11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

Samankaltaiset tiedostot
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

30A02000 Tilastotieteen perusteet

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

k S P[ X µ kσ] 1 k 2.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

2. Uskottavuus ja informaatio

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

tilastotieteen kertaus

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

V ar(m n ) = V ar(x i ).

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Batch means -menetelmä

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

8.1 Ehdolliset jakaumat

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Yleistä tietoa kokeesta

Rakenteiden Mekaniikka Vol. 41, Nro. 2, 2008, s Esko Valkeila

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo

l (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

3. Teoriaharjoitukset

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Transkriptio:

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden tunteminen kuuluu jokaisen tilastotieteilijän yleissivistykseen. Päätulosten todistuksia ei voida käydä läpi tämän kurssin puitteissa.

11.1 Suurten lukujen laki Suurten lukujen laki (engl. law of large numbers) kertoo, että otoskeskiarvo suppenee kohti vastaavaa odotusarvoa, kun otoskoko kasvaa rajatta. Suurten lukujen lakeja on olemassa lukuisia sen mukaan, minkätyyppisiä objekteja tarkastellaan ja minkälaisia oletuksia niiden yhteisjakaumasta tehdään. Suuren lukujen laeista on olemassa sekä heikkoja versioita (sana heikko viittaa stokastiseen suppenemiseen) että vahvoja versioita (sana vahva viittaa melkein varmaan suppenemiseen).

Stokastinen suppeneminen Määritelmä 11.1 Jono satunnaismuuttujia X 1, X 2,... suppenee stokastisesti eli konvergoi stokastisesti (engl. converges in probability) kohti satunnaismuuttujaa Y, jos kaikilla ɛ > 0. P( X n Y ɛ) n 0, Voitaisiin yhtäpitävästi vaatia, että P( X n Y > ɛ) 0 kaikilla ɛ > 0, tai P( X n Y ɛ) 1 kaikilla ɛ > 0. Stokastista suppenemista merkitään usein seuraavaan tapaan, X n p Y, tai plimn X n = Y.

Melkein varma suppeneminen Määritelmä 11.2 Jono satunnaismuuttujia X 1, X 2,... suppenee (eli konvergoi) melkein varmasti (engl. converges almost surely) kohti satunnaismuuttujaa Y, jos X n (ω) Y (ω) perusjoukon osajoukossa, jonka tn on yksi, eli jos P( lim n X n = Y ) = 1. Melkein varmaa suppenemista merkitään esim. seuraavilla tavoilla, m.v. a.s. Y, tai X n Y. X n On mahdollista osoittaa, että melkein varmasta suppenemisesta seuraa stokastinen suppeneminen, eli että X n a.s. Y X n p Y (11.1)

Heikko suurten lukujen laki i.i.d.-jonolle Lyhenne i.i.d. on todennäköisyysteoriassa hyvin yleinen. Se tulee sanoista independent, identically distributed eli riippumattomat ja samoin jakautuneet. Todistimme jaksossa 6.1 Tšebyševin epäyhtälön avulla ns. heikon suurten lukujen lain (engl. weak law of large numbers, WLLN). Jos tätä heikkoa suurten lukujen lakia sovelletaan i.i.d.-jonoon satunnaismuuttujia X 1, X 2,..., niin se toteaa, että mikäli σ 2 = var(x i ) on äärellinen, niin n ensimmäisen satunnaismuuttujan aritmeettinen keskiarvo suppenee stokastisesti kohti vastaavaa odotusarvoa µ = EX i, eli X n = 1 n n p X i µ i=1

Vahva suurten lukujen laki i.i.d.-jonolle Lause 11.1 (Vahva suurten lukujen laki) (Engl. strong law of large numbers, SLLN.) Olkoon X 1, X 2,... jono riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo µ = EX 1 R. Tällöin keskiarvojen X n = 1 n n i=1 X i muodostama jono suppenee melkein varmasti kohti arvoa µ, eli a.s. X n µ. Oletuksena tarvitaan ainoastaan se, että odotusarvon täytyy olla olemassa (reaalilukuna). Jos jono ( X n ) toteuttaa vahvan suurten lukujen lain, niin se tietenkin toteuttaa myös heikon suurten lukujen lain.

11.2 Jakaumasuppeneminen Määritelmä 11.3 Olkoon X 1, X 2,... jono satunnaismuuttujia, joiden kertymäfunktiot ovat F 1, F 2,.... Olkoon Y satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on G, ts. kaikilla x F n (x) = P(X n x), G(x) = P(Y x). Jono (X n ) suppenee jakaumaltaan (engl. converges in distribution tai converges in law) kohti Y :tä, mikäli lim F n(x) = G(x) n kaikissa rajajakauman kertymäfunktion G jatkuvuuspisteissä x.

Kommentteja jakaumasuppenemisesta Usein jakaumasuppenemisessa rajajakauma on jatkuva jakauma (esim. N(0, 1)). Jatkuvan jakauman kertymäfunktio on jatkuva funktio koko reaaliakselilla. Jos rajajakauma on jatkuva, niin kertymäfunktioiden jonon pitää supeta jokaisessa reaaliakselin pisteessä, lim F n(x) = G(x), kaikilla x R. n d Merkitsemme jakaumasuppenemista X n Y. Nuolen yläindeksi d tulee sanasta distribution. Jos rajajakauma on jokin tuttu jakauma, kuten N(0, 1), niin jakaumasuppenemista voidaan merkitä siten, että satunnaismuuttujan sijasta käytetään rajajakauman tunnusta, esim. d X n N(0, 1).

Jakaumasuppenemisen hyödyntäminen Tilastotieteessä jakaumasuppenemista käytetään usein jakaumien approksimointiin. Jos tiedetään, että X n d Y, kun n niin jollakin äärellisellä indeksin n arvolla voidaan satunnaismuuttujan X n jakaumaa approksimoida rajamuuttujan Y jakaumalla, mitä voidaan merkitä symbolisesti X n d Y. Edellisessä merkinnässä Y :n tilalla voidaan käyttää sen jakauman tunnusta.

Esimerkki: asymptoottinen luottamusväli Jos rajamuuttujalla Y on jatkuva jakauma, niin d suppenemisesta X n Y seuraa esimerkiksi, että P(X n I ) n kun I R on mikä tahansa väli. Tämän ansiosta suurilla n P(Y I ), P(X n I ) P(Y I ). Usein tilastollisessa päättelyssä joudutaan tarkkojen luottamusvälien sijasta soveltamaan tähän ajatukseen perustuvia asymptoottisia luottamusvälejä. Tämän takia jakaumasuppeneminen on tärkeä käsite (frekventistisessä) tilastotieteessä.

11.3 Keskeinen raja-arvolause Olkoon X 1, X 2,... i.i.d.-jono, ja X n olkoon n ensimmäisen jonon muuttujan keskiarvo. Merkitään µ = EX 1 ja σ 2 = var X 1. Tiedämme suurten lukujen lain nojalla, että X n suppenee kohti odotusarvoa µ. Lisäksi tiedämme, että E X n = µ, var X n = σ2 n. Keskiarvon X n jakauma keskittyy yhä tiiviimmin arvon µ ympärille, kun n kasvaa. Keskittymisvauhtia kuvaa tietyllä tavalla keskiarvon X n keskihajonta σ/ n, joka suppenee nollaa kohti vauhdilla 1/ n.

Minkä suureen jakauma suppenee keskeisessä raja-arvolauseessa Jos keskiarvo X n standardoidaan vähentämällä siitä keskiarvon odotusarvo ja jakamalla keskiarvon keskihajonnalla, saadaan lauseke X n E X n = n X n µ = 1 var X n σ n n i=1 X i µ. σ Standardoidun keskiarvon odotusarvo on tietenkin nolla, ja sen varianssi on yksi kaikilla n. Keskeisen raja-arvolauseen mukaan standardoitu keskiarvo suppenee jakaumaltaan kohti standardinormaalijakaumaa.

Keskeinen raja-arvolause Lause 11.2 (Keskeinen raja-arvolause) (Engl. central limit theorem, CLT.) Olkoon X 1, X 2,... jono riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia siten, että 0 < σ 2 <, jossa σ 2 = var X 1. Merkitään µ = EX 1, X n = 1 n n X i. i=1 Tällöin n X n µ σ d N(0, 1).

Kommentteja Keskeisen raja-arvolauseen väite voitaisiin yhtä hyvin muotoilla siten, että n ( X n µ) d N(0, σ 2 ). Standardoinnissa on oleellista vain se, että keskiarvon varianssin var( X n ) riippuvuus otoskoosta n jaetaan pois. Yo. versio autta ymmärtämään moniulotteista versiota keskeisestä raja-arvolauseesta.

Moniulotteinen versio keskeisestä raja-arvolauseesta Lause 11.3 (Keskeinen raja-arvolause, moniulotteinen versio) Jos X 1, X 2,... on i.i.d.-jono satunnaisvektoreita, joiden yhteinen odotusarvovektori on µ ja kovarianssimatriisi on Σ, niin keskeinen raja-arvolause on voimassa muodossa n( X n µ) d N(0, Σ), (11.2) jossa X n on n ensimmäisen satunnaisvektorin keskiarvo 1 n n i=1 X i.

11.4 Normaaliapproksimaatio Kun (X i ) on i.i.d.-jono, niin keskeiseen raja-arvolauseeseen avulla usein approksimoidaan äärellisellä, kiinteällä n n X n µ σ d N(0, 1). Tämä on sama asia kuin approksimaatio d σ X 2 n N(µ, n ). (Teeskentele, että edellä saatiin täsmällinen jakaumatulos, kerro vakiolla σ/ n ja lopuksi lisää µ.) Tämä on sama asia kuin approksimaatio n d X i N(nµ, nσ 2 ). i=1

Jakauma-approksimaatiot otoskeskiarvon ja summan jakaumille Huomaa, miten approksimaatioiden d σ X 2 n N(µ, n ), n d X i N(nµ, nσ 2 ). i=1 normaalijakauman parametrit saadaan approksimoitavan suureen odotusarvosta ja varianssista: E E X n = µ, n X i = nµ, 1 var X n = 1 n σ2 n var X i = nσ 2. 1

Suuren otoskoon jakauma-approksimaatioita Keskeinen raja-arvolause takaa, että nämä normaaliapproksimaatiot (eli normaaliset approksimaatiot tai normaalijakauma-approksimaatiot) saadaan mielivaltaisen tarkoiksi, kun otoskoko n valitaan riittävän suureksi. Milloin otoskoko n on riittävän suuri? Tämä asia riippuu toisaalta halutusta tarkkuudesta ja approksimaation käyttötarkoituksesta ja toisaalta satunnaismuuttujien X i yhteisen jakauman luonteesta. Symmetrisille ja yksihuippuisille jatkuville jakaumille saavutetaan pienehköllä (muutaman kymmenen) otoskoolla useisiin tarpeisiin riittävä tarkkuus, mutta vinojen jakaumien kohdalla vastaavaan tarkkuuteen tarvittava otoskoko voi olla monta kertaluokkaa suurempi.

Esimerkki: binomijakauman normaalinen approksimaatio Olkoot X 1, X 2,..., X n riippumattomia Bernoulli(p)-jakaumaa noudattavia sm:ia, jossa 0 < p < 1. Tällöin E X n = p, var X n = 1 p(1 p). n Normaaliapproksimaatiolla saadaan d 1 n X n N(p, n p(1 p)), ja i=1 X i d N(np, np(1 p)). Tässä tapauksessa pätee tarkka tulos n X i Bin(n, p). i=1

Numeerinen esimerkki binomijakauman approksimoinnista Esimerkiksi, kun n = 25 ja p = 0.6, niin np = 15 ja np(1 p) = 6. Kun Z N(0, 1) ja Φ on standardinormaalijakauman kertymäfunktio, niin saadaan approksimaatio P( n X i 13) P(15 + 6 Z 13) = P(Z 1 13 15 6 ) ( ) 13 15 = Φ 0.207. 6 Kun käytetään binomijakaumaa, eikä sen approksimaatiota, saadaan tulos n P( X i 13) 0.268. 1

Approksimaation parantaminen jatkuvuuskorjauksella Näin pienellä otoskoolla normaalinen approksimaatio ei ole kovin tarkka, mutta sitä voidaan parantaa käyttämällä ns. jatkuvuuskorjausta. Koska summa on kokonaislukuarvoinen, niin seuraavat tapahtumat ovat samoja, { n X i 13} = { 1 n X i 13 + 0.5}. 1 Kun normaaliapproksimaatiossa yläraja 13 korvataan luvulla 13.5, niin saadaan jo alkuperäistä approksimaatiota paljon tarkempi approksimaatio P( n X i 13) P(Z 1 13.5 15 6 ) 0.270.

Kokonaislukuarvoisten satunnaismuuttujien summa Jos satunnaismuuttujat X i ovat kokonaislukuarvoisia, niin myös niiden summa S = n i=1 X i on kokonaislukuarvoinen. Sen yhteydessä on mielekästä tarkastella häntätodennäköisyyksiä vain kokonaislukuarvoisissa pisteissä. Jos x ja y ovat kokonaislukuja, niin {S x} = {S x 1 2 } {S y} = {S y + 1 2 } {x S y} = {x 1 2 S y + 1 2 }

Jatkuvuuskorjaus Kun kokonaislukuarvoisten satunnaismuuttujien summan diskreettiä jakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, niin saavutetaan parempi tarkkuus, mikäli tällaiset kokonaislukuarvoisen satunnaismuuttujan kokonaislukuarvoiset rajat korvataan tähän tapaan kokonaislukujen puoliväleissä olevilla arvoilla. Tämä idea on nimeltään jatkuvuuskorjaus (engl. continuity correction). Jos approksimoidaan otoskeskiarvon jakaumaa, niin diskreetin jakauman arvojoukkoon (hilapisteet) sattuvat pisteet vastaavasti korvataan hilapisteiden puolivälissä olevilla arvoilla.

Jatkuvuuskorjaus i.i.d.-muuttujien summalle S = n 1 X i ja X i :t ovat kokonaislukuarvoisia. Jatkuvuuskorjaus johtaa summalle S approksimaatioihin ( P(S x) = P(S x 1 x 1 2 ) 1 Φ 2 nµ ) n σ ( P(S y) = P(S y + 1 y + 1 2 ) Φ 2 nµ ) n σ P(x S y) = P(x 1 2 S y + 1 2 ) ( y + 1 2 Φ nµ ) ( x 1 2 Φ nµ ) n σ n σ

11.5 Deltamenetelmä Deltamenetelmän (engl. delta method) avulla voidaan normaaliapproksimaatiota käyttää myös sileille funktioille otoskeskiarvoista. Lause 11.4 (Deltamenetelmä) Jos n(xn a) d N(0, σ 2 ), jossa a on vakio, ja funktio g on derivoituva pisteessä a, niin n(g(xn ) g(a)) d N(0, σ 2 (g (a)) 2 ). (11.3)

Deltamenetelmän heuristinen perustelu Oletuksesta n(x n a) d N(0, σ 2 ) seuraa, että suurella n sm:n X n jakauma on voimakkaasti keskittynyt arvon a lähelle, sillä X n a = 1 n(xn a). n Tässä jono 1 n suppenee kohti nollaa ja jono n(x n a) on siinä mielessä stabiili, että sillä on rajajakauma. Tämän takia suurilla n tuntuu järkevältä approksimoida satunnaismuuttujaa g(x n ) pisteessä a kehitetyllä ensimmäisen asteen Taylorin polynomilla, josta jäännöstermi voidaan (toivon mukaan) unohtaa.

Deltamenetelmän heuristinen perustelu päättyy Tehdään ensimmäisen asteen Taylorin approksimaatio g(x n ) g(a) + g (a)(x n a), jossa jäännöstermi jätettiin pois. Tämän jälkeen n(g(xn ) g(a)) g (a) n(x n a) d g (a) N(0, σ 2 ) d = N(0, σ 2 (g (a)) 2 ).

Deltamenetelmän soveltaminen Deltamenetelmää sovelletaan tavallisesti siten, että äärellisellä, kiinteällä otoskoolla n approksimoidaan n(g(xn ) g(a)) d N(0, σ 2 (g (a)) 2 ).

Esimerkki: jakauma-approksimaatio log-odds-suureelle Tarkastellaan riippumattomia muuttujia X i Bernoulli(p), i = 1,..., n, jossa 0 < p < 1. Parametrin p SU-estimaatti on X n = s/n, jossa s on onnistumisten lukumäärä. Oletetaan, että tahdotaan estimoida ns. log-odds -suuretta (vedonlyöntisuhteen logaritmia), Sen luonteva estimaatti on ˆθ n = ln θ = ln p 1 p. X n s = ln 1 X n n s, jonka jakauma ei ole mikään tunnettu jakauma.

Jakauma-approksimaatio log-odds-suureelle esimerkki päättyy Valitaan deltamenetelmässä g(u) = ln u 1 u, 0 < u < 1, Koska n( X n p) d N(0, p(1 p)), niin helppojen laskujen avulla saadaan approksimaatio n(ˆθn θ) d N(0, 1 p(1 p) ). Tällä perusteella olisi esim. mahdollista johtaa asymptoottinen luottamusväli parametrille θ.