MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lineaarikuvaus Olkoot U ja V K -kertoimisia vektoriavaruuksia. Määritelmä 1 Kuvaus T : U V on lineaarikuvaus, jos kaikilla x, y U ja α, β K pätee T (α x + β y) = α T (x) + β T (y). Lineaarikuvaus tunnetaan, jos tiedetään, miten se kuvaa kantavektorit. 2 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lineaarikuvaus Esimerkki 2 (Lineaarikuvauksia) projektio jatkuvien kuvausten integrointi derivoituvien kuvausten derivointi matriisilla kertominen 3 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lineaarikuvaus Lineaarikuvaus voidaan aina esittää matriisilla: T (x) = Ax eräällä matriisilla A. Tämän matriisin sarakkeet muodostuvat lähtöavaruuden kantavektorien kuvien koordinaattivektoreista. On siis muistettava, että lineaarikuvauksen matriisiesitys riippuu valituista kannoista! Kun halutaan korostaa sitä, missä avaruuksien U ja V kannoissa B U ja B V matriisi on määritelty, merkitään: A = [T ] BU,B V. 4 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lineaarikuvaus Esimerkki 3 Olkoon T : P 3 P 3 lineaarikuvaus T (p)(x) = p(2 x). Olkoon P 3 :ssa kanta B = {p 1, p 2, p 3, p 4 } = {1, x, x 2, x 3 }. Saadaan T (p 1 )(x) = 1 = p 1 (x) T (p 2 )(x) = 2 x = (2p 1 p 2 )(x) T (p 3 )(x) = (2 x) 2 = 4 4x + x 2 = (4p 1 4p 2 + p 3 )(x) T (p 4 )(x) = (2 x) 3 = (8p 1 12p 2 + 6p 3 p 4 )(x) Siispä T :n matriisiksi kannassa B saadaan 1 2 4 8 [T ] B = 0 1 4 12 0 0 1 6. 0 0 0 1 5 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lineaarikuvaus Esimerkki 4 Lasketaan edellisen esimerkin lineaarikuvauksen matriisi kannan ˆB = {ˆp 1, ˆp 2, ˆp 3, ˆp 4 } = {1, 1 x, (1 x) 2, (1 x) 3 } suhteen: T (ˆp 1 )(x) = 1 = ˆp 1 (x) T (ˆp 2 )(x) = 1 (2 x) = x 1 = ˆp 2 (x) T (ˆp 3 )(x) = (1 (2 x)) 2 = (x 1) 2 = ˆp 3 (x) T (ˆp 4 )(x) = (1 (2 x)) 3 = (x 1) 3 = ˆp 4 (x), joten T :n matriisi tässä kannassa on lävistäjämatriisi 1 [T ] ˆB = 1 1. 1 6 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lineaarikuvaus Olkoot T : U V ja S : V W lineaarikuvauksia. Tällöin yhdistetty kuvaus ST : U W määritellään (ST )(u) = S(T (u)). Se on myös lineaarikuvaus. Olkoon avaruuksissa U, V ja W kannat B U, B V ja B W. Yhdistetun kuvauksen matriisi saadaan kertomalla kuvausten matriisit keskenään, eli [ST ] BU,B W = [S] BV,B W [T ] BU,B V. 7 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Määritelmä 5 Olkoon T lineaarikuvaus U V. T :n nolla-avaruus (eli ydin) on N(T ) = {u U T u = 0} U. T :n kuva-avaruus on R(T ) = {T u u U} V. Lause 6 Olkoon T : U V lineaarikuvaus. Tällöin a) N(T ) on U :n aliavaruus ja b) R(T ) on V :n aliavaruus. 8 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Matriisiin A = [a 1... a n ] R m n liittyvän lineaarikuvauksen L A : R n R m : L A (x) = A x kuva-avaruus on sen sarakkeiden viritelmä: Lause 7 R(L A ) = sp(a 1,..., a n ). Esimerkki 8 Projektiokuvauksen T : R 3 R 2, T (x) = (x 1, x 2 ) nolla-avaruus on selvästi N(T ) = {x = (0, 0, x 3 ) x 3 R} eli kantavektorin e 3 suuntaiset vektorit. T :n kuva R(T ) taas on koko R 2. 9 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Määritelmä 9 Olkoon T : U V lineaarikuvaus. Määritellään T :n nulliteetti: ν(t ) = dim(n(t )). T :n rangi r(t ) = dim(r(t )). Nämä voivat olla äärellisiä tai äärettömiä. Matriisilaskussa matriisin rangi määritellään A :n sarakeavaruuden dimensioksi. Edellä olevan lauseen mukaan se on myös A :han liittyvän lineaarikuvauksen L A rangi. 10 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lause 10 (Lineaarialgebran peruslause eli dimensiolause) Olkoon U äärellisulotteinen ja T : U V lineaarikuvaus. Tällöin r(t ) + ν(t ) = dim(u). Todistuksen idea taululla. Esimerkki 11 Neliömatriisille A C n n r(a) = n ν(a) = 0, joten kumpi tahansa näistä ehdoista takaa, että A on kääntyvä. 11 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Fakta 1: Matriisin A kuva-avaruuden kannan muodostavat ne sarakevektorit, joiden kohdalle redusoidussa porrasmuodossa on pivot-alkio. Fakta 2: Matriisin A nulliteetti on redusoidun porrasmuodon niiden sarakkeiden lukumäärä, joissa ei ole pivot-alkiota. Fakta 1:stä voi vakuuttua tarkastelemalla redusoitua porrasmuotoa: selvästi pivot-alkiolliset sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat ja muut voidaan muodostaa lineaarikombinaationa niistä. Fakta 2 pohjautuu siihen, että ratkaistaessa ydintä eli yhtälöä Ax = 0 pivot-alkiottomat sarakkeet vastaavat vapaita muuttujia, ja niiden lukumäärä on ytimen dimensio. 12 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Esimerkki 12 3 6 1 1 7 Etsi matriisin A = 1 2 2 3 1 kuva-avaruus, ydin, 2 4 5 8 4 rangi ja nulliteetti. Ratkaisu: Saatetaan matriisi redusoituun porrasmuotoon Gaussin eliminaatiolla. Saadaan 1 2 2 3 1 A 0 0 1 2 2. 0 0 0 0 0 Näin ollen R(A) = sp{( 3, 1, 2) T, ( 1, 2, 5) T )} ja r(a) = 2. 13 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
(jatkuu) Ytimen dimension on ν(a) = 3. Vapaita muuttujia ovat x 2, x 4 ja x 5 ja loput ratkeavat yhtälöparista { x 1 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 x 5 = 0, x 3 + 2x 4 2x 5 = 0. Ytimeksi saadaan 2 1 3 1 N(A) = {x 2 0 0 0 4 2 1 + x 0 5 2 0 x 2, x 4, x 5 R}. 0 0 1 14 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lause 13 Olkoon A R n n. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä sen kanssa, että A:lla on olemassa käänteismatriisi: A:n sarakkeet muodostavan R n :n kannan Col A = R n dim Col A = n r(a) = n N(A) = {0} dim N(A) = 0 15 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
Lause 14 Olkoon T : U V lineaarikuvaus. Tällöin a) Jos vektorit u 1,..., u n ovat lineaarisesti riippuvat, niin T u 1,..., T u n ovat myös. b) Jos u 1,..., u n ovat lineaarisesti riippumattomat ja N(T ) = {0} (eli T on injektio), niin T u 1,..., T u n lineaarisesti riippumattomat. ovat Todistus taululla, jos ehditään. 16 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet