Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin leikkauskohdan, eli pisteen. = k + b Kun vakiotermi b = 0, niin suora kulkee origon kautta. Huomaa, että = = k + b. Siis on riippuva ja riippumaton muuttuja. Suoran htälö ratkaisemattomassa, eli implisiittisessä muodossa, on a + b + c = 0, a tai b 0 Tätä sanotaan mös suoran leiseksi muodoksi. = k + b = b a, 0 = a Lause, Suoran htälö, kun tunnetaan sen ksi piste ja kulmakerroin: Pisteen 0, 0 kautta kulkevan suoran htälö on 0 = missä k on suoran kulmakerroin. Jos suoralla ei ole kulmakerrointa, suora on -akselin suuntainen ja sen htälö on = 0. = k 0 = = 0 0, 0 Esimerkki Suora kulkee pisteen 3,4 kautta. Määritä suoran htälö, kun sen kulmakerroin on a) 2, b) 0. a) Suoran htälö on 4 = 2 3, eli = 2 2. b) Suora on -akselin suuntainen, joten sen htälö on 4 = 0 3 = 4., 1
Esimerkki Suorat l ja s kulkevat pisteen 1,5 kautta. Suoran l suuntakulma on 60 ja suoran s suuntakulma 45. Määritä suorien htälöt. Suoran l kulmakerroin k l = tan 60 = 3 ja suora kulkee annetun pisteen 1,5 kautta. Sen htälö on näin ollen 5 = 3 1 = 3 + 3 + 5. Suoran s kulmakerroin k s = tan 45 = tan 45 = 1 ja suora kulkee pisteen 1,5 kautta. Sen htälö on 5 = 1 1 l 60 s = + 4. 45 Lause, Suoran htälö, kun tunnetaan sen kaksi pistettä: Pisteiden 1, 1 ja 2, 2, missä 1 2, kautta kulkevan suoran htälö on 1 = k 1, missä k = 2 1. 2 1 tai 2 = k 2 Jos 1 = 2, suora on -akselin suuntainen ja sen htälö on = 1. = 1 2, 2 2, 2 1, 1 1, 1 Eli ensin määritetään kulmakerroin ja sitten suoran htälö (ei ole väliä kättääkö kumpaa tunnettua suoran pistettä). 2
Esimerkki Määritä pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran htälö, kun a) A = 2, 1 ja B = 1,5, b) A = 2, 1 ja B = 2,4. a) Aluksi k = B A = 5 1 B A 1 2 = 6 3 = 2. Suoran htälö on näin ollen 5 = 2 1 = 2 2 + 5 = 2 + 3. Entäpä jos otetaan toinen piste. Tällöin (kulmakerroin ps samana) 1 = 2 2 = 2 + 4 1 = 2 + 3. b) Kuten a)-kohdassa k = B A = 4 1 B A 2 2 = 3 0 = " ". Ja viimeistään nt havaitaan, että -koordinaatit ovat samoja. Siis suoran htälö on näin ollen = 2. Suoraparvet ja suoran parametrimuoto Palataan vielä hetkeksi suoran leiseen muotoon a + b + c = 0, a tai b 0. Tätä suoran htälö sanotaan mös lineaariseksi htälöksi. Esimerkki Suoran = 3 + 1 htälö on leisessä muodossa 5 2 6 + 10 5 = 0. Suorien = 2 ja = 4 htälöt leisessä muodossa ovat vastaavasti + 2 = 0 ja 7 4 = 7 0. Kääntäen lineaarisen htälön kuvaaja on aina suora! Kun b 0, niin Esimerkki a + b + c = 0 = a b c b. Määritä sen suoran htälö, joka on suoran 2 3 + 5 = 0 suuntainen ja kulkee pisteen 2,3 kautta. 3
Tapa 1 Suoran 2 3 + 5 = 0 eli suoran = 2 3 + 5 3 kulmakerroin on 2. Täten kstn suoran kulmakerroin on siis 2. Saadaan htälö 3 3 3 = 2 3 + 2 3 9 = 2 + 4 2 3 + 13 = 0. Tapa 2 Kstt htälö on muotoa 2 3 + c = 0, missä c on tiett vakio. Koska piste 2,3 on tällä suoralla se toteuttaa suoran htälön, eli on suoralla, siis 2 2 3 3 + c = 0 c = 13 2 3 + 13 = 0. Suoraparvet Pisteen kautta kulkevat suorat muodostavat suoraparven. Tähän parveen kuuluvan suoran htälö on = k + b, k R, kun suora ei ole -akselin suuntainen, ja = 0, kun se on -akselin suuntainen (eli -akseli). = k + b Esimerkki Pisteen 3, 2 kautta kulkevan suoran htälö on joko muotoa + 2 = k 3 tai = 3. Antamalla parametrille (muuttujalle) k jonkin arvon, esimerkiksi k = 2, saadaan täsin määrätt suora + 2 = 2 3 = 2 6 = 2 8 2 + + 8 = 0. Parametrin k eri arvoja vastaavat suorat hdessä suoran = 3 kanssa muodostavat pisteen 3, 2 kautta kulkevien suorien parven. = 4 3 5 = 3 = 2 3 = 5 = 2 4
Määritelmä/lause: Pisteen a, b määräämä suoraparvi muodostuu suorista, joiden htälö on muotoa b = k a, k R tai = a. Suoran parametrimuoto Pisteen 0, 0 kautta kulkevan suoran, kulmakerroin k, htälö on 0 = k 0. Merkitään k = b a, jolloin 0 = b a 0 0 = 0 b a kunhan a, b 0. Jos toinen luvuista a, b on nolla, niin saadaan akseleiden suuntaiset suorat. Esim. a = 0 saadaan -akselin suuntainen suora. Yhtälössä 0 voidaan molempia osamääriä merkitä parametrilla t, siis b = 0 a 0 b = t, 0 a = t Kun ratkaistaan ja, saadaan suoran parametrimuoto. = 0 + at = 0 + bt t R. Esimerkki T 57 Lausu leisessä muodossa suoran = 7 3t = 1 2t htälö. 2 = 7 3t = 1 2 2t 0,5 2 = 7 3 = 2 25 3 6 Ja lopuksi 7 = 3t 1 2 = 2t 7 3 1 2 2 0,5 = 2 3 7 = 4 25 6 6 4 + 6 + 25 = 0 = t = t 5
Mallintamistehtävä Esimerkki: Lämpötilaa t ( ) voi meren pinnan läpuolella pitää korkeuden h (m) suhteen ensimmäisen asteen polnomifunktiona. Määritä muuttujien h ja t välinen htälö, kun 500 metrin korkeudella lämpötila on 15 ja 10000 metrin korkeudella 80. Piirrä kuvaaja korkeuden funktiona. Ensimmäisen asteen polnomifunktiota voidaan pitää suoran htälönä. Koska lämpötila t riippuu korkeudesta h, niin se on korkeuden funktio t = t h = k h + b, vertaa = k + b. Tiedetään siis suoran kaksi pistettä 500,15 ja 10000, 80. Lasketaan ensin kulmakerroin: (Onko suora laskeva vai nouseva?) k = Δ 80 15 = Δ 10000 500 = 95 9500 = 1 100 = 0,01. Siis laskeva. Nt voidaan määrittää suora, sillä tiedetään kulmakerroin ja eräs suoran piste (itse asiassa 2 suoran pistettä, mutta ksi riittää). Suoran htälö on t 15 = 0,01 h 500 t = 0,01 h + 5 + 15 = 0,01 h + 20 ja kuvaaja korkeuden funktiona. 6