MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 Ratkaisuehdotukset LH 10 / vko 48 Tehtävä 1: Olkoot A R n n symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi. Näytä, että (i T A n (λ iα i (ii A n (λ i α i jossa α i on siten, että n α iv i, jossa vektorit v ovat matriisiin A liittyvä ominaiskanta. Ratkaisu: Vektorit v i muodostavat matriisiin A liittyvän ominaiskannan. Koska A R n n on symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi, voidaan sen ominaisvektorit valita siten, että ne ovat ortonormeeratut. Ominaisvektoreille v i, i 1,..., n, pätee siis v T i v i 1, (1 v T j v i 0, kun j i, ( Av i λ i v i. (3 (i ( T ( T A α j v j A α i v i j1 ( ( α j vj T α i Av i j1 ( ( α j vj T α i λ i v i j1 j1 yhtälö (3 α j α i λ i vj T v i yhtälö ( αi λ i vi T v i yhtälö (1 αi λ i 1
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 (ii A α i Av i α i λ i v i ( α i λ i v i ( α j λ j v jt j1 ( ( α j λ j vj T α i λ i v i j1 j1 yhtälö (3 y yt y α j λ j α i λ i vj T v i yhtälö ( αi λ i vi T v i yhtälö (1 αi λ i Tehtävä : Olkoot M R n n siten, että 1 1 1 1 1 M......... 1 1 1 1 1 Näytä, että (i T M n i + n i i i 1 + i i+1 (ii jokaisella a, b R, 1 (a + b ab 1 (a + b. (iii 1 λ(m 3.
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 Ratkaisu: (i R n. 1 1 T M [ ] 1 1 1 1 1... n.......... 1 1 1 n 1 1 1 + [ 1 + + 3 ] + 3 + 4 1... n. n + + n + n 1 ( 1 + + j ( j 1 + j + j+1 + n ( + n i + j i i 1 + i i+1 i (ii Kaikille a, b R pätee: (a b 0 a + b ab 0 a + b ab ab 1 ( a + b ja (a + b 0 a + b + ab 0 a + b ab ab 1 ( a + b eli 1 ( a + b ab 1 ( a + b (iii Lauseketta T A kutsutaan matriisiin A liittyväksi Rayleigh n osamääräksi. Symmetriselle matriisille A R n n pätee, että sen suurin ja pienin ominaisarvo T ovat: λ ma (A ma 0 T A T ja λ min (A min 0 T A T. 3
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 Tehtävän matriisi M on symmetrinen. Rayleigh n osamäärää käyttämällä, arvioidaan M:n ominaisarvojen suuruutta arvioimalla (i-kohdassa saatua T M:n lauseketta (ii-kohdan perusteella ensin ylöspäin ja sitten alaspäin. T M 3 i + i i 1 + i i+1 i i + i i+1 + i i+1 keskimmäisen summan indeksi i i + i i+1 i+1 1 ( i + i+1 i + 3 T Vastaavasti T M i ( i + i+1 + n + 1 i i + i i+1 i+1 1 ( i + i+1 i i T i ( i + i+1 n 1 ( i + i Yhdistämällä nämä tulokset ja jakamalla T :lla saadaan 1 T M T 3, jolloin Rayleigh n osamäärän ominaisuuksien perusteella kaikille M:n ominaisarvoille λ(m täytyy päteä 1 λ(m 3. 4
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 Kotitehtävä 3: Olkoot A, B R n n symmetrisiä ja positiividefiniittejä matriiseja. Käytetään matriisin A pienimmästä ja suurimmasta ominaisarvosta merkintää λ m (A ja λ M (A. Näytä, että (i λ(a λ(a ja λ(a λ(a (ii λ m (ABA λ m (Bλ m (A (iii λ M (ABA λ M (Bλ M (A Ratkaisu: (i Olkoon λ A:n ominaisarvo, ja v vastaava ominaisvektori, joten Av λv pätee. Tästä seuraa (A v A(Av A(λv λ(av λ(λv λ v eli λ on A :n ominaisarvo, eli λ(a λ(a. Koska A on positiividefiniitti, niin λ 0. Saadaan Av λv A 1 Av A 1 λv Iv λa 1 v 1 λ v A 1 v eli λ 1 on A 1 :n ominaisarvo. Edellisen väitteen perusteella, λ on A :n ominaisarvo, eli λ(a λ(a. (ii Käytetään jälleen Rayleigh n osamäärää (koska A ja B ovat symmetrisiä, myös ABA on symmetrinen: λ m (ABA min 0 T (ABA T min 0 (A T B(A T Merkitään A y. Tällöin A 1 y ja T y T (A 1 T y T (A T 1 y T A 1. Lisäksi 0 y 0. Näillä saadaan λ m (ABA min y T A 1 A 1 y min y T A y Kasvatetaan nimittäjän lauseketta Rayleigh n osamäärän avulla (koska A on symmetrinen, myös A on symmetrinen: joten λ M (A ma y T A y y T y λ m (ABA min yt A y y T y y T A y min y T yλ M (A y T A y y T yλ M (A 1 λ M (A min y T y 1 (λ m (A λ m(b λ m (Bλ m (A 5
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 (iii Samaan tapaan kuin (ii-kohta. λ M (ABA ma 0 T (ABA T ma y T A y Tällä kertaa nimittäjää pienennetään: λ m (A min y T A y y T y yt A y y T y y T yλ m (A y T A y joten λ M (ABA ma y T A y ma y T yλ m (A 1 λ m (A λ M(B λ M (Bλ M (A 6
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 Kotitehtävä 4: Olkoot Matriisi A 1 0 A 1 1 0 1 Matriisin A ominaisarvoja ei lasketa tietokoneella ratkaisemalla polynomin nollakohtia. Eräs tapa laskea approksimaatio matriisin A suurimmalle ominaisarvolle on potenssi-iteraatio, i+1 A i, i 0, 1,... A i Jossa 0 on jokin alkuarvaus. Aproksimaatio ominaisarvolle lasketaan Rayleigh-osamäärän avulla, µ i ( i T A i. (4 i (i Laske approksimaatio matriisin A suurimmalle ominaisarvolle käyttämällä potenssiiteraatiota. (ii Piirrä virhe λ µ i. Ratkaisu: Iteraation edetessä i lähestyy A:n suurinta ominaisarvoa vastaavaa ominaisvektoria, jolloin µ i lähestyy A:n suurinta ominaisarvoa. Matlab-koodi: A[ 1 0;1 1; 0 1 ]; [1 1 1] ; % vapaavalintainen iteraation aloitusvektori m10; % iteraatioiden määrä myyzeros(m,1; % m1 nollavektori, tähän tulee myyn arvot errorzeros(m,1; % m1 nollavektori, tähän tulee kunkin iteraatiovaiheen virhe for k1:m (A*/norm(A*; %iteraatioaskel myy(k( *A*/(norm(^; % ominaisarvon approksimaatio error(kabs( + sqrt(-myy(k; % virhe end myy(m % näyttää suurimman ominaisarvon approksimaation ruudulla % piirretään myös kuva figure plot(linspace(1,m,m, error label( iteraation numero ylabel( virheen suuruus 7
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 (i A:n suurimman ominaisarvon approksimaatioksi saadaan ylläolevalla koodilla µ 3.414. (ii Iteraation virheen laskemiseksi piti ratkaista käsin A:n suurin ominaisarvo. λ 1 0 det(a λi det 1 λ 1 0 1 λ ( λ 3 ( λ ( λ ( λ(λ 4λ + 0 Ominaisarvoiksi saadaan λ 1, λ + ja λ 3. Näistä suurin on λ +, ja se löytyy koodista error(k-lausekeesta. Virheen kuvaaja löytyy kuvasta 1. Ainakin käytetyllä 0 :lla iteraatio suppeni hyvin nopeasti. Kuva 1: Virheen kuvaaja 8