Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/139 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2 ) Kommutatiivisuus Assosiatiivisuus u+v = v+u (u+v)+w = u+(v+w)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/139 Pituus ja sisätulo Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) sisätulo Pituudelle ax = a x (u,v) = u v = u 1 v 1 +u 2 v 2. Muistetaan, että u 2 = (u,u). Ortogonaalisuus: u v (u,v) = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/139 Sisätulo Sisätulon ominaisuuksia (s.3) (u,u) 0 (u,u) = 0 u = 0 (u,v) = (v,u) (u+v,w) = (u,w)+(v,w). (au,v) = a(u,v), a R.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/139 Sisätulo Sisätulon ominaisuuksia (s.3) (u,u) 0 (u,u) = 0 u = 0 (u,v) = (v,u) (u+v,w) = (u,w)+(v,w). (au,v) = a(u,v), a R. Myös (u,v+w) = (u,v)+(u,w) ja(u v,w) = (u,w) (v,w).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/139 Avaruusvektorit, s. 4 Avaruusvektorien joukko R 3 = {(x,y,z) x,y,z R}. Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) operaatiot Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,u 3 +v 3 ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2,au 3 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/139 Avaruusvektorit Avaruusvektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) aiemmat tulokset (1.3) (1.7) toimivat myös R 3 :ssa, kun määritellään u = u 2 1 +u2 2 +u2 3 ja (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/139 Suorat Suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P
Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/139 Suorat Suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P s
Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/139 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/139 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc t = 1 (t R) P ts vektoreina r = r 0 +ts, t R.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/139 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R) P t = 2 ts vektoreina r = r 0 +ts, t R.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/139 Erikoistapaukset (standardiesitys) Tapaus c = 0: L : Tapaus b = c = 0: x x 0 a = y y 0 b, z = z 0 L : y = y 0, z = z 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/139 Tasot Tason piste P = (x 0,y 0,z 0 ) ja normaalivektori n = (a,b,c) (0,0,0). Tason T koordinaattimuotoinen esitys T : ax+by +cz = d missä d = ax 0 +by 0 +cz 0.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/139 Mitä yhtälöryhmälle saa tehdä? 1) Yhtälön voi kertoa vakiolla 0 2) Yhtälön voi lisätä toiseen vakiolla kerrottuna 3) Yhtälöiden järjestystä voi vaihtaa
Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/139 n-ulotteinen avaruus, s.9 Vektorien joukko R n = {(x 1,x 2,...,x n ) x 1,x 2,...,x n R}. Vektoreille u = (u 1,u 2,...,u n ) ja v = (v 1,v 2,...,v n ) operaatiot Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,...,u n +v n ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2,...,au n )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/139 n-ulotteinen avaruus, s.9 Vektoreille u = (u 1,u 2,...,u n ) ja v = (v 1,v 2,...,v n ) aiemmat tulokset (1.3) (1.7) toimivat myös R n :ssa, kun määritellään u = u 2 1 +u2 2 + +u2 n ja (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 + +u n v n.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/139 MATRIISIT: Johdanto 2 1 4 2 2 4 1 2 (k = 20) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/139 MATRIISIT: Johdanto 2 1 4 2 2 4 1 2 (k = 7) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/139 MATRIISIT: Johdanto 6 4 2 4 2 2 4 2 { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0,
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/139 MATRIISIT: Johdanto 3 2 1 4 2 2 4 1 2 3 { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ei ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0, eli k = 6.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/139 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( 2 3 4 k ) ja "determinantti" 2 3 4 k = 2 k 3 4
Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/139 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( 2 3 4 k ) ja "determinantti" 2 3 4 k = 2k 3 4 "vakiot"pystyvektorina ( 1 5 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/139 MATRIISIT: Johdanto Yleistyykö edellinen tarkastelu? Entä kun tuntemattomia ja yhtälöitä eri määrä? Onko yhtälöryhmää, jossa tarkalleen 17 ratkaisua?
Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/139 Matriiseista Samaa tyyppiä olevat m n-matriisit voidaan laskea yhteen A+B Nollamatriisi O = (0) m n Transponointi A T ( 1 2 3 4 5 6 ) T = 1 4 2 5 3 6
Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/139 Matriisien tulo, s. 13 Matriisien A = (a ij ) m s ja B = (b ij ) s n tulo on AB = (u ij ) m n missä kaikilla i, j. u ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a is b sj
Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/139 Matriisien tulo Matriisitulo ( 1 2 3 4 ) 2 2 ( 5 6 7 8 9 10 ) 2 3 =
Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/139 Matriisien tulo Matriisitulo ( 1 2 3 4 ) 2 2 ( 5 6 7 8 9 10 ) 2 3 = ( 21 24 27 47 54 61 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/139 Matriisien tulo Matriisitulo ( 1 2 3 4 ) 2 2 ( 5 6 7 8 9 10 ) 2 3 = ( 21 24 27 47 54 61 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/139 Matriisien tulo Yleensä ei KOMMUTOI AB BA
Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/139 Matriisien tulo Kaikkien m n-matriisien joukko M m n
Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/139 Laskusääntöjä, s. 18 skalaari r R (AB)C = A(BC) A(B +C) = AB +AC (A+B)C = AC +BC r(ab) = A(rB)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/139 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x + y + t = 1 3x y + 2z t = 2 x + y z = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/139 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/139 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 Tästä matriisit 5 1 0 1 3 1 2 1 1 1 1 0, x 1 x 2 x 3 x 4, 1 2 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/139 Johdanto yhtälöryhmiin, s.16 Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 Tästä matriisit 5 1 0 1 3 1 2 1, 1 } 1 1 {{ 0 } kerroinmatriisi x 1 x 2 x 3 x 4, }{{} tuntemattomat 1 2 0 }{{} vakiot
Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/139 Esimerkiksi { 2x + 3y = 1 4x + 5y = 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/139 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/139 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 A = ( 2 3 4 5 ) x = ( x 1 x 2 ) c = ( 1 3 ) Matriisikielellä Ax = c
Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/139 2.5 Lineaariset yhtälöryhmät Monisteessa (2.3) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = c 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = c m
Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/139 Matriisien avulla Ax = c, missä A = a 11 a 12... a 1n a 12 a 22... a 2n............, a m1 a m2... a mn ja x = x 1 x 2. c = c 1 c 2. x n c m
Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/139 Homogeenisuus Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos Monisteessa (2.5) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = 0 eli matriisimuodossa Ax = 0. Muutoin epähomogeeninen
Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/139 Esimerkiksi Epähomogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 Homogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 0 4x 1 + 5x 2 = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/139 Yhtälöryhmistä Olkoon x 0 yksittäisratkaisu epähomogeeniselle yhtälöryhmälle Ax = c. Silloin sen kaikki ratkaisut ovat muotoa x = x 0 +y missä y on homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 kaikki ratkaisut.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/139 Tulon transponointi (AB) T = B T A T Matriisi on symmetrinen, jos järjestys! A T = A Identiteettimatriisi I = I n = 1 0 0 0 1 0...... 0 0 1 Neliömatriisille A: AI = IA = A
Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/139 Matriisin potenssi Kun kokonaisluku k 1 A k = A A A }{{} k Lisäksi A 0 = I
Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/139 Matriisiyhtälöistä (s. 20) Matriisiyhtälöitä voidaan käsitellä kuten reaalilukuyhtälöitä, kunhan ei käytetä jakolaskua eikä kommutatiivisuutta Ei siis voi yleensä supistaa AB = AC B = C
Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/139 Käänteismatriisi Määritelmä neliömatriisin A käänteismatriisille eli EI MERKITÄ 1 A vaana 1 Ei aina olemassa, esim A = AB = BA = I AA 1 = A 1 A = I ( 1 2 0 0 ).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/139 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/139 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa. Jos matriisin A = ( a b c d ) kertoimille ad bc 0, niin A 1 = 1 ad bc ( d b c a )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/139 Laskusääntöjä Olkoot A ja B säännöllisiä matriiseja: (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T
Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/139 Laskusääntöjä Olkoot A ja B matriiseja, missä pystyrivien avulla B = (b 1 b k ). Silloin kertolasku AB = (Ab 1 Ab k )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/139 2.3 Matriisien kertominen lohkomuodossa Lohkominen ( A B C D )( 1 0 a b 0 1 c d 0 0 1 0 0 0 0 1 A B C D ) = ( ( I A O I ) AA +BC AB +BD CA +DC CB +DD ) Esimerkiksi ( I A O I )( A O I B ) = ( O AB I B )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/139 Determinantti Neliömatriisille A: det(a) = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a n1 a n2... a nn = kaikki permutaatiot(j 1,j 2,...,j n ) sign(j 1,j 2,...,j n )a 1j1 a 2j2...a njn
Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/139 2-rivinen determinantti a b c d = ad cb
Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/139 Perusominaisuuksia, s. 26 1) 2) a 11... ca 1k... a 1n a 21... ca 2k... a 2n............... a n1... ca nk... a nn det(a T ) = det(a) = c a 11... a 1k... a 1n a 21... a 2k... a 2n............... a n1... a nk... a nn vastaavasti vaakariville
Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/139 Perusominaisuuksia, s. 27 3) a 11... a 1k +b 1k... a 1n a 21... a 2k +b 2k... a 2n............... a n1... a nk +b nk... a nn = a 11... a 1k... a 1n a 21... a 2k... a 2n............... a n1... a nk... a nn + a 11... b 1k... a 1n a 21... b 2k... a 2n............... a n1... b nk... a nn vastaavasti vaakariville
Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/139 Perusominaisuuksia, s. 27 4) Jos pysty- tai vaakarivi on nollarivi, niin det(a) = 0. 5) Jos kaksi samaa pystyriviä (tai kaksi samaa vaakariviä), niin det(a) = 0. 6) Jos kaksi vaakariviä (tai kaksi pystyriviä) vaihdetaan keskenään, niin determinantti muuttuu vastaluvukseen. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a n1 a n2... a nn = a 21 a 22... a 2n a 11 a 12... a 1n............ a n1 a n2... a nn
Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/139 Perusominaisuuksia, s. 27 7) c + a 11... a 1h... a 1k... a 1n a 21... a 2h... a 2k... a 2n..................... a n1... a nh... a nk... a nn = a 11... a 1h... a 1k +ca 1h... a 1n a 21... a 2h... a 2k +ca 2h... a 2n..................... a n1... a nh... a nk +ca nh... a nn vastaavasti vaakariville
Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/139 Tulon determinantti det(ab) = det(a) det(b) Jos A on säännöllinen, niin det(a 1 ) = 1 det(a)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/139 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in
Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/139 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ( = 5 3 4 9 1 ) ( +6 + 2 4 8 1 ) ( +7 2 3 8 9 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/139 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in = n a ik C ik k=1 ja pystyriville det(a) = n a kj C kj k=1
Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/139 Käänteismatriisin kaava Matriisin A liittomatriisi adj(a) = (C ij ) T Jos A on säännöllinen, niin A 1 = 1 det(a) (C ij) T A on säännöllinen det(a) 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/139 Cramerin sääntö Jos yhtälöryhmän Ax = c kerroinmatriisi A on säännöllinen, niin sillä on yksikäsitteinen ratkaisu x j = det(a j) det(a) missä x = x 1 x 2. x n ja A j saadaan korvaamalla j:s pystyrivi c:llä
Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/139 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 u v = (C 11,C 12,C 13 ).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/139 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 u v = v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 u 2 u 3 u 1 u 3 u 1 u 2,, v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2. }{{}}{{}}{{} C 11 C 12 C 13
Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/139 Ristitulo Eli (u,u v) = u 1 C 11 +u 2 C 12 +u 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = u 1 v 2 v 3 +u u 1 u 3 2 v 1 v 3 +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja samoin (v,u v) = v 1 C 11 +v 2 C 12 +v 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 +v u 1 u 3 u 1 u 2 2 +v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 Johtavat determinantteihin (kehittämällä 1. vaakarivi) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/139 Ristitulo Eli (u,u v) = u 1 C 11 +u 2 C 12 +u 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = u 1 v 2 v 3 +u u 1 u 3 2 v 1 v 3 +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja samoin (v,u v) = v 1 C 11 +v 2 C 12 +v 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 +v u 1 u 3 u 1 u 2 2 +v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 Johtavat determinantteihin (kehittämällä 1. vaakarivi) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = 0 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/139 Ristitulo Siis u (C 11,C 12,C 13 ) = 0 v (C 11,C 12,C 13 ) = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/139 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Jos u ja v eivät nollavektoreita ja α on niiden välinen kulma, niin u v = u v sinα. Vertaa (1.4): (u,v) = u v cosα. u u v ja v u v
Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/139 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = Ei kommutatiivinen i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u v = v u Ei myöskään assosiatiivinen eli yleensä u (v w) (u v) w.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/139 Skalaarikolmitulo Skalaarikolmitulo vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ), v = (v 1,v 2,v 3 ) ja w = (w 1,w 2,w 3 ): u (v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Vektorien määräämän suuntaissärmiön (kts. kuva alla) tilavuus saadaan itseisarvosta u (v w) u w v
Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/139 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/139 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/139 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U. 0 kuuluu aina aliavaruuteen! U = {x R n Ax = 0} on R n :n aliavaruus Triviaalit aliavaruudet: {0} ja R n.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/139 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/139 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/139 AliavaruudetR 3 :ssa {0} origon kautta kulkevat suorat origon kautta kulkevat tasot R 3
Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/139 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c k x k c 1,c 2,...,c k R}
Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/139 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c k x k c 1,c 2,...,c k R} Esimerkiksi a(1,1)+b(1,0) ja L((1,1),(1,0)) sisältää mm. vektorit (0,0),(1,1),(1,0),(2,1),(0,1),( 2,0),...
Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/139 Matriisien avulla Pystyrivien lineaarikombinaatio A = (a 1 a 2... a n ) Ac = c 1 a 1 + +c n a n
Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/139 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n Lause 4.2.8: neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen
Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/139 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n Lause 4.2.8: neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen Esimerkiksi L((1,1),(1,0)) = R 2, sillä 1 1 1 0 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/139 Johdanto: Lineaarinen riippumattomuus Olkoot x = (1,1,0) ja y = ( 2, 2,0). Näille lineaarikombinaatioina 0 x+0 y = (0,0,0) 2 x+1 y = (0,0,0) 20 x+10 y = (0,0,0).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/139 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippuvuus c 1 x 1 +...+c m x m = 0 missä jokin c j 0 Lineaarinen riippumattomuus c 1 x 1 +...+c m x m = 0 = c 1 = c 2 =... = c m = 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/139 Matriisien avulla Lause 4.3.10: Neliömatriisin A = (a 1 a 2... a n ) pystyriveille: Pystyrivit ovat lin. riippumattomia A on säännöllinen
Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/139 Lineaarinen riippumattomuus Lause 4.3.5 sanoo: Vektorit ovat lineaarisesti riippuvia jokin niistä saadaan muiden lineaarikombinaationa x j = c 1 x 1 + +c j 1 x j 1 +c j+1 x j+1 + +c m x m
Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/139 Lineaarinen riippumattomuus Kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia toinen on toisen skalaarimonikerta Varoitus: ei toimi useammalla vektorilla: (1,1,0),(1,0,0),(0,1,0) vaikka t (1,0,0) (0,1,0) s (1,0,0) (1,1,0) r (0,1,0) (1,1,0) kaikilla t,r,s R, niin silti lin. riippuvuus (1,1,0) = (1,0,0)+(0,1,0)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/139 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/139 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 89/139 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4,2) 2 4 2 2 = 12 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 90/139 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4, 4)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 91/139 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa (yksikäsitteisesti): (1, 2) = 1 2 (2,2) 1 2 ( 4,2)+0 (1, 2) (1, 2) = 0 (2,2)+0 ( 4,2)+1 (1, 2)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 92/139 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) virittävät koko U:n.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 93/139 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia eli c 1 u 1 + +c m u k = 0 c 1 = = c k = 0, (ii) virittävät koko U:n eli L(u 1,...,u k ) = {c 1 u 1 + +c k u k c 1,...,c k R} = U.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 94/139 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 95/139 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}. Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 96/139 Perusominaisuuksia s. 45 1) Jokaisella aliavaruudella U on kanta. 2) Jokaisessa U:n kannassa on sama määrä vektoreita. 3) Lineaarisesti riippumaton U:n joukko {u 1,...,u k } voidaan täydentää U:n kannaksi {u 1,...,u k,u k+1,...u m }. 4) Jos L(u 1,...,u t ) = U, niin tästä saadaan kanta U:lle jättämällä ylimääräiset pois (kunnes lin. riippumaton).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 97/139 Dimension ominaisuuksia s. 46 Olkoot U,V R n aliavaruuksia: 1) dimu n 2) Jos U V, niin dimu dimv. 3) Jos U V, niin dimu < dimv. 4) Jos u 1,...,u k U ja k < dimu, niin eivät viritä U:ta. 5) Jos u 1,...,u k U ja k > dimu, niin ovat lineaarisesti riippuvia.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 98/139 Dimension ominaisuuksia s. 46 6) Vektorit u 1,...,u k U muodostavat kannan, jos kaksi seuraavista voimassa: (i) u 1,...,u k ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) U = L(u 1,...,u k ), (ii) k = dimu.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 99/139 Dimension ominaisuuksia s. 46 7) Olkoon u 1,...,u k kanta U:lle ja vektoreiden v 1,...,v k U kantaesitykset v j = k a ij u i (j = 1,...,k). i=1 Vektorit v 1,...v k muodostavat kannan, jos on säännöllinen. A = (a ij ) k k
Lineaarialgebra (muut ko) p. 100/139 Tunnettuja dimensioita Aliavaruuden U R n dimensio dim U = kantavektoreiden lukumäärä Koko avaruudelle dimr n = n. Tasolle (origon kautta) T R 3 dimt = 2. Suoralle (origon kautta) L R 3 diml = 1.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 101/139 Vaaka- ja pystyriviavaruus Matriisin A = 1 3 0 1 1 2 vaakariviavaruus ja pystyriviavaruus V(A) = L((1,3),(0,1),(1,2)) P(A) = L((1,0,1),(3,1,2))
Lineaarialgebra (muut ko) p. 102/139 Vaaka- ja pystyriviavaruus Nähtiin dimv(a) = 2 = dimp(a) Pitääkö yleisesti paikkansa kaikille A?
Lineaarialgebra (muut ko) p. 103/139 Vaaka- ja pystyriviavaruus P(AB) P(A) V(AB) V(B) jos C ja C ovat säännöllisiä, niin P(AC) = P(A) V(C A) = V(A)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 104/139 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n Esimerkiksi 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 5
Lineaarialgebra (muut ko) p. 105/139 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n Esimerkiksi kanta 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1-3 5
Lineaarialgebra (muut ko) p. 106/139 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n Esimerkiksi kanta 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1-3 5 = 1 1 1 3 1 3 ( 1 1 2 0 2 0 1 2 1 1 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 107/139 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n Esimerkiksi kanta 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1-3 5 = 1 1 1 3 1 3 ( 1 1 2 0 2 0 1 2 1 1 ) V(A) = V(BC) V(C) Saadaan dimv(a) dimp(a) ja dimv(a) = dimp(a)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 108/139 Matriisin aste Matriisin aste r(a) = dimv(a) = dimp(a) Lause 5.2.4 r(ab) r(a) r(ab) r(b) A säännöllinen r(ab) = r(b) B säännöllinen r(ab) = r(a) A = }{{} B }{{} C m r(a) r(a) n r(a T ) = r(a)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 109/139 Alideterminantti, s. 56 Matriisin A M m n alideterminantti on determinantti det(b), missä B on neliömatriisi, joka saadaan A:sta pyyhkimällä pois jotkin sen vaaka- ja pystyriveistä. Alideterminantin riviluku on B:n riviluku Lause 5.2.8 r(a) = A:n nollasta eroavien alideterminanttien suurin riviluku
Lineaarialgebra (muut ko) p. 110/139 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lineaarialgebra (muut ko) p. 111/139 Käänteismuunnokset AM1: Kahden vaakarivin vaihto Käänteismuunnos: Vaihdetaan vaakarivit takaisin AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 Käänteismuunnos: Kerrotaan vaakarivi skalaarilla 1/c AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna Käänteismuunnos: Lisätään vaakarivi toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lineaarialgebra (muut ko) p. 112/139 Riviekvivalenssi ( 1 2 3 6 5 4 ) ( 1 2 3 5 3 1 ) ( 5 3 1 1 2 3 ) ( 10 6 2 1 2 3 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 113/139 Riviekvivalenssi ( 1 2 3 6 5 4 ) ( 1 2 3 5 3 1 ) ( 5 3 1 1 2 3 ) ( 10 6 2 1 2 3 ) vastaavat alkeismatriisit E 1 = ( 1 0 1 1 ), E 2 = ( 0 1 1 0 ), E 3 = ( 2 0 0 1 ) eli E 3 E 2 E 1 ( 1 2 3 6 5 4 ) = ( 10 6 2 1 2 3 ).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 114/139 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0... 0 0 0 0 0 0 1... 0........................... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 115/139 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0... 0 0 0 0 0 0 1... 0........................... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 aste r(a) =porrasluku ja V(A):n kanta on portaiden vaakarivit.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 116/139 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden V(A) kanta {(1,1,0,2),(0,0,1,1)}.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 117/139 Redusoitu porrasmuoto Myös I on redusoitu porrasmuoto Lause 5.4.8. A on säännöllinen A I
Lineaarialgebra (muut ko) p. 118/139 Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla Alkeismuunnoksilla (A I) (I A 1 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 119/139 Ratkaisuavaruuden dimensio Yhtälöryhmän (n tuntematonta) Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n r(a)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 120/139 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 (1,0)+c 2 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}
Lineaarialgebra (muut ko) p. 121/139 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}
Lineaarialgebra (muut ko) p. 122/139 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 ( 1, 1)+c 2 (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}
Lineaarialgebra (muut ko) p. 123/139 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}
Lineaarialgebra (muut ko) p. 124/139 Johdanto: Kannanvaihto Eli samalla vektorilla x = (2,3) on luonnollisen kannan suhteen (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) ja kannan B suhteen (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) eli X E = ( 2 3 ) ja X B = ( 5 1 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 125/139 Koordinaattivektori Kanta B = {b 1,...,b n } avaruudelle R n. Vektorin x R n koordinaattivektori X B = r 1 r 2. r n missä kantaesitys x = r 1 b 1 + +r n b n.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 126/139 Koordinaattivektori Olkoon x = (1,2,3) R 3 :n luonnollisen kannan suhteen 1 X E = 2 3 Kannan B = {(1,1,1),(1,0,2),( 1,2,1)} suhteen X B = 4/5 4/5 3/5
Lineaarialgebra (muut ko) p. 127/139 Kannanvaihdon matriisi Toinen kanta C = {c 1,...,c n }. Kannanvaihdon B C matriisi: c 1 = p 11 b 1 + +p n1 b n. c n = p 1n b 1 + +p nn b n. P B C = p 11 p 1n..... p n1 p nn Muista transponointi!
Lineaarialgebra (muut ko) p. 128/139 Kannanvaihdon matriisi X C = P C B X B P B C = (P C B ) 1
Lineaarialgebra (muut ko) p. 129/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x y A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Yleensä A = R n ja B = R m
Lineaarialgebra (muut ko) p. 130/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x u z y Ei ole kuvaus!
Lineaarialgebra (muut ko) p. 131/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B Im(f) = {f(a) a A} kuvajoukko
Lineaarialgebra (muut ko) p. 132/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B B B 0 f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } alkukuva
Lineaarialgebra (muut ko) p. 133/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B f on surjektio, jos Im(f) = B
Lineaarialgebra (muut ko) p. 134/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b Kuvauksessa voi olla
Lineaarialgebra (muut ko) p. 135/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b z f on injektio, jos a b f(a) f(b) a,b A Bijektio, jos surjektio ja injektio
Lineaarialgebra (muut ko) p. 136/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja kuvaus g : A B ovat yhtäsuuret, jos f(a) = g(a) a A Merkitään f = g
Lineaarialgebra (muut ko) p. 137/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B C A B C f g x g(f(x)) f(x) Yhdistetty kuvaus g f : A C, (g f)(x) = g(f(x))
Lineaarialgebra (muut ko) p. 138/139 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B A A B f x y g Käänteiskuvauksia, jos f g = id B ja g f = id A. f 1 olemassa f on bijektio
Lineaarialgebra (muut ko) p. 139/139 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0.