Kappale 19: Numeerinen ratkaisija 19 Johdanto: Numeerinen ratkaisija... 334 Ratkaisijan avaaminen ja yhtälön syöttäminen... 335 Tunnettujen muuttujien määritteleminen... 337 Tuntemattoman muuttujan ratkaiseminen... 339 Ratkaisun esittäminen graafisesti... 340 Numeerinen ratkaisija mahdollistaa lausekkeen tai yhtälön syöttämisen, arvojen määrittelyn kaikille paitsi yhdelle tuntemattomalle muuttujalle, ja lopulta tuntemattoman muuttujan ratkaisun. Huom! Perus-näytössä tai ohjelmassa tuntematon muuttuja ratkaistaan toiminnolla nsolve(), jonka kuvaus on liitteessä A. Yhtälön ja sen tunnettujen arvojen syöttämisen jälkeen osoitetaan kohdistimella tuntematonta muuttujaa ja painetaan. Ratkaisu voidaan esittää graafisesti. Kuten yllä olevassa esimerkissä, numeerista ratkaisijaa käytetään usein ratkaisemaan suljettuja yhtälöitä. Se on kuitenkin nopea tapa ratkaista myös yhtälöitä (esim. transsendenttisia), jotka eivät ole muodoltaan suljettuja. Esimerkiksi seuraava yhtälö voidaan järjestää uudelleen manuaalisesti ratkaisemaan mikä tahansa muuttujista. a = (m2 ì m1) / (m2 + m1) ù g m1 = (g ì a) / (g + a) ù m2 Seuraavan yhtälön kaltaisissa tapauksissa saattaa kuitenkin olla vaikeampaa ratkaista x manuaalisesti. y = x + e x Numeerinen ratkaisija on erityisen käyttökelpoinen yllä olevan kaltaisten yhtälöiden ratkaisussa. x-akseli on tuntematon muuttuja. y-akseli on left rt-arvo, joka antaa ratkaisun tarkkuuden. Ratkaisu on tarkka kohdassa, jossa käyrä leikkaa x-akselin. Kappale 19: Numeerinen ratkaisija 333
Johdanto: Numeerinen ratkaisija Tutki yhtälöä a=(m2ì m1)/(m2+m1)ù g, jossa tunnetut arvot ovat m2=10 ja g=9.8. Jos oletat, että a=1/3 g, etsi m1:n arvo. Vaiheet ³ TI-89 Näppäimet TI-92 Plus Näppäimet Näyttö 1. Ota esiin numeerinen ratkaisija. O 9 O 9 2. Syötä yhtälö. Näppäimellä tai D saat esiin luettelon yhtälössä käytetyistä muuttujista. 3. Syötä jokaiselle muuttujalle arvo lukuun ottamatta tuntematonta muuttujaa m1. Määrittele ensin m2 ja g. Määrittele seuraavaksi a. (g pitää määritellä ennen kuin a:n voi määritellä g:n ehdoilla.) Hyväksy annettu oletus rajoitteelle bound. Jos muuttuja on jo aiemmin määritelty, sen arvo on oletusarvona. 4. Siirrä kohdistin tuntemattoman muuttujan m1 kohdalle. Voit myös syöttää alkuarvauksen muuttujalle m1. Vaikka syötät arvon kaikille muuttujille, numeerinen ratkaisija ratkaisee kohdistimen osoittaman muuttujan. 5. Ratkaise tuntematon muuttuja. Ratkaisun tarkkuus varmistetaan sillä, että yhtälön oikea ja vasen puoli ratkaistaan erikseen. Ero esitetään muodossa leftì rt. Jos ratkaisu on tarkka, leftì rt=0. 6. Esitä ratkaisu ZoomStdtarkasteluikkunassa. Kuvaaja esitetään jaetussa näytössä. Voit esim. jäljittää tai zoomata kuvaajaa. j A Ác jm2 jm1dec jm2«jm1dp jg D 10DD 9.8CCC jge3 DD AÁc M2 M1dec M2«M1dp G D10DD 9.8CCC Ge3 DD 3 3 g/3 lasketaan kun kohdistin siirretään pois viivalta. é osoittaa laskettuja arvoja. 7. Palaa numeeriseen ratkaisijaan ja poistu jaetusta näytöstä. Muuttujien listan saat uudelleen näyttöön painamalla tai D. 2a 2 2a 2 Kohdistimella valittu muuttuja (tuntematon muuttuja m1) on x -akselilla, leftìrt y -akselilla. 334 Kappale 19: Numeerinen ratkaisija
Ratkaisijan avaaminen ja yhtälön syöttäminen Ota esiin numeerinen ratkaisija ja syötä yhtälö, jonka haluat ratkaista. Numeerisen ratkaisijan avaaminen Avaa numeerinen ratkaisija näppäilemällä O 9. Numeerisen ratkaisijan näytössä on viimeksi syötetty yhtälö. Yhtälön syöttäminen Kirjoita yhtälö riville eqn:. Vihjeitä: Yhtälöistä: Älä käytä järjestelmäfunktioiden nimiä (kuten y1(x) tai r1(q)) yksinkertaisina muuttujina (y1 tai r1). Ole varovainen kertomerkittömän kertolaskun kanssa. Esimerkiksi yhtälöä a(m2+m1) kohdellaan kuten funktioviittausta, ei kuten yhtälöä aù (m2+m1). Huom! Kun määrittelet muuttujat, voit joko määritellä järjestelmämuuttujan exp tai ratkaista sen. Huom! Kun painat, käsiteltävä yhtälö tallennetaan automaattisesti järjestelmämuuttujaan eqn. Voit: Kirjoittaa yhtälön suoraan ratkaisijaan. Viitata muualla määriteltyyn funktioon tai yhtälöön. Kirjoita lauseke ilman yhtäläisyysmerkkiä. Hae aiemmin syötetty yhtälö uudelleen tai avaa tallennettu yhtälö. Esimerkiksi: a=(m2ì m1)/(m2+m1)ù g a+b=c+sin(d) Oletetaan, että y1(x) on määritelty joko: Y= editorissa: y1(x)=1.25xù cos(x) tai Perus-näytössä: Define y1(x)=1.25xù cos(x) Tämän jälkeen syöttäisit numeeriseen ratkaisijaan: y1(x)=0 tai y1(t)=0, jne. e+fì ln(g) Paina, jolloin lauseke merkitään yhtä suureksi kuin järjestelmämuuttuja exp ja syötetään muodossa: exp=e+fì ln(g) Argumentin ei tarvitse vastata sitä, jolla funktio tai yhtälö määritellään. Katso lisätietoja jäljempänä tässä osiossa. Kappale 19: Numeerinen ratkaisija 335
Syötettyjen yhtälöiden uudelleen hakeminen Vihje: Voit määrätä säilytettävien yhtälöiden määrän. Paina numeerisessa ratkaisijassa ƒ ja valitse 9:Format (tai TI-89: Í TI-92 Plus: F). Valitse numero väliltä 1 11. Viimeksi syöttämäsi yhtälöt (oletusasetus 11 kappaletta) säilyvät muistissa. Voit hakea yhtälöt uudelleen käsiteltäviksi seuraavalla tavalla: 1. Paina numeerisen ratkaisijan näytössä. Valintaikkunassa näkyy viimeksi syötetty yhtälö. 2. Valitse yhtälö. Valitse näytössä oleva yhtälö painamalla. Painamalla B näyttöön tulostuu yhtälölista, josta voit valita haluamasi yhtälön. 3. Paina. Jokainen yhtälö näkyy listassa vain kerran, vaikka se olisikin syötetty useampia kertoja. Yhtälöiden tallentaminen myöhempään käyttöön Huom! Yhtälömuuttujan datatyyppi on EXPR, ja se tulostuu MEMORY- ja VAR-LINK-näytöissä. Koska uudelleen haettavien yhtälöiden määrä on rajallinen toiminnolla Eqns, yhtälöä ei voida säilyttää ikuisesti. Tallenna yhtälö muuttujaan, jos haluat käyttää sitä myöhemmin. 1. Paina ƒ numeerisen ratkaisijan näytössä ja valitse 2:Save Copy As. 2. Määrittele yhtälölle kansio ja muuttujanimi. 3. Paina kahdesti. Tallennetun yhtälön avaaminen Avaa aiemmin tallennettu yhtälömuuttuja seuraavalla tavalla: 1. Paina ƒ numeerisen ratkaisijan näytössä ja valitse 1:Open. 2. Valitse haluamasi kansio ja yhtälömuuttuja. 3. Paina. Muuttuja sisältää käsiteltävän yhtälön. eqn esitetään aakkostettussa listassa. 336 Kappale 19: Numeerinen ratkaisija
Tunnettujen muuttujien määritteleminen Syötä yhtälö numeeriseen ratkaisijaan ja anna arvot muille paitsi tuntemattomalle muuttujalle. Muuttujalistan määritteleminen Huom! Jos muuttuja on lukittu tai arkistoitu, sen arvoa ei voi muuttaa. Syötä yhtälö riville eqn: ja paina tai D. Näyttöön tulostuu lista muuttujista siinä järjestyksessä, jossa ne esiintyvät yhtälössä. Jos muuttuja on jo määritelty, Ratkaisun täytyy olla määriteltyjen näyttöön tulostuu myös sen rajojen sisällä, rajat voit määritellä itse. arvo. Voit muuttaa näitä muuttuja-arvoja. Syötä luku tai lauseke kaikille muuttujille paitsi sille, jonka haluat ratkaista. Huomioita ja yleisimpiä virheitä Huom! Kun annat muuttujalle arvon numeerisessa ratkaisijassa, muuttuja määritellään globaalisesti. Arvo säilyy poistuessasi ratkaisijasta. Jos määrittelet muuttujan: Toisen yhtälössä esiintyvän muuttujan suhteen, se muuttuja täytyy määritellä ensin. Toisen, yhtälössä esiintymättömän muuttujan suhteen, täytyy sillä muuttujalla olla arvo. Se ei voi olla määrittämätön. Lausekkeen arvo lasketaan, kun siirrät kohdistimen pois riviltä. Lausekkeen täytyy evaluoitua reaaliluvuksi. Jos yhtälö sisältää muuttujan, joka on jo määritelty muiden muuttujien suhteen, nämä muuttujat luetellaan. Jos viittaat aiemmin määriteltyyn funktioon, funktiokutsussa argumentteina käytetyt muuttujat luetellaan. Funktion määrittelyssä käytettyjä muuttujia ei luetella. Koska a määritellään g:n suhteen, g täytyy määritellä ennen a:ta. Kun siirrät kohdistimen toiselle riville, g/3 lasketaan. Jos muuttuja a määriteltiin aiemmin b+c!a, b ja c luetellaan a:n sijaan. Jos f(a,b) määriteltiin aiemmin (a^2+b^2), ja yhtälö sisältää f(x,y), näkyvät x ja y listassa, ei a ja b. Kappale 19: Numeerinen ratkaisija 337
Huom! Et voi ratkaista muita järjestelmämuuttujia kuin exp. Jos yhtälö sisältää järjestelmämuuttujan, et voi myöskään piirtää ratkaisua painamalla. Huom! Jos käytät varattua nimeä väärin tai viittaat määrittelemättömään järjestelmäfunktioon yksinkertaisena muuttujana ilman sulkumerkkejä, näyttöön tulee virheilmoitus. Yhtälön sisältämää järjestelmämuuttujaa (xmin, xmax, jne.) ei merkitä listaan. Ratkaisija käyttää järjestelmämuuttujan olemassa olevaa arvoa. Vaikka voitkin käyttää järjestelmämuuttujaa yhtälössä, et voi piirtää ratkaisua painamalla. Jos näet oikealla kuvatun virheen, poista syötetty muuttuja-arvo. Muokkaa yhtälöä ja käytä eri muuttujaa. Perustarkasteluikkunassa xmax=10. Esimerkiksi y1(x) on määrittämätön ja käytät muuttujaa y1. Yhtälön muokkaaminen Alkuarvauksen ja/tai rajojen määritteleminen (valinnainen) Vihje: Jos haluat valita alkuarvauksen graafisesti, katso lisätietoja sivuilta 340 ja 341. Paina numeerisessa ratkaisijassa näppäintä C, kunnes kohdistin osoittaa yhtälöä. Näyttö muuttuu automaattisesti niin, että siinä näkyy vain eqn:-viiva. Tee haluamasi muutokset, ja palaa muuttujien listaan näppäilemällä joko tai D. Jos haluat löytää ratkaisun nopeasti tai jos haluat löytää yksittäisratkaisun (kun on olemassa moninkertaisia ratkaisuja), voit valita seuraavista vaihtoehdoista: Syötä tuntemattomalle muuttujalle alkuarvaus. Arvauksen pitää sijoittua määriteltyjen rajojen sisään. Syötä ratkaisua lähellä olevat ala- ja ylärajat. Alkuarvauksen pitää sijoittua raja-arvojen sisään. Rajoiksi voit syöttää myös muuttujia, jotka arvioidaan sopiviin arvoihin (bound={lower,upper}) tai käyvän listamuuttujan, joka sisältää kaksialkioisen listan (bound=list). 338 Kappale 19: Numeerinen ratkaisija
Tuntemattoman muuttujan ratkaiseminen Kun yhtälö on kirjoitettu numeeriseen ratkaisijaan ja tunnetuille muuttujille on syötetty arvot, voidaan ryhtyä ratkaisemaan tuntematonta muuttujaa. Ratkaisun hakeminen Huom! Laskutoimituksen voi keskeyttää näppäimellä. Tuntematon muuttuja osoittaa arvon, jota testattiin keskeytyshetkellä. Kun kaikki tunnetut muuttujat on määritelty: 1. Siirrä kohdistin tuntemattomaan muuttujaan. 2. Paina Solve. é-merkki merkitsee ratkaisun ja arvon leftì rt. é -merkki katoaa, kun arvoa muokataan, kohdistin siirretään osoittamaan yhtälöä tai ratkaisijasta poistutaan. Osoita kohdistimella muuttujaa, jonka haluat ratkaista. Yhtälön vasen ja oikea puoli ratkaistaan erikseen ratkaisun ja syötettyjen arvojen perusteella. leftì rt näyttää erotuksen, joka osoittaa ratkaisun tarkkuuden. Mitä pienempi arvo, sitä tarkempi ratkaisu. Jos ratkaisu on tarkka, leftnrt=0. Huom! Yhtälö ratkaistaan iteratiivisesti. Jos ratkaisu ei suppene riittävästi, aiheutuu kyseinen virhetila. Jos: Haluat ratkaista muita arvoja Haluat hakea eri ratkaisun yhtälölle, jolle on useampia ratkaisuja Näet ilmoituksen: Toimi näin: Muokkaa yhtälön tai muuttujien arvoja. Syötä alkuarvaus ja/tai uudet raja-arvot, jotka ovat lähellä toista ratkaisua. Paina N. Tuntematon muuttuja osoittaa arvon, jota kokeiltaessa virhe tapahtui. leftì rt-arvo saattaa olla riittävän pieni. Muussa tapauksessa anna uudet rajaarvot. Kappale 19: Numeerinen ratkaisija 339
Ratkaisun esittäminen graafisesti Voit esittää yhtälön ratkaisut graafisesti milloin vain tunnettujen muuttujien määrittelyn jälkeen, joko ennen tuntemattoman muuttujan määrittelemistä tai sen jälkeen. Graafisesta esityksestä näet, kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on. Kohdistimen avulla voit valita tarkan alkuarvauksen ja raja-arvot. Kuvaajan esittäminen Siirrä kohdistin tuntemattoman muuttujan päälle numeerisessa ratkaisijassa. Paina ja valitse: 1:Graph View tai 3:ZoomStd tai 4:ZoomFit Graph View käyttää voimassa olevia ikkunamuuttujan arvoja. Lisätietoja kohdista ZoomStd ja ZoomFit Kappaleessa 6. Vihjeitä: Jaetussa näytössä: Vaihda puolta näppäilemällä 2a. Aktiivisen puolen kehys on paksumpi. Työkalupalkki kuuluu aktiiviselle puolelle. Lisätietoja Kappaleessa 14. Kuvaaja esitetään jaetussa näytössä: Tuntematon muuttuja esitetään x-akselilla. leftì rt esitetään y-akselilla. Yhtälön ratkaisut ovat olemassa kohdassa leftnrt=0, jossa kuvaaja leikkaa x-akselin. Käytetään voimassa olevia muotoiluasetuksia. Voit tutkia kuvaajaa vapaasti liikkuvalla kohdistimella, jäljittämällä, zoomaamalla jne. Katso Kappale 6. Kuvaajan vaikutukset asetuksiin Kun käytät numeerista ratkaisijaa kuvaajan esittämiseen: Seuraavat toimintatilat asetetaan automaattisesti: Huom! Jos olet aiemmin käyttänyt erilaisia asetuksia, joudut valitsemaan ne uudelleen manuaalisesti. Tila Asetus Graph FUNCTION Split Screen LEFT-RIGHT Number of Graphs 1 Y= editorissa valittuja funktioita ei esitetä. Kaikki tilastokaaviot poistetaan käytöstä. Kun poistut numeerisesta ratkaisijasta, grafiikkanäyttö saattaa yhä näyttää yhtälön ratkaisua, eikä valituilla Y= funktioilla ole siihen vaikutusta. Ota esiin Y= editori ja palaa grafiikkanäyttöön. Kuvaaja nollataan, jos vaihdat Graph-tilaa tai käytät komentoa ClrGraph Perus-näytössä ( 5) tai ohjelmassa. 340 Kappale 19: Numeerinen ratkaisija
Uuden alkuarvauksen valitseminen kuvaajalta Huom! Kohdistimen koordinaatti xc on tuntematon muuttuja-arvo ja yc on leftì rt-arvo. Paluu kokonaiseen näyttöön Valitse alkuarvaus kohdistimella seuraavalla tavalla: 1. Siirrä kohdistin (vapaasti liikkuva tai jäljityskohdistin) pisteeseen, jota haluat käyttää uutena arvauksena. 2. Aktivoi numeerisen ratkaisijan näyttö näppäilemällä 2a. 3. Varmista, että kohdistin on tuntemattoman muuttujan päällä ja paina. 4. Ratkaise yhtälö uudelleen painamalla. sijoittaa kuvaajan kohdistimen xc-arvon alkuarvaukseksi ja yc-arvon arvoksi leftìrt. Kuvaajan xmin- ja xmax-arvot sijoitetaan raja-arvoiksi. Voit palata jaetusta näytöstä kokonaiseen näyttöön seuraavalla tavalla: Ota esiin numeerisen ratkaisijan koko näyttö. Aktivoi ensin ratkaisijan näyttö näppäilemällä 2a, paina ja valitse 2:Clear Graph View. tai Ota esiin Perus-näyttö näppäilemällä 2Kkahdesti. Muuttujien nollaaminen ja ratkaisijasta poistuminen Vihje: Kun haluat poistaa ratkaisijassa luetellut yksimerkkiset muuttujat, näppäile: TI-89: 2ˆ TI-92 Plus: ˆ Numeerisesta muuttujasta poistuttaessa yhtälön ratkaisuun käytetyt muuttujat jäävät voimaan. Jos yhtälö sisältää yksimerkkisiä muuttujia, niiden arvot saattavat tahattomasti vaikuttaa myöhempiin symbolisiin laskuihin. Ennen kuin poistut numeerisesta ratkaisijasta: 1. Poista kaikki yksimerkkiset muuttujat käyttämästäsi kansiosta näppäilemällä: TI-89: 2ˆ TI-92 Plus: ˆ. 2. Varmista toiminto painamalla. Näyttö palaa ratkaisijan riville eqn:. Kappale 19: Numeerinen ratkaisija 341
342 Kappale 19: Numeerinen ratkaisija