Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFY-valmennuksen, jota ennen Teemu opetti 5 vuotta lukiossa ja Antti toimi tuntiopettajana TKK:lla. Nykyään he opettavat MAFY:n kursseilla ympäri vuoden ja Antti vastaa Mafynetti-ohjelman kehityksestä. Muut mallivastaustiimin jäsenet ovat Olli Hirviniemi, Sakke Suomalainen, Viljami Suominen ja Matti Virolainen. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, valmennuskursseihin sekä matematiikan ja luonnontieteiden opetukseen erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat lääketieteellisen valmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit Mafynetti - sähköinen oppimateriaali. Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta www. mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: www.mafyvalmennus.fi s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: (09) 3540 373 Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
. a) Määritä sellainen vakio a, että luku 05 on yhtälön ax = 05 + a juuri. b) Laske neliön piiri, kun sen lävistäjän pituus on 6. c) Tarkastellaan muotoa m olevia lukuja, kun m {, 0,, } ja n n {, 3, 4}. Määritä näistä luvuista suurin ja pienin. Ratkaisu. a) Sijoitetaan 05 yhtälöön x:n paikalle ja ratkaistaan a:n suhteen: a 05 = 05 + a 04a = 05 a = 05 04 (p) b) Neliön lävistäjä d on Pythagoraan lauseen nojalla d = a + a d = a 6 = a : a = 3 (3p) Neliön piiri on p = 4a p = 4 3 p = (4p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
c) Ratkaisuvaihtoehto Muotoa m n oleva luku on annetuilla m ja n suurin, kun m n > 0 ja m on mahdollisimman suuri ja n mahdollisimman pieni, sekä n 0. Siten m n on suurin, kun m = ja n =. Tällöin m = =. n Vastaavasti pienin m on silloin, kun m < 0 ja (5p) n n m on mahdollisimman n suuri. Näin on, kun m = ja n =, eli m = =. n (6p) Vastaus: Suurin m = ja pienin m =. n n Ratkaisuvaihtoehto Muodostetaan annetuilla m ja n kaikki vaihtoehtoista osamäärää m n. n = n = 3 n = 4 m = 3 4 m = 0 0 = 0 0 3 = 0 0 4 = 0 m = 3 m = = 3 Vastaus: Suurin m n = ja pienin m n =. 4 4 = (5p) (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
. Tasokäyrä kulkee pisteen (3, 4) kautta. Määritä käyrän yhtälö, kun kyseessä on a) origon kautta kulkeva suora b) origokeskinen ympyrä c) ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huippu on origossa. Ratkaisu. Tasokäyrä kulkee pisteen (3, 4) kautta. a) Origon (0, 0) kautta kulkeva suora on muotoa Kulmakerroin y = kx. K = y y x x K = 4 0 3 0 K = 4 3 Suoran yhtälö on siten y = 4 3 x. b) Origokeskisen ympyrän yhtälö on muotoa x + y = r. Sijoitetaan piste (3, 4) ympyrän yhtälöön (p) 3 + 4 = r r = 5, (3p) joten ympyrän yhtälö on x + y = 5. c) Ylöspäin aukeavan paraabelin, jonka huippu on origossa, yhtälö on muotoa (4p) y = ax, a > 0. Sijoitetaan pisteen (3, 4) koordinaatit yhtälöön. Saadaan 4 = a 3 : 3 (5p) a = 4 9. Paraabelin yhtälö on y = 4 9 x. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 3
3. a) Kuntopolun pituus kartalla on 7,5 cm. Mikä on polun pituus maastossa, kun kartan mittakaava on : 0 000? Anna vastaus 00 metrin tarkkuudella. b) Laske kuution yhden sivutahkon pinta-ala neliösenttimetrin tarkkuudella, kun kuution tilavuus on 7,0 litraa. Ratkaisu. a) Mittakaava k = : 0 000. Pituus kartalla x = 7,5 cm = 0,75 m. Pituus maastossa x, saadaan yhtälöstä k = x x 0 000 = 0,75 m 0 000x (x > 0) x (p) x = 0 0000 0,75 m x = 3 500 m Vastaus: Polun pituus maastossa on 3 500 m. (4p) b) Merkitään kuution särmän pituutta a:lla. Tilavuus V = 7,0 l = 7,0 dm 3 = 7 000 cm 3. (4p) V = a 3 Yhden sivutahkon pinta-ala on A S = a a = 3 V A S = ( 3 V ) A S = ( 3 7 000 cm 3 ) A S = 365,9305... cm 366 cm (5p) Vastaus: Sivutahkon pinta-ala on 366 cm. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 4
4. Olkoon A = (, ). Vektorin AB pituus on 3, ja se on kohtisuorassa vektoria 3ī + 4 j vastaan. Määritä pisteen B koordinaatit. Ratkaisu. Merkitään Kohtisuoruusehto A = (, ) AB = 3 AB (3ī + 4 j) AB = aī + b j. AB (3ī + 4 j) = 0 (aī + b j) (3ī + 4 j) = 0 3a + 4b = 0 a = 4 3 b () Pituudesta saadaan AB = 3 Sijoitetaan () yhtälöön () a + b = 3 () (p) a + b = 9 () ( 4 3 b ) + b = 9 5 9 b = 9 b = 8 5 : 5 9 b = ± 9 5 Merkitään b = 9 ja b 5 = 9. Yhtälöstä () saadaan vastaavasti (3p) a = 4 3 b ja a = 4 3 b a = 4 3 9 5 a = 5 a = 4 3 a = 5 ( 9 ) 5 Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 5
Siten vektori AB on 5 ī + 9 5 j tai Ja vastaavasti pisteen B koordinaatit ovat B = ( 5, + 9 ) 5 ( B = 7 5, 9 ) 5 5 ī 9 p 5 j. (5p) ( tai B = + 5, 9 ) 5 ( 7 tai B = 5, ) 5 (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 6
5. Ympyrän x + y = 6 jänteen keskipiste on (, ). Määritä jänteen pituus. Ratkaisu. Ympyrä x + y = 6 on origokeskinen ja sen säde on 4. Piste (, ) on tälle ympyrälle piirretyn jänteen keskipiste. Piirretään kuva Kolmio ABO on tasakylkinen, sillä sen kylkinä on ympyrän O säteet. Siten kannan AB (jänne) keskipiste M on kolmion ABO korkeusjanan toinen päätepiste ja siis MO AB. Korkeusjanan M O pituus on MO = MO = 5 ( 0) + ( 0) Kolmio AM O on suorakulmainen. Pythagoraan lauseella saadaan AM + MO = AO AM + ( 5) = 4 AM = ( + ) 6 5 AM = (p) (3p) (4p) (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 7
Jänteen AB pituus on AB = AM AB = Vastaus: Jänteen pituus on. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 8
6. Annin pelaamassa tietokonepelissä on 90 % mahdollisuus onnistua. a) Kuinka suurella todennäköisyydellä neljän pelin sarjassa tulee tarkalleen yksi epäonnistuminen? b) Mikä on neljän pelin sarjassa onnistuneiden pelien lukumäärän odotusarvo? c) Kuinka monta kertaa Annin täytyy pelata, jotta onnistuneiden pelien lukumäärän odotusarvo olisi vähintään 0? Ratkaisu. Yksittäinen tietokonepeli onnistuu todennäköisyydellä ja epäonnistuu todennäköisyydellä a) p = 0,9 q = p = 0, RATKAISUVAIHTOEHTO : Pelit ovat toisistaan riippumattomia, joten kyseessä on toistokoe. Todennäköisyys, että neljässä pelissä tapahtuu yksi epäonnistuminen on ( ) 4 P ( epäonnistuminen) = 0, ( 0,) 3 = 0,96 9,% (p) RATKAISUVAIHTOEHTO : A: Neljän pelin sarjassa täsmälleen yksi epäonnistuminen P (A) = qppp + pqpp + ppqp + pppq P (A) = 4 qppp P (A) = 4 0, 0,9 3 P (A) = 0,96 9, % (p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 9
b) RATKAISUVAIHTOEHTO : Pelit ovat toisistaan riippumattomat, joten voitot noudattavat binomijakaumaa. Binomijakauman odotusarvo on E(X) = np = 4 0,9 = 3,6. (3p) (4p) RATKAISUVAIHTOEHTO : Binomitodennäköisyys P (X = k) = ( ) n k p k q n k, missä n = 4. Satunnaismuuttuja X on onnistuneiden pelien lukumäärä. Kysytty odotusarvo P (X = 0) = q 4 = 0, 4 = 0,000 ( ) 4 P (X = ) = 0,9 0, 3 = 0,0036 ( ) 4 P (X = ) = 0,9 0, = 0,0486 ( ) 4 P (X = 3) = 0,9 3 0, = 0,96 3 P (X = 4) = 0,9 4 = 0,656 E(X) = 0,000 0 + 0,0036 + 0,0486 + 0,96 3 + 0,656 4 E(X) = 3,6 (3p) (4p) c) Kyseessä on siis binomitodennäköisyys, missä n on pelien lukumäärä. Binomijakauman odotusarvo on np. Oltava siis np 0 n 0,9 0 : 0,9 n,... Vastaus: Annin täytyy pelata vähintään kertaa. (5p) (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 0
Jos et muista binomijakauman odotusarvon kaavaa E = np, tai et löydä sitä taulukkokirjasta, voit myös ratkaista tehtävän näin: Osoita vastaavalla laskelmalla kuin b-kohdassa, että pelien määrän ollessa odotusarvo on 9,9 ja määrän ollessa odotusarvo on 0,8. Näin ollen pelejä täytyy olla tai enemmän, jotta onnistuneiden pelien määrän odotusarvo on vähintään 0. Mistä sitten voi keksiä, että pelejä tulee olla juuri, ettei tarvitsisi testata suurta määrää vaihtoehtoja? Voiton todennäköisyys on 0,9, joten Anni voittaa pitkällä juoksulla keskimäärin 9 peliä kymmenestä. Jos Anni pelaa n peliä, hän voittaa siis keskimäärin niistä 0,9n. Tämän perusteella voidaan arvioida, kuinka monta peliä tulee pelata, että voittaa niistä keskimäärin 0. 0,9n = 0 : 0,9 n =,... Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
7. Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetin pituus on a. Kolmion sisälle asetetaan kuvion mukaisesti pienempi tasakylkinen kolmio, jonka yksi kärki sijaitsee alkuperäisen kolmion hypotenuusalla. Lisäksi jana AB on hypotenuusan suuntainen. Määritä pienemmän kolmion suurin mahdollinen pintaala. Määritä pienemmän kolmion suurin mahdollinen pinta-ala. A a a B Ratkaisu. Mallikuva Pythagoraan lauseella b = a ja h = a. Kolmiot ABD ja EF D ovat yhdenmuotoiset (kk), joten x = y. Kolmion ABC pinta-ala on h b y (h x) = xb h = x a a/ (h x) ( ) a x ) = x ( a x = x + a x (p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Pinta-alalle saadaan siis lauseke: f(x) = x + a x, x ] 0, a [ Funktio f on alaspäin aukeava paraabeli, joten sen maksimi löytyy derivaatan nollakohdasta. Derivaatan nollakohta on (3p) f (x) = 0 x + a = 0 x = Funktion f arvo derivaatan nollakohdassa on f a. (4p) ( ) ( ) a a = + a ( ) a = a 8. (5p) Vastaus: Suurin mahdollinen pinta-ala on a 8. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 3
8. Erään kaivoksen kivihiilivarojen laskettiin vuoden 05 alussa riittävän 50 vuodeksi, jos louhintatahti (yksikkönä tonnia/vuosi) pysyy samana. Minä vuonna kivihiilivarat loppuvat, jos louhintaa lisätään joka vuosi,5 % edelliseen vuoteen verrattuna? Ratkaisu. Olkoon mainittujen laskelmien pohjana oleva louhintatahti vuonna 05 a tonnia/vuosi. Koska kaivoksen kivihiilivarat riittävät 50 vuodeksi, kaivoksessa on vuoden 05 alussa 50a tonnia kivihiiltä. Koska eletään vuoden 05 alkua, viimeisin tiedossa oleva louhintatahti on vuonna 04 toteutunut. Tulkitaan tehtävänantoa niin, että edellä mainittu a on sama kuin viimeisin toteutunut tahti, eli vuoden 04 louhintatahti. Jos joka vuosi louhitaan,5 % enemmän kuin edellisenä vuonna, niin vuonna 05 louhintahti on,05a ja yleisesti n:nnen vuoden aikana louhitaan,05 n a tonnia kivihiiltä. Selvitetään milloin kivihiili loppuu.,05a +,05 a + +,05 n a 50a (p),05a,05n 50a,05 (3p),05 0,05 (,05n ) 50,05 n 9 4 9 ln 4 n ln,05 = 3,8... Tästä saadaan, että kivihiili loppuu 33 vuoden aikana, eli vuonna 047. Huomautus: Harmittavasti tehtävänanto ei ole tulkittavissa yksikäsitteisesti. Ilmaus jos louhintatahti pysyy samana tarkoittaa, että louhintatahti on vuonna 05 jokin luku a ja sen jälkeisinä vuosina kunakin sama a. Jälkimmäinen vaihtoehto jos louhintaa lisätään joka vuosi,5 % edelliseen vuoteen verrattuna tarkoittaa, että louhintatahti on vuonna 05 jokin luku b ja sen jälkeisinä vuosina,05b;,05 b;,05 3 b,... jne. Luvun b suuruudesta ei ole kuitenkaan mitään tietoa, eikä siitä, miten se suhtautuu lukuun a. Tällaisessa tilanteessa ei tietenkään kannata lähteä saivartelemaan, koska pisteiden saamiseksi tehtävään pitäisi saada laskettua jokin vastaus. Näin ollen hyvä toimintatapa koetilanteessa on tehdä hyväntahtoinen tulkinta tehtävänannosta ja selittää valittu tulkinta ratkaisun yhteydessä. Tässä tehtävässä ongelmana on, että hyväntahtoisia tulkintoja on kaksi ja on vaikea sanoa, kumpi niistä on se, mitä tehtävän laatija on ajatellut. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 4 (4p) (5p) (6p)
Tulkinta : Koska tehtävänannon jälkimmäisessä tilanteessa sanotaan, että louhintaa lisätään joka vuosi,5 % edelliseen vuoteen verrattuna ja eletään vuoden 05 alkua, on luonnollista olettaa, että vuonna 05 louhintatahti on,5 % suurempi kuin vuonna 04. Jos vuoden 04 louhintatahti oli c, niin vuodesta 05 alkaen louhintatahti on,05c;,05 c;,05 3 c;.... Miten tämä c sitten suhtautuu lukuun a, jolla tarkoitamme louhintatahtia tilanteessa jos louhintatahti pysyy samana? Jos oletetaan, että louhintatahti pysyy samana ja eletään vuosien 04 ja 05 vaihdetta, niin tuntuu luonnolliselta olettaa, että ennustetta tehdessä lähdetään siitä, että tuo samana pysyvä louhintatahti vuodesta 05 alkaen on myös sama kuin viimeksi toteutunut, eli vuoden 04 louhintatahti. Tästä saadaan a = c ja siten: Jos louhintatahti pysyy samana, ovat louhitut määrät vuodesta 05 alkaen a, a, a,.... Jos louhintatahti kasvaa joka vuosi,5 %, ovat louhitut määrät vuodesta 05 alkaen,05a;,05 a;,05 3 a;.... Tulkinta : Oletetaan, että kaivostoiminta alkaa vuoden 05 alusta. Tällöin ennusteen tekijä arvioi vuoden 05 louhintatahdiksi määrän a ja jos louhintatahti pysyy samana, ovat louhitut määrät vuodesta 05 alkaen a, a, a,..., tai jos louhintatahti kasvaa joka vuosi,5 %, ovat louhitut määrät vuodesta 05 alkaen a;,05a;,05 a;.... Edellä esitetty malliratkaisu perustuu tulkintaan. Tulkinnan mukaan saadaan eri arvo n 3,84..., mutta luvut ovat niin lähellä toisiaan, että vastaus on edelleen vuoden 047 aikana. Uskomme, että kummalla tahansa tulkinnalla on mahdollista saada täydet pisteet. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 5
9. Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin haviää? Anna vastaus prosenttiyksikön tarkkuudella. Ratkaisu. Mallikuva: Lasketaan reiän tilavuus. Reikä koostuu lieriöstä ja kahdesta identtisestä pallosegmentistä. Pythagoraan lauseella h + r = R h = R r Nyt saadaan h L = h = R r. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 6
Lisäksi joten Lieriön tilavuus on h S + h L = R (pallon halkaisija), h S = R h L = R R r. (p) Segmentin tilavuus on V S = πh S ( R h S 3 V L = πr h L = πr R r. ) = π(r R r ) ( R R R r 3 Reiän tilavuus on V L + V S, joten kysytty osuus voidaan nyt laskea: V reikä = V L + V S V pallo V pallo = πr R r + π(r ( R r ) R R ) R r 3 = 4π 3 R3 π,0 5,0,0 + π(5,0 5,0,0 ) ( 5,0 5,0 = 0,05939... 5,9 % 4π 3 5,03 ) ) 5,0,0 3 (3p) (4p) (5p) (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 7
0. a) Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet a < b < c muodostavat geometrisen jonon. Määritä jonon suhdeluku q. b) Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet a < b < c muodostavat aritmeettisen jonon. Määritä suhde a : b : c. Ratkaisu. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat a, b ja c, joille pätee suuruusjärjestys a < b < c. Pythagoraan lauseen nojalla a + b = c () a) Sivut muodostavat geometrisen jonon, jonka täytyy suuruusjärjestyksen takia olla joko. a, b, c (kasvava jono) tai. c, b, a (vähenevä jono) Ratkaistaan ensin tapaus. Jono on geometrinen, joten b = qa Sijoitetaan nämä yhtälöön (). ja c = qb = q a, missä q > 0. a + (qa) = (q a) a + q a = q 4 a : a + q = q 4 q 4 q = 0 () Merkitään z = q. z z = 0. (3) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla z = ± ( ) 4 ( ) z = ± 5 eli suhdeluku q on joko q = + 5 q = ( + + 5 ) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 8
tai q = 5 Tapauksessa jono on c, b, a, joten b = qc Sijoitetaan nämä yhtälöön (). < 0 ei kelpaa. (p) a = qb = q c, missä q > 0. (q c) + (qc) = c q 4 c + q c = c : c q 4 + q = : q 4 + q = q 4 Merkitään z = q. + z = z 4 z 4 z = 0 Huomataan, että tämä on sama kuin yhtälö (), joten aiemman laskun perusteella z = q = + 5 + 5 Vastaus: Mahdolliset suhdeluvut ovat q = q = + 5. (3p) + 5 tai q = + 5. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 9
b) Suuruusjärjestyksen takia mahdolliset lukujonot ovat a-kohdan tavoin. a, b, c (kasvava jono) ja. c, b, a (vähenevä jono) Merkitään perättäisten jäsenten erotusta d:llä. Jono on aritmeettinen, joten molemmissa tapauksissa a = b d Sijoitetaan nämä yhtälöön (). c = b + d, missä d > 0. (b d) + b = (b + d) b bd + d + b = b + bd + d (4p) b = 4bd b = 4d b d = 4. Näin ollen sivujen pituuksien suhteet ovat : b : d (5p) a b = b d b b = 4 3 a = b d b d = 4 4 = 3 4 4 3 b b c = b b + d = b d b + = 4 4 + = 4 5 d c = 5 4 b = 5 4 4 3 a = 5 3 a. 5 4 c Vastaus: Sivujen pituuksien suhteet ovat a : b : c = : 4 3 : 5 3. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 0
. Millä numeron n arvoilla 0-järjestelmän luku n34n567n89n on jaollinen luvulla a) 3 b) 6 c) 9? Ratkaisu. a) Ratkaisuvaihtoehto Luonnollinen luku on tunnetusti jaollinen kolmella, jos ja vain jos sen numeroiden summa on myös jaollinen kolmella. Luvun n34n567n89n numeroiden summa on + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 4n = 45 + 4n = 3(5 + n) + n. 3(5 + n) on jaollinen luvulla 3, joten n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n on, eli kun n kuuluu joukkoon {0, 3, 6, 9}. (p) Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n = 0, 3, 6 tai 9. Ratkaisuvaihtoehto n34n567n89n = 0 + 0 + n 0 0 + + n 0 0 = (9 + ) + (9 + ) + n (9 + ) 0 + + n + + n 0 + + n (mod 3) = + + n + + n = 45 + 4n 4n (mod 3) = 3n + n n (mod 3) 0 (mod 3), jos ja vain jos n on jaollinen luvulla 3, joten n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n on, eli kun n kuuluu joukkoon {0, 3, 6, 9}. (p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n = 0, 3, 6 tai 9. b) Koska 6 = 3 ja luvut ja 3 ovat keskenään jaottomia, luonnollinen luku on jaollinen luvulla 6 täsmälleen silloin, kun se on jaollinen sekä luvulla että luvulla 3. Luku n34n567n89n on luonnollinen luku, joten a-kohdan nojalla n täytyy olla jaollinen luvulla 3. Lisäksi luku n34n567n89n on jaollinen kahdella, jos ja vain jos sen viimeinen numero, eli n, on parillinen. c) Näin ollen luvun n täytyy siis olla jaollinen sekä luvulla 3 että luvulla, eli sen täytyy kuulua joukkoon {0, 6}. Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 6 täsmälleen silloin, kun n = 0, tai 6. (3p) (4p) Ratkaisuvaihtoehto Luonnollinen luku on tunnetusti jaollinen yhdeksällä, jos ja vain jos sen numeroiden summa on myös jaollinen yhdeksällä. Luvun n34n567n89n numeroiden summa on a-kohdan nojalla 45 + 4n = 9 5 + 4n. (5p) 9 5 on jaollinen luvulla 9, joten n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun 4n on. 4 ja 9 ovat keskenään jaottomat, joten tämä toteutuu, kun n on jaollinen luvulla 9, eli kuuluu joukkoon {0, 9}. (6p) Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 3 täsmälleen silloin, kun n = 0 tai 9. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Ratkaisuvaihtoehto n34n567n89n = 0 + 0 + n 0 0 + + n 0 0 = (9 + ) + (9 + ) + n (9 + ) 0 + + n + + n 0 + + n (mod 9) = + + n + + n = 45 + 4n 4n (mod 9) 0 (mod 9), (5p) jos ja vain jos 4n on jaollinen luvulla 9. Koska 4 ja 9 ovat keskenään jaottomia, niin 4n on jaollinen luvulla 9 täsmälleen silloin, kun n on jaollinen luvulla 9, eli kuuluu joukkoon {0, 9}. Vastaus: n34n567n89n on jaollinen luvulla 9 täsmälleen silloin, kun n = 0 tai 9. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 3
. Polynomi P (x) = x 3 + ax 4x + b on jaollinen binomeilla x ja x + 3. Ratkaise yhtälö P (x) = 0. Ratkaisu. P (x) = x 3 + ax 4x + 6 on kolmannen asteen polynomi ja jaollinen binomeilla x ja x + 3, joten P (x) = A(x + B)(x )(x + 3), missä A ja B ovat joitakin reaalilukuja. x 3 + ax 4x + b = A(x + B)(x )(x + 3) x 3 + ax 4x + b = A(x + B)(x + x 3) x 3 + ax 4x + b = A(x 3 + (B + )x + (B 3)x 3B) x 3 + ax 4x + b = Ax 3 + A(B + )x + A(B 3)x 3AB (p) (3p) Kolmannen asteen termeistä nähdään, että A =, joten ensimmäisen asteen termeistä saadaan A(B 3) = 4 Sij. A = (B 3) = 4 4B 6 = 4 4B = : 4 B =, eli P (x) = (x + )(x )(x + 3), joten tulon nollasäännön nojalla yhtälö P (x) = 0 toteutuu, kun (4p) (5p) x + = 0 tai x = 0 tai x + 3 = 0 x = x = x = 3 Vastaus: x =, x = tai x = 3. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 4
3. a) Anna esimerkki rajoitetusta lukujonosta, joka ei suppene. Perustele väitteesi. b) Anna esimerkki vähenevästä lukujonosta, joka ei ole rajoitettu. Perustele väitteesi. c) Määritä jokin sellainen luku p > 0, että funktion f(x) = x p epäoleellinen integraali f(x) dx suppenee, mutta epäoleellinen integraali hajaantuu. Ratkaisu. f(x) dx a) Kysytty lukujono voi olla esimerkiksi (a n ), missä eli lukujono a n = ( ) n, kun n =,, 3,...,,,,,,,... Lukujono (a n ) ei suppene, sillä sen jäsenet eivät lähesty mitään reaalilukua, kun n, mutta on rajoitettu, sillä a n kaikilla n. b) Kysytty lukujono voi olla esimerkiksi (b n ), missä b n = n, kun n =,, 3,..., (p) eli lukujono,, 3, 4, 5, 6,... Lukujono (b n ) on vähenevä, sillä (3p) mutta ei rajoitettu, sillä b n+ = (n + ) = n = b n < b n, b n = n, kun n. (4p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 5
c) p > 0, Tarkastellaan tilannetta p =. f(x) dx = x dx = f(x) = x p / ( x = x lim ) ( ) =, x } {{ } 0 eli integraali f(x) dx suppenee, kun p =. (5p) f(x) dx = x dx = x dx = / =, ln x = lim x (ln x ) ln() } {{ } 0 eli integraali f(x) dx hajaantuu, kun p =. ehdot. Täten luku p = toteuttaa Huom! Ehdot toteutuvat millä tahansa p ], ] ja mikä tahansa p:n arvo tältä väliltä kelpaa täysien pisteiden saamiseksi, kunhan tulos on perusteltu ja laskelmat ovat oikein. (6p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 6
*4. Olkoot a > 0, b > 0 ja c > 0. Tarkastellaan avaruuden suoraa S, joka kulkee origon ja pisteen (a, b, c) kautta. Suoran S suunta voidaan ilmoittaa kolmen suuntakosinin avulla. Suuntakosinit cos α, cos β ja cos γ ovat vektorin aī+b j + c k ja yksikkövektoreiden ī, j ja k välisten kulmien α, β ja γ kosineita. a) Laske suoran x = y 3 = z 7 suuntakosinit. (3 p.) b) Laske a-kohdan suuntakosinien neliöiden summa. ( p.) c) Määritä vastaavat suuntakulmat α, β ja γ asteen kymmenesosan tarkkuudella. ( p.) d) Osoita, että b-kohdan tulos on sama kaikille tehtävän alkuosan ehdot toteuttaville suorille. ( p.) Ratkaisu. a) Tarkastellaan suoraa x = y = z. Annettu suora kulkee origon ja pisteen 3 7 (, 3, 7) kautta, koska 0 = 0 3 = 0 7 ja = 3 3 = 7 7 ja pisteet toteuttavat siis suoran yhtälön. Lasketaan vektorin v = ī + 3 j + 7 k ja yksikkövektorien ī, j ja k välisten kulmien kosinit: cos α = cos β = cos γ = v ī v ī = + 3 0 + 7 0 + 3 + 7 = 6 v j v j = 0 + 3 + 7 0 + 3 + 7 = 3 6 v k v k = 0 + 3 0 + 7 + 3 + 7 = 7 6 p (3p) b) cos α + cos β + cos γ = ( ) ( ) ( ) 3 7 + + 6 6 6 = 4 + 9 + 49 6 = p (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 7
c) cos α = 6 α = 75,85... 75,3 cos β = 3 6 β = 67,604... 67,6 cos γ = 7 6 γ = 7,5... 7,3 d) Olkoot a > 0, b > 0 ja c > 0, ja lasketaan suuntakosinit vektorille v = aī + b j + c k. cos α = cos β = cos γ = v ī v ī = a + b 0 + c 0 a + b + c = v j v j = a 0 + b + c 0 a + b + c = v k v k = a 0 + b 0 + c a + b + c = a a + b + c b a + b + c c a + b + c p (7p) yksi kulma väärin (8p) Lasketaan nyt suuntakosinien neliöiden summa. cos α + cos β + cos γ = ( ) ( ) ( a a +b +c + b a +b +c + = a + b + c a + b + c = ) c a +b +c Suuntakosinien neliöiden summa on siis aina. (9p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 8
*5. Kolmion kahden sivun pituudet ovat CA = a ja CB = b. Näiden sivujen välisen kulman puolittajasta kolmion sisälle jäävän osan pituus on k. Puolittaja jakaa kolmannen sivun kahteen osaan, joiden pituudet ovat AD = x ja DB = y. Osoita, että k = ab xy, a) kun a = b. (3 p.) b) kun a b. (6 p.) Ratkaisu. Mallikuva: a) Jos a = b, kolmio on tasakylkinen. Silloin BAC = CBA, joten kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät (ksk). Siten x = y ja kulma CDA on suora. Pythagoraan lauseella b + x = a, eli k = a x. Koska a = b ja x = y, niin k = ab xy. b) Kulmanpuolittajalauseen nojalla b = y = s, jolloin b = sa ja y = sx. a x Sovelletaan kosinilausetta kolmioon ABC, ja ratkaistaan cos α. b = a + (x + y) a(x + y) cos α a(x + y) cos α = a s a + (x + sx) cos α = ( s )a + ( + s) x ( + s) ax = ( s)a + ( + s)x ax (p) (3p) (4p) (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 9
Sovelletaan kosinilausetta kolmioon ADC k = a + x ax cos α = a + x ax ( s)a + ( + s)x ax = a + x ( s)a ( + s)x = sa sx = a sa x sx = ab xy. Näin ollen k = ab xy. p (7p) (8p) (9p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 30