1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + + a mn x n = b m (1) Esim. Kahden yhtälön ja kolmen tuntemattoman yhtälöryhmä: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 (2) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2
Esim. 5x 1 + 2x 2 x 3 = 4 x 1 4x 2 + 3x 3 = 6 (3) Lukuja a jk kutsutaan ryhmän kertoimiksi. 2 Jos kaikki luvut b i ovat nollia, kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä; jos ainakin yksi b i on nollasta poikkeava, on kyseessä epähomogeeninen ryhmä. Yhtälöryhmän ratkaisu on lukujoukko x 1,, x n, joka toteuttaa kaikki m yhtälöä. Yhtälöryhmän ratkaisuvektori on vektori x, jonka komponentit muodostavat ryhmän ratkaisun. Jos yhtälöryhmä on homogeeninen, on olemassa ainakin triviaaliratkaisu x 1 = 0,, x n = 0.
m:n yhtälön ryhmä voidaan kirjoittaa vektoriyhtälönä Ax = b, (4) 3 missä kerroinmatriisi A = [a jk ] on m n matriisi a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn (5) ja pystyvektorit x 1 x =. b 1. b = (6) x n b m
Oletus: A 0 4 Matriisi a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 à =.... a m1 a m2 a mn b m on yhtälöryhmän lisätty matriisi (augmented matrix). Matriisi à sisältää yhtälöryhmän kaikki annetut luvut ja määrittää siten yhtälöryhmän täydellisesti. Yhtälöryhmän ratkaisemiseksi tarvitsee näin ollen tarkastella ainoastaan lisättyä matriisia. Käytännön resepti: Gaussin eliminointi. (7)
3.1 Gaussin eliminointi 5 Yhtälöryhmän ratkaisut pysyvät samoina, jos tehdään perusoperaatiot yhtälöille: Yhtälöiden järjestys vaihdetaan (ei vaikuta ratkaisuihin) Yksi tai useampi yhtälö kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla Yhden tai useamman yhtälön kerrannainen lisätään muihin yhtälöihin Vastaavat perusoperaatiot lisätylle matriisille: Vaihdetaan kaksi riviä keskenään Yksi tai useampi rivi kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla Lisätään vakiolla kerrottu rivi toiseen riviin Gaussin eliminointia voidaan soveltaa myös silloin, kun yhtälöiden ja tuntemattomien määrä ei ole sama.
6 Gaussin eliminointi käytännössä: 1. Kiinnitetään yksi yhtälö/rivi ja sen ensimmäinen termi (esim. x 1 ) ja eliminoidaan tämä termi muista yhtälöistä. Tämä tapahtuu lisäämällä kiinnitetty rivi sopivalla vakiolla kerrottuna muihin yhtälöihin/riveihin. 2. Kiinnitetään seuraava yhtälö ja sen ensimmäinen termi (esim. x 2 ). Vaihdetaan tarvittaessa yhtälöiden järjestystä. 3. Jatketaan, kunnes yhtälöryhmä (ja sitä vastaava matriisi) on porrasmuodossa (kolmiomuodossa). 4. Viimeinen muuttuja saadaan nyt suoraan ratkaistua. Sijoitetaan se edelliseen yhtälöön jne. kunnes kaikkien muuttujien arvot ovat selvillä. Jos tuntemattomia on enemmän kuin yhtälöitä, on ratkaisuja ääretön määrä. Jollekin muuttujista voidaan tällöin valita arvo, esim. x 4 = α.
3.2 Lineaarinen riippumattomuus, vektoriavaruus ja matriisin aste Vektorien a (1),, a (m) lineaarikombinaatio on muotoa c 1 a (1) + + c m a (m), (8) 7 missä c 1,, c m ovat skalaareja (tässä tapauksessa reaalilukuja). Vektorit a (1),, a (m) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos c 1 a (1) + c 2 a (2) + + c m a (m) = 0 c 1 = c 2 = = c m = 0 Jos lineaarikombinaatio on nolla siten, että jokin kertoimista on nollasta poikkeava, vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin ainakin jokin niistä voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa. (9)
n komponenttisten vektorien a (1),, a (m) kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko V on näiden vektorien virittämä vektoriavaruus. Avaruuden V vektorien a ja b summa a + b on myös avaruudessa V samoin kuin vektorin a ja skalaarin k tulo ka 8 Vektoriavaruuden ominaisuuksia (oletetaan, että a, b ja c kuuluvat V :hen ja k ja l ovat reaalilukuja): a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) (10) a + 0 = a a + ( a) = 0
9 k(a + b) = ka + kb (k + l)a = ka + la k(la) = (kl)a 1a = a Avaruuden V lineaarisesti riippumattomien vektorien maksimimäärä on V :n dimensio, merkitään dim V (11) Sellainen lineaarisesti riippumaton joukko V :ssä, jossa on maksimimäärä V :hen kuuluvia vektoreita, on V :n kanta. n ulotteinen vektoriavaruus R n on joukko, jonka alkioina ovat n:n reaaliluvun muodostamat jonot (x 1, x 2,, x n )
Matriisin A = [a jk ] lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden maksimimäärä on matriisin A aste (rank), merkitään rank A. Matriisin A ja sen transpoosin A T aste on sama. 0 Perusoperaatiot (rivien vaihto etc) eivät muuta matriisin astetta. Aste on siis = porrasmatriisin ei nollarivien lukumäärä. Asteen määritelmästä seuraa: p vektoria x (1),, x (p) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos matriisin, jonka rivit ovat x (1),, x (p) aste on p; jos aste on pienempi kuin p, ne ovat lineaarisesti riippuvia.
1 3.3 Lineaariset yhtälöryhmät: Ratkaisujen yleisiä ominaisuuksia Lineaarisella yhtälöryhmällä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 eli A m n x = b a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m 1. on ratkaisuja jos ja vain jos r = rank A = rank à 2. on täsmälleen yksi ratkaisu, jos r = n 3. on ääretön määrä ratkaisuja, jos r < n (12)
Homogeeninen lineaarinen yhtälöryhmä: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 (13) 2 Triviaaliratkaisu x = 0 aina olemassa Ei triviaaliratkaisuja olemassa jos ja vain jos r = rank A < n Jos r < n, triviaali ja ei triviaaliratkaisut yhdessä muodostavat ratkaisuavaruuden, jonka dimensio on n r (ei päde epähomogeenisille yhtälöryhmille) Ratkaisuavaruuden dimensio = A:n nulliteetti, merk. nullity A. Pätee siis ranka + nullitya = n (14)
4 Käänteismatriisi ja determinantti 4.1 Käänteismatriisi Tarkastellaan neliömatriiseja 3 n n matriisin A = [a jk ] käänteismatriisi A 1 on matriisi, jolle pätee AA 1 = A 1 A = I (15) Jos A:lla on käänteismatriisi, se on ei singulaarinen, muussa tapauksessa se on singulaarinen. Käänteismatriisi on yksikäsitteinen. n n matriisilla A on käänteismatriisi jos ja vain jos rank A = n
4 Käänteismatriisi voidaan määrittää esim. Gauss Jordan eliminoinnilla. Idea: muodostetaan lisätty matriisi à = [A I] ja saatetaan se Gaussin eliminoinnilla muotoon [I K], jossa K = A 1. Myöhemmin esitetään menetelmä, jolla käänteismatriisin voi määrittää determinanttien avulla Käänteismatriisin käänteismatriisi: (A 1 ) 1 = A Tulon käänteismatriisi: (AC 1 ) = C 1 A 1 Jos A,B ja C ovat n n matriiseja, niin 1. Jos rank A = n ja AB = AC, niin B = C 2. Jos rank A = n, niin AB = 0 B = 0 3. Jos A on singulaarinen, niin ovat myös AB ja BA
4.2 Determinantit 5 n n matriisin a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a n1 a n2 a nn (16) determinantti määritellään tapauksessa n = 2 kaavalla a D = deta = 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 (17)
Determinanttia voidaan käyttää mm. yhtälöryhmien ratkaisuun (Cramerin sääntö, esitetään myöhemmin) ja käänteismatriisin määrittämiseen. 6 tapauksessa n = 3 kaavalla a 11 a 12 a 13 a D = a 21 a 22 a 23 = a 11 22 a 23 a a 31 a 32 a 33 32 a 33 a a 12 a 13 21 a 32 a 33 +a a 12 a 13 31 a 22 a 23 (18) Huom. merkit: + - + Yhtälön oikealla puolella olevat alideterminantit saadaan poistamalla D:stä ko. determinantin kerrointa vastaava rivi ja sarake, esim. a 11 :n tapauksessa ensimmäinen rivi ja sarake jne.
7 yleisessä tapauksessa rekursiokaavalla a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n D =. a 31 a 32 a 33 a nn = = n ( 1) j+k a jk M jk (j {1 n}) k=1 n ( 1) j+k a jk M jk (k {1 n}), j=1 missä alideterminantti M jk on n 1:en kertaluvun determinantti, joka saadaan poistamalla matriisista j:s rivi ja k:s sarake. a jk :n liittotekijä (cofactor) on C jk = ( 1) j+k M jk. Determinantti liittotekijöiden avulla: D = a j1 C j1 + a j2 C j2 + + a jn C jn D = a 1k C 1k + a 2k C 2k + + a nk C nk (19)
4.2.1 Determinanttien perusominaisuuksia Jos determinantin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään, determinantin arvo ei muutu. Jos determinantin jokin rivi tai sarake kerrotaan vakiolla k, determinantin arvo muuttuu k kertaiseksi. 8 Jos jonkin rivin tai sarakkeen kaikki alkiot ovat nollia, on determinantin arvo = 0. Jos determinantin jokin rivi tai sarake on ilmaistu binomimuodossa, voidaan determinantti esittää kahden determinantin summana. Jos determinantin kaksi riviä tai saraketta vaihdetaan keskenään, vaihtuu determinantin merkki. Jos jokin rivi tai sarake saadaan toisesta vakiolla kertomalla, on determinantin arvo = 0.
Jos jokin rivi tai sarake lisätään toiseen vakiolla kerrottuna, determinantin arvo ei muutu. n n matriiseille A ja B, det(ab) = det(ba) = det(a)det(b) (20) 9 Jos determinantin alkiot ovat funktioita, determinantin D derivaatta D on D = D (1) + D (2) + D (n), (21) missä D (j) saadaan derivoimalla j:nnen rivin alkiot. Transpoosin determinantti: deta T = deta (22) Käänteismatriisin determinantti: deta 1 = 1 deta (23)
0 4.2.2 Cramerin sääntö Jos n:n yhtälön ja n:n muuttujan yhtälöryhmällä a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + + a nn x n = b n (24) on nollasta poikkeava determinantti D, ryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu, joka saadaan kaavasta x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,, x n = D n D, (25) missä D k on determinantti, joka saadaan D:stä korvaamalla k:s sarake alkioilla b 1,, b n.
Jos em. yhtälöryhmä on homogeeninen, sillä on ei triviaaliratkaisuja vain, jos D = 0. 1 Cramerin säännön seurauksena saadaan kääteismatriisin laskemiselle determinanttien avulla sääntö A 11 A 21 A n1 A 1 = 1 deta [A jk] T = 1 A 12 A 22 A n2 (26) deta... A 1n A 2n A nn, missä A jk on a jk :ta vastaava liittotekijä. Huom. Tämä kaava on kätevä käsin laskettaessa, mutta sitä ei kannata käyttää numeerisiin (tietokone ) laskuihin.