802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu http://cc.oulu.fi/ tvedenju/linalg1/ Luennot Ke 14-16 ja Pe 12-14 salissa L5. Harjoitukset: Ma klo 12-14 salissa M101 Ma klo 14-16 salissa IT106 To klo 8-10 salissa M101 To klo 10-12 salissa TE320 Pe klo 8-10 salissa TE320 Apua harjoituksiin tuutortuvassa! 2 / 23
Sisältö Kurssin asiakokonaisuuksia: 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 2 Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä 3 Vektorit ja matriisit 4 Determinantti 5 Vektoriavaruus R n 3 / 23 Kurssin opiskelusta Hox Hox a) Älä opettele asioita ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! Kysy kaverilta, kysy tuutortuvasta, kysy luennoitsijalta,... d) Tee harjoitustehtäviä! 4 / 23
Kurssin suoritus Loppukoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) Arvostelu 1-5 (ja Hylätty). Läpipääsyyn vaaditaan vähintään puolet pisteistä. Kurssin jälkeen pidettävään päättökokeeseen luetaan hyväksi myös laskuharjoituksista saatavat pisteet. Laskuharjoitushyvityksiä päättökokeeseen saa seuraavan taulukon mukaisesti: Harjoituspisteet Tehdyt tehtävät Pisteet vähintään 10% 1p. vähintään 20% 2p. vähintään 40% 3p. vähintään 60% 4p. vähintään 80% 5p. vähintään 90% 6p. 5 / 23 LINEAARINEN YHTÄLÖRYHMÄ 6 / 23
Esimerkki 1 1 Ratkaise yhtälö 5x = 7. 2 Ratkaise yhtälö ax = b, missä x on tuntematon ja a, b 2 R ovat tunnettuja. 3 Ratkaise yhtälöpari ( 2x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. Mitä yo. yhtälöparin ratkaisu tulkitaan geometrisesti? 7 / 23 Esimerkki 2 1 Ratkaise yhtälöpari ( 5x 1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. 2 Ratkaise yhtälöryhmä 8 >< x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 0 >: 4x 1 + 7x 2 3x 3 = 3 8 / 23
Määritelmä 3 Yleinen lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa 8 a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = b 1 >< a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b 2. >: a k1 x 1 + a k2 x 2 +...+ a kn x n = b k, missä a ij, b i 2 R, i = 1,...,k, j = 1,...,n ovat tunnettuja ja x i 2 R, i = 1,...,n ovat tuntemattomia. Yhtälöryhmän toteuttavaa lukujonoa (x 1,...,x n ) sanotaan yhtälöryhmän ratkaisuksi ja kaikkien ratkaisujen joukkoa sanotaan yhtälöryhmän ratkaisujoukoksi. Jos b 1 = b 2 = = b k = 0, yhtälöryhmä on homogeeninen ja sillä on aina triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = = x n = 0. 9 / 23 Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista käyttämällä seuraavia operaatioita: P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään. M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 6= 0. A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 2 R ja lisätään se yhtälöön j, missä i 6= j. Nämä eivät muuta yhtälöryhmän ratkaisuja, toisin sanoen uusi yhtälöryhmä on ekvivalentti alkuperäisen yhtälöryhmän kanssa. 10 / 23
Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä Koska rivioperaatiot vaikuttavat vain kertoimiin a ij ja b i, on kätevää käyttää laajennettua kerroinmatriisia 2 3 a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 6 7 4.... 5 a k1 a k2 a kn b k Rivioperaatioilla kerroinmatriisi sievennetään muotoon, jossa pelkät nollarivit ovat alimmaisina, jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava luku on 1 ja sen ylä- ja alapuolella on pelkkiä nollia, ylemmän rivin ensimmäinen 1 on alemman rivin ensimmäisen 1:sen vasemmalla puolella. 11 / 23 Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä Kysymys Mitä vaihtoehtoja on sieventämisen jälkeen? 12 / 23
Esimerkki 4 1 Ratkaise yhtälöryhmä 8 >< 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 10 x 1 3x 3 = 2 >: 5x 2 3x 3 = 2 2 Miten yhtälöryhmän 8 >< x 1 + ax 3 = b + 1 2x 1 + x 2 + 4ax 3 = 4b + 2 >: 3x 2 5ax 3 = 5b 1 ratkaisujen lukumäärä riippuu vakiosta a ja b? 13 / 23 VEKTORIT JA MATRIISIT 14 / 23
Vektoreista Määritelmä 5 Olkoon n 2 N = {1, 2, 3,...}. Jono x =(x 1, x 2,...,x n ), missä x 1, x 2,...,x n 2 R, on n-ulotteinen (tai n-komponenttinen) vektori. Kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko on avaruus R n, ts. R n = {(x 1, x 2,...,x n ) x 1, x 2,...,x n 2 R}. Vektorit x, y 2 R n ovat samat, jos x i = y i kaikilla i = 1,...,n. Olkoot x, y 2 R n ja 2 R. Tällöin x + y =(x 1 + y 1, x 2 + y 2,...,x n + y n ) 2 R n x =( x 1, x 2,..., x n ) 2 R n. ja 15 / 23 Vektoreista Lause 1 Olkoot x, y, z 2 R n ja,µ2 R. Tällöin (a) x + y = y + x (vaihdannaisuus) (b) x +(y + z) =(x + y)+z (liitännäisyys) (c) on olemassa nollavektori 0 =(0,...,0) 2 R n ja x + 0 = x (d) on olemassa vastavektori x = 1 x ja x +( x) =0 (e) (µx) =( µ)x (f) 1 x = x (g) ( + µ)x = x + µx (h) (x + y) = x + y (osittelulait). Todistus. Luennolla. 16 / 23
Vektoreista Huomautus 1 Edellisen lauseen nojalla jokaisella vektorilla y 2 R n on vastavektori y 2 R n. Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä x y := x +( y). Esimerkki 6 Olkoot x =(2a + 3b + 5c, a 3c, 5b 3c) 2 R 3 ja y =(10, 2, 2) 2 R 3. Vektoriyhtälö x = y vastaa yhtälöryhmää 8 < : 2a + 3b + 5c = 10 a 3c = 2 5b 3c = 2. (Vrt. aikaisempi esimerkki. 17 / 23 Matriiseista Määritelmä 7 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,...,k ja j = 1,...,n muodostettua kaaviota 2 3 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = 6 7 4... 5 a k1 a k2 a kn sanotaan k n-matriisiksi. Usein merkitään A =[a ij ]. Lukuja a ij sanotaan matriisin A alkioiksi (a ij on alkio rivillä i ja sarakkeessa j). Toinen merkintä alkiolle a ij on A ij. Matriisit A ja B ovat samat, jos A ij = B ij kaikilla i ja j. Kaikkien k n- matriisien joukkoa merkitään symbolilla M(k, n). 18 / 23
Matriiseista Huomautus 2 Olkoot A, B 2 M(k, n) ja A 2 M(n, k), missä 2 R. Tällöin A + B 2 M(k, n) ja (A + B) ij = A ij + B ij ja ( A) ij = A ij kaikilla i = 1,...,k ja j = 1,...,n. 19 / 23 Matriiseista Esimerkki 8 Esimerkkejä... 20 / 23
Matriiseista Lause 2 Olkoot A, B, C 2 M(k, n) ja,µ2 R. Tällöin (a) A + B = B + A, (b) A +(B + C) =(A + B)+C, (c) on olemassa nollamatriisi 0 2 M(k, n), jolle A + 0 = A, (d) on olemassa vastamatriisi A 2 M(k, n), jolle A +( A) =0, (e) (µa) =( µ)a, (f) 1A = A, (g) ( + µ)a = A + µa, (h) (A + B) = A + B. 21 / 23 Matriisien tulo Määritelmä 9 Olkoot A 2 M(k, n) ja B 2 M(n, l). Matriisien A ja B tulo on matriisi AB 2 M(k, l), missä (AB) ij = nx A ip B pj = A i1 B 1j + A i2 B 2j + + A in B nj p=1 kaikilla i = 1,...,k ja j = 1,...,l. 22 / 23
Matriisien tulo Huomautus 3 Tulomatriisin AB alkio (AB) ij saadaan kertomalla A:n i:nen rivin alkiot A i1, A i2,...,a in vastaavilla B:n j:nnen sarakkeen alkioilla B 1j, B 2j,...,B nj ja laskemalla näin saadut tulot yhteen. Tulo AB on määritelty vain, kun matriisin A sarakkeiden lukumäärä on sama kuin matriisin B rivien lukumäärä. Vaikka AB olisi määritelty, niin BA ei välttämättä ole määritelty. Vaikka BA olisi määritelty, niin on mahdollista, että AB 6= BA. On mahdollista, että AB = 0, vaikka A 6= 0jaB 6= 0. 23 / 23