Mat-. Matematiikan peruskurssi KP-II Luentokalvojen tekstit Lay: luvut..5,.7,.8 Heikki Apiola Sisältää. viikon luentokalvojen tekstit, tyhjät kohdat täydentäen. Lineaarialgebraa.: Lineaarinen yhtälösysteemi a x + a x +... + a n x n = b a x + a x +... + a n x n = b. a m x + a m x +... + a mn x n = b n (.) Esimerkkejä epälineaarisista: 4x 6x = x x tai x = x 7 Lineaarisen systeemin ratkaisu: Lukujono (vektori) (s, s,..., s n ) R n, joka toteuttaa yhtälösysteemin., kun sijoitetaan x = s, x = s,..., x n = s n. Tyyppiesimerkit systeemeille x + x = x + x = 4 x + x = x + x = 6 4 x x = x 4x = 8 9 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 4 5 4 5 Yksi ratkaisu Äärettömän monta Ei ratkaisuja konsistentti konsistentti epäkonsistentti Perustotuus Yleisellä lineaarisella m n systeemillä on vain nämä kolme mahdollisuutta. Tämän selvitämme perusteellisesti lähiaikoina. ESIMERKKI: avaruudessa. Kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta. Kukin yhtälö määrää tason ulotteisessa
i) Tasot leikkaavat pisteessä ii) Tasot leikkaavat pitkin suoraa (yksikäsitteinen ratkaisu) (ääretön määrä ratkaisuja) iii) Tasot yhtyvät iv) Tasoilla ei yhteisiä pisteitä (ei ratkaisuja) Tapaukset i), ii) ja iii) ovat konsistentteja, iv) on epäkonsistentti. Tapauksissa ii) ja iii) ratkaisujoukot ovat äärettömiä edellisen dimensio on ja jälkimmäisen. Lineaarisen yhtälösysteemin Ratkaisujoukko: dim(ii) =, dim(iii) = Kaikkien mahdollisten ratkaisujen muodostama joukko Ekvivalentit systeemit: Lineeriset yhtälösysteemit ovat ekvivalentit, jos niillä on samat ratkaisujoukot. Yhtälösysteemin ratkaisustrategia: Muokataan yhtälösysteemi ekvivalentiksi systeemiksi, joka on helppo ratkaista ESIMERKKI: x x = x + x = x x = x = Y Y + Y Y Y + Y
Viimeksi saatu yhtälö on muodossa, josta ratkaisut saadaan peräkkäisillä sijoituksilla alhaalta ylöspäin edeten (takaisinsijoitus, back substitution ). Voidaan vaihtoehtoisesti suorittaa vielä yksi eliminaatioaskel alhaalta ylöspäin. x x = x + x = x x = x = x = x = Matriisinotaatio x x = x + x = x x = x + x = x x = x = x = x = (kerroinmatriisi) (liitännäismatriisi) Alkeisrivioperaatiot:. (Rivien vaihto) Vaihdetaan kaksi riviä keskenään : rivi i rivi k. (Skaalaus) Rivin alkiot kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla: rivi k c rivi k, c. (Lineaarikombinaatio) Riviin lisätään toinen rivi kerrottuna nollasta poikkeavalla vakiolla: rivi k rivi k + c rivi i Huom! Operaatioissa ja ainoastaan yksi rivi (k:s) muuttuu, muut säilyvät ennallaan. (Operaatiossa kaikki rivit säilyvät ennallaan, vain paikat vaihtuvat.) Riviekvivalentit matriisit ja yhtälösysteemit: Matriisit A ja B ovat riviekvivalentit, jos ne voidaan muuntaa toisikseen alkeisrivioperaatioilla. Yhtälösysteemit ovat riviekvivalentit, jos niiden liitännäismatriisit ovat sitä. Riviekvivalentit ovat ekvivalentit: Lause Riviekvivalentit yhtälösysteemit ovat ekvivalentit, ts. niillä on samat ratkaisujoukot. Todistus Rivien vaihto ja skaalaus kertoimella c säilyttävät ratkaisut.
L x = b L x = b... L m x = b m L x = b c L x + L x = c b + b... L m x = b m Vasen = oikea: Kertomalla c:llä ja laskemalla yhteen yhtälöt ja. Oikea = vasen: Kertomalla eka c :llä ja vähentämällä toisesta. ESIMERKKI: x x + x = x 8x = 8 4x + 5x + 9x = 9 x x + x = x 8x = 8 x + x = 9 x x + x = x 4x = 4 x + x = 9 x x + x = x 4x = 4 x = 8 8 4 5 9 9 8 8 9 4 4 9 4 4 Takaisinsijoitus Edetään alhaalta ylös: x = x = 4x + 4 = 6 x = x x = = 9 Ratkaisu on siis (9, 6, ) ja se on yksikäsitteinen. (Miksi?) Takaisinsijoituksen sijasta voitaisiin viimeksi saadusta porrasmuodosta jatkaa eliminointia alhaalta ylös ja oikealta vasemmalle, päämääränä nollata myös jokaisen tukisarakkeen yläosa. Jatko menisi tähän tapaan: Porrasmuodosta redusoituun porrasmuotoon, ref rref x x = x = 6 x = x = 9 x = 6 x = 6 9 6 Peruskysymykset olemassaolo ja yksikäsitteisyys ) Onko systeemi konsistentti, ts. onko ratkaisuja? 4
) Konsistentin systeemin ratkaisujen lukumäärä? Milloin yksikäsitteinen ratkaisu? ESIMERKKI: Onko systeemi konsistentti? x x + x = x 8x = 8 4x + 5x + 9x = 9 Tälle laskettiin edellä porrasmuoto (yläkolmiomuoto) (ref): x x + x = x 4x = 4 x = 4 4 Tästä näkyy, että systeemi on konsistentti ja ratkaisu on yksikäsitteinen. EIKÖ VAIN! ESIMERKKI: Miten on tämän systeemin ratkaisujen laita? x 6x = 8 x x + x = 5x 7x + 9x = 6 8 5 7 9 Ratkaisu: Rivioperaatioilla: 6 8 5 7 9 Palataan havainnollisuuden vuoksi yhtälömuotoon: 6 8 6 5 6 8 x x + x = x 6x = 8 x = Ei toteudu sitten millään x :lla Annettu systeemi on epäkonsistentti (ts. ei ratkaisuja). ESIMERKKI: Millä h :n arvoilla seuraava systeemi on konsistentti? x 9x = 4 x + 6x = h Ratkaisu: Porrasmuotoon: 9 4 6 h 4 6 h 4 h + 8 Toinen yhtälö; x + x = h + 8. Tämä toteutuu vain, jos h + 8 Ensimmäinen yhtälö on x x = 4. Ratkaisuja ääretön määrä. Johtopäätös: Systeemi on konsistentti jos ja vain jos h = 8. Tällöin määrä ratkaisuja. = eli h = 8. 5
.: Riviporrasmuotojen ref ja rref yleinen rakenne Sopimus: Nollarivi/sarake on sellainen (ja vain sellainen), jonka kaikki alkiot =. Kysymys on siis nollavektorista. Siten nollasta poikkeva on sellainen, jonka yksikin alkio. (Rivi)porrasmuoto, Row Echelon Form. Jokainen nollasta poikkeava rivi on kunkin nollarivin yläpuolella. (Ts. nollarivit ovat pohjalla.). Jokaisen ei-nollarivin johtava alkio (ts. ensimmäinen nollasta poikkeava alkio) on aidosti oikealla edellisen rivin johtavaa alkiota. (Ts. aina muodostuu ainakin :n pituinen porras.). Kunkin johtavan alkion alapuolinen sarakkeen osa koostuu nollista. ESIMERKKI: Porrasmuotoisia matriiseja (a) (c) (b) Redusoitu porrasmuoto (rref): Edellisten ehtojen,, lisäksi nämä: 4. Jokaisen nollasta poikkeavan rivin johtava alkio on. 5. Johtavan alkion määräämän sarakkeen yläpuolinenkin osa koostuu nollista, ts. johtava on tällaisen sarakkeen ainoa nollasta poikkeva alkio. Redusoitu porrasmuoto (rref) : Lause porrasmuotolause, ref-lause 6
. Jokainen matriisi on riviekvivalentti porrasmuotoisen matriisin kanssa.. Jokainen matriisi on riviekvivalentti redusoidun porrasmuotoisen matriisin kanssa. Tämä rref-muoto on yksikäsitteinen. Tärkeät termit: Tukialkio, tukisarake ( pivot ) tukialkio: porrasmuodossa olevan matriisin nollasta poikkeavan rivin. nollasta poikkeva alkio, ts. rivin johtava alkio. tukisarake: porrasmuodossa olevan matriisin sarake, joka sisältää tukialkion, ts. sama kuin johtava sarake. Alkuperäisen matriisin tukisarakkeiksi kutsutaan niitä sarakkeita, jotka ovat porrasmuotoon saatetun matriisin tukisarakkeiden kohdilla. Huom! Lauseessa (reflause) todetaan, että rref-muoto on yksikäsitteinen. Sensijaan ref-muoto ei ole, pelkästään rivin skaalauksella saadaan uusia ref-muotoja. Tukisarakkeiden paikat sensijaan ovat samat kaikissa ref-muodoissa, koska siirtyminen ref-muodosta (yksikäsitteiseen) rref-muotoon ei paikkoja muuta. ESIMERKKI: Muunna matriisi porrasmuotoon ja paikanna tukisarakkeet. 6 4 9 4 5 9 7 Ratkaisu 4 5 9 7 6 4 9 4 5 9 7 4 6 6 5 5 5 6 4 9 -. rivi ja 4. rivi vaihdetaan Tukialkio on ja. sarake on tukisarake. - Nollataan tukialkion avulla. sarakkeen alaosa. -. sarake on tukisarake, otetaan tukialkioksi (ei rivinvaihtoja) 4 5 9 7 4 6 6 5 4 5 9 7 4 6 6 5 Alkuperäinen matriisi: 6 4 9 4 5 9 7 tukisarakkeet: 4 7
Huom! Kullakin rivillä on korkeintaan yksi tukialkio. Kullakin sarakkeella on korkeintaan yksi tukialkio. Tukisarakkeiden lukumäärä = porrasmuodon nollasta poikkeavien rivien lkm. ESIMERKKI: (a) Saata matriisi rivioperaatioilla porrasmuotoon: 6 6 4 5 7 8 5 8 9 9 9 6 5 Ratkaisu: 6 6 4 5 7 8 5 8 9 9 9 6 5 9 9 6 5 7 8 5 8 9 6 6 4 5 9 9 6 5 4 4 6 6 6 4 5 (b) Redusoitu porrasmuoto (rref): 9 9 6 5 6 6 4 5 tässäpä porrasmuoto (ref) 9 9 6 5 4 Aloitetaan oikeanpuolimmaisesta tukisarakkeesta, joka tässä on viimeistä edellinen (kerroinmatriisin viimeinen). Jos kyseessä on yhtälösysteemin liitännäismatriisi (kuten yleensä on), niin viimeistä saraketta ei tarvitse ryhtyä nollaamaan. Jos se nimittäin on tukisarake, ei ratkaisuja ole, ja koko homma voidaan lopettaa. Nollataan alhaalta ylös ja siirrytään oikealta vasemmalle seuraavaan tukisarakkeeseen. 9 9 9 7 4 6 9 7 7 4 4 7 4 Harjoittele: Kirjoita yhtälösysteemin A x = b yleinen ratkaisu (a) käyttäen yllä olevaa ref-muotoa, (b) rref-muotoa, kun liitännäismatriisi A b on edellisen tehtävän matriisi. Lineaaristen yhtälösysteemien ratkaisut kantamuuttuja: muuttuja, joka vastaa tukisaraketta. vapaa muuttuja: ei-kantamuuttuja. ESIMERKKI: 6 8 5 7 x +6x +x 4 = x 8x 4 = 5 x 5 = 7 tukisarakkeet: kantamuuttujat: vapaat muuttujat: 8
Konsistentin lineaarisen systeemin yleinen ratkaisu: Kun systeemi on saatettu porrasmuotoon, saadaan ratkaisu(t) ns. takaisinsijoituksella. Ratkaisut voidaan kirjoittaa alhaalta ylös. Jokainen vapaa muuttuja jää vapaasti valittavaksi parametriksi. Jos systeemi on saatettu rref-muotoon, on ratkaisu vielä helpompaa ja voidaan suorittaa ylhäältä alas. ESIMERKKI: Olkoon systeemin liitännäismatriisi saatettu rivioperaatioilla porrasmuotoon. 6 8 5 7 Ratkaise vastaava yhtälösysteemi. Ratkaisu: Tukisarakkeet ovat.,., 5. Siis konsistentti. (miksi?) x +6x +x 4 = x 8x 4 = 5 x 5 = 7 = x = 6x x 4 x vapaa x = 5 + 8x 4 x 4 vapaa x 5 = 7 Tässä on systeemin yleinen ratkaisu, vapaat muuttujat ovat vapaasti valittavia parametrejä (voitaisiin selvyyden vuoksi merkitä vaikkapa x = s, x 4 = t ) (Tukisarakkeet: Todettiin jo:,, 5) Olemassolo- ja yksikäsitteisyys/lukumääräpäätelmät yleisesti ESIMERKKI: x 6x +6x 4 +4x 5 = 5 x 7x +8x 5x 4 +8x 5 = 9 x 9x +x 9x 4 +6x 5 = 5 Aiemmassa esimerkissä saatiin porrasmuoto: 9 9 6 5 4 4 6 4 (x 5 = 4) Muotoa = c, ( c ) olevaa yhtälöä ei ole, joten systeemi on konsistentti Vapaat muuttujat: x and x 4 9
Konsistentti systeemi Vapaita muuttujia on = Äärettömän monta ratkaisua ESIMERKKI: x +4x = x +5x = 5 x x = 4 5 5 4 x + 4x = x = Konsistentti systeemi, Ei vapaita muuttujia = Yksikäsitteinen ratkaisu. Lause (Olemassolo- ja yksikäsitteisyyslause). Lineaarinen systeemi on konsistentti, jos ja vain jos liitännäismatriisin viimeinen sarake (tunnettujen lukujen vektori b) ei ole tukisarake, ts. liitännäismatriisin porrasmuodossa ei ole yhtään riviä, joka olisi tyyppiä... b (missä b ). Jos lineaarinen systeemi on konsistentti, niin ratkaisuja on (a) Joko yksi tai (b) ääretön määrä. (a) Jokainen sarake on tukisarake (b) Vapaa muuttuja jokaista ei-tukisaraketta kohti Resepti lineaarisen yhtälösysteemin ratkaisemiseksi. Muodostetaan liitännäismatriisi ja muokataan se Gaussin rivioperaatiilla porrasmuotoon.. Katsotaan (pohjalla olevia) kerroinmatriisin nollarivejä, jos niitä on. Mikäli tässä paljastuu muotoa,...,, c, c oleva rivi, ei systeemillä ole ratkaisuja. (Lopeta tähän.). Ellei kohdan. tilannetta esiinny, saadaan ratkaisu takaisinsijoituksella alhaaalta ylös. Tässä jokainen mahdollinen ei-kantamuuttuja (sellainen, joka vastaa ei-tukisaraketta) on vapaa parametri. (Jos kaikki ovat kantamuuttujia, on ratkaisu yksikäsitteinen.). Vaihtoehtoisesti voidaan jatkaa rivioperaatioita alhaalta ylös rref-muotoon saakka, jolloin takaisinsijoitusvaihe sisältää pelkästään toisistaan riippumattomien. asteen yhtälöiden ratk. Kysymyksiä: Huomaa! Kun puhutaan m n systeemistä, viitataan kerroinmatriisin kokoon (liitännäismatriisissa on yksi sarake enemmän). a) Miten monta tukialkiota (tukisaraketta) voi 4 6-systeemillä korkeintaan olla? b) Miten monta tukialkiota (tukisaraketta) voi 6 4-systeemillä korkeintaan olla? c) Kuinka paljon ratkaisuja on konsistentilla systeemillä, jossa on yhtälöä ja 4 tuntematonta? d) Oletetaan, että 4 6 systeemin kerroinmatriisilla on tukisaraketta. Kuinka monta tukisaraketta on liitännäismatriisilla, jos systeemi on epäkonsistentti?
. Vektoriyhtälöt Avainkäsitteet: Vektorien lineaarikombinaatio, virittävä joukko, viritelmä Vektori: v = v,..., v n T R n (Usein ajatellaan vektori pystyvektorina, siksi tuo T.) Lineaarikombinaatiot: Olkoon annettu vektorit v, v,..., v p R n ja skalaarit c, c,..., c p. Vektori y: y = c v + c v + + c p v p on vektorien v, v,..., v p lineaarikombinaatio, (paino)kertoimin c, c,..., c p. ESIM: Olkoot v = ja v = v :n ja v : n lineaarikombinaationa. Esitä piirroksen avulla kukin alla oleva vektori a = 4, b = 6, c = 6, d = 7 4 ESIM: Olkoot a =, a = 4 4, a = 6, ja b = Selvitä, onko b vektorien a, a ja a lineaarikombinaatio. Ratkaisu: Vektori b on vektorien a, a, ja a lineaarikombinaatio, jos löydetään luvut x, x, x siten että 8 5. x a + x a + x a = b. Vektoriyhtälö (*):
x + 4x + x = x + 6x = 8 x + 4x + x = 5 Liitännäismatriisi: 4 6 8 4 5 = x = x = x = Siis: Ratkaisu vektoriyhtälölle x a + x a + x a = b saatiin ratkaisemalla lineaarinen systeemi, jonka liitännäismatriisi: Riviajattelu vs. sarakeajattelu 4 6 8 4 5 a a a b Yllä oleva lasku (yhtälön vasen puoli) voidaan ilmaista myös näin: missä x a + x a + x a = A x, A = a a a. Vektorimuoto vs. matriisimuoto yleisesti Vektoriyhtälöllä x a + x a + + x n a n = b on samat ratkaisut kuin lineaarisella systeemillä, jonka liitännäismatriisi on a a a n b. Erityisesti b voidaan lausua lineaarikombinaationa vektoreista a, a,..., a n jos ja vain jos lineaarisella systeemillä, jonka liitännäismatriisi on yllä, on ratkaisuja (x,... x n )
Määritelmä: Vektorijoukon viritelmä ( span ) Olkoot v, v,..., v p R n :n vektoreita. sp{v, v,..., v p } = vektorien v, v,..., v p kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko. Toisin sanoen: sp{v, v,..., v p } on kaikkien vektorien joukko, jotka voidaan lausua muodossa x v + x v + + x p v p missä x, x,..., x p ovat skalaareja. ESIMERKKI: Olkoon v = ja v = 4. (a) Määritä jokin vektori joukossa sp {v, v }. (b) Luonnehdi sp{v, v } geometrisesti. ESIMERKKI: Merkitse u, v, u + v ja u+4v oheiseen kuvaan. u, v, u + v ja u+4v sp{u, v} on muotoa x u + x v olevien vektorien joukko, tässä O:n kautta kulkeva taso.
Virittäviä joukkoja R :ssa v on v :n monikerta sp{v, v } =sp{v } =sp{v } (origon kautta kulkeva suora) v ei ole v :n kerrannainen sp{v, v } = origon kautta kulkeva taso ESIMERKKI: Olkoon A = tason. Onko b tässä tasossa? 5 ja b = 8 7. Matriisin A sarakevektorit virittävät Ratkaisu: A = 5 b = 8 7 Onko olemassa x ja x siten, että Corresponding augmented matrix: 8 5 7 8 5 5 7 Siis b ei ole A:n sarakevektorien virittämässä tasossa. 8 5 4 4
.4 Matriisiyhtälö Ax = b (Matriisi vektori) - tulon sarakemuoto Olkoon A m n matriisi, jonka sarakevektoreita merkitään: a, a,..., a n ja olkoon x = x,, x n T R n. Tulo Ax voidaan kirjoittaa muodossa Esimerkki: x a + x a + + x n a n A = 4 5, x = x x x 4 x A x = x + x = x + x 5 x 4 5 Yleisesti A x = a x + a x +... + a n x n a x + a x +... + a n x n. a m x + a m x +... + a mn x n Kolme tapaa katsoa lineaarista systeemiä: = x a +x a +...+x n a n, missä a j :t ovat A :n sarakevektorit.. Vektoriyhtälönä x a + x a + + x n a n = b. Matriisiyhtälönä Ax = b. Olkoon A m n matriisi, jonka sarakkeet ovat a,..., a n, ja olkoon b R m. Tällöin lineaarisella yhtälösysteemillä Ax = b on samat ratkaisut kuin vektoriyhtälöllä x a + x a + + x n a n = b Toisin sanoen vektoriyhtälö ratkaistaan liitännnäismatriisin a a a n b avulla. Hyödyllinen tosiasia: 5
Yhtälöllä Ax = b on ratkaisu(ja), jos ja vain jos b on A : n sarakevektorien lineaarikombinaatio Esim: Olkoon A = 4 5 4 8 ja b = Onko yhtälö Ax = b konsistentti kaikilla b R? Ratkaisu: Liitännäismatriisi yhtälölle Ax = b: 4 5 b 4 b 8 b b b b. 4 5 b b + b b + b Voiko siis Ax = b mitenkään olla konsistentti kaikilla b R? A = 4 5 4 8 a a a Yhtälö Ax = b on konsistentti, jos ja vain jos b + b =. (tason yhtälö R : ssa) b voidaan esittää muodossa jos ja vain jos b b =. A :n sarakkeet virittävät tason R :ssa Pohdittavaksi: b = x a + x a + x a Millähän ehdolla matriisin A (m n) sarakkeet virittävät koko avaruuden R m, eli millon on sp{a,..., a n } = R m Vastaus: ref(a):ssa ei nollarivejä. Tämä merkitsee erityisesti, että on oltava n m. LAUSE 4 Olkoon A m n matriisi. Seuraavat ominaisuudet ovat yhtäpitävät: a. Jokaisella b R m yhtälöllä Ax = b on ratkaisu. b. Jokainen b R m on A :n sarakkeiden lineaarikombinaatio. (Ts. A :n sarakkeet virittävät R m :n.) c. A :n jokainen rivi on tukirivi, ts. ref (A):ssa ei ole yhtään nollariviä. Tod: (a) (b) todettiin juuri. 6
(c) = (a): Jos A:ssa ei ole nollarivejä, voidaan kaikki yhtälöt ratkaista ref-muodosta takaisinsijoituksella (ristiriitaisia yhtälöitä ei synny). Vapaita parametrejä voi tulla, mutta nehän vaan lisäävät ratkaisujoukkoa. (a) = (c): Jos ratkaisu on jokaisella b, niin se on sellaisellakin, joka rivioperaatioissa muuntuu vaikkapa vektoriksi,..., T (Koska käänteisoperaatioilla päästään takaisin tuohon sellaiseen b.) Mutta tällöinhän alin rivi ei voi olla nollarivi. Esim: Olkoon A = b? 4 5 6 ja b = b b b. Onko yhtälö Ax = b konsistentti kaikilla mahdollisilla Ratk: A:ssa on vain saraketta ja siksi korkeintaan tukiriviä, joten vastaus: ei. Esim: Virittävätkö A :n sarakeet R :n, kun A = 4 6. 9 4 6 9 Paljastuu. rivioperaatiossa! No siinä syntyy nollarivi, joten kaikki eivät ole tukirivejä ja siten eivät viritä..4 loppuu tähän 7
.5 Homogeeninen lineaarinen systeemi Ax = {} (A ( m n) ja on R m :n nollavektori.) Esim: x x = Triviaali ratkaisu: x = = Homogeenisella systeemillä Ax = on aina triviaaliratkaisu x =. Siis se on aina konsistentti. Onko epätriviaaleja ratkaisuja? Konsistentti systeemi, jolla on vapaa muuttuja (x ), siis (äärettömän paljon) ratkaisuja. Tässä tapauksessa ratkaisujoukko on {} :n kautta kulkeva suora: x + x =. Yleisesti pätee: Homogeeniyhtälöllä Ax = on epätriviaaleja ratkaisuja jos ja vain jos systeemillä on vapaita muuttujia Seurauksena tärkeä: Lause LinHom Olkoon A (m n). Jos n > m (enemmän sarakkeita kuin rivejä), niin homogeeniyhtälöllä Ax = {} on epätriviaaleja ratkaisuja. Tod: Homogeeninen on aina konsistentti, tukisarakkeiden lkm m < n, joten ainakin yksi vapaa muuttuja, äärettömän monta ratkaisua. Esimerkki: Selvitä, onko seuraavalla homogeenisella systeemillä epätriviaaleja ratkaisuja ja kuvaa ratkaisujoukko. x + 4x 6x = 4x + 8x x = Ratkaisu: Ilman ainuttakaan rivioperaatiota tiedämme, että systeemillä on ainakin yksi vapaa muuttuja. (miksi?) 4 6 4 8 4 8 8
x =, x = t(vapaa), x =. x = Siis t t = t Kyseessä on {} :n kautta kulkeva, vektorin v =,, T suuntainen suora R :ssa. Esim A ( ), tässä siis vain yksi yhtälö (eikä rivioperaatioita tarvita). x x x =. Vapaat muuttujat x = s, x = t. Ratkaisu: x =.s +.t x = s + t x = s + tt Vektorimuodossa: x = x x x =. s +. t s + t s + t =. s s +. t = s t. + t. Ratkaisujoukko on R :n taso T, jonka virittävät vektorit: v =.,, T, v =.,, T Ts. T = sp{v, v } 9
.7 Lineaarinen riippumattomuus (LRT)/riippuvuus (LRV) Palauta mieleen virittäminen. Taso voidaan virittää :lla erisuuntaisella vektorilla. Toki viritys onnistuu aina vain runsaammin, jos otetaan lisää vektoreita. Yleensä pyritään karsimaan riippuvuudet, tähdätään minimaaliseen virittäjäjoukkoon. Vektoriyhtälöllä x 5 + x 5 9 + x 9 =. on triviaaliratkaisu x = x = x =. Mutta onko muita? Yhtäpitävä (HY):n kanssa 5 9 5 9 x x x = Määritelmä Vektorijoukko {v, v,..., v p } R n on lineaarisesti riippumaton (LRT), jos vektoriyhtälöllä x v + x v + + x p v p = on vain triviaaliratkaisu. Joukko {v, v,..., v p } on lineaarisesti riippuva (LRV), jos on olemassa kertoimet c,..., c p, jotka kaikki eivät ole nollia siten, että c v + c v + + c p v p =. lineaarinen riippuvuusrelaatio (ainakin jokin c j ) EXAMPLE Olkoot v = 5, v = 5 9 a. Osoita, että {v, v, v } lineaarisesti riippumaton., v = 9 b. Määritä lineaarinen riippuvuusrelaatio vektorien v, v, v välillä. Ratkaisu: (a). x 5 + x 5 9 + x 9 =.
Liitännäismatriisi: 5 9 5 9 8 8 8 x on vapaa muuttuja ei-triviaaleja ratkaisuja on, joten vektorit ovat LRV. (b) rref-muoto: 8 = x = x x = 8 x x vapaa Olkoon x = (mielivaltainen luku ). Tällöin x =, x = 8. 5 + 8 5 9 + 9 = eli v + 8 v + v = (Eräs lineaarinen riippuvuusrelaatio, muut saadaan mieliv. vakiolla kertomalla.) Erikoistapauksia. Yhden vektorin joukko Tarkastellaan yhden vektorin joukkoa: {v }, v. Ainoa ratkaisu yhtälölle x v = on x =. Siten {v } on LRT, kun v.. Kahden vektorin joukko Esim. Olkoot u = 4, u =, v =, v =. a. Selvitä, onko {u, u } LRT/LRV. b. Sama tälle: {v, v } Ratkaisu: (a) Huomaa, että u = u. Siksi
( )u + u = Tämä merkitsee, että {u, u } on LRV. (b) Olkoon cv + dv =. Jos c, niin v = d c v. v olisi v :n skalaarikerrannainen, mikä ei pidä paikkaansa. Siten on oltava c =, mutta silloinhan myös d = Niinpä {v, v } on LRT joukko.. Kahden vektorin joukko on - LRV, jos ainakin toinen on toisen skalaarikerrannainen. - LRT, jos kumpikaan ei ole toisen skalaarikerrannainen.. Joukko, joka sisältää -vektorin on LRV Jos {} kuuluu vektorijoukkoon S = {v, v,..., v p } R n, niin S on LRV. Tod: Järjestetään vektorit niin, että v =. Nollavektorin kertoimeksi voidaan valita mikä tahansa, vaikka c = 9. Muut voidaankin valita nolliksi: 9 v + v + + v p =, mikä osoittaa, että S on LRV, koska 9. 4. LRV joukon ylijoukko on LRV, LRT joukon osajoukko on LRT Tod: Olkoon vaikka S = {v, v, v } LRV. Silloin vektoriyhtälöllä c v + c v + c v = on epätriviaali ratkaisu, eli jokin c j, c j =, tai. No jos lisätään joukkoon jokin vektori v 4, niin ja edelleenkin c j, joten c v + c v + c v + v 4 =, {v, v, v, v 4 } on LRV. LRT-väite palautuu välittömästi tähän loogisella kontarpositiolla. Theorem 7 Lay s. 68, tod. s. 7
Indeksoitu joukko S = {v, v,..., v p }, jossa on ainakin kaksi vektoria on LRV, jos ja vain jos ainakin yksi on muiden lineaarikombinaatio. Väitettä voidaan terästää näin: Jos S on LRV ja v, niin jokin vektori v j (j ) on sitä edeltävien vektorien v,..., v j lineaarikombinaatio. Tod:. Jos jokin, sanokaamme nyt v p on muiden lineaarikombinaatio: niin v p = c v + c v +... + c p v p, c v + c v +... + c p v p + ( )v p = ja. Siis LRV.. Oletetaan LRV. Siis on olemassa kertoimet c,..., c p : c v + c v +... + c p v p =, ja jokin c j. Voitaisiin siirtää muut kuin j. termi toiselle puolelle ja jakaa c j :llä. Tehdään samantien tuo väitteessä esitetty terästetty muoto: Olkoon j suurin indeksi, jolla c j. Oltava j >, koska v. Siis Siirretään muut toiselle puolelle ja jaetaan c j :llä: c v +... + c j v j =, c j. 4. Joukko, jossa on liikaa vektoreita, R n :n (n + ) vektoria Theorem 8 (Lay s. 69) Vektorijoukkko on LRV, jos siinä on enemmän vektoreita kuin vektorien pituus, ts. {v, v,..., v p } R n p > n. Todistus: Olkoon A = v... v p Vektoriyhtälö kirjoitetaan homogeeniseksi matriisiyhtälöksi A x = {}. No, tähän meillä on valmis lause, mutta voidaan ottaa suoraan perusasioista: Tukisarakkeiden lkm m < n, joten vapaita muuttujia on ainakin yksi ja siten ratkaisuja ääretön määrä (siis varmasti muitakin kuin triviaali. tukisarakkeiden lukumäärä. Esim. (omatoimisesti) : 9 a., 6 4 Päättele minimaalisella työmäärällä seuraavien vektorijoukkojen LRT/LRV b. Matriisin 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 8 sarakkeet.
c., 9 6, d. 8 4 Esim Katsele R :n vektorijoukkoa {v, v, v, v 4 } kuvassa. Onko LRV/LRT? 4
.8 Lineaarikuvaukset, johdatus Toinen tapa katsoa yhtälöä Ax = b: Matriisi A on objekti, joka operoi argumenttivektoriin x matriisikertolaskun välityksellä. Tuloksena on uusi vektori y = Ax. Esim: 4 6 = 8 4 4 6 = Olkoon A (m n). Yhtälön Ax = b ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien vektorien x R n etsimistä, jotka kuvautuvat vektorille b matriisilla A kerrottaessa. kerrotaan A:lla transformaatio kone Matriisikuvaukset Kuvaus (funktio) T : R n R m on sääntö, joka liittää jokaiseen x R n vektorin y = T (x) R m. T : R n R m Kuvaustermejä T : R n R m : Esim: Olkoon A = Jos vaikkapa x = R n määrittelyjoukko R m maalijoukko T (x) R m on x:n kuva kuvauksessa T. Kaikkien kuvien T (x) joukko on T :n kuvajoukko, range. Määritellään kuvaus T : R R ; T (x) = Ax., niin T (x) = Ax = = 5 5
Esim: Olkoon A = 5 5 kuvaus T : R R, T (x) = Ax., u = a. Määritä x R, jonka kuva kuvauksessa T on b., b = ja c =. Määritellään b. Onko useampia kuin yksi x, jonka kuva kuvauksessa T on b. (yksikäsitteisyysongelma) c. Selvitä, onko c kuvauksen T kuvajoukossa. (olemassaolo-ongelma) Ratkaisu: (a) Ratkaise T x = b x:n suhteen, ts. Liitännäismatriisi: 5 5 5 5 x x x = x = x x + x on vapaa x on vapaa Valitaan jotkin arvot vapaille muuttujille, vaikkapa: Olkoot x = ja x =. Silloin x =. Ja siis x = - (Valinnanvaraa on todella paljon, kokonainen tasollinen.) (b) Onko olemassa x jolle T (x) = b? Vapaita muuttujia on = On olemassa useita x joille T (x) = b (c) Onko olemassa x, jolle T (x) = c? Ts. onko Ax = c Kun c vektorille tehdään asianmukainen rivioperaatio (kerrotaan. alkio 5 :llä ja lisätään toiseen (:aan), saadaan 5( ), joten ratkaisua ei ole. Huomaa, että (b)- ja (c)-kohdat voitaisiin ratkaista yhtäaikaa laittamalla molemmat sarakkeiksi liitännäismatriisin loppuun. Matriisikuvauksilla on monia sovelluksia - esimerkiksi tietokonegrafiikassa. Esim : A =.5.5 Jos x = x, x T, niin. Kuvaus T : R R T (x) = Ax on esimerkki kontraktiokuvauksesta. Ax =.5 x. Miten kuvautuu O-keskinen ympyrä? Miten kuvautuu yksikköneliö, jonka kärki on origossa? Jne. Esim : A =. Jos x = x x x, niin A x = x x. 6
R :n pisteen x projektio x x tasoon, Esim : A = A x, x, x x, x x + x = x x koordinaatti pysyy samana, x koordinaatti liukuu. x x.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 4 5 6 7 8 9 Matlab/Octave-sessio >> nx= ;ny= ; >> plot(nx,ny) >> axis(-.5.5 -.5.5) >> nelio=nx;ny nelio = >> kuva=a*nelio kuva = 8 6 >> figure;plot(kuva(,:),kuva(,:)) >> axis(-.5 9 -.5.5) Tämäntyyppinen kuvaus on nimeltään shear, leikkaus tai ehkä liu utus. Sovellusalueita: Fysiikka yleisesti, geologia, kristallografia. Jos A on m n, niin matriisikuvauksella T (x) = Ax on seuraavat ominai- Lineaarikuvaukset suudet: T (u + v) = A (u + v) = A u + A v. = T u + T v 7
kaikilla u,v R n ja kaikilla skalaareilla c. Määritelmä Kuvaus T on lineaarinen jos: T (cu) = A (cu) = c Au =c T (u) i. T (u + v) = T (u) +T (v) kaikilla u, v T :n määrittelyjoukossa. ii. T (cu) =ct (u) kaikilla u T :n määrittelyjoukossa ja kaikilla skalaareilla c. Jokainen matriisikuvaus on lineaarinen. Ominaisuuksia Jos T on lineaarikuvaus, niin T () = ja T (cu + dv) =ct (u) +dt (v). Perustelu: T () = T (u) = T (u) =. T (cu + dv) = T (c u) + T (d v) = c T (u) + d T (v ) Lineaarikuvausteema ei pääty tähän, mutta kalvosarja ja vastaavat prujut päättyvät (toistaiseksi). 8