TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c) ympyrä, jonka säde on 5 d) luo ympyrän kehälle kaksi pistettä: B ja C tee raahaustesti varmistaaksesi, että pisteet pysyvät ympyrän kehällä e) piirrä ympyrälle kaksi sädettä ja mittaa niiden pituudet f) piirrä kaarta BC vastaava kulma (katso kuva) ja mittaa sen koko g) piirrä ympyräsektori ACB (katso kuva) ja mittaa sen pinta-ala www.helsinki.fi/yliopisto 14.1.2014 1
Avaa uusi GeoGebra-ikkuna, valitse näkymäksi Geometria PIIRRETÄÄN KOLMIOITA suorakulmainen kolmio keksitkö, miten korostat suoraa kulmaa? tasakylkinen kolmio keksitkö, miten korostat yhtä pitkiä kylkiä? tasasivuinen kolmio keksitkö, miten saat kulmien koot näkyviin? muistikolmiot : kolmio, jonka kulmat ovat 30, 60 ja 90 astetta kolmio, jonka kulmat ovat 45, 45 ja 90 astetta PIIRRETÄÄN MONIKULMIOITA neliö suorakulmio suunnikas vinoneliö (neljäkäs) säännöllinen kuusikulmio Keksitkö useampia vaihtoehtoisia tapoja säännöllisten monikulmioiden piirtämiseksi? Muista pikanäppäimet : paina ESC mitä tapahtui? paina CRTL+E mitä tapahtui? muuta piirtämiesi kolmioiden ulkoasua: väriä, viivan paksuutta, pisteen tyyliä tallenna tiedostosi ggb-tiedostona! Tee raahaustestejä! Apua löytyy tarvittaessa Johdanto GeoGebraan monisteen sivuilta 12-18! 14.1.2014 2
Kolmioita, janoja, ympyröitä, kulmia PIIRRÄ kolmio mittaa sen osia: sivujen pituuksia ja kulmia piirrä kolmiolle korkeusjana mittaa kolmion kanta ja korkeus www.helsinki.fi/yliopisto 14.1.2014 3
Kolmion ympäri piirretty ympyrä PIIRRÄ kolmio ympyrä tuon kolmion ympäri vihje: palauta mieleen, että kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste on ympäri piirretyn ympyrän keskipiste Keksitkö vaihtoehtoisia tapoja? Keksitkö millä muulla (nopeammalla) tavalla tuo ympyrä saadaan aikaiseksi? Mikä on tämän nopeamman tavan heikkous? Katso tarvittaessa apua Johdanto GeoGebraan monisteesta s. 19 tai Aloitusohjeesta versiolle 4! Molemmat löytyvät kurssimateriaalista. TEE SOVELLUS, joka havainnollistaa sitä, että ympyrän halkaisijaa vastaava kehäkulma on suora kulma (Thaleen lause) yleisesti: kehäkulma on puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta Vihjeitä: Piirrä ympyrä (keskipiste A), säde esim. 3. Luo ympyrän kehälle kaksi pistettä (B ja C). Etsi Kulmatyöväline, valitse pisteet A-B (huomaa järjestys!) -> tämä kulma on keskuskulma Luo ympyrän kehälle piste (D, kaaren BC "ulkopuolelle"). Luo kulma BDC eli keskuskulmaa vastaava kehäkulma. Liikuta pisteitä B, C, D. Pitääkö väittämä paikkansa? 14.1.2014 4
Opettajan työssä tulee säännöllisesti vastaan tarve laatia opetusmoniste tai koe, johon täytyisi liittää matemaattinen kuvio. Useimmat tällaiset kuviot voidaan piirtää helposti GeoGebralla, siirtää yhdellä komennolla leikepöydälle ja liittää sieltä osaksi tekstinkäsittelyohjelmalla laadittua dokumenttia. GeoGebralla piirretyn kuvan voi myös tallentaa paitsi ggb-tiedostona myös kuvatiedostona. Liitä jokin edellisissä harjoituksissa piirtämäsi kuva osaksi tekstidokumenttia näin: Tapa I (nopein) Siirrä kuva leikepöydälle: Tiedosto->Vie->Kopioi piirtoalue leikepöydälle Kuva (png-tiedostona) on nyt leikepöydällä valmiina liitettäväksi. Avaa tekstinkäsittelyohjelma ja liitä kuva (Crtl+V tai paste-toiminto). Tapa II (monikäyttöisempi) Tallenna kuvatiedostona (.png/.pdf/.eps): Tiedosto->Vie->Piirtoalue kuvana valitse tallennusmuoto tarkista koko! valitse tallenna ja talleta kuva omiin tiedostoihisi HUOMAA: Piirtoalueelta voidaan myös rajata (maalata) vain osa kuviosta, ja viedä samalla tavoin leikepöydälle tai kuvatiedostoksi. tämän jälkeen kuva on tallennettuna ja voidaan käyttää myöhemmin avaa tekstinkäsittelyohjelma ja lisää kuva sitä varten olevalla toiminnolla 14.1.2014 5
LISÄTEHTÄVIÄ nopeasti eteneville: Kolmion merkilliset pisteet 1. Kolmion sisään piirretty ympyrä piirrä kolmio ja ympyrä tuon kolmion sisään kiinnitä erityistä huomiota siihen, että rakennat konstruktiosi oikein siis, että ympyrä sivuaa kolmion sivuja kun kuvion kokoa tai muotoa muutetaan vihje: palauta mieleen, että kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste on sisään piirretyn ympyrän keskipiste 2. Jatka kolmion merkillisten pisteiden tutkimista tutki keskijanoja (mediaaneja): osoita, että kolmion keskijanat leikkaavat samassa pisteessä, ja leikkauspiste jakaa mediaanin kärjestä lukien suhteessa 2:1 tutki korkeusjanoja: osoita, että kolmion korkeusjanat leikkaavat samassa pisteessä 14.1.2014 6
3. Kolmion ortokolmio kolmion korkeusjanojen leikkauspisteet kolmion sivuilla (kuvassa pisteet D, E ja F) muodostavat uuden kolmion, ns. ortokolmion; tutki sitä! voit mm huomata, että kolmion ja sen ortokolmion sivujen määräämillä kulmilla on yhteys kolmion kulmiin (katso kuva!) voit myös huomata, että korkeusjanat ovat ortokolmion kulmanpuolittajia 4. Eulerin suora keskijanojen, korkeusjanojen sekä keskinormaalien leikkauspisteet asettuvat samalle suoralle, Eulerin suoralle tutki Eulerin suoraa GeoGebran avulla 5. Cevan lause palauta mieleen Cevan lause ja havainnollista sitä GeoGebralla 14.1.2014 7
PIIRRÄ kaksi ympyrää yhdistä ympyröiden keskipisteet janalla AC (katso kuva) aseta ympyrät niin, että ne leikkaavat kahdessa pisteessä ja merkitse leikkauspisteet (kuvassa pisteet E ja F) kuvaan yhdistä leikkauspisteet janalla EF tutki kuvioon syntyviä kolmioita! Mitä voit sanoa janojen AC ja EF leikkauspisteestä (kuvassa punainen piste)? 14.1.2014 8
Viisikantoja piirretään ympyrä ja epäsäännöllinen viisikanta otetaan kärkikulmien suuruudet näkyville tutustutaan GeoGebran syöttökentän käyttöön: Näytä->Syöttökenttä: summa=α+β+γ+δ+ε otetaan GeoGebran algebraikkuna näkyville: Näytä->Algebraikkuna tuodaan summa piirtoalueelle tekstiksi piirretään säännöllinen viisikanta (pentagrammi) pentagrammin matematiikkaa: http://fi.wikipedia.org/wiki/pentagrammi 14.1.2014 9
Päättele oheisen säännöllisen viisikanta/viisikulmiokuvion kaikkien kulmien suuruudet. Tarkista GeoGebralla: piirrä kuvio ja mittaa kulmat! 14.1.2014 10