LINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ...

LINEAARIALGEBRA I Hannu Honkasalo v w u h w A v Helsingin yliopiston matematiikan laitos 003

SISÄLTÖ 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 Matriisit ja matriisitoimitukset 5 13 Matriisien laskulakeja 11 14 Eräitä erityisiä matriiseja 13 15 Porrasmatriisit ja lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen 15 16 Alkeismatriisit ja matriisin säännöllisyys 3 Reaalikertoimiset vektoriavaruudet 1 Koordinaattiavaruus R n 30 Vektoriavaruudet 33 3 Aliavaruudet 37 4 Lineaarinen riippumattomuus 46 5 Kanta ja dimensio 48 6 Menetelmiä kannan etsimiseksi 5 7 Matriisin aste 57 8 Koordinaatit ja kannanvaihto 58 3 Sisätuloavaruudet 31 Pistetulo R n :ssä 63 3 Sisätulot 65 33 Gramin Schmidtin menetelmä 69 34 Kohtisuora komplementti ja projektio 7 35 Ristitulo R 3 :ssa 77 36 Pienimmän neliösumman menetelmä 81 4 Lineaarikuvaukset 41 Määritelmä ja esimerkkejä 86 4 Kuva ja ydin Isomorfismit 90 43 Lineaarikuvaukset ja matriisit 97

5 Determinantit 50 Permutaatiot 104 51 Determinanttifunktion konstruktio 109 5 Determinanttien ominaisuuksia 11 53 Kehityskaavat ja determinanttien laskeminen 114 54 Determinanttien sovelluksia 118 6 Ominaisarvot ja diagonalisointi 61 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 10 6 Symmetriset lineaarikuvaukset ja matriisit 14 63 Neliömuodon pääakseliesitys 19

1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n = b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,, a n R ja vakio on b R (1):n ratkaisut ovat ne reaalilukujonot (s 1,, s n ), joilla (1) toteutuu, kun sijoitetaan x 1 = s 1,, x n = s n Esimerkki 111 a) Yhtälön 6x 1 3x + 4x 3 = 13 eräs ratkaisu on x 1 =, x = 3, x 3 = 4 b) Tapaus n = : Tuntemattomia merkitään usein symboleilla x ja y Yhtälön a 1 x + a y = b (a 1 0 tai a 0) ratkaisut muodostavat suoran xy-tasossa (tästä nimitys lineaarinen ) () Äärellinen jono tuntemattomien x 1,, x n lineaarisia yhtälöitä a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m on lineaarinen yhtälöryhmä (tässä on m yhtälöä ja n tuntematonta; m 1, n 1), jonka kertoimet ovat a ij R (1 i m, 1 j n) ja vakiot b i (1 i m) ():n i:s yhtälö a i1 x 1 + a i x + + a in x n = b i kirjoitetaan joskus muodossa L i = 0, missä L i = a i1 x 1 + a i x + + a in x n b i Lukujono (s 1,, s n ) on ():n ratkaisu, jos se on ():n jokaisen yhtälön ratkaisu Yhtälöryhmä () on homogeeninen, jos b 1 = = b n = 0 Homogeenisella yhtälöryhmällä on aina triviaali ratkaisu x 1 = = x n = 0 Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisu, jossa jokin x i 0, on epätriviaali Kaksi tuntemattomien x 1,, x n yhtälöryhmää ovat ekvivalentit, jos niillä on täsmälleen samat ratkaisut, so sama ratkaisujoukko Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen ensimmäisen yhtälöryhmän ratkaisu on myös toisen ratkaisu, ja kääntäen, jokainen toisen yhtälöryhmän ratkaisu on myös ensimmäisen ratkaisu

Yhtälöryhmän () ratkaiseminen tarkoittaa sen kaikkien ratkaisujen (ts ratkaisujoukon) määrittämistä Strategia: Muodostetaan ():n kanssa ekvivalentteja yhtälöryhmiä, joista ratkaisu voidaan helpommin lukea Seuraavat esimerkit 11 (a) (e) on tarkoitettu johdatukseksi lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen Systemaattinen ratkaisumenetelmä esitetään kappaleessa 15 Esimerkki 11 { x1 3x = 7 (a) x 1 + x = 7 (1) { x1 3x = 7 7x = 1 () { x1 3x = 7 x = 3 (3) { x1 = 7 + 3x x = 3 (4) { x1 = x = 3 Yhtälöryhmällä on siis täsmälleen yksi ratkaisu, nimittäin (x 1, x ) = (, 3) Selitykset: (1) Alempaan yhtälöön lisätään ylempi yhtälö kerrottuna puolittain puolittain luvulla, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x 1 alemmasta yhtälöstä () Alempi yhtälö kerrotaan puolittain luvulla 1 7, jolloin saadaan ratkaistua tuntematon x alemmasta (3) Ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan tuntematon x 1 tuntemattoman x avulla (4) Sijoitetaan x = 3 ylempään, jolloin saadaan x 1 Usein esitystä on tapana pelkistää yhdistämällä itsestään selviä välivaiheita Esimerkiksi vaiheet (), (3) ja (4) voidaan yhdistää: { x1 3x = 7 x 1 + x = 7 { x1 3x = 7 7x = 1 { x1 = 7 + 3x = x = 3 8x 1 3x = 7 7x 1 = 14 { x1 = (b) 3x 1 x = 0 7x 1 = 14 (1) 10x 1 x = 14 () x = 5x 1 7 = 3 10x 1 x = 14 Saatiin siis yksikäsitteinen ratkaisu (x 1, x ) = (, 3) Koska ratkaisu on sama kuin kohdassa (a), kyseiset yhtälöryhmät ovat ekvivalentit Selitykset: (1) Toiseen yhtälöön lisätään kolmas yhtälö kerrottuna puolittain luvulla 1, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x toisesta yhtälöstä Vastaavasti ensimmäiseen

yhtälöön lisätään kolmas yhtälö puolittain luvulla 3 kerrottuna, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x ensimmäisestä yhtälöstä () Koska ensimmäinen ja toinen yhtälö ovat samoja, voidaan toinen niistä pudottaa pois Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla 1, jolloin kyseisestä yhtälöstä 7 saadaan x 1 = Ratkaistaan kolmannesta yhtälöstä x x 1 :n avulla ja sijoitetaan x 1 =, jolloin saadaan x = 3 3 (c) { x1 3x = 7 x 1 6x = 7 (1) { x1 3x = 7 0 = 1 Koska yhtälö 0 = 1 ei toteudu millään parilla (x 1, x ), yhtälöparilla ei ole ratkaisua Selitykset: (1) Lisätään alempaan yhtälöön ylempi yhtälö kerrottuna puolittain luvulla, jolloin saadaan eliminoitua alemmasta tuntematon x 1 Osoittautuu, että samalla eliminoituu myös tuntematon x (d) x 1 + x + 3x 3 = 6 x 1 3x + x 3 = 14 3x 1 + x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 6 7x 4x 3 = x + x 3 = 4 x 1 + x + 3x 3 = 6 x + x 3 = 4 10x 3 = 30 (3) (1) (5) x 1 + x + 3x 3 = 6 7x 4x 3 = 5x 10x 3 = 0 x 1 + x + 3x 3 = 6 x + x 3 = 4 7x 4x 3 = (4) x 1 = 6 x 3x 3 = 1 x = 4 x 3 = x 3 = 3 () Saatiin yksikäsitteinen ratkaisu (x 1, x, x 3 ) = (1,, 3) Selitykset: (1) Eliminoidaan tuntematon x 1 toisesta yhtälöstä lisäämällä toiseen yhtälöön ensimmäinen yhtälö luvulla kerrottuna Vastaavasti eliminoidaan x 1 kolmannesta yhtälöstä lisäämällä kolmanteen yhtälöön ensimmäinen yhtälö luvulla 3 kerrottuna () Sievennetään kolmas yhtälö kertomalla se puolittain luvulla 1 5 (3) Vaihdetaan keskenään toinen ja kolmas yhtälö

(4) Eliminoidaan tuntematon x (uudesta) kolmannesta yhtälöstä lisäämällä (uusi) toinen yhtälö luvulla 7 kerrottuna kolmanteen yhtälöön (5) Ratkaistaan tuntematon x 3 kolmannesta yhtälöstä kertomalla kyseinen yhtälö puolittain luvulla 1 10 ; saadaan x 3 = 3 Ratkaistaan toisesta yhtälöstä tuntematon x tuntemattoman x 3 avulla ja sijoitetaan edellä saatu x 3 = 3; saadaan x = Ratkaistaan lopuksi ensimmäisestä yhtälöstä tuntematon x 1 tuntemattomien x ja x 3 avulla ja sijoitetaan edellä saadut x = ja x 3 = 3; saadaan x 1 = 1 4 (e) { x1 + x 3x 3 = 4 x 1 + x 3x 3 = 4 (1) { x1 + x 3x 3 = 4 3x + 3x 3 = 1 () { x1 = 4 x + 3x 3 = 4 (x 3 4) + 3x 3 = x 3 + 4 x = x 3 4 Ratkaisut ovat siis (x 1, x, x 3 ) = (t + 4, t 4, t), missä x 3 = t R on mikä tahansa reaaliluku (parametri); ratkaisuja on ääretön määrä Selitykset: (1) Eliminoidaan muuttuja x alemmasta yhtälöstä lisäämällä alempaan yhtälöön ylempi yhtälö puolittain luvulla kerrottuna () Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä tuntematon x tuntemattoman x 3 avulla ja ylemmästä yhtälöstä tuntematon x 1 tuntemattomien x ja x 3 avulla Sijoitetaan x :n lauseke ylempään yhtälöön, jolloin saadaan x 1 pelkästään x 3 :n avulla lausuttuna Nähdään, että jokaista arvoa x 3 = t R kohti saadaan ratkaisu (x 1, x, x 3 ) = (t + 4, t 4, t); kaikkiaan näitä rataisuja on ääretön määrä (niiden joukko on yhtä mahtava kuin reaalilukujen t joukko) Huomautus 113 Esimerkistä 11 nähdään, että lineaarisella yhtälöryhmällä voi olla ratkaisuja (ainakin) jokin seuraavista määristä: a) tasan yksi, b) ei yhtään, c) ääretön määrä Geometrinen tulkinta yhtälöparin { a11 x 1 + a 1 x = b 1 (a 11 0 tai a 1 0) a 1 x 1 + a x = b (a 1 0 tai a 0) tapauksessa: x 1 x -tason kahden suoran leikkaus on a) piste, b) tyhjä, c) suora a) l 1 b) l 1 l c) l 1 = l l

Kuvailemme lopuksi yleisesti ne operaatiot, joilla yhtälöryhmiä esimerkissä 11 manipuloitiin Tarkastellaan yhtälöryhmää () eli L i = 0, i = 1,, m, missä L i = a i1 x 1 + a i x + + a in x n b i Muodostetaan uusi yhtälöryhmä ( ) L i = 0, i = 1,, m, suorittamalla jokin seuraavista toimituksista: I Olkoon r s Määritellään L r = L s, L s = L r ja L i = L i kaikilla i r, s; siis vaihdetaan ():n yhtälöt r ja s keskenään II Olkoon r {1,,, m} ja c R, c 0 Määritellään L r = c L r ja L i = L i kaikilla i r; siis kerrotaan ():n yhtälö r (puolittain) vakiolla c 0 III Olkoon r, s {1,,, m}, r s ja c R Määritellään L s = L s + c L r ja L i = L i kaikilla i s; siis ():n yhtälöön s lisätään c (yhtälö r) Lause 114 Yhtälöryhmät () ja ( ) ovat ekvivalentit Todistus Tapaus I on selvä Tapaus II Oletetaan, että L i = 0 i Tällöin L i = L i = 0 i r ja L r = c L r = c 0 = 0 Oletetaan kääntäen, että L i = 0 i Tällöin L i = L i = 0 i r ja L r = (1/c) L r = (1/c) 0 = 0 (Tässä tarvitaan ehtoa c 0!) Tapaus III Oletetaan, että L i = 0 i Tällöin L i = L i = 0 i s ja L s = L s + c L r = 0 + c 0 = 0 Oletetaan kääntäen, että L i = 0 i Tällöin L i = L i = 0 i s ja L s = L s c L r = L s c L r = 0 c 0 = 0 Myöhemmin selitetään, millaiseen yhtälöryhmään toimituksilla I - III kannattaa pyrkiä 1 Matriisit ja matriisitoimitukset Kun edellä operoitiin lineaarisilla yhtälöryhmillä, käsiteltiin itse asiassa vain yhtälöryhmien kertoimia ja vakioita; tuntemattomat olivat vain paikanpitäjinä Kootaan kertoimet ja vakiot matriiseiksi Määritelmä 11 Olkoot m 1 ja n 1 kokonaislukuja (Reaalinen) m n - matriisi on lukukaavio a 11 a 1 a 1n a A = 1 a a n a m1 a m a mn (a ij R kaikilla i, j); 5

6 reaaliluku a ij = A(i, j) on A:n (i, j)-alkio; 1 n -matriisi [ a i1 a i a in ] on A:n i:s rivi (i = 1,,, m); m 1 -matriisi a 1j a j a mj on A:n j:s sarake (j = 1,,, n) Jos m = n, A on neliömatriisi; tällöin a 11, a,, a nn ovat A:n lävistäjäalkiot Merkitään R m n = kaikkien (reaalisten) m n -matriisien joukko; siis A R m n A on m n -matriisi Usein merkitään lyhyesti A = [ a ij ] Määritelmä 11 Matriisit A = [ a ij ] ja B = [ b ij ] ovat samankokoiset jos niillä on yhtä monta riviä ja yhtä monta saraketta (esimerkiksi molemmat ovat m n - matriiseja) Edelleen matriisit A ja B ovat samat, merkitään A = B, jos ne ovat samankokoiset ja a ij = b ij i, j Esimerkki 13 [ ] 1 [ 1 ] ; 1 1 3 4 = 1 w x 4 w = 1, x = 3, y = 0, z = 5 0 4 5 y 4 z Määritelmä 14 (Yhteenlasku) m n -matriisien A = [ a ij ] ja B = [ b ij ] summa on m n -matriisi A + B = [ c ij ], missä c ij = a ij + b ij i, j Esimerkki 15 [ ] [ ] 1 0 1 + ei ole määritelty (matriisit ovat erikokoiset); 1 1 3 4 [ ] [ ] [ ] [ ] 1 3 0 1 1 + 0 + 3 + 1 1 0 4 + = = 1 4 1 3 4 + 1 1 + 3 4 4 3 0

Määritelmä 16 (Skalaarilla kertominen) Jos A = [ a ij ] on m n -matriisi ja t R on skalaari, niin ta = [ c ij ] on se m n -matriisi, jolla c ij = ta ij i, j Esimerkki 17 ( ) [ ] 4 3 = 7 3 [ ] 8 4 6 14 6 4 7 Kahden m n -matriisin erotus on Esimerkki 18 [ ] 3 5 4 1 A B = A + ( 1)B [ ] 1 3 = 3 5 [ ] 0 4 8 1 3 3 Summamerkintä Kun a 1, a,, a n R, merkitään a 1 + a + + a n = n a i R i=1 Täsmällisemmin tämä merkintä määritellään rekursiivisesti: 1 a i = a 1 ; i=1 ( n+1 n ) a i = a i + a n+1 i=1 i=1 Summausindeksi i on sidottu muuttuja ; summa ei riipu sen merkintätavasta: Laskusääntöjä: n a i = i=1 n a r r=1 n ca i = c i=1 n a i Tapauksessa n = kyseessä on osittelulaki ca 1 + ca = c(a 1 + a ); yleisesti kaava todistetaan induktiolla i=1

8 Kaksinkertaisen summan summausjärjestyksen vaihtamissääntö: m n a ij = ( n m ) a ij i=1 j=1 j=1 i=1 Tapaus m = n = : i=1 j=1 a ij = (a i1 + a i ) = (a 11 + a 1 ) + (a 1 + a ), i=1 ( ) a ij = j=1 i=1 (a 1j + a j ) = (a 11 + a 1 ) + (a 1 + a ) j=1 Reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuudesta ja liitännäisyydestä seuraa, että yllä olevissa yhtälöissä oikealla olevat lausekkeet ovat samat, joten kaksoissummat ovat samat Yleinen tapaus voidaan todistaa induktiolla Kysymys on siitä, että matriisin [ a ij ] rivisummien summa ja sarakesummien summa ovat yhtäsuuret; molemmat antavat tulokseksi kaikkien lukujen a ij summan Määritelmä 19 (Matriisitulo) m n -matriisin A = [ a ij ] ja n p -matriisin B = [ b ij ] tulo on m p -matriisi AB = [ c ij ], jolla c ij = n a ik b kj = a i1 b 1j + a i b j + + a in b n,j, k=1 i {1,, m}, j {1,, p} Huomautus 110 AB on määritelty A:n sarakkeiden lukumäärä = B:n rivien lukumäärä j b 1j b j i a i1 a i a in = c ij b nj c ij = a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj

9 Esimerkki 111 [ ] 1 1 3 1 4 = 5 4 3 = 1 [ 1 ( ) + 4 + ( 1) 1 5 + ( 3) + ( 1) 1 3 ( ) + 1 4 + 4 3 5 + 1 ( 3) + 4 1 ] = [ ] 4 6 16 Olkoon A R m n ja B R n p Tällöin siis AB R m p on määritelty Kysymys: Mitä voidaan sanoa matriisista BA? Vastaus: BA on määritelty vain, jos p = m Tällöin BA R n n (ja siis AB R m p = R m m ) Jos m n, AB ja BA eivät ole samankokoiset, joten AB BA Jos m = n, AB ja BA ovat molemmat n n -matriiseja ja voi olla AB = BA, mutta yleensä tällöinkin AB BA Esimerkki 11 [ ] [ ] 1 1 0 (a) 0 1 1 = [ ] 1 ; 1 [ ] 0 1 [ ] 1 1 0 1 ei ole määritelty (b) (c) [ ] 1 0 0 1 [ ] 1 [ 1 ] = [ 1 ] (1 1 -matriisi), 1 [ ] [ ] 1 1 [ 1 ] = ( -matriisi) 1 1 [ ] 0 1 = 1 0 [ ] 0 1 1 0 [ ] 0 1 = 1 0 [ ] 0 1 1 0 [ ] 1 0 0 1 Huomautus 113 Olkoon A R m n ja B R n p ; A 1,, A m R 1 n A:n rivit ja B 1,, B p R n 1 B:n sarakkeet Tällöin AB:n rivit ovat A 1 B,, A m B R 1 p ; AB:n sarakkeet ovat AB 1,, AB p R m 1 ; A i 0 B j0 = [ (AB)(i 0, j 0 ) ] R 1 1 Lineaarisen yhtälöryhmän matriisiesitys Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b (1) a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m

Merkitään a 11 a 1 a 1n a A = 1 a a n a m1 a m a mn, X = x 1 x x n, B = A R m n, X R n 1, B R m 1 A on (1):n kerroinmatriisi, a 11 a 1 a 1n b 1 a [ A B ] = 1 a a n b (m (n + 1) -matriisi) a m1 a m a mn sen täydennetty matriisi Tulo AX on määritelty ja a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n a AX = 1 x 1 + a x + + a n x n a m1 x 1 + a m x + + a mn x n Siten (x 1, x,, x n ) on (1):n ratkaisu jos ja vain jos X toteuttaa matriisiyhtälön AX = B Esimerkki 114 11 e):n yhtälöryhmä on matriisimuodossa [ ] 1 3 x [ ] 1 x 1 3 4 = 4 x 3 Yhtälöryhmän (1) voi A:n sarakkeiden avulla myös kirjoittaa muodossa a 11 b 1 a x 1 1 + x + + x n = b a 1 a b m a 1n a n b 1 b b m ; 10 a m1 a m a mn b m Transponointi Määritelmä 115 m n -matriisin A = [ a ij ] transpoosi eli transponoitu matriisi on n m -matriisi A T = [ c ij ], jolla c ij = a ji kaikilla i, j Esimerkki 116 [ ] T 1 1 = 1 3 3 7 1 7 Huomautus 117 Jos A i on A:n i:s rivi ja A j A:n j:s sarake, niin (A i ) T A T :n i:s sarake ja (A j ) T on A T :n j:s rivi on

13 Matriisien laskulakeja m n -matriisien yhteenlasku toteuttaa samanlaiset laskulait kuin reaalilukujen yhteenlasku: (1) A + (B + C) = (A + B) + C kaikilla A, B, C R m n (liitännäisyys) () A + 0 = A kaikilla A R m n, missä 0 0 0 0 0 0 0 = 0 mn = 0 0 0 Rm n on m n -nollamatriisi (nollarivejä m kappaletta ja nollasarakkeita n kappaletta) Jos m = n, merkitään 0 n = 0 nn (3) A + ( 1)A = 0 kaikilla A R m n, missä A = ( 1)A on A:n vastamatriisi (4) A + B = B + A kaikilla A, B R m n (vaihdantalaki) Perustelu Yllä olevat tulokset seuraavat matriisien yhteenlaskun määritelmän nojalla reaalilukujen vastaavista ominaisuuksista Esimerkiksi liitäntälaki (1) seuraa reaalilukujen liitäntälaista, sillä a ij + (b ij + c ij ) = (a ij + b ij ) + c ij kaikilla i, j 11 Skalaarilla kertomisen ominaisuudet on yhtä helppo johtaa: (5) s(a + B) = sa + sb kaikilla A, B R m n, s R (6) (s + t)a = sa + ta kaikilla A R m n, s, t R (7) s(ta) = (st)a kaikilla A R m n, s, t R (8) 1A = A kaikilla A R m n Matriisia 1 0 0 0 1 0 I n = Rn n 0 0 1 kutsutaan ykkösmatriisiksi; siis I n = [ δ ij ], missä { 1, kun i = j δ ij = 0, kun i j Matriisitulon ominaisuuksia:

Lause 131 Jos A, A R m n, B, B R n p, C R p q ja t R, niin seuraavat kaavat pätevät (ja erityisesti niissä esiintyvät matriisit ovat määriteltyjä): (a) A(B + B ) = AB + AB, (b) (A + A )B = AB + A B, (c) t(ab) = (ta)b = A(tB), (d) A(BC) = (AB)C, (e) I m A = A = AI n Todistus Todistetaan malliksi kohdat (d) ja (e): 1 (d) ( ) n A(BC) (i, j) = A(i, k) (BC)(k, j) = = = k=1 n ( p ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) = k=1 l=1 p ( n ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) = l=1 k=1 n ( p k=1 l=1 p ( n l=1 k=1 p (AB)(i, l) C(l, j) = ( (AB)C ) (i, j) i, j l=1 ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) (e) (I m A)(i, j) = m δ ik A(k, j) = δ ii A(i, j) + k=1 m δ ik A(k, j) = A(i, j) i, j, sillä δ ii = 1 ja δ ik = 0, kun i k Vastaavasti (AI n )(i, j) = A(i, j) i, j Huomautus 13 Matriisitulolta puuttuu osa reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksista 11:ssa todettiin, että jos A, B R n n (ja n ), niin voi olla AB BA (tulo ei ole vaihdannainen ); lisäksi voi olla AB = 0, vaikka A 0 ja B 0 ( tulon nollasääntö ei päde) Esimerkki 133 [ ] 1 4 [ ] 4 6 = 3 Transponoinnin ominaisuuksia: k=1 k i [ ] 1 4 + ( ) 1 ( 6) + 3 = 0 4 + 4 ( ) ( 6) + 4 3

13 Lause 134 Olkoot A, A R m n, B R n p ja t R Tällöin (a) (A T ) T = A, (b) (A + A ) T = A T + A T, (c) (AB) T = B T A T, (d) (ta) T = ta T Todistus Todistetaan malliksi (c): n n (AB) T (i, j) = (AB)(j, i) = A(j, k) B(k, i) = B(k, i) A(j, k) k=1 k=1 n = B T (i, k) A T (k, j) = (B T A T )(i, j) i, j k=1 14 Eräitä erityisiä matriiseja Neliömatriisi A = [ a ij ] R n n on lävistäjämatriisi, jos a ij = 0 aina, kun i j (so lävistäjän ulkopuoliset alkiot = 0); jos lisäksi a ii = a R kaikilla i, A on skalaarimatriisi (= a I n ) Esimerkki 141 [ ] 1 0, 0 0 0 0 0 0, 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 [ ] 0 0 0 0 ovat lävistäjämatriiseja; ovat skalaarimatriiseja Jokainen skalaarimatriisi on tietysti myös lävistäjämatriisi Neliömatriisi A = [ a ij ] R n n on yläkolmiomatriisi, jos a ij = 0 aina kun i > j, ja alakolmiomatriisi, jos a ij = 0 aina, kun i < j Esimerkki 14 Lävistäjämatriisi on sekä ylä- että alakolmiomatriisi; 1 3 0 4 5 on yläkolmiomatriisi; 1 0 0 3 0 on alakolmiomatriisi; 0 0 6 4 5 6 (Neliö)matriisi A = [ a ij ] on symmetrinen, jos A T = A eli a ji = a ij kaikilla i, j, ja antisymmetrinen, jos A T = A eli a ji = a ij kaikilla i, j Antisymmetrisellä matriisilla erityisesti a ii = a ii kaikilla i, joten jokainen lävistäjäalkio a ii = 0

14 Esimerkki 143 1 3 4 5 on symmetrinen; 3 5 6 0 3 0 4 3 4 0 on antisymmetrinen Säännölliset matriisit Määritelmä 144 Neliömatriisi A R n n on säännöllinen eli kääntyvä, jos on olemassa sellainen matriisi B R n n, että AB = I n ja BA = I n Muussa tapauksessa A on singulaarinen Huomautus 145 Jos A R n n on säännöllinen, niin 144:ssä mainittu B R n n on yksikäsitteinen Jos nimittäin myös C R n n toteuttaa ehdot AC = I n ja CA = I n, niin C = CI n = C(AB) = (CA)B = I n B = B Voidaan siis merkitä B = A 1, säännöllisen matriisin käänteismatriisi Esimerkki 146 a) 1 1 -matriisi [ a ] R 1 1 on säännöllinen a 0; tällöin [ a ] 1 = [ 1/a ] [ ] [ ] 1 [ ] 0 1 0 1 0 1 b) R 1 0 on säännöllinen ja =, sillä 1 0 1 0 c) [ ] 0 1 1 0 [ ] 0 1 = 1 0 [ ] 1 0 = 0 1 [ ] 0 1 R 0 0 ei ole säännöllinen, sillä joka ei voi olla I [ ] 0 1 1 0 [ ] [ ] [ ] 0 1 b11 b 1 b1 b =, 0 0 b 1 b 0 0 [ ] 0 1 1 0 Kappaleessa 16 kehitämme menetelmän, jolla voi selvittää, onko annettu A R n n säännöllinen, ja myönteisessä tapauksessa määrittää A 1 :n Lause 147 Jos A, B R n n ovat säännöllisiä, niin myös A 1, AB ja A T ovat säännöllisiä ja (A 1 ) 1 = A, (AB) 1 = B 1 A 1, (A T ) 1 = (A 1 ) T

Todistus A 1 :n säännöllisyyttä ja käänteismatriisia koskevat väitteet seuraavat heti käänteismatriisin määritelmästä ja yhtälöistä AA 1 = I n = A 1 A Muut väitteet seuraavat yhtälöistä (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n, (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 I n B = B 1 B = I n ; 15 A T (A 1 ) T = (A 1 A) T = I T n = I n (A 1 ) T A T = (AA 1 ) T = I T n = I n, joissa käytettiin laskulakeja 131 d) ja 134 c) Lineaariset yhtälöryhmät ja käänteismatriisit Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää, jossa on n yhtälöä ja n tuntematonta, matriisimuodossa AX = B, missä A R n n ja X, B R n 1 Lause 148 Jos A R n n on säännöllinen, yhtälöryhmällä AX = B on yksikäsitteinen ratkaisu X R n 1, nimittäin X = A 1 B Todistus Jos X = A 1 B, niin AX = A(A 1 B) = (AA 1 )B = IB = B, koska AA 1 = I Kääntäen, jos AX = B, niin X = IX = (A 1 A)X = A 1 (AX) = A 1 B, koska A 1 A = I Todistuksessa tarvittiin siis molempia yhtälöitä AA 1 = I ja A 1 A = I Huomautus 149 Jos A R n n on säännöllinen ja B R n p, niin vastaavasti matriisiyhtälöllä AX = B on yksikäsitteinen ratkaisu X = A 1 B R n p 148:n tilanteessa(kin) yhtälöryhmä AX = B on yleensä helpointa ratkaista suoraan 15:ssä esitettävillä menetelmillä, etsimättä käänteismatriisia A 1 15 Porrasmatriisit ja lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen Määritelmä 151 Matriisi on porrasmuotoinen eli porrasmatriisi, jos seuraavat ehdot (1), () ja (3) ovat voimassa: (1) Nollarivit (jos niitä on) ovat alimpina () Jokaisen nollasta eroavan rivin vasemmalta lukien ensimmäinen nollasta eroava alkio, ko rivin johtava alkio, on = 1 (3) Alemman rivin johtavan alkion sarake sijaitsee aina ylemmän rivin johtavan alkion sarakkeen oikealla puolella Porrasmatriisi on redusoitu jos lisäksi (4) Jokainen johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta eroava alkio

Olkoon A = [ a ij ] R m n porrasmatriisi, jossa on r nollasta eroavaa riviä Ehdosta 151 (1) seuraa, että nollasta eroavat rivit ovat rivit 1,,, r ja nollarivit ovat rivit r + 1, r +,, m Olkoon i:nnen rivin johtava alkio kohdassa (i, j i ) (i = 1,,, r) ():n nojalla a iji = 1 kaikilla i {1,,, r} ja (3):n nojalla 1 j 1 < j < < j r n 16 Erityisesti täytyy olla 0 r min {m, n} A on muotoa 0 0 1 a 1,j1 +1 a 1n 0 0 1 a,j +1 a n 0 0 1 a 3,j3 +1 a 3n 0 0 1 a r,jr +1 a rn 0 0 0 0 0 Jos A on redusoitu, niin lisäksi a kji = 0, kun k < i (i = 1,,, r) Havainto 15 Jos neliömatriisi A = [ a ij ] R n n on redusoidussa porrasmuodossa, niin joko (1) A:ssa on nollarivejä, tai () A = I n (Tapaukset (1) ja () eivät ole yhtä aikaa voimassa) Todistus Olkoot A:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),,(r, j r ) kuten yllä Oletetaan, että A:ssa ei ole nollarivejä Tällöin r = n Koska 1 j 1 < j < < j n n ja lukuja j 1, j,, j n on n kappaletta, niin välttämättä j 1 = 1, j =,, j n = n, ja siis a 11 = a = = a nn = 1 151:n kohtien () (4) nojalla muut A:n alkiot = 0 Rivitoimitukset Olkoot A, B R m n m n -matriiseja, joiden rivit ovat rivit A 1,, A m ja B 1,, B m

Määritelmä 153 B on saatu A:sta yhdellä alkeisrivitoimituksella seuraavissa kolmessa tapauksessa: I Eräillä r, s {1,,, m}, r s, on B r = A s, B s = A r ja B i = A i Kaikilla i r, s (A:n rivit r ja s on vaihdettu) II Eräillä r {1,,, m} ja c R, c 0, on B r = ca r ja B i = A i Kaikilla i r (A:n rivi r on kerrottu vakiolla c 0) III Eräillä r, s {1,,, m}, r s, ja c R on B s = A s + c A r ja B i = A i kaikilla i s (A:n riviin s on lisätty c (A:n rivi r)) Määritelmä 154 Matriisi A R m n on riviekvivalentti matriisin B R m n kanssa, jos B saadaan A:sta äärellisen monella alkeisrivitoimituksella, ts jos on olemassa sellaiset matriisit A 0, A 1,, A k, että A 0 = A, A k = B ja A l+1 on saatu A l :stä yhdellä alkeisrivitoimituksella (l = 0, 1,, k 1) Lause 155 Jokainen m n -matriisi A on riviekvivalentti jonkin redusoidun porrasmatriisin kanssa Todistus Esitämme algoritmin, joka muuntaa A:n alkeisrivitoimituksin redusoituun porrasmuotoon Jos A = 0, A on jo redusoidussa porrasmuodossa (pelkkiä nollarivejä) Olkoon siis A 0 Vaihe 1: A muunnetaan porrasmuotoon (1) Etsitään (vasemmalta lukien) A:n ensimmäinen nollasta eroava sarake ja valitaan ko sarakkeesta jokin alkio a 0 () Siirretään a:n sisältävä rivi ylimmäksi vaihtamalla (tarvittaessa) kaksi riviä keskenään (3) Kerrotaan 1 (ylin) rivi luvulla 1/a On päästy muotoon (missä = mikä tahansa luku) 0 1 0 a 0 a m (4) Lisätään i:nteen riviin ( a i ) (1 rivi), i =,, m; tuloksena on matriisi 0 1 0 0 A, 0 0 17

missä A on (m 1) p -matriisi jollakin p < n (5) Jos A = 0, on saatu porrasmatriisi; jos A 0, sovelletaan siihen kohtia (1) (4) Äärellisen monen askeleen jälkeen saadaan porrasmatriisi C Vaihe : Porrasmatriisi C muunnetaan redusoiduksi porrasmatriisiksi Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) (1) Muutetaan kohdissa (i, j r ), i = 1,,, r 1, mahdollisesti olevat nollasta eroavat alkiot nolliksi lisäämällä kyseisiin riveihin r:nnen rivin sopivat kerrannaiset () Seuraavaksi tuotetaan vastaavasti nollat kohdan (r 1, j r 1 ) yläpuolelle jne Esimerkki 156 Muunnetaan annettu 4 5 -matriisi a) porrasmatriisiksi, b) redusoiduksi porrasmatriisiksi 0 3 4 1 1 1 5 1 0 0 3 4 5 4 0 0 3 4 (a) (1) 0 3 4 1 Selitykset: 0 6 9 7 0 6 9 7 1 1 5 1 0 0 3 4 0 3 4 () 0 3 4 1 3 4 1 (3) 1 7 3 0 1 7 3 3 1 3 1 1 1 0 3 4 0 3 4 (4) (5) 1 7 3 0 3 4 (6) [ ] 3 4 3 4 [ 1 3 (7) 3 4 ] [ 1 3 (8) 0 0 0 (1) Vaihdetaan rivit 1 ja 3 keskenään ja kerrotaan sen jälkeen rivi 1 vakiolla 1 () Lisätään riviin 4 rivi 1 vakiolla kerrottuna (3) Koska rivi 1 ja sarake 1 eivät tämän jälkeen muutu, ne voidaan jättää jatkotarkasteluissa pois (4) Vaihdetaan rivit 1 ja ja kerrotaan sen jälkeen rivi 1 luvulla 1 (5) Lisätään riviin 3 rivi 1 luvulla kerrottuna ] 18

(6) Koska rivi 1 ja sarake 1 eivät tämän jälkeen muutu, ne voidaan jättää jatkotarkasteluissa pois (7) Kerrotaan rivi 1 luvulla 1 (8) Lisätään riviin rivi 1 luvulla kerrottuna Koska saatiin matriisi, jonka alin rivi on nollarivi, tehtävä on valmis Lopuksi yhdistetään yllä olevat vaiheet (), (5) ja (8) jolloin saadaan alkuperäisen kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi 1 1 5 1 3 1 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 b) Redusoidun porrasmatriisin saamiseksi jatketaan viimeksi saadusta muodosta 19 19 1 1 0 4 7 1 0 0 9 0 1 0 17 5 4 (1) 3 0 0 1 0 1 0 17 5 4 () 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Selitykset: (1) Koska alin johtava kerroin on kohdassa (3, 3), hävitetään aluksi kolmannelta sarakkeelta mainitun kohdan yläpuolella olevat nollasta eroavat alkiot Sitä varten lisätään toiseen riviin kolmas rivi luvulla 3 kerrottuna, ja ensimmäiseen riviin lisätään kolmas rivi luvulla 5 kerrottuna 19 () Koska seuraavaksi alin johtava kerroin sijaitsee kohdassa (, ), lisätään ensimmäiseen riviin toinen rivi luvulla 1 kerrottuna Näin saadaan alkuperäisen matriisin kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Haluamme ratkaista (matriisimuotoisen) lineaarisen yhtälöryhmän AX = B, A R m n, X R n 1, B R m 1 Tarkastelemme täydennettyä matriisia [ A B ] R m (n+1) Lause 157 Jos [ A B ] on riviekvivalentti [ C D ]:n kanssa, yhtälöryhmät AX = B ja CX = D ovat ekvivalentit (eli niillä on samat ratkaisut) Todistus Tyyppiä I, II ja III olevat alkeisrivitoimitukset (ks 153) vastaavat lineaarisille yhtälöryhmille suoritettavia toimituksia I, II ja III (sivu 5) Väite seuraa siten lauseesta 114 155:n nojalla yllä [ C D ]:ksi voidaan valita (jopa redusoitu) porrasmatriisi Tällöin CX = D on helppo ratkaista:

Esimerkki 158 Yhtälöryhmän CX = D ratkaiseminen, kun [ C D ] on a) porrasmatriisi, b) redusoitu porrasmatriisi: a) Myös C on selvästi porrasmatriisi Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) Tällöin [ C D ] on muotoa 0 0 1 c 1,j1 +1 d 1 0 0 1 c,j +1 d 0 0 1 c 3,j3 +1 d 3 0 0 1 c r,jr +1 d r 0 0 d r+1 0 0 0 0 0 0 missä d r+1 = 0 tai 1 (1) Jos r < m (C:ssä on nollarivejä) ja d r+1 = 1 0, mukana on mahdoton yhtälö 0 = d r+1 = 1, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja tässä tapauksessa () Oletetaan, että r = m (C:ssä ei ole nollarivejä) tai d r+1 = 0 i) Tuntemattomat x k, k / {j 1,, j r } (n r kappaletta), ovat vapaat muuttujat, joiden arvot voidaan valita vapaasti: annetaan vapaille muuttujille x k1, x k,, x kn r, missä 1 k 1 < k < < k n r n, arvot ii) Yhtälöstä r, x k1 = s 1 R, x k = s R,, x kn r = s n r R x jr + k l >j r c rkl s l = d r, lausutaan x jr parametrien s l (k l > j r ) avulla iii) Yhtälöön r 1, x jr 1 + c r 1,jr x jr + c r 1,kl s l = d r 1, k l >j r 1 sijoitetaan takaisin x jr kohdasta ii) ja lausutaan x jr 1 parametrien s l (k l > j r 1 ) avulla iv) Ratkaistaan vastaavalla tavalla muita johtavien kertoimien sarakkeita vastaavat tuntemattomat järjestyksessä x jr,, x j, x j1 0,

Huomautus Jos ():ssa r = n, vapaita muuttujia ei ole, ja ratkaisu on yksikäsitteinen Jos r < n, jokaista parametrijonoa (s 1,, s n r ) vastaa tietty ratkaisu (x 1,, x n ) (ääretön määrä ratkaisuja) b) Olkoon [ C D ] redusoitu porrasmatriisi Menetellään kuten a)-kohdassa, paitsi että kohdan () takaisinsijoituksia ei tarvita, vaan suoraan x jp = d p k l >j p c pkl s l, p = 1,, r 1 Esimerkki 159 Olkoon [ 1 1 0 5 [ C D ] = 1 0 0 0 1 3 1 ] Tällöin CX = D on { x1 + x + x 3 5 x 5 = 3 x 4 + 1 x 5 = 1 Vapaat muuttujat ovat x, x 3 ja x 5 Merkitään x = s 1 R, x 3 = s R, x 5 = s 3 R, jolloin ratkaisut ovat tai matriisimuodossa X = x 1 x x 3 x 4 x 5 x 1 = 3 x x 3 + 5 x 5 = 3 s 1 s + 5 s 3 x = s 1 x 3 = s x 4 = 1 1 x 5 = 1 1 s 3 x 5 = s 3, = 3 0 0 1 0 5 1 1 0 0 + s 1 0 + s 1 + s 3 0 0 0 1 ; s 1, s, s 3 R 0 0 1 Lineaarinen yhtälöryhmä AX = B voidaan siis ratkaista (mm) jommallakummalla seuraavista menetelmistä: Gaussin eliminointimenetelmä: A Etsitään (rivitoimituksin) [ A B ]:n kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi [ C D ] B Ratkaistaan CX = D takaisinsijoituksin (jos ratkaisuja on)

Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä: A Etsitään (rivitoimituksin) [ A B ]:n kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi [ C D ] B Luetaan suoraan yhtälöryhmän CX = D ratkaisut (jos niitä on) Esimerkki 1510 Ratkaise Gaussin menetelmällä x + 3x 3 4x 4 = 1 x 3 + 3x 4 = 4 x 1 + x 5x 3 + x 4 = 4 x 1 6x 3 + 9x 4 = 7 Ratkaisu [ A B ] muunnettiin rivitoimituksin porrasmuotoon [ C D ] 156 a):ssa Yhtälöryhmän CX = D eli x 1 + x 5 x 3 + x 4 = x + 3 x 3 x 4 = 1 x 3 + 3 x 4 = 0 = 0 ratkaisu on x 1 = x + 5 x 3 x 4 = ( 5 + 17 4 s) + 5 ( 3 s) s = 19 x = 1 3 x 3 + x 4 = 1 3 ( 3 s) + s = 5 + 17 4 s x 3 = 3 x 4 = 3 s x 4 = s R 9s Huomautus 1511 Porrasmuotoon pyrkiminen ei aina ole nopein ratkaisumenetelmä Esimerkiksi yhtälöryhmästä x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 x 3 = 0 saadaan heti x = 1 + x 1 + x 3 = 1 x 1 x + x 3 = 1 x 3 = x 1 = 1, vaikka matriisi ei ole porrasmuotoinen Homogeeniset yhtälöryhmät Tarkastellaan homogeenista ryhmää AX = 0, A R m n, X R n 1 (m yhtälöä ja n tuntematonta) Tällä on aina triviaali ratkaisu X = 0

Lause 151 Jos m < n (eli yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia), yhtälöryhmällä AX = 0 on myös epätriviaaleja ratkaisuja Todistus Täydennetyn matriisin [ A 0 ] kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi on muotoa [ C 0 ], eli siinäkin vakiot ovat nollia Kun yhtälöryhmää CX = 0 ratkaistaan kuten 158 a):ssa, tapaus (1) ei näin ollen ole mahdollinen, joten yhtälöryhmällä on ratkaisuja joko tasan yksi tai ääretön määrä sen mukaan, onko vapaiden muuttujien lukumäärä n r nolla vai positiivinen Koska m < n, on r min {m, n} = m < n; siis vapaita muuttujia on n r > 0 kappaletta, ja ratkaisuja on ääretön määrä Ratkaisuista yksi on triviaali ja muut (joita on ääretön määrä) epätriviaaleja Tarkastellaan lopuksi yleistä lineaarista yhtälöryhmää AX = B, A R m n, X R n 1, B R m 1 Lause 1513 Olkoon S 0 R n 1 yhtälöryhmän AX = B eräs ratkaisu Silloin S R n 1 on ko ryhmän (yleinen) ratkaisu S = S 0 + T, missä T R n 1 on homogeenisen ryhmän AX = 0 (yleinen) ratkaisu Todistus = Olkoon S = S 0 + T, missä AT = 0 Koska AS 0 = B, on AS = A(S 0 + T ) = AS 0 + AT = B + 0 = B = Olkoon AS = B Tällöin S = S 0 + (S S 0 ) = S 0 + T, missä AT = A(S S 0 ) = AS AS 0 = B B = 0 16 Alkeismatriisit ja matriisin säännöllisyys Kun r, s {1,,, m}, määritellään neliömatriisi I rs = [ e ij ] R m m asettamalla { 1, kun (i, j) = (r, s) e ij = 0, muulloin Siis I rs :n (r, s)-alkio = 1, kaikki muut alkiot = 0 (Samalla tavalla voidaan yleisemmin määritellä m n -matriisi I rs, kun r {1,, m}, s {1,, n}) Olkoon A = [ a ij ] R m n m n -matriisi Lasketaan I rs A: m (I rs A)(i, j) = e ik a kj k=1 Kun i r, e ik a kj = 0 a kj = 0 kaikilla k; kun i = r, { 1 asj = a sj, kun k = s e rk a kj = 0 a kj = 0, kun k s Näin ollen { asj, kun i = r (I rs A)(i, j) = 0, kun i r, ts I rs A:n r:s rivi = A:n s:s rivi ja I rs A:n muut rivit = 0 3

Määritelmä 161 m m -matriisi E on alkeismatriisi, jos se saadaan ykkösmatriisista I m yhdellä alkeisrivitoimituksella Lemma 16 Olkoon A R m n m n -matriisi, ja olkoon alkeismatriisi E R m m saatu I m :stä tietyllä alkeisrivitoimituksella Tällöin EA saadaan A:sta samalla alkeisrivitoimituksella Todistus Tutkitaan alkeisrivitoimitusten tyypit I, II ja III erikseen rivit A 1, A,, A m R 1 n 4 Olkoot A:n I Vaihdetaan rivit r ja s (r s) Tarkastellaan ensin erikoistapausta m = 3, r =, s = 3, eli kolmirivisessä ykkösmatriisissa vaihdetaan toinen ja kolmas rivi Tällöin saadaan alkeismatriisi E = 1 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 1 + 0 0 0 0 0 0 + 1 0 0 0 0 0 = I 3 + I 3 + I 11 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Yleisessä tapauksessa saadaan tämän erikoistapauksen mukaisesti E = I rs + I sr + I kk, josta edelleen seuraa Edellä todetun mukaan k r,s EA = I rs A + I sr A + (1) I rs A:n r:s rivi = A s ; muut rivit = 0 () I sr A:n s:s rivi = A r ; muut rivit = 0 k r,s I kk A (3) I kk A:n k:s rivi = A k ; muut rivit = 0 (k r, s) Näin ollen EA:n r:s rivi = A s, s:s rivi = A r, k:s rivi = A k (k r, s) II Kerrotaan rivi r luvulla c, c 0 Tarkastellaan jälleen ensin erikoistapausta m = 3, r = 3, ts kerrotaan ykkösmatriisin I 3 kolmas rivi vakiolla c, jolloin saadaan alkeismatriisi E = 1 0 0 0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 + 1 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 1 0 = ci 33 + I 11 + I 0 0 c 0 0 c 0 0 0 0 0 0 Tämän mukaisesti yleisessä tapauksessa E = ci rr + k r I kk,

5 josta edelleen seuraa EA = c(i rr A) + k r I kk A Kussakin yhteenlaskettavassa on (enintään) yksi nollasta eroava rivi, ja yhteenlaskun jälkeen nähdään, että EA on matriisi, joka saadaan kertomalla A:n r:s rivi vakiolla c III Lisätään c (rivi r) riviin s (c R, r s) Tarkastellaan aluksi jälleen erikoistapausta m = 3, r =, s = 3, ts lisätään ykkösmatriisin I 3 kolmanteen riviin toinen rivi vakiolla c kerrottuna; saadaan alkeismatriisi E = 1 0 0 0 1 0 = 1 0 0 0 1 0 + 0 0 0 0 0 0 = I 3 + ci 3 0 c 1 0 0 1 0 c 0 Tämän mukaisesti yleisessä tapauksessa E = I m + ci sr, josta seuraa EA = I m A + c(i sr A) = A + c(i sr A) Matriisin c(i sr A) s:s rivi on = c A r ja muut rivit = 0, joten EA on haluttua muotoa Seuraus 163 A R m n on riviekvivalentti matriisin B R m n kanssa on olemassa alkeismatriisit E 1, E,, E k R m m, joilla B = E k E E 1 A Todistus = Oletetaan, että A on riviekvivalentti B:n kanssa Määritelmän 154 nojalla on olemassa sellaiset matriisit A 0, A 1,, A k, että A 0 = A, A k = B ja A l+1 on saatu A l :stä yhdellä alkeisrivitoimituksella (l = 0, 1,, k 1) Olkoon E l+1 se alkeismatriisi, joka on saatu samalla alkeisrivitoimituksella ykkösmatriisista I m kuin A l+1 A l :stä Lemman 16 nojalla A l+1 = E l+1 A l (l = 0, 1,, k 1) Näin ollen B = E k A k 1 = = E k E E 1 A = Oletetaan, että B = E k E E 1 A, missä E 1, E,, E k R m m ovat alkeismatriiseja Merkitään A 0 = A ja A l = E l E l 1 E 1 A, kun l = 1,,, k Silloin B = A k ja A l+1 = E l+1 A l on saatu A l :stä yhdellä alkeisrivitoimituksella (l = 0, 1,, k 1), joten määritelmän 154 nojalla A on riviekvivalentti B:n kanssa

Lemma 164 Alkeismatriisi E R m m on säännöllinen ja E 1 on samantyyppinen (I, II tai III) alkeismatriisi Todistus E:tä vastaavalla alkeisrivitoimituksella on käänteistoimitus : I Rivien r ja s vaihtaminen (toistamiseen) II Rivin r kertominen luvulla 1/c III ( c) (rivi r):n lisääminen riviin s Olkoon E R m m tätä käänteistoimitusta vastaava alkeismatriisi Lemman 16 nojalla E E saadaan E:stä samalla alkeisrivitoimituksella kuin E saadaan I m :stä Tapauksessa I on E E näin ollen se matriisi, joka saadaan E:stä vaihtamalla rivit r ja s; koska E saatiin I m :stä vaihtamalla jo kertaalleen rivit r ja s, on E E = I m Tapauksessa II on E E se matriisi, joka saadaan kertomalla E:n r:s rivi luvulla 1/c Toisaalta E saatiin I m :stä kertomalla tämän r:s rivi luvulla c, joten tässäkin tapauksessa E E = I m (I m :n r:s rivi tulee kaikkiaan kerrottua luvulla (1/c) c = 1) Tapauksessa III on E E se matriisi, joka saadaan lisäämällä E:n s:nteen riviin E:n r:s rivi kerrottuna luvulla c Toisaalta E saatiin I m :stä lisäämällä tämän s:nteen riviin r:s rivi luvulla c kerrottuna, joten tässäkin tapauksessa E E = I m (( c) + c = 0) Vastaavasti todetaan, että EE = I m Siis E on säännöllinen ja E = E 1 Lause 165 n n -matriisilla A ovat seuraavat ehdot yhtäpitävät: i) A on säännöllinen ii) Homogeenisella yhtälöryhmällä AX = 0 on vain triviaali ratkaisu X = 0 iii) A on riviekvivalentti ykkösmatriisin I n kanssa iv) A on äärellisen monen alkeismatriisin tulo Todistus Osoitetaan, että i) = ii) = iii) = iv) = i), jolloin kaikki ekvivalenssit tulevat todistetuiksi i) = ii) Jos A on säännöllinen, on lauseen 148 nojalla yhtälöryhmällä AX = 0 yksikäsitteinen ratkaisu X = A 1 0 = 0 ii) = iii) Oletetaan, että yhtälöryhmällä AX = 0 on vain triviaali ratkaisu Lauseen 155 nojalla on olemassa redusoitu porrasmatriisi C, joka on riviekvivalentti A:n kanssa Lauseen 157 nojalla myös yhtälöryhmällä CX = 0 on vain triviaali ratkaisu Koska C on neliömatriisi, niin huomautuksen 15 nojalla joko C = I n tai C:ssä on nollarivejä Jälkimmäisessä tapauksessa homogeenisessa yhtälöryhmässä CX = 0 on epätriviaaleja yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia, joten lauseen 151 nojalla kyseisellä yhtälöryhmällä on myös epätriviaaleja ratkaisuja, mikä on vastoin ehtoa ii) Siis täytyy olla C = I n 6

iii) = iv) Oletetaan, että A on riviekvivalentti I n :n kanssa Seurauksen 163 nojalla on olemassa alkeismatriisit E 1, E,, E k R n n, joilla I n = E k E E 1 A Koska alkeismatriisit ovat säännöllisiä (lemma 164), seuraa lauseesta 147 (ja induktiosta), että A = (E k E E 1 ) 1 I n = E 1 1 E 1 E 1 I n = E 1 Tässä A:n esityksessä tekijät E 1 j k 1 E 1 E 1 ovat 164:n nojalla alkeismatriiseja iv) = i) Oletetaan, että A = E 1 E E k, missä E i :t ovat alkeismatriiseja 147:n ja 164:n nojalla A on säännöllinen (ja A 1 = (E 1 E E k ) 1 = E 1 E 1 1 ) E 1 k Määritelmän mukaan A R n n on säännöllinen on olemassa sellainen B R n n, että AB = I n ja BA = I n Seuraavan tärkeän (ja epätriviaalin) tuloksen mukaan itse asiassa kumpi tahansa näistä kahdesta yhtälöstä riittää yksinkin: Lause 166 Jos A ja B ovat n n -matriiseja, ja AB = I n, niin A ja B ovat säännöllisiä, B = A 1 ja A = B 1 ; siis myös BA = I n Todistus Tarkastellaan homogeenista yhtälöryhmää BX = 0 Koska AB = I n, voidaan päätellä: BX = 0 = A(BX) = A0 = 0 = (AB)X = 0 = I n X = 0 = X = 0 Näin ollen yhtälöryhmällä BX = 0 on vain triviaali ratkaisu Lauseen 165 kohdan ii) nojalla B on säännöllinen, joten on olemassa B 1 Nyt AB = I n = (AB)B 1 = I n B 1 = A(BB 1 ) = B 1 = AI n = B 1 k = A = B 1 7 Siten myös A on säännöllinen ja A 1 = (B 1 ) 1 = B Käänteismatriisin etsiminen Laskumenetelmä 167 Selvitettävä, onko annettu n n -matriisi A säännöllinen, ja myönteisessä tapauksessa määritettävä käänteismatriisi A 1 Ratkaisu Lauseen 166 nojalla A on säännöllinen täsmälleen silloin, kun on olemassa n n -matriisi X = [ x ij ], jolla AX = I n ; tällöin X = A 1 Pyritään siis ratkaisemaan matriisiyhtälö AX = I n Olkoon X j = [ x 1j x j x nj ] T X:n j:s sarake ja e j ykkösmatriisin I n j:s sarake (j = 1, n; e j :n j:s alkio on 1, muut ovat nollia) Tällöin AX = I n AX j = e j kaikilla j {1,, n}

On siis saatu ratkaistavaksi n lineaarista yhtälöryhmää, joiden kaikkien kerroinmatriisi on A Nämä yhtälöryhmät voidaan ratkaista yhdellä kertaa seuraavasti: Muunnetaan n (n) -matriisi [ A In ] alkeisrivitoimituksilla redusoiduksi n (n) -porrasmatriisiksi [ C B ] Tällöin C on redusoidussa porrasmuodossa oleva neliömatriisi, joten 14:n mukaan on kaksi vaihtoehtoa: Tapaus 1: C = I n Yhtälöryhmä AX j = e j on ekvivalentti yhtälöryhmän X j = I n X j = B j (=B:n j:s sarake) kanssa Yhtälöllä AX = I n on siis ratkaisu X = B, joten A on säännöllinen ja A 1 = B Tapaus : C:ssä on nollarivejä Tässä tapauksessa A ei ole säännöllinen (ks implikaation ii) = iii) todistus 165:ssä) Huomautus 168 Jos A:ta redusoiduksi porrasmatriisiksi muunnettaessa jossain vaiheessa päädytään matriisiin, jossa on nollarivi, myös redusoidussa porrasmatriisissa C on nollarivi; siis A ei tällöin ole säännöllinen Tällaisessa tapauksessa ei siis tarvitse jatkaa redusoituun porrasmuotoon asti Esimerkki 169 Tutki, onko A säännöllinen, ja myönteisessä tapauksessa määritä A 1, kun 1 3 1 1 1 a) A = 1 1, b) A = 0 3 5 3 5 5 1 Ratkaisu 1 3 1 0 0 1 3 1 3 (a) 1 1 0 1 0 0 4 4 0 4 4 (1) () 5 3 0 0 1 0 1 1 0 0 0 Siis tuli nollarivi A:n kohdalle, joten A ei ole säännöllinen Selitykset (1) ( 1) (1 rivi) lisätään riviin ja ( 5) (1 rivi) lisätään 3 riviin () ( 3) ( rivi) lisätään 3 riviin 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 (b) 0 3 0 1 0 3 1 0 1 0 0 (1) 5 5 1 0 0 1 0 0 4 5 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 4 0 4 3 0 1 0 1 () 0 0 1 0 15 1 3 (3) 8 8 0 0 1 5 0 1 5 4 4 0 0 1 4 0 1 4 1 0 0 13 8 1 1 8 0 1 0 15 (4) 0 0 1 8 1 3 8 5 4 0 1 4 8

Siis matriisin A kohdalle saatiin ykkösmatriisi I 3, joten A on säännöllinen Lisäksi A 1 = 8 1 1 8 13 15 8 1 3 8 5 4 0 1 4 Selitykset (1) ( 5) (1 rivi) lisätään 3 riviin rivi kerrotaan luvulla 1/ () 3 rivi kerrotaan luvulla 1/4 (3) ( 3/) (3 rivi) lisätään riviin ja ( 1) (3 rivi) lisätään 1 riviin (4) ( 1) ( rivi) lisätään 1 riviin 9

30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1 = n 1 - matriisien joukko R n :n alkioita x = x 1 x x n = [ x 1 x x n ] T R n, x i R kaikilla i, kutsutaan pisteiksi tai (sarake-)vektoreiksi Yllä olevaa alkiota x R n merkitään myös x = (x 1,, x n ), järjestetty n-jono Sen sijaan x [ x 1 x x n ] R 1 n, jos n Näin on määritelty joukko R n, kun n 1 Joskus merkitään lisäksi R 0 = {0}, yksialkioinen joukko Erikoistapauksena matriisien yhteenlaskusta 14 ja skalaarilla (= reaaliluvulla) kertomisesta 16 on R n :ssä (missä n 1) määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen: x 1 y 1 x 1 + y 1 ax 1 x + y = x + y ; a x 1 x = ax x n y n x n + y n x n ax n (x 1,, x n, y 1,, y n, a R); nämä on siis määritelty komponenteittain Matriisitoimitusten ominaisuuksista saadaan seuraavat laskulait: Lause 11 Kaikilla x, y, z R n ja a, b R on i) (x + y) + z = x + (y + z); ii) x + y = y + x; iii) x + 0 = x, 0 = [ 0 0 0 ] T ; iv) x + ( 1)x = 0;

31 v) a(x + y) = ax + ay; vi) (a + b)x = ax + bx; vii) a(bx) = (ab)x; viii) 1x = x Painotekninen huomautus : Käsinkirjoitetussa tekstissä usein x = x jne Geometrinen tulkinta tapauksissa n = 1,, 3 n = 1 : Joukkoina samastetaan yleensä R 1 ja R niin, että [ x ] R 1 = x R x R Tavalliseen tapaan reaaliluvut vastaavat lukusuoran pisteitä: Annetulta suoralta S valitaan piste O (origo) sekä toinen piste E 1 O (yksikköpiste) Pistettä P S vastaa tämän jälkeen x R: OP : OE 1 = x x > 0, x < 0, ( OP = janan OP pituus) jos pisteet P O ja E 1 ovat O:n samalla puolella jos pisteet P O ja E 1 ovat O:n eri puolilla P O E 1 x < 0 x > 0 Mainittu vastaavuus on kääntäen yksikäsitteinen n = : Kiinnitetään tasossa T piste O (origo) ja O:n kautta kulkevat, toisiaan vastaan kohtisuorat suorat S 1 ja S (koordinaattiakselit), sekä yksikköpisteet E i S i (i = 1, ) Tämän jälkeen samastetaan S i R:n kanssa kuten yllä Silloin jokaista pistettä P T vastaa kääntäen yksikäsitteisesti piste x = (x 1, x ) R : P S S P S 1 x O x 1 P 1 S 1 P S i S i S S 1 = P 1 x 1 R S 1 S = P x R = P x = (x 1, x ) R

3 Yhteenlasku geometrisesti: P T x = (x 1, x ) R Q T y = (y 1, y ) R R T x + y R = R saadaan suunnikassäännöllä, so OP RQ on suunnikas O P R x Q y x 1 y 1 Skalaarilla kertominen geometrisesti: P T x R, P O (ts x 0) ja R T ax R = R on suoralla OP ; R ja P ovat O:n samalla puolella, kun a > 0 R ja P ovat O:n vastakkaisilla puolilla, kun a < 0 OR : OP = a R, (a < 0) O P R, (a > 1) R, (0 < a < 1) n = 3 : Kiinnitetään avaruudessa A origo O, kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa koordinaattiakselia S 1, S ja S 3, ja yksikköpisteet E i S i (i = 1,, 3) Tämän jälkeen jokaista pistettä P A vastaa kääntäen yksikäsitteisesti x = (x 1, x, x 3 ) R 3, summa P + Q muodostetaan A:ssa suunnikassäännöllä (tasossa OP Q) ja skalaarilla kertominen tapahtuu kuten kohdassa n = Siis on saatu vastaavuudet tason pisteet R :n pisteet avaruuden pisteet R 3 :n pisteet Nämä riippuvat koordinaatiston (so pisteiden 0, E 1, E, ) valinnasta Tason tai avaruuden pisteparia P, Q vastaa vektori P Q = Q P P Q

33 Kahta eri pisteparia voi vastata sama vektori: P Q = RS Q P = S R P + S = Q + R ( vektori = suuntajanojen ekvivalenssiluokka) Erityisesti on olemassa yksikäsitteinen piste X, nimittäin X = Q P, jolla P Q = OX on pisteen X paikkavektori Saadaan vastaavuus P Q X x R tai x R 3 tason (vast avaruuden) vektorien ja R :n (vast R 3 :n) vektorien eli pisteiden välille Erityisesti P Q = OQ OP, joten OQ = OP + P Q, ja yleisemmin P R = P Q+ QR (koska (Q P ) + (R Q) = R P ) P Q R Vektoriavaruudet Edellä nähtiin, että R n :n vektorien yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella on perusominaisuudet 11 i) viii) Vastaavat ominaisuudet ovat voimassa monissa muissakin tilanteissa (esimerkkejä alla) Kannattaa siis ottaa käyttöön yleinen määritelmä, jossa ko ominaisuudet asetetaan perusoletuksiksi (aksioomiksi); tällöin kehitettävä yleinen teoria soveltuu sellaisenaan jokaiseen erikoistapaukseen Määritelmä 1 Joukko V on (R-kertoiminen) vektoriavaruus, jos kaikkiin v, w V ja a R on liitetty yksikäsitteiset summa v + w V ja tulo av V niin, että seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: i) (u + v) + w = u + (v + w) kaikilla u, v, w V ii) v + w = w + v kaikilla v, w V iii) On olemassa sellainen 0 = 0 V, että v + 0 = v kaikilla v V iv) Jokaiseen v V liittyy sellainen v V, että v + ( v) = 0 v) a(v + w) = av + aw kaikilla a R, v, w V vi) (a + b)v = av + bv kaikilla a, b R, v V vii) a(bv) = (ab)v kaikilla a, b R, v V viii) 1v = v kaikilla v V Tässä V :n alkioita kutsutaan vektoreiksi, R:n alkioita skalaareiksi

Huomautus a) laskutoimitukset + ja kuuluvat vektoriavaruuden struktuuriin Tarkkaan ottaen vektoriavaruus ei siis ole pelkkä joukko V vaan kolmikko (V, +, ) b) iii):ssä nollavektori 0 on yksikäsitteinen Jos nimittäin myös z V toteuttaa ehdon v + z = v kaikilla v V, niin z iii = z + 0 ii = 0 + z = 0 34 c) iv):ssä vektorin v vastavektori v on v:n yksikäsitteisesti määräämä Jos nimittäin myös w toteuttaa ehdon v + w = 0, niin w iii = w + 0 iv = w + (v + ( v)) i = (w + v) + ( v) ii = (v + w) + ( v) = 0 + ( v) = ii ( v) + 0 = iii ( v) Esimerkki 3 a) 11:n mukaan sarakevektorien joukko R n = R n 1 (n 1) on vektoriavaruus, laskutoimituksina n 1 -matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Vastaavasti tulee rivivektorien eli 1 n -matriisien [ x 1 x x n ] (x i R) joukosta R n = R 1 n vektoriavaruus, kun laskutoimituksiksi valitaan 1 n - matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Yleisemmin on kaikkien m n -matriisien joukko R m n (m 1, n 1) matriisien yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella varustettuna vektoriavaruus Myös R 0 = {0} on vektoriavaruus, kun määritellään 0 + 0 = 0 ja a 0 = 0 kaikilla a R b) Olkoon X joukko ja R X = {f f on kuvaus X R} kaikkien X:ssä määriteltyjen reaalifunktioiden joukko Kun f, g R X ja a R, määritellään f + g R X ja af R X (siis f + g ja af ovat kuvauksia X R) asettamalla (f + g)(x) = f(x) + g(x) (af)(x) = a f(x) kaikilla x X, missä yhtälöiden oikealla puolella + ja tarkoittavat R:n laskutoimituksia Tällöin R X :stä tulee vektoriavaruus Todistetaan esimerkiksi aksiooma i): Olkoot f, g, h R X ja x X Tällöin ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x);

koska siis ((f +g)+h)(x) = (f +(g+h))(x) kaikilla x X, on (f +g)+h = f +(g+h) (määritelmän mukaan kaksi kuvausta f 1, f : X R ovat samat täsmälleen silloin, kun f 1 (x) = f (x) kaikilla x X) R X :n nollavektori on nollakuvaus Alkion f R X vasta-alkio on 0 : X R, 0(x) = 0 kaikilla x X f : X R, ( f)(x) = (( 1)f)(x) = ( 1) f(x) = f(x) kaikilla x X (Lisäksi sovitaan, että R = {0} = R 0 ) c) Useat R X :n osajoukot (sopivalla joukolla X) ovat kiintoisia vektoriavaruuksia; ks 3 Esimerkki 4 Kun x, y, a R, määritellään x y = x y, missä on tavallinen erotus, ja a x = a x, missä on tavallinen tulo Mitkä aksioomista i) viii) ovat voimassa (R,, ):ssä? Onko (R,, ) vektoriavaruus? Ratkaisu i) ei ole voimassa; esimerkiksi (0 0) 1 = (0 0) 1 = 1 ja 0 (0 1) = 0 (0 1) = 1, joten (0 0) 1 0 (0 1) Siten (R,, ) ei ole vektoriavaruus ii) ei ole voimassa; esimerkiksi iii) on voimassa; x 0 = x 0 = x x 0) 0 1 = 0 1 = 1 1 = 1 0 = 1 0 35 x R (Sen sijaan 0 x = x x, kun iv) on voimassa; x kelpaa x:n vasta-alkioksi, koska x x = x x = 0 x R v) on voimassa; a (x y) = a(x y) = ax ay = (a x) (a y) vi) ei ole voimassa; esimerkiksi (1 + 1) 1 = 1 = ja (1 1) (1 1) = 1 1 = 0, joten (1 + 1) 1 (1 1) (1 1) vii) ja viii) ovat voimassa Olkoon V vektoriavaruus Silloin kahden vektorin v 1 ja v summa on määritelty kaikilla v 1, v V Useamman vektorin summa määritellään rekursiivisesti: kun n ja v 1, v,, v n V, on v 1 + v + + v n = (v 1 + + v n 1 ) + v n

Liitännäisyydestä 1 i) seuraa yleinen liitännäisyys eli sulut voi asettaa mielivaltaisesti Tarkastellaan esimerkkinä tapausta n = 4 Rekursiivisen määritelmän mukaisesti (M) v 1 + v + v 3 + v 4 = ((v 1 + v ) + v 3 ) + v 4 Toisaalta sulut voidaan asettaa myös seuraavilla tavoilla: 1) (v 1 + (v + v 3 )) + v 4 ) (v 1 + v ) + (v 3 + v 4 ) 3) v 1 + (v + (v 3 + v 4 )) 4) v 1 + ((v + v 3 ) + v 4 ) Koska v 1 +(v +v 3 ) = (v 1 +v )+v 3, summa 1) on sama kuin (M) Samalla tavalla päätellään, että summat 3) ja 4) ovat keskenään samat Jos merkitään v = v 1 +v, on ((v 1 + v ) + v 3 ) + v 4 = (v + v 3 ) + v 4 = v + (v 3 + v 4 ) = (v 1 + v ) + (v 3 + v 4 ), joten summa ) on sama kuin (M) Toisaalta, jos merkitään u = v + v 3, on v 1 + ((v + v 3 ) + v 4 ) = v 1 + (u + v 4 ) = (v 1 + u) + v 4 = (v 1 + (v + v 3 )) + v 4, joten summat 4) ja 1) ovat keskenään samat Siis kaikki neljä summaa ovat samat kuin (M) Näin ollen merkinnän v 1 + v + v 3 + v 4 voidaan ajatella tarkoittavan juuri sitä, että sulut voidaan asettaa mielivaltaisesti Liitännäisyydestä 11 i) ja vaihdannaisuudesta 11 ii) seuraa myös yleinen vaihdannaisuus eli yhteenlaskettavien järjestys summassa (M) voidaan valita mielivaltaisesti Osittelulaeista 1 v) ja vi) seuraavat yleiset osittelulait a(v 1 + + v n ) = av 1 + + av n (a R, v 1,, v n V ) (a 1 + + a n )v = a 1 v + + a n v (a 1,, a n R, v V ) Yleisen liitäntälain, vaihdantalain ja yleisten osittelulakien täsmälliset todistukset (induktiolla) sivuutetaan Vektorien v, w V erotus on v w = v + ( w) V Siis z = v w on se yksikäsitteinen V :n vektori, jolla z + w = v Mm seuraavat laskusäännöt seuraavat vektoriavaruuden aksioomista i) viii): Lause 5 Olkoot v, w V, a, b R Silloin a) av = 0 a = 0 tai v = 0; b) ( 1)v = v; c) a(v w) = av aw; d) (a b)v = av bv 36