Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 1 of 20
Kertausta Määritelmä Olkoon A n n-matriisi. Jos on olemassa sellainen n n-matriisi B, että AB = I n = BA, sanotaan, että B on A:n käänteismatriisi ja merkitään B = A 1. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 2 of 20
Kertausta Määritelmä Olkoon A n n-matriisi. Jos on olemassa sellainen n n-matriisi B, että AB = I n = BA, sanotaan, että B on A:n käänteismatriisi ja merkitään B = A 1. Jos A:lla on käänteismatriisi, sanotaan että A on säännöllinen. Muutoin A on singulaarinen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 2 of 20
Kertausta Määritelmä Olkoon A n n-matriisi. Jos on olemassa sellainen n n-matriisi B, että AB = I n = BA, sanotaan, että B on A:n käänteismatriisi ja merkitään B = A 1. Jos A:lla on käänteismatriisi, sanotaan että A on säännöllinen. Muutoin A on singulaarinen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 2 of 20
Kertausta Säännöllisen matriisin ominaisuuksia Olkoon A n n-matriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: Matriisi A on säännöllinen eli on olemassa matriisi B, jolle AB = I n ; Matriisin A redusoidussa porrasmuodossa on tarkalleen n porrasta ; A I n ; Matriisin A rivit ovat lineaarisesti riippumattomat; Matriisin A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat; Matriisi A on täysiasteinen eli r(a) = n; AB = 0 B = 0 (tai BA = 0 B = 0); det(a) 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 3 of 20
Kertausta Käänteismatriisi Gaussin-Jordanin menetelmällä Muodostetaan edellisistä yhtälöryhmistä (useampikertaisesti) augmentoitu matriisi ja saatetaan se redusoituun porrasmuotoon: ( A I ) ( I A 1 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 4 of 20
Kertausta Käänteismatriisi Gaussin-Jordanin menetelmällä Muodostetaan edellisistä yhtälöryhmistä (useampikertaisesti) augmentoitu matriisi ja saatetaan se redusoituun porrasmuotoon: ( A I ) ( I A 1 ) Huomautus Jos Gaussin-Jordanin menetelmä ei muuta lohkomuodon (A I) vasemmanpuoleista matriisia A identiteettimatriisiksi, voidaan todeta että A:lla ei ole käänteismatriisia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 4 of 20
Kertausta Determinantin määritelmä ja laskeminen Olkoon A = ( ) a b. c d Silloin determinantti det(a) = ad bc. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 5 of 20
Kertausta Determinantin määritelmä ja laskeminen Olkoon A = ( ) a b. c d Silloin determinantti det(a) = ad bc. Useampi riviset determinantit lasketaan käyttämällä determinanttien laskusääntöjä sekä kehittämällä determinantti rivien tai sarakkeiden suhteen (jolloin lopulta päädytään 2 2-determinantteihin). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 5 of 20
Kertausta Determinantin määritelmä ja laskeminen Olkoon A = ( ) a b. c d Silloin determinantti det(a) = ad bc. Useampi riviset determinantit lasketaan käyttämällä determinanttien laskusääntöjä sekä kehittämällä determinantti rivien tai sarakkeiden suhteen (jolloin lopulta päädytään 2 2-determinantteihin). Determinantin ominaisuudet det(a) 0 tarkalleen silloin kun A on säännöllinen (eli A 1 on olemassa) det(ab) = det(a) det(b) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 5 of 20
Kertausta Huomautus Olkoon A n n-matriisi. Jos det(a) 0, niin A 1 on olemassa ja homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 tarkalleen yksi ratkaisu x = A 1 0 = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 6 of 20
Kertausta Huomautus Olkoon A n n-matriisi. Jos det(a) 0, niin A 1 on olemassa ja homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 tarkalleen yksi ratkaisu x = A 1 0 = 0. Jos det(a) = 0, on yhtälöllä aina muitakin ratkaisuja x 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 6 of 20
Determinanteista Käsitteitä ja laskeminen Olkoon A = (a ij ) i,j n n-matriisi. Determinanttia M ij, joka saadaan matriisin A determinantista poistamalla i:s rivi ja j:s sarake, kutsutaan determinantin det(a) alideterminantiksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 7 of 20
Determinanteista Käsitteitä ja laskeminen Olkoon A = (a ij ) i,j n n-matriisi. Determinanttia M ij, joka saadaan matriisin A determinantista poistamalla i:s rivi ja j:s sarake, kutsutaan determinantin det(a) alideterminantiksi. Matriisin A alkion a ij liittotekijä on C ij = ( 1) i+j M ij. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 7 of 20
Determinanteista Käsitteitä ja laskeminen Olkoon A = (a ij ) i,j n n-matriisi. Determinanttia M ij, joka saadaan matriisin A determinantista poistamalla i:s rivi ja j:s sarake, kutsutaan determinantin det(a) alideterminantiksi. Matriisin A alkion a ij liittotekijä on C ij = ( 1) i+j M ij. Tällöin matriisin A determinantti voidaan laskea rivin i suhteen tai sarakkeen j suhteen det(a) = a i1 C i1 +...+a in C in det(a) = a 1j C 1j +...+a nj C nj. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 7 of 20
Determinanteista Käänteismatriisi (Cramerin sääntö) Olkoon A säännöllinen n n-matriisi. Tällöin käyttäen alideterminantteja saadaan matriisin A käänteismatriisi yhtälöstä C 11 C 21... C n1 A 1 = 1 C 12 C 22... C n2 det(a)......... C 1n C 2n... C nn M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 8 of 20
Määritelmä Olkoon A neliömatriisi. λ C on matriisin A ominaisarvo, jos on olemassa x 0 siten, että Ax = λx. Jokaista tämän yhtälön toteuttavaa vektoria x sanotaan ominaisarvoon λ kuuluvaksi ominaisvektoriksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 9 of 20
Esimerkki Ix = x = 1 x, joten 1 on identiteettimatriisin ominaisarvo ja mikä hyvänsä x 0 siihen liiittyvä ominaisvektori. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 10 of 20
Esimerkki Ix = x = 1 x, joten 1 on identiteettimatriisin ominaisarvo ja mikä hyvänsä x 0 siihen liiittyvä ominaisvektori. Esimerkki ( 2 0 0 3 )( 1 0 ) = ( 2 0 ) ( 1 = 2 0 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 10 of 20
Esimerkki Ix = x = 1 x, joten 1 on identiteettimatriisin ominaisarvo ja mikä hyvänsä x 0 siihen liiittyvä ominaisvektori. Esimerkki ( )( ) ( ) 2 0 1 2 = 0 3 0 0 ( )( ) ( ) 2 0 0 0 = 0 3 1 3 ( 1 = 2 0 ( 0 = 3 1 ) ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 10 of 20
Esimerkki Ix = x = 1 x, joten 1 on identiteettimatriisin ominaisarvo ja mikä hyvänsä x 0 siihen liiittyvä ominaisvektori. Esimerkki ( )( ) ( ) 2 0 1 2 = 0 3 0 0 ( )( ) ( ) 2 0 0 0 = 0 3 1 3 ( 1 = 2 0 ( 0 = 3 1 Siis (1, 0) on ominaisarvoon 2 kuuluva ominaisvektori ja (0, 1) arvoon 3 kuuluva. ) ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 10 of 20
Seuraus 1 Jos Ax = λx, on A i x = A i 1 Ax = A i 1 λx = = λ i x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 11 of 20
Seuraus 1 Jos Ax = λx, on A i x = A i 1 Ax = A i 1 λx = = λ i x. Seuraus 2 Olkoot λ 1,..., λ n matriisin A ominaisarvoja ja x 1,..., x n näihin kuuluvat ominaisvektorit. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 11 of 20
Seuraus 1 Jos Ax = λx, on A i x = A i 1 Ax = A i 1 λx = = λ i x. Seuraus 2 Olkoot λ 1,..., λ n matriisin A ominaisarvoja ja x 1,..., x n näihin kuuluvat ominaisvektorit. Jos x = c 1 x 1 +...+c n x n, on Ax = c 1 Ax 1 +...+c n Ax n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 11 of 20
Seuraus 1 Jos Ax = λx, on A i x = A i 1 Ax = A i 1 λx = = λ i x. Seuraus 2 Olkoot λ 1,..., λ n matriisin A ominaisarvoja ja x 1,..., x n näihin kuuluvat ominaisvektorit. Jos x = c 1 x 1 +...+c n x n, on Ax = c 1 Ax 1 +...+c n Ax n = c 1 λ 1 x 1 +...+c n λ n x n, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 11 of 20
Seuraus 1 Jos Ax = λx, on A i x = A i 1 Ax = A i 1 λx = = λ i x. Seuraus 2 Olkoot λ 1,..., λ n matriisin A ominaisarvoja ja x 1,..., x n näihin kuuluvat ominaisvektorit. Jos x = c 1 x 1 +...+c n x n, on Ax = c 1 Ax 1 +...+c n Ax n = c 1 λ 1 x 1 +...+c n λ n x n, ja induktiolla A i x = c 1 λ i 1x 1 +...+c n λ i nx n. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 11 of 20
Geometrinen tulkinta Jokainen n n-matriisi A määrittelee lineaarikuvauksen R n R n, x Ax. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 12 of 20
Geometrinen tulkinta Jokainen n n-matriisi A määrittelee lineaarikuvauksen R n R n, x Ax. Jokainen matriisin A ominaisvektori x vastaa sellaista suuntaa, jossa A toimii venyttävänä tai kutistavana kuvauksena: Ax = λx. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 12 of 20
Ominaisarvojen määrittäminen Vaatimus: Yhtälöllä Ax = λx oltava ratkaisu x 0. Ax = λx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 13 of 20
Ominaisarvojen määrittäminen Vaatimus: Yhtälöllä Ax = λx oltava ratkaisu x 0. Ax = λx Ax = λix M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 13 of 20
Ominaisarvojen määrittäminen Vaatimus: Yhtälöllä Ax = λx oltava ratkaisu x 0. Ax = λx Ax = λix (A λi)x = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 13 of 20
Ominaisarvojen määrittäminen Vaatimus: Yhtälöllä Ax = λx oltava ratkaisu x 0. Ax = λx Ax = λix (A λi)x = 0 Ratkaisu x 0 olemassa tarkalleen silloin kun A λi ei ole säännöllinen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 13 of 20
Ominaisarvojen määrittäminen Vaatimus: Yhtälöllä Ax = λx oltava ratkaisu x 0. Ax = λx Ax = λix (A λi)x = 0 Ratkaisu x 0 olemassa tarkalleen silloin kun A λi ei ole säännöllinen. Ominaisarvoyhtälö Ratkaisu x 0 on olemassa tarkalleen silloin kun det(a λi) = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 13 of 20
Ominaisarvojen määrittäminen Vaatimus: Yhtälöllä Ax = λx oltava ratkaisu x 0. Ax = λx Ax = λix (A λi)x = 0 Ratkaisu x 0 olemassa tarkalleen silloin kun A λi ei ole säännöllinen. Ominaisarvoyhtälö Ratkaisu x 0 on olemassa tarkalleen silloin kun det(a λi) = 0. Huomautus Jos A on n n-matriisi, on det(a λi) astetta n oleva λ:n polynomi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 13 of 20
Lause Matriisin A ominaisarvot λ ovat tarkalleen seuraavan yhtälön ratkaisut: det(a λi) = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 14 of 20
Lause Matriisin A ominaisarvot λ ovat tarkalleen seuraavan yhtälön ratkaisut: det(a λi) = 0. Ominaisvektorien määrittäminen Jos ominaisarvo λ on tunnettu, voidaan siihen kuuluvat ominaisvektorit x määrittää yhtälöstä Gaussin-Jordanin menetelmällä. Ax = λx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 14 of 20
Aliavaruuden määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 +c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 15 of 20
Aliavaruuden määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 +c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. Lause Olkoon V n n-matriisin A ominaisarvoon λ liittyvien ominaisvektoreiden joukko. Tällöin V on avaruuden R n aliavaruus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 15 of 20
Esimerkki Etsitään matriisin A = ( ) 4 3 6 5 ominaisarvot ja niihin kuuluvat ominaisvektorit. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 16 of 20
Esimerkki Etsitään matriisin A = ( ) 4 3 6 5 ominaisarvot ja niihin kuuluvat ominaisvektorit. Esimerkki Lasketaan edellisen esimerkin matriisille ( ) A i 5. 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 16 of 20
Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja, jos on olemassa sellainen säännöllinen matriisi P, että A = P 1 BP. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 17 of 20
Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja, jos on olemassa sellainen säännöllinen matriisi P, että A = P 1 BP. Huomautus Jos A ja B ovat similaarisia, siis A = P 1 BP jollekin säännölliselle matriisille P, on A i = A A... A = P 1 BP P 1 BP... P 1 BP = P 1 B i P. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 17 of 20
Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja, jos on olemassa sellainen säännöllinen matriisi P, että A = P 1 BP. Huomautus Jos A ja B ovat similaarisia, siis A = P 1 BP jollekin säännölliselle matriisille P, on A i = A A... A = P 1 BP P 1 BP... P 1 BP = P 1 B i P. Huomautus Matriisien similaarisuus (merk. A B ) on ekvivalenssirelaatio: A A, koska A = I 1 AI M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 17 of 20
Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja, jos on olemassa sellainen säännöllinen matriisi P, että A = P 1 BP. Huomautus Jos A ja B ovat similaarisia, siis A = P 1 BP jollekin säännölliselle matriisille P, on A i = A A... A = P 1 BP P 1 BP... P 1 BP = P 1 B i P. Huomautus Matriisien similaarisuus (merk. A B ) on ekvivalenssirelaatio: A A, koska A = I 1 AI Jos A B, on A = P 1 BP B = PAP 1, joten B A. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 17 of 20
Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja, jos on olemassa sellainen säännöllinen matriisi P, että A = P 1 BP. Huomautus Jos A ja B ovat similaarisia, siis A = P 1 BP jollekin säännölliselle matriisille P, on A i = A A... A = P 1 BP P 1 BP... P 1 BP = P 1 B i P. Huomautus Matriisien similaarisuus (merk. A B ) on ekvivalenssirelaatio: A A, koska A = I 1 AI Jos A B, on A = P 1 BP B = PAP 1, joten B A. Jos A B ja B C, on A = P1 1 BP 1, B = P2 1 CP 2, joten A = (P 2 P 1 ) 1 C(P 2 P 1 ), siis A C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 17 of 20
Huomautus Oletetaan, että n n-matriisilla A on n ominaisarvoa λ 1,..., λ n ja näihin liittyvät ominais(pysty)vektorit x 1,..., x n. Merkitään P = (x 1...x n ), jolloin AP = (Ax 1...Ax n ) = (λ 1 x 1...λ n x n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 18 of 20
Huomautus AP = (Ax 1...Ax n ) = (λ 1 x 1...λ n x n ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 19 of 20
Huomautus AP = (Ax 1...Ax n ) = (λ 1 x 1...λ n x n ) ja λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 (λ 1 x 1...λ n x n ) = (x 1...x n )..... = PD.. 0 0... λ n }{{} D M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 19 of 20
Huomautus AP = (Ax 1...Ax n ) = (λ 1 x 1...λ n x n ) ja λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 (λ 1 x 1...λ n x n ) = (x 1...x n )..... = PD.. 0 0... λ n }{{} D Siis AP = PD. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 19 of 20
Huomautus AP = (Ax 1...Ax n ) = (λ 1 x 1...λ n x n ) ja λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 (λ 1 x 1...λ n x n ) = (x 1...x n )..... = PD.. 0 0... λ n }{{} D Siis AP = PD. Täten P 1 AP = D, jos P:llä on käänteismatriisi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 19 of 20
Huomautus AP = (Ax 1...Ax n ) = (λ 1 x 1...λ n x n ) ja λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 (λ 1 x 1...λ n x n ) = (x 1...x n )..... = PD.. 0 0... λ n }{{} D Siis AP = PD. Täten P 1 AP = D, jos P:llä on käänteismatriisi. Esimerkki Jatketaan edellistä esimerkkiä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 19 of 20
Huomautus Olkoon AP = PD kuten edellä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 20 of 20
Huomautus Olkoon AP = PD kuten edellä. P 1 on olemassa M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 20 of 20
Huomautus Olkoon AP = PD kuten edellä. P 1 on olemassa det(p) 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 20 of 20
Huomautus Olkoon AP = PD kuten edellä. P 1 on olemassa det(p) 0 P:n sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 20 of 20
Huomautus Olkoon AP = PD kuten edellä. P 1 on olemassa det(p) 0 P:n sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat Matriisin A ominaisvektorit muodostavat C n :n kannan M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 20 of 20
Huomautus Olkoon AP = PD kuten edellä. P 1 on olemassa det(p) 0 P:n sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat Matriisin A ominaisvektorit muodostavat C n :n kannan Esimerkki Etsitään seuraavan matriisin ominaisarvot: 1 1 2 A = 0 2 2 1 1 3 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 6 20 of 20