Opettaja, vaadi perusalgebran osaainen! Kyösti Tarvainen PhD, yliopettaja Helsingin aattikorkeakoulu Stadia Algebran perustaitojen ongela Insinööriopintonsa aloittavien ylioppilaiden ateaattisissa taidoissa esiintyy erittäin vakavia puutteita. Esierkiksi Helsingin aattikorkeakoulun rakennusosastolla tehdyissä diagnostisissa testeissä tyypillisesti vain puolet uusista ylioppilaista osaa ratkaista yhtälöparin, kolasosa kaikki potenssilaskusäännöt, neljäsosa urtolukujen ja urtolausekkeiden laskusäännöt; uutaat ylioppilaat eivät osaa ratkaista yksinkertaistakaan yhtälöä. Vaikka aattikorkeakoulun tekniikan opinnoissa ateatiikkaa käytetään useassa kurssissa ja sen takia oppilailla on yleensä hyvä otivaatio oppia sitä, puutteet perustaidoissa eivät parane itsestään opintojen kuluessa. Siksi aattikorkeakouluissa on ryhdytty toienpiteisiin, joilla ateatiikan perusosaainen pyritään saaaan nopeasti kuntoon. Yksi keino ovat perusateatiikan testit, jotka on läpäistävä testi on suoritettava niin onta kertaa, kunnes osoittaa osaavansa perusasiat. Helsingin aattikorkeakoulussa tällaisia kokeita on järjestänyt yliopettaja Pertti Toivonen (1998). Espoon-Vantaan teknillisessä aattikorkeakoulussa on vastaavanlainen testi (Peltola, 2001). Seuraavassa selostetaan Helsingin aattikorkeakoulun rakennusosastolle kehitettyä perusalgebran kohentaisjärjestelää, joka on toteutettu vuosina 2000 2002 kolella ylioppilasluokalla ja kolella aattikoulupohjaisella luokalla. Perusalgebran testi Kahdella ensiäisellä tunnilla on pidetty laaja 102 tehtävän diagnostinen testi, joka käsittää algebraa, geoetriaa, differentiaali- ja integraalilaskentaa. Testin jälkeen algebran perusteita on kerrattu ylioppilailla 14 oppituntia. Kertauksen jälkeen on pidetty perusalgebran ensiäinen testi. Se käsittää seuraavat 11 tehtävätyyppiä; yhden uusintatestin tehtävät ovat esierkkeinä. A. Algebran lausekkeiden käsittely: saanuotoisten terien yhdistäinen, sulkujen poisto Sievennä seuraavat lausekkeet: a) 2a + ab + 4a 2 + ab b) x + y (1 + x y) + 1 + y 5 (4 (a b)) b
B. Algebran lausekkeiden käsittely: suan kertoinen ja jakainen Poista sulut, sievennä lausekkeet: a) 5(2a + b) b) ab a( b) d) 6a b a + ab + C. Murtolausekkeiden kerto- ja jakolasku Sievennä seuraavat lausekkeet: a) kg b) 6a 14c 7b 12a s kg d) kg kg e) a b a D. Murtolausekkeiden supistainen Supista ne lausekkeet, jotka voi supistaa: a) x + a x + b b) 6a 12a 2 d) abc bc a(x + y)b 2(x + y) E. Murtolausekkeiden yhteenlasku Suorita yhteen- ja vähennyslaskut: d) a b + c d e) x + 1 + 1 x + 2 F. Ensiäisen asteen yhtälö: tavalliset xyhtälöt Ratkaise seuraavat yhtälöt: a) 2x + 1 = 4(x ) + 8 b) x + 1 + 2x + 1 5 = 2 G. Ensiäisen asteen yhtälö: suureen ratkaiseinen kaavasta Ratkaise kysytty suure annetusta yhtälöstä: a) σ = F A, F? b) l 1 = l 2 + αt, t? p = 100 a b a, a? H. Lineaarinen yhtälöpari Ratkaise yhtälöpari { 2x + y = 11 x + 2y = 19 I. Yhtälöt, joissa potensseja tai neliöjuuria Seuraavien tehtävien kaavoissa kaikki suureet ovat positiivisia. Ratkaise kysytty suure. a) c 2 = 4a 2 + b 2, b? b) V = 4 πr, r? c = a 2 + b 2, b? J. Toisen asteen yhtälö Ratkaise seuraavat yhtälöt: a) x 2 9 = 9 b) x 2 + 4x = 0 a) 2 + 1 x 2 + x 6 = 0 b) a + 1 a b + 1 K. Potenssilaskusäännöt Sovella potenssilaskusääntöjä seuraaviin lausekkeisiin:
a) (2xy) b) ( ) 2 ab 2c x y 4 x 5 y 2 d) (x ) 4 e) a8 a 4 f) e 0 + 1 g) a 2 1 a 2 Aattikoulupohjaisilla luokilla huonoa lähtötasoa kuvaa se, että vain noin joka viides osaa ratkaista yksinkertaisen yhtälön, esierkiksi yhtälön. Näillä luokilla algebran opetukseen on käytetty ensin 74 oppituntia. Sitten on pidetty perusalgebran testi, jonka tyypillisesti neljännes luokasta läpäisee ensiäisellä kerralla; jotkut tarvitsevat viitisen uusintaa. Kukaan ei ole purnannut kaikki oppilaat ovat kokeneet perusalgebran kohentaisprojektin kotitehtävineen ja uusintatesteineen ielekkääksi. Vaikka kaikki suorittavat kaikki tehtävätyypit, virheitä tulee jatkossakin, koska laskentarutiinien hankkiinen on laiinlyöty aieissa opinnoissa. Uusintatestien kulku Esierkiksi eräällä ylioppilasluokalla ensiäisen testin kaikki tehtävät ratkaisi oikein joka toinen. Testiä läpäiseättöät saivat pakollisia kotitehtäviä niistä tehtävätyypeistä, joita eivät hallinneet. Lisätehtävät oli otettu Teknisten aattien ateatiikka 2Z -kirjasta (Kinnunen et al., 1985). Jokainen tehtävätyyppi tuli suorittaa niin onta kertaa, että se osattiin. Seuraava taulukko näyttää, iten ylioppilaat kyseisellä luokalla saivat tehtävätyyppejä suoritetuiksi. Taulukko. Ylioppilaiden suorittaattoien tehtävätyyppien väheneinen; rivi kuvaa yhden henkilön kehitystä. Yksi henkilö tarvitsi 4 uusintakertaa. Kuusitoista opiskelijaa suoritti kaikki tehtävät ensiäisessä testissä, eivätkä he siksi esiinny tässä taulukossa. 0 1 2 BD B DIK K CDEIK C CK BCDGI D BCIJK K DCJK D CDEGIK DEG G EI CK CK CFI F CDE CE ABCEFK ABCEFK CEF BEFIJK BEFK EK K FGK F K K Sarakkeet: (0) Perusalgebran testissä suorittaattoat tehtävät. (1) 1. uusintatestissä suorittaattoat tehtävät. (2) 2. uusintatestissä suorittaattoat tehtävät. (). uusintatestissä suorittaattoat tehtävät. Opiskelijoiden näkeyksiä huonon osaaisen syistä Kun ylioppilailta on kyselty, iksi he eivät ole oppineet ateatiikan perusasioita lukiossa, he eivät ole oittineet ateatiikan opettajia epäpäteviksi; päinvastoin oni on kiitellyt opettajansa perusteellista ja innostavaa opetusta. Opiskelijoiden esittäät syyt huonoon osaaiseen voidaan luokitella seuraaviin neljään ryhään, joiden perässä on henkilökohtaisia koentteja aattikorkeakoulun opettajan näkökulasta. Lukion oppiäärän laajuus. Asioita on niin paljon, että niitä ei ehditä käydä kunnolla läpi. Koentti: Ottaen huoioon ateatiikan perusasioiden surkean osaaisen, aihepiirien ja aineiston karsintaa olisi tehtävä paljon. On tärkeää, että kaikki oppivat ateatiikan perusteet hyvin lukiossa ja aieissa opinnoissa. Hyvien perustaitojen turvin sitten ne, jotka tarvitsevat paljon ateatiikkaa aattiopinnoissaan, oppivat tarvitseansa ateatiikan osa-alueet kyllä yöheinkin: tiedäe, että niistä lukiolaisista, jotka 1950-, 1960-, 1970-luvuilla suorittivat laajuudeltaan nykyistä huoattavasti suppeaan oppiäärän, on tullut esierkiksi aailanenestystä saavuttaneiden kännyköiden ja risteilyalusten suunnittelijoita, kansainvälisiä ateatiikan tutkijoita. Motivaatio. Monella opiskelijalla ei lukiossa ole ollut otivaatiota opiskella ateatiikkaa; ei ole ollut tietoa siitä, että tulee tarvitseaan ateatiikkaa aattiopinnoissaan. Koentti: Mateatiikan otivaatioongela alkaa ileisesti jo ala-asteella, kun peleihin ja uuhun arkipäivään liittyvä aritetiikka on opittu, ja päättyy vasta korkeakouluissa, joissa ateatiikkaa toden teolla käytetään eri aloilla. Muistan, kuinka lukion ateatiikan opettajani Ahti Kantanen kertoi heti aluksi erittäin painokkaasti, että ateatiikkaa tulevat tarvitseaan yöheissä opinnoissaan kaikki paitsi papit. Hän ei yrittänyt koko ajan esittää, kuinka juuri opiskeleae asiat olisivat välittöästi tarpeen käytännön ongelissa. Se, että nykyisin usein yritetään
jatkuvasti vakuutella ateatiikan hyödyllisyyttä ongelanratkaisuilla, on oppilaiden aliarvioiista ja johtaa ongelien käsittelyyn, joilla on vähän tekeistä varsinaisen, aattiopinnoissa ja ateatiikan opinnoissa tarvittavan ateatiikan kanssa, sekä kirjojen paisutteluun niin, että oppilaiden on vaikea hahottaa ateatiikan keskeisiä asioita. Martio (2001) vertaa ongelanratkaisun korostaista 1970-luvun virheeseen uuteen ateatiikkaan ja esittää, että suoalaisten koululaisten enestyinen eräissä kansainvälisissä vertailuissa perustuu sellaiseen osaaiseen ongelien ratkaisuissa, ikä ei kuvasta varsinaisen ateatiikan osaaista. Varasti onet ongelanratkaisut ovat lukiossa otivoivia, utta tärkeintä olisi luoda ateaattiset valiudet aattialojen todellisten ongelien käsittelyyn ja ateatiikan opiskeluun korkeakouluissa. Opettajien on tunnettava ateaattiset tarpeet korkeakouluopinnoissa ja välitettävä tätä tietoutta oppilaille otivaatioksi. Globaalissa aailantaloudessa Suoen hyvinvoinnin ylläpito perustuu teknologiseen osaaiseen, jossa ateatiikalla on ratkaisevapi erkitys kuin yleisesti tiedetään. Vähäiset vaatiukset. Monet opiskelijat oittivat lukio-opetustaan siitä, että niistä pääsi liian helposti läpi osaaatta edes perusasioita; poissaoloja sallittiin; pakollisia kotitehtäviä toivottiin nyt jälkikäteen. Koentti: Korkeakouluissa vaaditaan todellista eikä suhteellista osaaista. Absoluuttista osaaista perusasioissa on vaadittava jo aiein: aattikorkeakouluissa näkee paljon ylioppilaita, jotka ovat lukiossa tottuneet siihen, että kursseista pääsee läpi vähäisin tiedoin, ja jotka tajuavat realiteetit liian yöhään joutuen lopulta lopettaaan osaaattouuden suohon vajonneet opintonsa. Opiskelijoiden oan edun vuoksi ateatiikan opettajan tulee vaatia ateatiikan perusteiden osaainen kaikilta oppilailta itään sivistyksellistä vahinkoa ei tapahdu, vaikka sitten yöhein osoittautuukin, että jotkut eivät ateatiikkaa tarvitse. Hitaain oppivien tukeinen. Lukion opettajiansa ovat eräät opiskelijat arvostelleet siitä, että he kiinnittivät huoionsa hyvin enestyviin oppilaisiin ja jättivät hitaain ateatiikkaa oppivat oan onnensa nojaan. Koentti: Mateatiikassa tosiaan perinteisesti kunnioitetaan huippuosaajia, utta jokaisen opettajan tulisi kuitenkin tietää, kuinka laajasti ateatiikkaa tarvitaan jatko-opinnoissa ja kuinka tärkeää siksi on kärsivällisesti varistaa, että kaikki oppivat hyvin ateatiikan perusasiat. Moni hitaasti ateatiikkaa oppiva ei yöhein sitä aktiivisesti käytä aattieläässä, utta tarvitsee sitä korkeakouluopinnoissa. Olen opettanut onia lukion ateatiikassa kuutosen saaneita opiskelijoita, jotka ovat enestyneet hyvin ateatiikassa otivoiduttuaan sitä harjoitteleaan ja joista on tullut hyviä insinöörejä. Johtopäätöksiä ja ehdotuksia Kurssiuotoisessakin lukiossa on huolehdittava perusasioiden osaaisesta, ettei käy niin, että opiskelija pääsee jokaisesta kurssista läpi opittuaan pintapuolisesti joitain uusia ideoita, osaaatta kuitenkaan ateatiikan perusteita. Tää koskee yös lyhyen ateatiikan lukijoita. Esierkiksi rakennusosastolla opiskelevista ylioppilaista noin kolasosa on suorittanut lyhyen ateatiikan. Siis yös lyhyen ateatiikan opettajan on opiskelijoiden oan edun vuoksi vaadittava, että he osaavat hyvin ateatiikan perusteet. Etukäteen lukiossa ei voi tietää, ketkä tulevat yöhein tarvitseaan ateatiikkaa. Vaikka korkeakoulujen aattiaineiden kannalta on tärkeintä, että opiskelijat hallitsevat rutiininoaisesti perusateatiikan, jota aattiaineet sitten käyttävät hyväksi oia iliöitään kuvatessaan ja niiden ongelia ratkaistessaan, on erittäin tärkeää, että opetettavat asiat perustellaan hyvin. Perustelut edistävät oppilaiden oakohtaista ajattelua vastakohtana on se ikävä tilanne, että opiskelija kokee ateatiikan tylsänä kaavakokoelana. Lukiossa ja aattikouluissa perustelujen ei tarvitse olla korkeakoulutasoisia. Vaikeat täsälliset perustelut voidaan esittää alaviitteissä tai liitteissä lahjakkaipien opiskelijoiden hyödyksi. Mateatiikan perusteita opiskeltaessa on yös opittava uutaia asioita ulkoa kuten esierkiksi trigonoetristen funktioiden ääritelät, jotka vain noin puolet rakennusosaston uusista ylioppilaista uisti. Kun esierkiksi statiikassa jatkuvasti esiintyy sinejä ja kosineja, ei opiskelija ehdi oppitunneilla kaavakokoelaa selaten saada selville niiden äärittelyjä. Se, että uistaa perusääritelät ja -tulokset, joita ateatiikassa ei ole paljon, on nykyisenkin kasvatustieteellisen perussuuntauksen, konstruktivisin, ukaista: ihisen täytyy rakentaa oaa osaaista, ja yhtenä osatekijänä siinä on perusasioiden uistainen. Aattikorkeakouluissa uusia asioita opetettaessa näkee, kuinka harjaantuattoia useat opiskelijat ovat hahottaaan ja painaaan ieleensä opetettavan asian keskeisiä ääriteliä ja tuloksia. Kaavakokoelien käytöllä on ollut tässä suhteessa turiollinen vaikutus. Kaavakokoelan sijasta opettaja voi selvästi sanoa, itkä asiat täytyy osata ja uistaa, ja hän voi kokeessa antaa väheän tärkeät yhtälöt. Kaavakokoelien käytön kritiikkiä esitettiin jo Kivelän (1994) artikkelissa. Ylioppilaskirjoitukset Mateatiikan perusteiden oppiiseksi jo lukiossa on esitetty erittäin hyvä ehdotus: ateatiikan ylioppilaskirjoitusten jakainen kahteen osaan (Toivonen,
1995). Kaksiosaista koetta ovat MAOL ja SMFL kannattaneet (Björkan, Parviainen, 2000). Ensiäinen osa käsittäisi pakollisten kurssien keskeisten sisältöjen hallintaa ittaavia, lähinnä ekaanisia tehtäviä. Siihen sisältyisi siten edellisen kaltaisia perusalgebran tehtäviä sekä eräitä geoetrian ja trigonoetrian tehtäviä sekä ekaanisia derivointi- ja integrointitehtäviä. Taulukkokirjojen käyttö ei olisi sallittua. Toinen osa käsittäisi ateatiikan soveltaiseen ja ongelien ratkaisuun liittyviä tehtäviä, joissa ateaattinen alli on ensin itse uodostettava ja sitten ratkaistava. Myös Ylioppilastutkintolautakunnan vuonna 1998 asettaa ateatiikan kokeen kehittäisryhä piti kaksiosaista koetta kaikin puolin hyvänä, utta katsoi kuitenkin, ettei tässä vaiheessa käytännön järjestelyjen vaikeuden vuoksi ole ahdollista ehdottaa kahteen kokeeseen siirtyistä (Lahtinen, 1999). Nyt olisikin pohdittava, iten käytännön järjestelyt voitaisiin toteuttaa. Ehkä hankalin puoli alkuperäisessä ehdotuksessa oli kokeen kaksipäiväisyys. Kuitenkin ateatiikan taidot voidaan varasti testata yös nykyisen kuuden tunnin aikana. Kaksiosainen koe voitaisiin toteuttaa esierkiksi seuraavasti: ensin on 2 tunnin ateatiikan perusteiden koe, jossa on ratkaistava ilan taulukkokirjaa esierkiksi 40 suoraviivaista, ekaanista tehtävää; ajan loputtua vastauspaperit kerätään pois ja jaetaan soveltavia tehtäviä neljän tunnin ajaksi. Arvostelussa voitaisiin kupaakin osaa painottaa yhtä paljon. Viitteet Björkan, Jouni ja Pentti Parviainen (2000), Mateatiikan ja fysiikan osaainen hyödyllistä yhteiskunnassa, Tekniikan Akateeiset, 4/2000. Kinnunen, Launonen, Sorvali, Toivonen (1985), Teknisten aattien ateatiikka 2Z, WSOY. Kivelä, Sio, 1994, Minne olet enossa, lukion ateatiikka, Diensio 4/94. Lahtinen, Aatos (1999), Ylioppilastutkinnon ateatiikan kokeen uudistus, Diensio 4/99. Martio, Olli (2001), Osataanko ateatiikkaa sittenkään?, Yliopisto-lehti 10/01. Peltola (2001), Mateatiikan osaaistasoa on parannettava, Diensio 4/01. Toivonen, Pertti (1995), Esitutkinta ateatiikan yokokeeseen, Diensio 5/95. Toivonen, Pertti (1998), Insinöörikoulutuksen ateatiikan opetuksen ongelia, Helsingin aattikorkeakoulun julkaisuja. Sarja B: Raportit 2. Artikkeli on julkaistu aikasein Diension nuerossa 5/0, ja sen Solussa julkaisuun on saatu lupa sekä lehdeltä että artikkelin kirjoittajalta.