Tekoäly pokerissa - Poki
|
|
- Hilja Heino
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tekoäly pokerissa - Poki Samuli Hemminki samuli.hemminki@cs.helsinki.fi Tekoäly kortti- ja lautapeleissä Helsingin yliopisto, tietojenkäsittelytieteen laitos Raportti C , s , Syyskuu 2008 Tiivistelmä Tämä raportti on käsikirjoitus syksyllä 2008 Helsingin yliopistossa järjestetylle seminaarille Tekoäly kortti- ja lautapeleissä. Aiheeksi on valittu eräs tunnetuimmista pokeriagenteista, Poki. Poki on Albertan yliopiston tutkimusryhmän kehittämä Texas Hold 'Em pokeriagentti. Tekoälytutkimuksen kannalta eräitä sen mielenkiintoisia piirteitä ovat reaaliaikainen muuntautumiskyky ja vastustajien mallinnus. Tutkimusryhmän pitkän tähtäimen tavoitteena on kehittää maailmanluokan pelaajaa vastaava peliäly. Nykyisellään Pokia kuvaillaan keskitasoista kasinopelaajaa taitavammaksi [Bil06]. Poki on ollut käytössä oikeissa peleissä koko kehityksensä ajan ja sen pelitaitoja on voinut haastaa IRC:ssä sekä tutkimusryhmän omalla serverillä. Kaupallisesti Poki on käytössä ryhmän omassa tuotoksessa Poker Academy Pro:ssa, sekä uudemmassa pelissä Stacked. Tämä raportti koostuu kahdesta luvusta. Ensimmäisessä luvussa käydään tiivistetysti läpi pelin säännöt ja kulku, sekä esitellään peliin liittyviä tekoälyn tutkimusongelmia. Toisessa luvussa esitellään Pokin ratkaisuja näihin ongelmiin. 21
2 Termistö Sokkopanos: Ennalta määrättyjä panoksia, jotka jakajasta myötäpäivään kaksi seuraavaa pelaajaa joutuvat maksamaan. Näitä kutsutaan "sokoiksi", koska ne maksetaan ennen taskukorttien jakamista. Pimeä kortti: Tuntematon kortti, esimerkiksi vastapelaajien taskukortit. Taskukortti: Jokaiselle pelaajalle jaetaan pelin alussa kaksi korttia kuvapuoli alaspäin. Nämä kortit pysyvät muilta pelaajilta salassa pelin loppuun saakka. Katsominen: Pelaaja maksaa vastapelaajan panostaman korotuksen ja jatkaa näin mukana pelissä. Kipata: Pelaaja valitsee olla vastaamatta korotukseen ja jättäytyy pelistä pois, samalla menettäen potissa olevan panoksensa. Korottaminen: Pelaaja maksaa vastapelaajan panostaman summan ja lisää lisäksi korotuksen, johon vastapelaajien täytyy vastata pysyäkseen mukana pelissä. Yhteiset kortit: Viisi kuvapuoli ylöspäin pöydälle jaettavaa korttia, joita jokainen pelaaja voi yhdistellä omiin taskukortteihinsa. Ensimmäiset kolme käännettyä yhteiskorttia ovat nimeltään "flop", neljäs "turn" ja viides "river". Pokerikäsi: Pelaajat pyrkivät luomaan mahdollisimman hyvän viiden kortin yhdistelmän taskukorteistaan ja pöydällä olevista yhteisistä korteista. Sökö: Korottamisen jättäminen nollaan. Floppi: Ensimmäistä kolmea yhteiskorttia kutsutaan flopiksi. Pelikonteksti: Yleinen termi pelitilanteen määrittämiseksi. Pelikontekstiin kuuluu kaikki pelin tilanteeseen vaikuttavat asiat. Tärkeimpiä näistä ovat tasku,- ja pöytäkortit, pelaajamäärä, potti, vastapelaajien pelityyli, pelaajan sijainti panostuskierroksella ja pelimerkkitilanne. 22
3 1 Taustoja Poki on Albertan yliopiston pokeriin erikoistuneen tutkimusryhmän kehittämä pokeriagentti [Bil02]. Pokia edelsi ohjelman aiempi versio, Loki (1997). Molemmat versiot ohjelmasta ovat olleet vapaasti testikäytössä verkossa tutkimusryhmän omalla IRC -kanavalla sekä palvelimella. 1.1 Pokeri tekoälyn ongelmakenttänä Pokeri on ollut suosittu tutkimusaihe peliteorian saralla alan alkuajoilta lähtien. Suosion syy löytyy useista peliin liittyvistä ominaisuuksista, joiden on huomattu olevan tutkimuksen kannalta kiinnostavia. Tällaisia ovat esimerkiksi [Bil03, Bil06]: epätäydellisen ja epäluotettavan tiedon käsittely, monen agentin kilpailuympäristö, riskien hallinta ja vastustajien mallinnus. Monimutkaisempien pokerivarianttien tehovaatimukset ovat olleet käytännön toteutuksille aiemmin liian intensiivisiä, ja vasta viime aikoina tietokoneiden teho on kasvanut riittäväksi menestyvien pokeriagenttien toteuttamiselle [GiS06]. 1.2 Texas Hold em Pokerista on olemassa useita eri variantteja joista Poki perustuu erääseen Texas Hold em nimiseen. Tämä on yksi suosituimpia kasinoilla pelattavia pokerin muotoja ja sen säännöillä pelataan myös vuosittain järjestettävä World Series of Poker turnaus [GiS06]. Tekoälyn tutkimuksen kannalta tätä varianttia pidetään erityisen soveltuvana, sillä siinä yhdistyvät toteutuksen kannalta riittävän yksinkertainen logiikka ja säännöt sekä tutkimuksen kannalta mielenkiintoisia elementtejä sisältävä, monipuolinen strategia [Bil06] Pelin kulku Pelissä on kaksi selkeästi erottuvaa vaihetta, floppia edeltävä (pre-flop) ja flopin jälkeinen (post-flop) vaihe. Pelin kulku on vaiheittain seuraava [Sch06, Wik01]: 23
4 Ennen floppia 0 Jakajasta kaksi seuraavaa (vasemmalla olevaa) pelaajaa asettavat pienen ja suuren sokkopanoksen (engl. blind). 1a Kullekin pelaajalle jaetaan kaksi taskukorttia (hole cards). 1b Tämän jälkeen seuraa ensimmäinen panostuskierros. Floppi 2a Pöytään jaetaan kolme yhteistä korttia (the flop) Flopin jälkeen 2b Toinen panostuskierros. 3a Pöytään jaetaan neljäs yhteinen kortti (the turn). 3b Kolmas panostuskierros. 4a Pöytään jaetaan viides yhteinen kortti (the river). 4b Neljäs panostuskierros. 5 Lopputuloksen selvittäminen ja potin jako. Kuva 1: Pelin kulku Pelin ideana on, että jokainen pelaaja muodostaa omista taskukorteistaan ja pöydälle jaetuista yhteisistä korteista mahdollisimman hyvän, viiden kortin pokerikäden. Panostusvaiheissa pelaajilla on kolme vaihtoehtoa, joko katsoa (check), korottaa (bet) tai kipata (fold). Katsoessa pelaaja maksaa toisen pelaajan korotuksen ja pysyy näin mukana pelissä. Mikäli pelaaja on ensimmäisenä vuorossa tai maksettava korotus on nolla, voi hän sököttää, eli jättää korotuksen nollaan. Korottaessa pelaaja lisää pottiin korotuksen. Muiden pelaajien on maksettava korotus tai kipattava korttinsa. Kipatessa pelaaja luovuttaa kierroksen, menettäen potissa olevan panoksensa. 24
5 Neljännen panostuskierroksen jälkeen seuraa korttien näyttö (showdown). Tässä edetään siten, että ensimmäisenä korttinsa näyttää viimeiseksi korottanut pelaaja, tai mikäli viimeisellä panostuskierroksella kukaan ei ole korottanut, jakajan vasemman puoleinen pelaaja. Seuraavan pelaajan ei ole pakko näyttää korttejaan, vaan hän voi myös kipata ne muilta pelaajilta pimeinä Pelin strategia Pelin strategiaa käsitellään edellisessä aliluvussa esitellyissä kahdessa vaiheessa; ennen avokorttien jakoa tapahtuvassa (pre-flop) ja avokorttien jaon jälkeen tapahtuvassa vaiheessa (post-flop). Ennen floppia päätös pelistrategiasta muodostetaan hyvin rajoitetun tiedon puitteissa. Tiedossa on kaksi omaa taskukorttia, vastapelaajien pelityylistä kertynyt tieto ja heidän toimintansa ennen omaa vuoroa. Eri korttiyhdistelmiä vertaillaan antamalla näille yksilölliset arvot [SKL04]. Arvon laskemiseen on monia erilaisia tapoja. Pokissa ne perustuvat kahteen ominaisuuteen; korttien sen hetkiseen paremmuusjärjestykseen, sekä niiden potentiaaliin, eli korttien mahdollisuuteen parantua tulevien yhteisten korttien avulla [Bil02]. Flopin jälkeen lopullisista seitsemästä kortista viisi on tiedossa. Myös oman pokerikäden lopullinen arvo on näin paremmin ennustettavissa toisin sanoen käden potentiaalin vaikutus on laskenut floppia edeltäneestä vaiheesta. Pelistrategia muodostuu tässä vaiheessa arvioimalla flopin vaikutusta omiin kortteihin, verrattuna flopin vaikutusta vastapelaajien kortteihin [Bil02]. Texas Hold 'Em :n strategia sisältää paljon muutakin kuin korttien mekaanisen arvon laskemista. Keskeistä hyvän strategian muodostamiseksi on tarkan pelitilanteen hahmottaminen. Tähän liittyy koko pelikontekstin arvioiminen, kuten pelaajamäärän huomioiminen, vastapelaajien lukeminen, tahallinen harhaan johtaminen puolin ja toisin, pelimerkkijakauma sekä riskien arviointi [SKL04]. 25
6 2 Pokin rakenne Pokin toimintapäätökset ovat pohjimmiltaan satunnaisvalintoja vaihtoehdoista: korotus, katsominen ja kippaus [Bil02]. Näiden valintojen todennäköisyyksien jakaumaa kutsutaan todennäköisyyskolmikoksi. Kullekin vaihtoehdoille annetaan todennäköisyys pelikontekstin ja oman käden vahvuuden perusteella. Kuvassa 1 on korkean hierarkiatason näkymä Pokin arkkitehtuurista. Kuvassa esitellyistä komponenteista käydään tarkasti läpi käden vahvuuden arvioija (hand evaluator), toimintojen valinta (action selector) ja vastustajan mallinnus (opponent modeler). Muut komponentit selvitetään näiden lomassa tarvittavalla tarkkuudella. Kuva 2: Pokin arkkitehtuuri [Bil02]. 2.1 Käden vahvuuden arvioija Kuten aiemmin mainittiin, Poki arvioi oman pokerikäden vahvuutta perustuen käden nykyiseen vahvuuteen ja sen potentiaaliin. Nykyinen vahvuus lasketaan vertaamalla omia kortteja kaikkiin mahdollisiin eri korttiyhdistelmiin [Bil02]. Tähän käytetään kuvan 2 kaltaista algoritmia. Kuvan algoritmi on yksinkertaistettu versio Pokin käyttämästä versiota. 26
7 Kuva 3: Algoritmi käden vahvuuden laskemiseksi [Bil02]. Algoritmin toimintalogiikka on seuraava: 1 Algoritmi saa arvokseen kaksi parametria; omat taskukortit (ourcards) ja yhteiset kortit (boardcards). 2 Algoritmi kutsuu funktiota Rank, joka palauttaa arvonaan omista käsikorteista ja yhteisistä korteista lasketun arvon. 3 Algoritmi käy läpi kaikki mahdolliset korttiyhdistelmät ja vertaa näiden yhdistelmien arvoja omien korttien arvoon. 4 Lopuksi algoritmi laskee käden vahvuuden seuraavalla logiikalla: Käden vahvuus = niiden yhdistelmien lukumäärä, joiden arvo on pienempi + puolet niiden yhdistelmien lukumäärästä, joiden arvo on sama jaettuna kaikkien yhdistelmien lukumäärällä. Tästä saatu todennäköisyys on P(omat kortit ovat paremmat kuin satunnaiset kortit). Käden potentiaali on käden arvon mahdollisuus parantua tai heikentyä uusien yhteisten korttien paljastuessa [Bil02]. Potentiaali voidaan laskea käymällä läpi jokaista vastustajan korttiyhdistelmää kohti kaikki yhdistelmät vielä paljastamattomia yhteisiä kortteja. Käytännössä tämä on liian hidasta ja Poki laskee potentiaalille karkeamman arvion. Potentiaali on positiivinen, mikäli uusien korttien johdosta oma heikompi käsi päätyy vahvemmaksi ja vastaavasti negatiivinen mikäli oma vahvempi käsi päätyy heikommaksi. 27
8 Todellinen käden vahvuus lasketaan yhdistämällä käden potentiaali ja käden vahvuus. Pokissa tähän käytettävä kaava on muotoa [Bil06]: TKV = KV + (1-KV) x Ppot, (1) missä TKV tarkoittaa todellista käden vahvuutta, KV käden vahvuutta ja Ppot positiivista potentiaalia. Negatiivista potentiaalia ei oteta huomioon, sillä Pokin strategiassa vahvemmalla kädellä halutaan panostaa riippumatta huonosta potentiaalista [Bil06]. Laskenta täytyy tehdä jokaiselle vastustajalle erikseen, jolloin kaavoja voidaan myös muokata riippuen vastustajan pelityylistä. Tällöin kaava saadaan muotoon: TKV i = KV i + (1-KV i ) x Ppot i, (2) jossa i on vastustajan yksilöivä indeksi. Edellä esitelty menetelmä on puutteellinen siinä mielessä, että se olettaa vastapelaajilla olevan satunnaiset kortit flopin jälkeen. Käytännössä huonommat kädet kuitenkin kipataan jo kierroksen aikaisessa vaiheessa, jolloin vastustajalla on todennäköisesti paremmat kuin satunnaiset kortit. Tämä otetaan Pokissa huomioon luomalla jokaista vastustajaa kohti oma painotustaulukko, johon tallennetaan tämän eri taskukorttien todennäköisyydet [Bil06]. Taulukkoa päivitetään informaation lisääntyessä kuvan 3 algoritmin mukaisesti. Kuva 4: Algoritmi painotustaulukon päivitykseen [Bil06]. 28
9 Algoritmin toimintalogiikkaa on seuraava: 1 Algoritmille saa arvokseen neljä parametria: toiminnon A, joka on vastapelaajan havaittu toiminto, vastustajakohtaisen painotustaulukon WT, jota algoritmi päivittää, pelinkontekstin GC, jossa toiminto A havaitaan ja vastustajamallin OM, jolla vastapelaajan yksilöllinen pelityyli voidaan huomioida. 3 Jokaista painotustaulukon alkiota kohti (eli eri korttikombinaatiota) lasketaan alkiota vastaava oletusarvoinen todennäköisyyskolmikko [Kippaa, Katso, Korota]. 4 Kolmikon jakaumaa tarkennetaan kutsumalla funktiota PredictOpponentAction, joka saa parametreiksi vastustajamallin, käsittelyssä olevan painotustaulukon alkion ja pelikontekstin. 5 Lopuksi painotustaulukon alkiota vastaavan korttiyhdistelmän todennäköisyyttä päivitetään havaitun toiminnon perusteella. 2.2 Toimintojen valinta Pokin seuraava toiminto valitaan todennäköisyyskolmikosta {katso, korota, kippaa} [Bil02]. Todennäköisyydet määritetään siten, että eri vaihtoehtojen summa P(katso)+P(korota) +P(kippaa) = 1.0. Todennäköisyyskolmikkoa käytetään komponenttina myös vastapelaajien painotustaulukkojen päivittämisessä sekä simulaatioissa valitsemaan vastustajan toiminnot. Simulaatiota käsitellään tarkemmin seuraavassa aliluvussa. Todennäköisyysjakauman määrittämiseen käytetään edellisessä aliluvussa esiteltyä TKV:tta, sekä joukkoa muita algoritmeja [Bil02]. Nämä algoritmit muokkaavat jakaumaa erilaisten sääntöjen mukaan. Säännöt koskevat pelikontekstin tilaa, vastapelaajien mallinnuksesta saatuja tietoja ja asiantuntijatiedon pohjalta sekä ihmistuntemuksesta johdettuja valmiita ohjeita. Käytännössä kaikki nämä sotkuisiksi luonnehditut tiedot on abstrahoitu Pokin todennäköisyyskolmikkoon, jota käytetään ohjelman kannalta eräänlaisena mustana laatikkona (engl. black box) [Bil06] Simulaatiot Käytännössä Poki valitsee toimintonsa simulaatioiden avulla. Tämä tapahtuu seuraavasti [Bil02]: Valintatilanteessa Poki kutsuu simulaattoria laskemaan odotusarvon kullekin vaihtoehdolle. Simulaatiossa kierros pelataan toistuvasti loppuun asti koneistetusti, antaen 29
10 kullakin kierroksella vastustajille eri yhdistelmät taskukortteja. Jokaisesta kierroksesta kirjataan Pokin päätöksistä seuraavat voitot tai tappiot. Koko simulaatio käydään kahdesti läpi, kerran siten että Pokin toiminnoksi valitaan katsominen ja kerran siten, että toiminnoksi valitaan korotus. Molemmille simulaatiokerroille lasketaan oma odotusarvo, joka on keskiarvo kaikkien kierrosten voitoista tai tappioista. Näistä valitaan toiminnoksi se, jonka odotusarvo on suurempi. Tasapelin tapauksessa Poki valitsee aggressiivisemman vaihtoehdon. Kippausta ei ole tarpeen simuloida, sillä Pokin osalta kierros päättyy tähän ja odotusarvo voidaan laskea suoraan. Kaikkien tapausten kattaminen simulaatiossa on aikarajoitusten puitteissa liian hidasta [Bil06]. Simuloitavat tapaukset rajoitetaan todennäköisimpiin karsimalla vastapelaajan mahdollisia korttiyhdistelmiä painotustaulukon avulla. Simulaatiossa vastapelaajan päätökset valitaan todennäköisyyskolmikon avulla. Todenmukaisemman tuloksen saavuttamiseksi käytetään avuksi vastustajien mallinnusta. 2.3 Vastustajien mallinnus Hyvään pokeristrategiaan vaaditaan arviointikykyä vastustajan korteista sekä kykyä tunnistaa tämän pelityylistä erilaiset harhautukset [Bil02]. Pokissa tämä huomioidaan ennustamalla vastustajan käden vahvuutta sekä toimintaa todennäköisyyskolmikon {kippaa, katso, korota} pohjalta Statistiikkaan perustuva mallinnus Eräs tapa ennustaa todennäköisyyskolmikon arvoja on asettua vastapelaajan asemaan ja päätellä kolmikko joidenkin valmiiden sääntöjen, esimerkiksi Pokin omien, avulla. Tällainen geneerinen malli on identtinen kaikille vastustajille. Geneerisessä mallissa on se merkittävä puute, ettei se osaa hyödyntää vastustajien yksilöllisiä heikkouksia [Bil02]. Tähän tarkoitukseen on Spesifiset mallit, joissa koneoppimismenetelmiä käyttäen jokaisesta vastapelaajasta muodostetaan malli pelin aikana. Mallinnuksessa vastapelaajan toimintoja voidaan ennustetaan sen perusteella, kuinka tämä on toiminut aikaisemmin vastaavissa tilanteissa [Bil02]. Vastapelaajan käden vahvuutta arvioidaan vastaavasti sen mukaan, millaisilla korteilla tämä on aiemmin toiminut samoin. Tällaisessa mallinnuksessa on päätettävä miten tarkkaan pelikonteksti (erityisesti aktiivisten pelaajien määrä, yhteisten korttien koostumus ja Pokin sijainti panostuskierroksella) otetaan huomioon. Liian tarkka 30
11 mallinnus johtaa hitaaseen oppimiseen (ylisovittaminen), kun taas liian pieni tarkkuus johtaa tehottomaan mallinnukseen (alisovittaminen). Sopivan tarkkuuden valinta on vaikea ongelma ja tässä kohdataan useita koneoppimisen vaikeimmiksi luonnehdituista ominaisuuksista [Bil06]: hälyinen (engl noisy) ympäristö, epävarmuus, rajoittamaton määrä tutkittavia ulottuvuuksia, tarve oppia nopeasti pienestä määrästä heterogeenistä aineistoa, reaaliaikainen ympäristö Neuraaliverkkoihin perustuvat mallinnus Yhdeksi Pokin menestyksen syistä on mainittu sen käyttämä adaptiivinen, neuraaliverkkoihin perustuva vastustajien mallinnus [SaR05]. Verkko koostuu 19 solmun syötekerroksesta, jotka saavat syötteensä pelikontekstin eri ominaisuuksista, neljän solmun piilotetusta kerroksesta, jotka prosessoivat syötekerroksen tietoja, sekä kolmesta vastekerroksen solmusta [Bil06]. Vastekerroksen solmuja vastaavat toiminnot kippaa, korota ja katso. Käytännössä verkko siis johtaa pelikontekstista todennäköisyysjakauman vastustajan seuraavalle toiminnolle. Harjoittamalla verkkoa monien eri vastustajien kanssa pystytään selvittämään keskeisimmät vasteeseen vaikuttavat syötteet [Bil06]. Verkon tulkitsemiseksi siitä luodaan kuvan 4 kaltainen graafinen esitys. Kuvassa viivan punainen väri merkitsee negatiivista korrelaatiota ja musta positiivista korrelaatiota. Viivojen paksuudet korreloivat liitäntöjen vahvuuksien kanssa. Esimerkiksi kuvan 4 tapauksessa syötekerroksen solmu 12 (vastustaja on viimeksi korottanut) korreloi vahvasti vastustajan seuraavan toiminnon kanssa. Vastekerros osoittaa, että vastustajan seuraava toiminto on todennäköisesti kippaus. Pokin vastustajan mallinnus on saanut osakseen myös kritiikkiä. On osoitettu, että mikäli Pokin käyttämää neuraaliverkkoa ehdollistetaan tiettyyn pelityyliin pitkään, verkon muuntautumiskyky hidastuu [SaR05]. Tällöin vastustajan muuttaessa äkillisesti strategiaa Poki ei kykene reagoimaan riittävän nopeasti. 31
12 Kuva 5: Vastapelaajan toimintoja ennustava neuraaliverkko [Bil06]. 3 Yhteenveto Menestyvän peliälyn luominen pokeriin ja erityisesti raportissa esiteltyyn Texas Hold 'Em varianttiin on kiinnostava ongelma ja työllistää edelleen monia tutkijoita alalla. Poki ja sitä edeltänyt Loki olivat eräitä ensimmäisistä vakavasti otettavia peliälyjä tähän peliin. Nämä ohjelmat toivat uutena ominaisuutena adaptiivisen ja vastustajista oppimaan kykenevän peliälyn. Tämän saavuttamiseksi käytetään erilaisia statistisia menetelmiä, simulointia ja neuraaliverkkoja. Poki on toiminut tutkimusryhmän työvälineenä vuosien aikana ja sen kehitystyö on johtanut lopulta myös kaupallisiin sovelluksiin [Bil06]. Samalta saralta, Albertan yliopiston pelitutkimuksen osastolta, on sittemmin ilmestynyt useita uusia ja tehokkaampia Texas Hold 'Em:ia pelaavia ohjelmia. Tekoälyn luominen pokeriin on kuitenkin kaikesta tutkimuksesta huolimatta edelleen monimutkaista ja uusia lähestymistapoja ongelmaan tarvitaan. Albertan yliopiston tutkimus on osaltaan ratkonut useita peliin liittyvistä ongelmista, mutta uusia ongelmia on myös kohdattu [Kan07]. Tekijäryhmän tavoite maailmanluokan pelitaidosta on vielä saavuttamatta, mutta kehitystä on tapahtunut. Suurimpien puutteiden arvioidaan olevan vastustajien mallinnuksessa ja adaptiivisen, nopeasti reagoivat systeemin luomisessa [Bil06]. 32
13 Viitteet Bil02 Billings, D. et al., The Challenge of Poker, Artificial Intelligence Journal, 134,1(2002), sivut Bil03 Billings, D. et al., Approximating game-theoretic optimal strategies for fullscale poker, Proc. Eighteenth International Joint Conference on Artificial Intelligence, Acapulco, Meksiko, elokuu 2003, sivut Bil06 Billings, D., Algorithms and Assessment in Computer Poker, väitöskirja, Tietojenkäsittelytieteen osasto, Albertan yliopisto, Kanada, GiS06 Kan07 Gilpin, A., Sandholm, T., A competitive Texas Hold em poker player via automated abstraction and real-time equilibrium computation, Proc. fifth international joint conference on Autonomous agents and multiagent systems, Hakodate, Japani, 2006, sivut Kan, M.H., Postgame Analysis of Poker Decisions, Pro Gradu -tutkielma, Tietojenkäsittelytieteen osasto, Albertan yliopisto, Kanada, SaR05 Salim, M., Rohwer, P., Poker Opponent Modeling, Indianan yliopisto, tietojenkäsittelytieteen laitos, She02 Sheppard, B., World-championship-caliber Scrabble, Articial Intelligence journal, 134,1(2002), sivut SKL04 Sklansky, D., The Theory of Poker, two plus two publishing, 6.painos, lokakuu, WIK01 Wikipedia, Texas Hold Em, , %27em, [ ] 33
Kun sinua edeltävä pelaaja on panostanut (laittanut pelimerkkejä pottiin), sinun täytyy joko maksaa saman verran pelimerkkejä tai luovuttaa.
Säännöt Jakaminen Yksi pelaajista valitaan jakajaksi. Tämä pelaaja sekoittaa kortit ja jakaa kaikille pelaajille (myös itselleen) kaksi korttia kuvapuoli alaspäin. Näitä kortteja sanotaan pimeiksi korteiksi.
LisätiedotPeliteoreettisen optimaalin approksimointi Texas Hold em -pokerissa
Peliteoreettisen optimaalin approksimointi Texas Hold em -pokerissa Lari Latvala lari.latvala@helsinki.fi Tekoäly kortti- ja lautapeleissä Helsingin yliopisto, tietojenkäsittelytieteen laitos Raportti
LisätiedotPIENEN STÄKIN STRATEGIA Kootut ohjeet
Perustaso PIENEN STÄKIN STRATEGIA Kootut ohjeet Perusteet Peli ennen loppia Käsien luokittelu lopin jälkeen Peli lopin jälkeen 1 Perusteet Pelikassanhallinta Taso Pelikassan vähimmäiskoko Pöytään otettava
LisätiedotBlackjack on korttipeli, jossa pelaajan tavoitteena on voittaa pelinhoitaja.
POHDIN projekti Blackjack Blackjack on pelinhoitajaa vastaan pelattava korttipeli mutta myös ns. uhkapeli 1. Kun kyseessä on ns. rahapeli, niin ikäraja Suomessa on tällaiselle pelille K-18. Blackjackissä
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien
LisätiedotVerkkopokerijärjestelmä. Testausdokumentti Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008
Verkkopokerijärjestelmä Testausdokumentti Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008 Projektiryhmä Samuli Aalto-Setälä Jukka Kekälainen Jarno Kyykkä Mika Mielonen Mårten Smeds Otto Waltari Ohjaaja
LisätiedotKaksintaistelun approksimatiivinen mallintaminen (valmiin työn esittely)
Kaksintaistelun approksimatiivinen mallintaminen (valmiin työn esittely) Juho Roponen 10.06.2013 Ohjaaja: Esa Lappi Valvoja: Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
LisätiedotEpätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari
Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Peliteorian seminaari Erityispiirteitä Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista
LisätiedotZ O K E R OHJEET REGLER PÅ SVENSKA XL 3 XL 3 M4 1 L4 1 XL 3 M 23 XL 1 XL 4 ML 4 M 41 L4 3 L 1 S4 1 XL 2 XL 1 2 1 M 14 M 4 XL 3 LS 4 XL 3 L 3 S L3
X3 X X X X X X X X 3 3 3 X X 3 X X 3X 3 3 3 X 3 3 X 3 X 3 X X X X X 3 3 3 3 3 3 X 3 3 X X X 3 X X X 3 3 REGER PÅ VENK 3 www.zoker.org/se/regler X X X X X X X 3 X X 3 3 X X X 3 3 3 X 3 X X 3 3 3 3 3 3 3
LisätiedotImpedanssitomografia-peli
Impedanssitomografia-peli Avainsanat: inversio-ongelmat, päättely, satunnaisuus Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: kynä, paperia, 2 pelinappulaa, 4 kolikkoa tai kolikonheittokortit
LisätiedotVerkkopokerijärjestelmä. Testausdokumentti 2. iteraatio Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008
Verkkopokerijärjestelmä Testausdokumentti 2. iteraatio Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008 Projektiryhmä Samuli Aalto Setälä Jukka Kekälainen Jarno Kyykkä Mika Mielonen Mårten Smeds Otto
LisätiedotLiite sisäasiainministeriön asetukseen SMDno/2011/2120. RAY:N RAHAPELIEN SÄÄNNÖT sekä suurimmat panokset ja voitot
Liite sisäasiainministeriön asetukseen SMDno/2011/2120 RAY:N RAHAPELIEN SÄÄNNÖT sekä suurimmat panokset ja voitot 2 (115) Sisällys I. RAY-PELISALEISSA JA YHTEISTYÖKUMPPANIEN TILOISSA TOIMEENPANTAVIEN RAHAPELIEN
LisätiedotPeliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1
May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.
LisätiedotSEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer
LisätiedotLuku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti
Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan
LisätiedotP (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1)
Harjoitustehtäviä (erä 1) 1 1. Käytetään yksinkertaisesti Bayesin kaavaa: P (A B) = P (A)P (B A). P (B) Tapauksessa B = 1 saadaan P (A = 0 B = 1) = P (A = 1 B = 1) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (A = 1)P
LisätiedotYksikönmuunnospelit Oppilaalle kopioitavat ohjeet:
Tekijät: Terho Hautala, Niina Suutari OuLUMA, sivu 1 Yksikönmuunnospelit Oppilaalle kopioitavat ohjeet: Etsi parit Pelataan pareittain. Otetaan käyttöön vain harjoiteltavan mittayksikön pelikortit, Oppilas
LisätiedotLUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: PELIT JA TAKTIIKAT
LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: PELIT JA TAKTIIKAT 1. Alkupohdintaa Mitä lempipelejä oppilailla on? Ovatko ne pohjimmiltaan matemaattisia? (laskeminen, todennäköisyys ) Mitä taktiikoita esimerkiksi
LisätiedotPeliohje 20.4.2011 1(6)
1. Rakentaja Cup, reikäpeli 2 1.1. Yleistä reikäpelistä 2 1.2. Arvonta ja pelaajien sijoittaminen ottelukaavioon 2 1.3. Tasoitukset ja tiit 3 1.4. Pelikentät ja kustannukset 3 1.5. Tuomaritoiminta 4 1.6.
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotPaljonko maksat eurosta -peli
Paljonko maksat eurosta -peli - Ajattele todellinen tilanne ja toimi oman näkemyksesi mukaisesti - Tee tarjous eurosta: * Korkein tarjous voittaa euron. * Huonoimman tarjouksen esittäjä joutuu maksamaan
LisätiedotPelaajat siirtävät nappuloitaan vastakkaisiin suuntiin pelilaudalla. Peli alkaa näin. Tuplauskuutio asetetaan yhtä kauas kummastakin pelaajasta.
DVD Backgammon Pelin tavoite Pelin tavoitteena on siirtää kaikki omat pelinappulat omalle sisäkentälle ja sieltä pois laudalta. Se pelaaja, joka ensimmäisenä on poistanut kaikki pelinappulansa pelilaudalta,
LisätiedotProbabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Mikä on probabilistinen malli? Kutsumme probabilistisiksi malleiksi kaikkia
LisätiedotBayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
LisätiedotPerustaso Fixed limit Kootut ohjeet
Perustaso Fixed limit Kootut ohjeet 1 Perusteet mikä on positiosi pokeripöydässä? Blindit Myöhäinen - LP Keski - MP Varhainen - EP 2 Ennen loppia Aloituskäsitaulukko erittäin vahvat kädet: AA, KK, QQ /
LisätiedotTrafficars - Ruuhkaara
760104 Trafficars - Ruuhkaara 2 5 pelaajaa Ikäsuositus 5+, 8+ Peliaika 10 15 minuuttia Pelipaketin sisältö 50 autokorttia 12 erikoiskorttia ohjevihko Pelissä: Opitaan liikkumaan lukualueella 0 50. Harjoitellaan
LisätiedotEpätäydellisen tiedon jatkuvat pelit
Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Helsinki 4..2006 Peliteorian seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö Johdanto 2 Epätäydellisen tiedon jatkuva peli 2. Jatkuvan
LisätiedotPokerihuoneen ohjeet 0 (35) 31.12.2014 POKERIHUONEEN OHJEET. Pokerihuoneen yleiset ohjeet, peliohjeet ja käytännöt
Pokerihuoneen ohjeet 0 (35) POKERIHUONEEN OHJEET Pokerihuoneen yleiset ohjeet, peliohjeet ja käytännöt Pokerihuoneen ohjeet 1 (35) Pokerihuoneen ohjeet Sisällysluettelo 1. Yleiset ohjeet... 3 Pelin kulkusuunta...
LisätiedotPOKERIHUONEEN OHJEET JA YLEISET
POKERIHUONEEN OHJEET JA YLEISET TOIMINTATAVAT Pokerihuoneen ohjeet, ja käytännöt Sisällysluettelo 1. YLEISET OHJEET 5 Pelin kulkusuunta 5 Käytös 5 Velvollisuus läsnäoloon 5 Pakan vaihto 5 Korttien katsominen
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotTaktiikan opettamisen tulee tukeutua pelaajien lajitaitoihin ja siihen, että valmentajalla on selvä kuva käyttämästään pelisysteemistä.
Taktiikka yleisesti Sanalla taktiikka tarkoitetaan sitä, kuinka käytetään oman joukkueen vahvuuksia ja vastustajan heikkouksia hyväksi valmistauduttaessa otteluun sekä sen aikana valmentajan tekemiä muutoksia
LisätiedotPohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset
Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset Sanna Hanhikoski 24.3.2010 Sisältö Pohdiskeleva ajattelu Nashin tasapainotarkennukset Täydellinen tasapaino Täydellinen bayesiläinen tasapaino Vaiheittainen
LisätiedotVerkkopokerijärjestelmä. Loppuraportti Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008
Verkkopokerijärjestelmä Loppuraportti Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008 Projektiryhmä Samuli Aalto-Setälä Jukka Kekälainen Jarno Kyykkä Mika Mielonen Mårten Smeds Otto Waltari Ohjaaja
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
LisätiedotVerkkopokerijärjestelmä. Suunnitteludokumentti, 2. iteraatio Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008
Verkkopokerijärjestelmä Suunnitteludokumentti, 2. iteraatio Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008 Projektiryhmä Samuli Aalto Setälä Jukka Kekälainen Jarno Kyykkä Mika Mielonen Mårten Smeds
LisätiedotVerkkopokerijärjestelmä. Suunnitteludokumentti, 1. iteraatio Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008
Verkkopokerijärjestelmä Suunnitteludokumentti, 1. iteraatio Ryhmä Kanat Ohjelmistotuotantoprojekti, syksy 2008 Projektiryhmä Samuli Aalto Setälä Jukka Kekälainen Jarno Kyykkä Mika Mielonen Mårten Smeds
LisätiedotKASVOTON VIHOLLINEN - SÄÄNNÖT
KASTN IHLLINEN - SÄÄNNÖT A. LÄHTÖKHTA Kaksi armeijaa valmistautuu taisteluun. Torvet soivat, hevoset korskuvat malttamattomina. Sadat jalat marssivat tasatahtia ottaakseen paikkansa kentällä - paikan,
Lisätiedothttp://www.nelostuote.fi/suomi/rummikubsaan.html
Sivu 1/5 Pelin sisältö 104 numeroitua laattaa (numeroitu 1-13) 2 laattaa kutakin neljää väriä (musta, oranssi, sininen ja punainen) 2 jokerilaattaa, 4 laattatelinettä, pelisäännöt Pelin tavoite Tavoitteena
LisätiedotHuom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
LisätiedotPelivaihtoehtoja. Enemmän vaihtelua peliin saa käyttämällä erikoislaattoja. Jännittävimmillään Alfapet on, kun miinusruudut ovat mukana pelissä!
Pelivaihtoehtoja Yksinkertaisin vaihtoehto: lfapetia voi pelata monella eri tavalla. Yksinkertaisimmassa vaihtoehdossa käytetään ainoastaan kirjainlaattoja. Pelilaudan miinusruudut ovat tavallisia ruutuja,
LisätiedotLiite sisäasiainministeriön asetukseen SMDno/2013/2023. RAY:N RAHAPELIEN SÄÄNNÖT sekä suurimmat panokset ja voitot
Liite sisäasiainministeriön asetukseen SMDno/2013/2023 RAY:N RAHAPELIEN SÄÄNNÖT sekä suurimmat panokset ja voitot 2 (162) Sisällys I. RAY-PELISALEISSA JA YHTEISTYÖKUMPPANIEN TILOISSA TOIMEENPANTAVIEN RAHAPELIEN
LisätiedotBoard Game Lab. 7 Pelimekaniikat ja -systeemit. Materiaalit CC-BY 4.0 Mikko Lampi
Board Game Lab 7 Pelimekaniikat ja -systeemit Materiaalit CC-BY 4.0 Mikko Lampi Sisältö Alustus 1. Mekaniikat ja niiden tehtävät 2. Miten valitsen tai suunnittelen mekaniikkoja? 3. Pelimekaniikat ja -systeemit
LisätiedotToistetut pelit Elmeri Lähevirta. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Toistetut pelit MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Elmeri Lähevirta The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University.
LisätiedotRavintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa
Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Saska Heino Helsingin Sanomat uutisoi jokin aika sitten siitä, kuinka Helsingin huippuravintoloissa vallitsevan yleisen käsityksen mukaan korvaukseton työ kuuluu
LisätiedotTurun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita
Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita 1. Laske 3 21 12 3. a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 Ratkaisu. 3 21 12 3 = 63 36 = 27. 2. Peräkylän matematiikkakerholla on kaksi tapaa
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
LisätiedotVedonlyöntistrategioiden simulointi ja evaluointi
Vedonlyöntistrategioiden simulointi ja evaluointi Aleksi Avela 15.10.2018 Ohjaaja: Juho Roponen Valvoja: Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin
LisätiedotOppiminen verkossa - teoriasta toimiviin käytäntöihin
Luennon teemat Oppiminen verkossa - teoriasta toimiviin käytäntöihin Hanna Salovaara, tutkija Kasvatustieteiden tiedekunta Koulutusteknologian tutkimusyksikkö Oulun Yliopisto Pedagogiset mallit ja skriptaus
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Näissä harjoituksissa viljellään paljon sanaa paradoksi. Sana tulee ymmärtää laajassa mielessä. Suppeassa mielessähän
LisätiedotLiite sisäasiainministeriön asetukseen SMDno/2015/1031. RAY:N RAHAPELIEN SÄÄNNÖT sekä suurimmat panokset ja voitot
Liite sisäasiainministeriön asetukseen SMDno/2015/1031 RAY:N RAHAPELIEN SÄÄNNÖT sekä suurimmat panokset ja voitot 2 (169) Sisällys I. RAY-PELISALEISSA JA YHTEISTYÖKUMPPANIEN TILOISSA TOIMEENPANTAVIEN RAHAPELIEN
LisätiedotKenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)
sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa
LisätiedotShortStack-Strategia Moniste
Aloittelijat ShortStack-Strategia Moniste Perusteet Miten pelaat ennen loppia? Mitkä kädet voit pitää lopin jälkeen? Miten pelaat lopin jälkeen? Ohjeesi ensimmäisiin limiitteihin 1 Perusteet Kuinka suuren
LisätiedotMuutokset pelisääntöihin 2010
Muutokset pelisääntöihin 2010 Yhteenveto selittämään uutta IHFn sääntökirjaa Lukuisten muotoseikkojen muutosten lisäksi IHFn sääntökirjan uusi versio tarjoaa selkeyttäviä selityksiä tukemaan johdonmukaista
LisätiedotSimulointi. Varianssinhallintaa Esimerkki
Simulointi Varianssinhallintaa Esimerkki M C Esimerkki Tarkastellaan lasersäteen sirontaa partikkelikerroksesta Jukka Räbinän pro gradu 2005 Tavoitteena simuloida sirontakuvion tunnuslukuja Monte Carlo
LisätiedotAlertointisäännöstö 1. syyskuuta 2011
LIITE 2 Alertointisäännöstö 1. syyskuuta 2011 Bridgelaki 40 : Pelaajien väliset sopimukset Pelaaja ei saa tarjota tai pelata tavalla, joka perustuu partnerien keskeiseen erityissopimukseen ellei vastustajaparin
Lisätiedotmonitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof.
Epätäydellisen preferenssiinformaation hyödyntäminen monitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi 15.1.2018 Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof. Kai Virtanen Tausta Päätöspuu
LisätiedotKOKO PERHEEN HAUSKA STRATEGIAPELI OHJEET
KOKO PERHEEN HAUSKA STRATEGIAPELI OHJEET ROBOGEM_Ohjevihko_148x210mm.indd 1 PELIN TAVOITE Robotit laskeutuvat kaukaiselle planeetalle etsimään timantteja, joista saavat lisää virtaa aluksiinsa. Ohjelmoi
LisätiedotOpettaminen ja oppiminen
Opettaminen ja oppiminen MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 19.10.2016 Nina Gunell The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto
LisätiedotTURNAUSOHJEET. Turnauksen tavoite. Ennen aloitusta. Taistelukierroksen Pelaaminen. www.ninjago.com
Turnauksen tavoite Ennen aloitusta Haluatko Spinjitzumestariksi? Valitse vastustaja ja mittele taitojasi monella kierroksella. Voitat ottamalla vastustajaltasi kaikki aseet! Jokainen pelaaja tarvitsee
LisätiedotRubikin kuutio ja ryhmät. Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Rubikin kuutio ja ryhmät Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kehittäjä unkarilainen Erno Rubik kuvanveistäjä ja arkkitehtuurin professori 1974 Halusi leikkiä geometrisilla
Lisätiedot1 of 6 5.2.2009 15:44
1 of 6 5.2.2009 15:44 Pokerikotisivu Edut Pokerihuone Turnaukset Rahapeli VIP-klubi Team PokerStars Pro Tuki Pokerikäsien arvojärjestys Tarjoamme PokerStarsilla useita eri pokerimuunnelmia, joissa noudatetaan
LisätiedotPelitehtäviä. Helpot tehtävät. Tuomas Korppi
Solmu 1/2012 1 Pelitehtäviä Tuomas Korppi Tämänkertaisissa tehtävissä analysoimme yksinkertaisia pelejä. Tehtävät 1 6 ovat helppoja, ja soveltuvat arvioni mukaan yläasteelle 1. Tehtävät 7 11 ovat vaikeampia,
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotKonsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki 30.11.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma Päätöksen muodostaminen hajautetussa järjestelmässä Prosessien välinen viestintä
LisätiedotNollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
LisätiedotPELIOHJEET (suomeksi) Koira. Peli on kaksivaiheinen: Vaihe 1:
PELIOHJEET (suomeksi) Koira Peli on kaksivaiheinen: Vaihe 1: Jokaiselle osanottajalle/pelaajalle jaetaan kolme (3) korttia. Loput kortit asetetaan pelipöydälle pinoon, pakaksi. Huomattavaa on, että pakan
LisätiedotPieniä tietojenkäsittelytieteellisiä. Syksy 2006
Erkki Mäkinen (toim.) Pieniä tietojenkäsittelytieteellisiä tutkimuksia Syksy 2006 TIETOJENKÄSITTELYTIETEIDEN LAITOS TAMPEREEN YLIOPISTO D 2007 1 TAMPERE 2007 TAMPEREEN YLIOPISTO TIETOJENKÄSITTELYTIETEIDEN
LisätiedotRyhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof.
Ryhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes 11.06.2012 Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla
LisätiedotPeliteoria luento 2. May 26, 2014. Peliteoria luento 2
May 26, 2014 Pelien luokittelua Peliteoriassa pelit voidaan luokitella yhteistoiminnallisiin ja ei-yhteistoiminnallisiin. Edellisissä kiinnostuksen kohde on eri koalitioiden eli pelaajien liittoumien kyky
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte
LisätiedotKognitiiviset taidot: reaktiokyvyn ja visuaalisen havainnointikyvyn kehittyminen
Peli edistää: Kognitiiviset taidot: reaktiokyvyn ja visuaalisen havainnointikyvyn kehittyminen Luvut, määrät & muodot: laskemisen alkeet, muotojen tunnistaminen Värit: värien tunnistaminen Sosiaaliset
LisätiedotPOKERIHUONEEN OHJEET JA YLEISET TOIMINTATAVAT
Heikkilä Jari 8.12.2016 POKERIHUONEEN OHJEET JA YLEISET TOIMINTATAVAT Sisällys 1. YLEISET OHJEET... 5 Pelin kulkusuunta... 5 Käytös... 5 Velvollisuus läsnäoloon... 5 Pakan vaihto... 5 Korttien katsominen...
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli
Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
LisätiedotIntegrointialgoritmit molekyylidynamiikassa
Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin
LisätiedotKirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta.
Tehtävä 63. Kirjoita oma versio funktiosta strcmp(),joka saa parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tee ohjelma, jossa luetaan kaksi merkkijonoa, joita sitten verrataan ko. funktiolla. Tehtävä 64. Kirjoita
LisätiedotProjektisuunnitelma. Projektin tavoitteet
Projektisuunnitelma Projektin tavoitteet Projektin tarkoituksena on tunnistaa erilaisia esineitä Kinect-kameran avulla. Kinect-kamera on kytkettynä tietokoneeseen, johon projektissa tehdään tunnistuksen
LisätiedotJalkapallovedonlyöntistrategioiden. evaluointi. Aleksi Avela Ohjaaja: Juho Roponen Valvoja: Ahti Salo
Jalkapallovedonlyöntistrategioiden simulointi ja evaluointi Aleksi Avela 26.2.2019 Ohjaaja: Juho Roponen Valvoja: Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta
LisätiedotLiikehavaintojen estimointi langattomissa lähiverkoissa. Diplomityöseminaari Jukka Ahola
Liikehavaintojen estimointi langattomissa lähiverkoissa Diplomityöseminaari Jukka Ahola ESITYKSEN SISÄLTÖ Työn tausta Tavoitteen asettelu Johdanto Liikehavaintojen jakaminen langattomassa mesh-verkossa
LisätiedotPANA RY LIIGASA A NNÖ T
PANA RY LIIGASA A NNÖ T 2013 2014 Liigasäännöt ovat PANA ry:n hallituksen laatimat ja hyväksymät. Hallituksella on oikeus muuttaa ja muokata liigapelien sääntöjä, mikäli näkee sen tarpeelliseksi. Sisällysluettelo
Lisätiedot... 5 ... 5 ... 5 ... 6 ... 7 ... 8 ... 8 ... 9 ... 11 ... 12
BILJARDI 2 3 SISÄLLYSLUETTELO 1. YLEISTÄ... 5 1.1 KOLMIO/ 9-KEHIKKO... 5 2. PELIN ALOITUS... 5 3. LYÖNTIVUORON VAIHTO... 5 4. VIRHELYÖNNIT... 6 4.1 ERILAISET VIRHEET... 6 4.2 RANGAISTUS VIRHEESTÄ... 7
LisätiedotProsenttikäsite-pelin ohje
1(5) Prosenttikäsite-pelin ohje Yksi neljäsosa kakkua Tässä pelissä opitaan yhdistämään * murtoluvun kuva ja sanallinen kuvaus sekä murtolukumerkintä * murto- ja desimaali- sekä %-luvun merkinnät. 0,25
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotSisällysluettelo. 1. Johdanto
Säännöt Sisällysluettelo 1. Johdanto 3 2. Sisältö 4 3. Alkuvalmistelut 5 4. Pelin aloitus ja kulku 6 5. Pelin lopetus 9 6. Vaikea peli ja muut pelimuunnelmat 10 1. Johdanto Pelilauta on 25 ruudusta muodostuva
LisätiedotVIISIPALLO PELI JOKA KEHITTÄÄ YHTENÄISYYTTÄ YHTEISTYÖTÄ YHTEISÖÄ
VIISIPALLO PELI JOKA KEHITTÄÄ YHTENÄISYYTTÄ YHTEISTYÖTÄ YHTEISÖÄ LYHYESTI VIISIPALLOSTA Viisipallo muistuttaa pohjimmiltaan paljon polttopalloa: Siinä on sisäjoukkue ja ulkojoukkue. Sisäjoukkue lyö pallon
LisätiedotSalasuhteita. esimerkiksi espanjaksi nimi tarkoittaa pientä pusua.
Salasuhteita Avioliittopeleistä kehiteltiin edelleen uusia pelejä, joissa varsinaisten avioliittojen lisäksi kohdataan sopimattomia suhteita kuningatarten ja sotilaiden välillä vieläpä maiden rajat ylittäen!
LisätiedotSisällys. Kaavioiden rakenne. Kaavioiden piirto symboleita yhdistelemällä. Kaavion osan toistaminen silmukalla. Esimerkkejä. 2.2
2. Vuokaaviot 2.1 Sisällys aavioiden rakenne. aavioiden piirto symboleita yhdistelemällä. aavion osan toistaminen silmukalla. simerkkejä. 2.2 Vuokaaviot Graafinen kieli algoritmien kuvaamiseen. Muodostetaan
LisätiedotSimulation model to compare opportunistic maintenance policies
Simulation model to compare opportunistic maintenance policies Noora Torpo 31.08.18 Ohjaaja/Valvoja: Antti Punkka Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin
LisätiedotPolitiikka ja pedagogiikka: tehtäviä ja toimintahäiriöitä
Sosiaalipedagogiikka epäoikeudenmukaisuuden ja haavoittuvuuden kohtaajana Xavier Úcar, Barcelonan autonominen yliopisto En ajattele itseäni sosiaalisena olentona vaan olentona, joka kykenee tekemään valintoja,
LisätiedotTIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. FT Ari Viinikainen
TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op FT Ari Viinikainen Tietokoneen rakenne Keskusyksikkö, CPU Keskusmuisti Aritmeettislooginen yksikkö I/O-laitteet Kontrolliyksikkö Tyypillinen Von Neumann
LisätiedotMetsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3
LisätiedotPeliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely)
Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Riku Hyytiäinen 23.02.2015 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 10 To 19.4.2018 Timo Männikkö Luento 10 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Verkon 3-väritys Pelipuut Pelipuun läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 10 To 19.4.2018 2/34 Algoritmien
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTässä oppaan osiossa kuvataan seuraavien pelimuotojen pokerisäännöt: Tässä oppaan osiossa kuvataan seuraavien käteispelityyppien pokerisäännöt:
Pokerisäännöt Versio 2.0 27.3.2019 Tässä oppaan osiossa kuvataan seuraavien pelimuotojen pokerisäännöt: Cash Games Tournaments Pokerikädet- osiossa kuvataan pokerikäsien arvojärjestys. Käteispelit Tässä
Lisätiedot