ja raudoitettu, voidaan poikkileikkausluokkaan 3 kuuluva uuma käsitellä poikkileikkausluokan 2 mukaan, jos SFS-EN :2005 kohdan ehdot toteutuvat Kuva Erikoistapauksia poikkileikkausluokan määrittämisessä.

32 32 Lähdeluettelo Johnson, R.P. & Anderson, D., 2004, Designers guide to EN : Eurocode 4: design of composite steel and conete structures. Part 1.1: General rules and rules for buildings. 1 st ed. London: Thomas Telford Limited. Kouhi, J.,2009, Eurocode 3 Käsikirja EN Versio Käsikirjoitus. Malaska, M., Dissertation, Behaviour of a Semi-Continuous Beam-Column Connection for Composite Slim Floors. Helsinki University of technology, Civil and Environmental Engineering. ESDEP TYÖRYHMÄ 7: TERÄSRAKENNEOSAT Luento 7.5.2:Pilarit II SFS-EN :2008:en Suomen standardoimisliitto SFS SFS-EN 1990:2002 Suomen standardoimisliitto SFS SFS-EN :2002 Suomen standardoimisliitto SFS SFS-EN :2005 Suomen standardoimisliitto SFS SFS-EN :2005 Suomen standardoimisliitto SFS SFS-EN :2007 Suomen standardoimisliitto SFS SFS-EN :2005 Suomen standardoimisliitto SFS SFS-EN :2005 Suomen standardoimisliitto SFS Tapio Leino, kommentti, L.Gardner & D A Nethercot, Designers Guide to EN General Rules and Rules for Buildings. 1 st ed. London: Thomas Telford Limited.

33 Esimerkki 1. Toisen kertaluvun vaikutukset kehärakenteen mitoituksessa. 33 Kehärakenteen sauvat ja kuormat. Ylinnä alkuperäinen liittopilarin D406x8 + 8T20 poikkileikkaus, joka voidaan muuttaa taivutusjäykkyydeltään likimäärin vastaavaksi pyöreäksi teräsputkeksi D355x16 tai HEpoikkileikkaukseksi HEB 300, jotka on helpompi syöttää laskentaohjelmiin.

34 34 Kehärakenteen sauvat ja kuormat. Lasketaan kehän ekvivalentti alkuepätarkkuus Φ, kun h = 10 m ja m = 3. Lisävaakavoimaksi saadaan H Ed =2.5kN. φ = φ α α φ = 1 0 α = h 1 α m = 0,5 1 + m φ = 1/ 367 H Ed 0 h m 200 2, mutta h 2 3 α 1 = 1/ m 33kN / m = 2.5kN h Lasketaan kehänurkan ensimmäisen kertaluvun mukainen vaakasiirtymä murtorajatilassa δ H, Ed = 93, 3 mm

35 35 Solmupisteiden siirtymät ensimmäisen kertaluvun mukaan Nr x-siirt y-siirt kiert Lasketaan pilarien 1, 2 ja 3 pystytukireaktioiden summa MRT:ssa V Ed ( V Ed = ( ) = 2 14m 33kN / m = 924kN) kn = 924kN Leikkausvoimajakauma

36 36 Lasketaan pilarien yläpäässä vaikuttava vaakavoima murtorajatilassa H Ed = m 4kN / m + m 2kN / m + 2.5kN = 32. 5kN 2 2 Tarkastetaan voidaanko tekijä palkin hoikkuus: α laskea SFS-EN kohdan 5.2.1(4)B likikaavalla. Lasketaan N I, y, beam y, beam EI 2 y, beam = π 2 l 6 = mm palkin pinta ala Á 4 = = 1.41< N l = 12000mm palkinpuristava normaalivoima N λ \ y > = Á N beam f y, y, beam beam = 21200mm beam Ed, beam Ed, beam = 22200N = 5.52 \ yksinkertaista likikaavaa saa käyttää, koska λ Á N 2 f y y = 1.41< 5.52 Rakenteen oltava palkki-pilarikehä, jossa kattokaltevuus enintään 12 (tässä tapauksessa 0 ) Jos ehto ei täyty, niin palkin nurjahdus on otettava huomioon -> likikaavaa ei voi käyttää tekijän laskemisessa Lasketaan SFS-EN kohdan 5.2.1(4)B likikaavalla tekijä α α α H = V Ed Ed h δ H, Ed 32,5kN 10000mm = = kN 93,3mm Lasketaan vertailun vuoksi tekijä α numeerisesti Robot RSA 2010 ohjelmistolla laskettu kehän ensimmäinen nurjahdusmuoto, jolleα = Vaakavoimien suurennuskerroin lasketaan tämän kehän alimman nurjahdusmuodon mukaan.

37 37 Robot RSA 2010 ohjelmistolla laskettu toinen nurjahdusmuoto, jolle α = Tämä on esimerkki siitä, miten kehän nurjahdusmuoto ja keskipilarin nurjahdusmuoto esiintyvät samassa ominaismuodossa. Koska tässä 3 α < 10, on toisen kertaluvun rasitukset otettava huomioon kehän mitoituksessa kertomalla kaikki vaakavoimat suurennuskertoimella α 1 = = 1,36 Kuvassa tekijää α = vastaavalla suurennuskertoimella 1.36 kerrotut vaakakuormat. Kuvan kuormituksilla voidaan laskea lopulliset, mitoittavat voimasuureet, joissa toisen kertaluvun vaikutukset on otettu huomioon

38 38 Taivutusmomenttipinta, kun toisen kertaluvun vaikutukset on otettu huomioon Leikkausvoimapinta, kun toisen kertaluvun vaikutukset on otettu huomioon Normaalivoimapinta, kun toisen kertaluvun vaikutukset on otettu huomioon

39 39 Esimerkki 2. Kertoimen α määrittäminen monikerroskehälle Tarkastellaan kertoimen α määrittämistä kuvan mukaiselle tasokehälle. Tasokehän pilarit HE300B ja palkit HE550A. Mitat ja kuormitukset kuvan mukaisesti. Lasketaan aluksi kehälle voimasuureet ja siirtymät käsin tai käyttäen sopivaa laskentaohjelmaa: Tasokehän siirtymäkuvaaja murtorajatilassa.

40 40 Tasokehän normaalivoimajakauma murtorajatilassa. Tasokehän leikkausvoimajakauma murtorajatilassa.

41 41 Tasokehän taivutusmomenttijakauma murtorajatilassa. Lasketaan kerroin α H = V Ed Ed h δ Lasketaan kerroin α H = V Ed Ed α H, Ed h δ Lasketaan kerroin α H = V Ed Ed α H, Ed h δ α H, Ed alimmalle 1. kerrokselle: 180kN 4000mm = = 17, kN 8,62mm keskimmäiselle 2. kerrokselle: 120kN 8000mm = = 7, kN 41,9 mm ylimmälle 3. kerrokselle: 40kN 8000mm = = 12, kN 16,4mm Seuraavassa taulukossa on esitetty likikaavalla lasketut sivusiirtyvyyden arvot ja verrattu niitä FEMohjelmalla tehtyyn ominaisarvoanalyysiin. Havaitaan että tässä tapauksessa likikaavan antama tulos poikkesi aina alle 10% verrattuna ominaisarvoanalyysiin. Tässä tapauksessa sivusiirtyvyyden vaikutus kehän voimasuureisiin voidaan ottaa huomioon kertomalla kaikki vaakakuormat suurennuskertoimella: 1 α = 1 1 α 1 = = 1,18

42 42 Taulukko. Likikaavalla ja ominaisarvoanalyysillä laskettu sivusiirtyvyys esimerkkikehälle 3krs 2krs 1krs delta_ed m h m H_Ed kn V_Ed kn Likikaavalla laskettu sivusiirtyvyys alfa_ FEM-mallin tehty ominaisarvoanalyysi alfa_ ero 7 % 8 % 2 %

43 43 Esimerkki 3. Toimiiko α likikaava aina? α H = V Ed Ed h δ H, Ed 32,5kN 10000mm = = kN 93,3mm Robot RSA 2010 ohjelmistolla laskettu kehän ensimmäinen nurjahdusmuoto, jolleα = Autodesk Mechanical simulation 2013 ohjelmistolla laskettu kehän ensimmäinen nurjahdusmuoto, jolleα =

44 44.. Autodesk Mechanical simulation 2013 ohjelmistolla laskettu kehän ensimmäinen nurjahdusmuoto, jolleα =

45 45.. Autodesk Mechanical simulation 2013 ohjelmistolla laskettu kehän ensimmäinen nurjahdusmuoto, jolleα = Voidaan arvioida, että likikaavalla saadaan yleensä laskettua sivusiirtyvyyttä kuvaavan tekijän α oikea suuruusluokka silloin, kun kehän jokaisessa pilarissa on normaalivoiman suhde pilarin kimmoteorian mukaiseen nurjahduskuormaan on sama. Tarkempien menetelmien käyttö on aina suositeltavaa, erityisesti yksittäisen rakenneosan nurjahduspituutta määriteltäessä.