HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden määritelmän avulla astutaan askel abstraktion polulla. 1. Tutkitaan vektoriavaruutta R 2 3, jonka muodostavat 2 3-matriisit. Matriisien yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään kuten ennenkin. (a) Mikä on tämän vektoriavaruuden nollavektori? Perustele vastauksesi osoittamalla, että se toteuttaa vektoriavaruuden määritelmän 15.1 ehdossa 3 esiintyvän yhtälön. (b) Merkitään [ 0 ] 7 5 M =. 2 π 100 Mikä on vektorin M vastavektori? Perustele vastauksesi osoittamalla, että se toteuttaa vektoriavaruuden määritelmän 15.1 ehdossa 4 esiintyvän yhtälön. 2. Rationaalilukujen joukon Q = {m/n m, n Z ja n 0} muodostavat luvut, jotka voidaan kirjoittaa murtolukumuodossa. Tällaisia lukuja ovat esimerkiksi 0,25 = 1/4, 7 = 7/1 ja 5/9. Onko joukko Q vektoriavaruus, jos se varustetaan tavallisella (rationaalilukujen) yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla (reaaliluvulla kertominen)? Vihje: esim. 15.3. 3. Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > 0} yhteenlasku ja skalaarikertolasku kuten esimerkissä 15.7: jos x, y R + ja c R, niin x y = x y ja c x = x c. Voidaan osoittaa, että R + varustettuna yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla on vektoriavaruus. (a) Laske 6 9 ja 3 2. (b) Mikä on tämän vektoriavaruuden nollavektori? Perustele vastauksesi osoittamalla, että se toteuttaa vektoriavaruuden määritelmän 15.1 ehdossa 3 esiintyvän yhtälön. (c) Mikä on vektorin 8 vastavektori? Perustele vastauksesi osoittamalla, että se toteuttaa vektoriavaruuden määritelmän 15.1 ehdossa 4 esiintyvän yhtälön. 4. Vektoriavaruuden määritelmässä 15.1 käytetään sekä vektoriavaruuden V yhteenlaskulle että skalaarien yhteenlaskulle samaa symbolia +. Myöskään skalaarikertolaskulle ei käytetä mitään omaa merkintää. Jos vektorien yhteenlasku ja skalaarikertolasku on määritelty hyvin erikoisesti kuten tehtävässä 3, täytyy määritelmää 15.1 soveltaessa miettiä tarkasti, mikä laskutoimitus kulloinkin on kyseessä. (a) Osoita, että vektoriavaruuden määritelmän ehto 6 pätee joukossa R +, kun se on varustettu yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla kuten tehtävässä 3. Huom. kaikkia tuttuja laskusääntöjä saa käyttää.
(b) Osoita, että vektoriavaruuden määritelmän ehto 7 pätee joukossa R +, kun se on varustettu yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla. 5. Esimerkistä 15.6 käy ilmi, että myös funktiot R R muodostavat vektoriavaruuden, jota tällä kurssilla merkitään F. (a) Yksi tämän vektoriavaruuden alkio (eli vektori) on funktio f, jolle f(x) = 2x 3 kaikilla x R. Piirrä koordinaatistoon funktion f kuvaaja. (b) Millainen on tämän vektoriavaruuden F nollavektori? Piirrä myös sen kuvaaja koordinaatistoon. (c) Millainen on a-kohdan vektorin f vastavektori f? Piirrä sen kuvaaja samaan koordinaatistoon kuin f :n kuvaaja. (d) Olkoon g funktio, jolla g(x) = 3x + 5 kaikilla x R. Millainen on summavektori f + g? Piirrä myös sen kuvaaja koordinaatistoon. Tehtäväsarja II Tutustu lukuun 16, jossa matka abstraktion polulla jatkuu, kun kohtaamme aliavaruuden määritelmän. 6. Merkitään W = {(5x, 2x) x R}. (a) Havainnollista joukkoa W piirtämällä se koordinaatistoon. (b) Oletetaan, että w W ja ū W. Osoita, että w + ū W. Vihje: esim. 16.2. (c) Oletetaan, että c R ja w W. Osoita, että c w W. (d) Osoita, että 0 W. (e) Mitä voit päätellä joukosta kohtien b-d nojalla? Minkä lisätiedon tarvitset tuon johtopäätöksen tekemiseen? 7. Oletetaan, että W on vektoriavaruuden R 4 aliavaruus, johon kuuluvat vektorit ē 1 = (1, 0, 0, 0) ja w = (0, 1, 0, 1). Kuuluvatko tällöin myös seuraavat vektorit aliavaruuteen W? Perustele vastauksesi aliavaruuden määritelmällä tai selitä, miksi vastausta ei voida tietää varmasti. (a) 0 = (0, 0, 0, 0) (b) v 1 = (1, 1, 0, 1) (c) v 2 = (0, 5, 0, 5) (d) v 3 = (3, 4, 0, 5) (e) v 4 = (3, 4, 0, 4) (f) v 5 = (1, 1, 1, 1) Tehtävissä 8 10 tarkastellaan 2 2 -matriisien muodostamaa vektoriavaruutta R 2 2. 8. Neliömatriisi A on antisymmetrinen, jos A = A eli jos sen transpoosi on sama kuin sen vastamatriisi (ks. kurssimateriaalin osan I määritelmä 9.5). Onko joukko U = {A R 2 2 A = A} vektoriavaruuden R 2 2 aliavaruus? Huom. Kaikkia transpoosin laskusääntöjä saa käyttää. Ne löytyvät kurssimateriaalin osan I transpoosia käsittelevän kappaleen 9.4 lauseesta 9.7. Myös esimerkkiin 16.3 kannattaa tutustua. Ennen tehtävien 9 ja 10 tekemistä kannattaa tutustua kurssimateriaalin esimerkkeihin 16.4 16.5 ja 16.9 16.10 sekä lauseeseen 16.11.
9. Onko joukko vektoriavaruuden R 2 2 aliavaruus? 10. Onko joukko vektoriavaruuden R 2 2 aliavaruus? Tehtäväsarja III { } a b W = 5b 2a a, b R { } a b W = R 2 2 ab = 0 c d Luvuissa 17 ja 18 syvennetään tietoja jo aiemmin opiskelluista vapauden ja kannan käsitteistä yleistämällä ne avaruudesta R n mihin tahansa vektoriavaruuteen. Tehtävissä 11 12 tarkastellaan matriiseja A 1 = 2 = 3 = 4 = 0 1. 11. Onko jono (A 1 2 3 4 ) vapaa? Muista määritelmä 17.1. Apu: esim. 17.2. 12. Palauta mieleesi kannan määritelmä 18.1. Tutustu myös lauseisiin 18.4 ja 18.13 sekä esimerkkiin 18.9. (a) Onko jono (A 1 2 3 4 ) vektoriavaruuden R 2 2 kanta? (b) Virittävätkö vektorit A 1 2 3 ja A 4 vektoriavaruuden R 2 2? Tehtävissä 13 14 tarkastellaan matriiseja B 1 = 0 1 2 = 0 1 3 = 4 = 0 1. 13. Virittävätkö vektorit B 1 2 3 ja B 4 vektoriavaruuden R 2 2? Muista määritelmä 16.8. Apu: esim. 16.12. 14. (a) Onko jono (B 1 2 3 4 ) vektoriavaruuden R 2 2 kanta? (b) Onko jono (B 1 2 3 4 ) vapaa? Voitko perustella asiaa lauseen 18.13 avulla? 15. Toinen tehtävissä 11 14 tarkastelluista vektorijonoista on vektoriavaruuden R 2 2 kanta. Merkitään sitä T. (a) Määritä matriisi C, jonka koordinaattivektori kannan T suhteen on (2, 7, 1, 8). (b) Määritä matriisin D = koordinaattivektori kannan T suhteen. 5 7 1 6
Tehtäväsarja IV Tutustu lukuun 19, jossa opitaan, millaisia lineaarikuvaukset ovat. 16. Tutki, ovatko seuraavat funktiot lineaarikuvauksia. Käytä määritelmää 19.1. Piirrä lisäksi koordinaatistoon kummankin funktion kuvaaja. Apu: esim. 19.2 19.3. (a) f : R R, jolle f(x) = x/2 kaikilla x R. (b) g : R R, jolle g(x) = 1 x kaikilla x R. 17. Olkoon L: R 2 R 2 lineaarikuvaus, jolle pätee L(1, 0) = (3, 1) ja L(0, 1) = (2, 4). Määritä L(5, 6) ja L(x 1, x 2 ). Apu: esim. 19.7. 18. Lauseen 19.8 mukaan jokainen matriisi määrää lineaarikuvauksen. Tarkastellaan matriisia 8 2 1 3 A = 9 3 0 4. 0 5 6 7 (a) Matriisi A määrää lineaarikuvauksen L A : R p R q. Mitä lukuja p ja q ovat? (b) Oletetaan, että x = (x 1, x 2,..., x p ) R p. Laske kuvavektori L A ( x). (c) Kirjoita b-kohdan kuvavektori q 1-matriisina ja vertaa sitä matriisiin A. Huomaatko mitään yhtäläisyyksiä? 19. Eräs matriisi B määrää lineaarikuvauksen L B : R 2 R 3, jolla Mikä matriisi B on? Apu: esim. 19.10. (x 1, x 2 ) (4x 1 5x 2, 3x 2, x 1 + 8x 2 ). 20. Tarkastellaan tehtävän 19 lineaarikuvausta L B : R 2 R 3. Merkitään w = (1, 2). (a) Havainnollista koordinaatistossa lähtöavaruuden R 2 aliavaruutta W = span( w). (b) Tutustu määritelmään 19.17. Etsi kolme vektoria, jotka kuuluvat aliavaruuden W kuvaan L B W. (c) Määritä joukko L B W. Apu: esim. 19.18 19.19. (d) Havainnollista joukkoa L B W omin sanoin tai piirtämällä. Tehtäväsarja V Seuraavissa tehtävissä palataan vielä vektoriavaruuden määritelmän pariin. Tehtävät 21 22 liittyvät lauseessa 15.10 mainittuihin vektoriavaruuksien ominaisuuksiin. Tehtävät 23 24 liittyvät lineaarialgebran sovelluksiin analyysissä. 21. Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v V. Osoita, että 0 v = 0, ts. todista lauseen 15.10 a-kohta. Vihje: Voit katsoa mallia lauseen 15.10 b-kohdan todistuksesta (vaihda skalaarin ja vektorin roolit). Selitä jokainen välivaihe itsellesi. Mitä vektoriavaruuden määritelmän ehtoja käytät? 22. Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v V. Osoita, että ( 1) v = v, ts. todista lauseen 15.10 c-kohta. Vihje: Hyödynnä tietoa 1 + ( 1) = 0 sekä lauseen 15.9 b-kohtaa.
23. Ensimmäisen asteen homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa y + ay = 0. (1) Sen ratkaisulla tarkoitetaan derivoituvaa funktiota y : R R, t y(t), joka toteuttaa kyseisen yhtälön kaikilla muuttujan t arvoilla. Esimerkiksi f : R R, f(t) = e at on yksi ratkaisu, sillä sen derivaatalle pätee f (t) = ae at ja siten f (t) + af(t) = ae at + ae at = 0. Tarkastellaan kaikkien funktioiden R R muodostamaa vektoriavaruutta F (ks. esimerkki 15.6). Olkoon differentiaaliyhtälön (1) ratkaisujen joukko S eli S = {y F y + ay = 0}. Osoita, että joukko S on vektoriavaruuden F aliavaruus. Derivointisääntöjä saa käyttää. 24. Jatkoa tehtävään 23. Osoita, että tehtävässä 23 mainittu funktio f, jolle f(t) = e at, muodostaa aliavaruuden S = {y F y + ay = 0} kannan. Päättele tästä, että dim(s) = 1. Apu: Oleta, että x S (eli funktio x: R R, t x(t), toteuttaa yhtälön (1)). Tarkastele funktion z : R R, z(t) = x(t)e at derivaattaa. Mitä voit sen perusteella päätellä funktiosta z ja edelleen funktiosta x?