Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v() t = v0 + at ja ( t) 0,5t, Muuttujan pitää olla ensimmäistä astetta. ϕ = +. Esimerkki. Seuraavat funktiot eivät ole ensimmäisen asteen polnomifunktioita. g = ( muuttuja toista-astetta) ht () = 5 (5 on vakio, vakiofunktio) 3 f = 3 + 7 (muuttuja neljättä astetta). Ensimmäisen asteen polnomifunktion f = a+ b, a 0 kuvaaja on suora, joka ei ole koordinaattiakselien suuntainen. Esimerkki 3. Tarkastellaan parametrin a vaikutusta kuvaajaan. Kuvaan on piirrett funktioiden f = +, g = 5+ ja h = + kuvaajat. 0 f g h 0 0.5 0.5 0 0.5.5 0,,
Parametri a vaikuttaa selvästi suoran jrkkteen. Kuvan perusteella nättää siltä, että mitä suurempi on a arvo sitä jrkempi on suora. Kerroin a on funktion f = a+ b, a 0 kuvaajan kulmakerroin. Suora on nouseva, kun a > 0 ja laskeva, kun a < 0. Jos a = 0 niin funktio ei ole ensimmäisen asteen polnomifunktio vaan vakio funktio ja kuvaaja on -akselin suuntainen suora. Mitä suurempi on a sitä jrkempi suora on. Esimerkki. Kuvaan on piirrett funktioiden f = +, g = 5+ ja h( ) = 5 kuvaajat. 0 f g h 0 0.5 0.5 0 0.5.5 0,, Esimerkki 5. Tarkastellaan parametrin b vaikutusta funktion f = a+ b, a 0 kuvaajaan. Kuvaan on piirrett funktioiden f =, g = + ja h = + 5 kuvaajat. 0 f g h 0 0.5 0.5 0 0.5.5 0,,
Kuvasta nädään selvästi, että parametri b siirtää suoraa -akselin suunnassa. Parametri b kertoo missä kohtaa suora leikkaa -akselin. Esimerkiksi funktion f = kuvaaja leikkaan -akselin kohdassa 0,. = eli pisteessä Suoran piirtämiseksi riittää kahden pisteen määrittäminen. Esimerkki. Piirretään funktion f = + kuvaaja. = eli piste on Toinen piste saadaan -akselin leikkauskohdasta, 0,. Suoran leikatessa -akseli -koordinaatti on aina nolla. Toinen piste saadaan antamalla :lle jokin arvo, esimerkiksi =. = 0 = 0+ = eli piste on ( 0, ) 5,5 = = + = eli piste on Jos P = (, ) ja Q = (, ) ovat -tason pisteita, niin suoran L kulmakerroin k ( k = a) on k = tanα = = Kulmakerroin on riippumaton suoran eri pisteiden P ja Q valinnasta. Suoran suuntakulma on α. P α Q L
Pisteen (, ) kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on k htälö on = k. Pisteiden (, ) ja (, ) kulkevan suoran htälö on =. Suoran joka leikkaa -akselin kohdassa b ja kulmakerroin on k htälö on = k+ b. Lisäksi jokaisen suoran htälö voidaan kirjoittaa ns. standardimuodossa a + b + c = 0, missä a, b ja c ovat reaalilukuja ja ainakin toinen kertoimista a ja b eroaa nollasta. Kääntäen, jokaisen standardimuotoisen htälön a + b + c = 0 (a 0 tai b 0) kuvaaja on -tason suora. Esimerkki 7. Pisteiden (,) ja (, ) kautta kulkevan suoran L kulmakerroin on k = = =. 3 Jos siis suoran L pisteen -koordinaatti kasvaa luvulla, niin pisteen -koordinaatti pienenee luvulla. Koska suora L kulkee pisteiden (,) ja (, ) kautta, niin sen htälö on = ( ) tai htä hvin + = ( ). Kumpikin htälö sievenee standardimuotoon + = 0. 3 Esimerkki. Yhtälön 3 + = 0 kuvaaja on suora = + 3, jonka kulmakerroin on 3 k = ja joka leikkaa -akselin kohdassa = 3. Suora 3 + = 0 voidaan piirtää mös määräämällä sen kaksi pistettä: = 0 + = 0 = 3, = 0 3 + = 0 =. Täten htälö 3 + = 0 esittää pisteiden (0,3) ja (,0) kautta kulkevaa suoraa.
Esimerkki 9. Yhtälö = 0 esittää -akselin suuntaista suoraa = 3, joka leikkaa -akselin kohdassa 3. Yhtälö = 0 esittää -akselin suuntaista suoraa =, joka leikkaa -akselin kohdassa. Esimerkki 30. Fahrenheit-asteiden F ja Celsius-asteiden C välinen riippuvuus on muotoa F = kc + b, missä k ja b ovat reaalilukuja. Veden jäätmispisteessä C = 0 ja F = 3 ja veden kiehumispisteessä C = 00 ja F =. Täten 3 = k 0 + b ja = k 00 + b. 9 Näin ollen b = 3, k = ( 3)/00 = 9/5 ja F = C + 3. 5 Esimerkki 3. Itseisarvofunktion f () = kuvaaja = koostuu kahdesta puolisuorasta = ( 0) ja = ( < 0). = Suorien välinen kulma Tarkastellaan kahta suoraa, joiden kulmakertoimet ovat k = tanα ja k = tanα, missä α > α. Tällöin suorien välinen kulma on α = α α. α α α α Suorien välinen kulma saadaan laskettua kaavasta tanα k k kk =. +
Esimerkki 3. Määritetään suorien = + ja = 5+ välinen kulma. 5 tanα = + 5 α = arctan α,73 Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden kulmakertoimien tulo on. k k = Esimerkki 33. Määritä suora, joka on kohtisuorassa suoraa + = 0 vastaan ja kulkee pisteen (, ) kautta. + = 0 = + k = Koska k k, niin k = eli k = k Kstt suoran htälö on täten = =. ( ) Suoran etäiss pisteestä Pisteen (, ) etäiss d suorasta a + b + c = 0 voidaan laskea kaavasta d = a + b + c a + b.
Esimerkki 3. Lasketaan pisteen (,3) etäiss suorasta = (kuva). Kaavan vaatima suoran htälö on = 0. Täten Pisteen (,3) 3 3 d = = 7 + 3 etäiss suorasta = on d = 3,. 7.