Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla ja oppikirjoissa. 1 Peruskäsitteet Dierentiaaliyhtälö: Yhtälö, jossa esiintyy tuntematon funktio y = y(x) ja sen derivaattoja, yleisesti muotoa F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0; jos yhtälö on muotoa y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ), se on normaalimuotoinen. Tässä n = yhtälön kertaluku. DY:n määrittelyalue on sama kuin funktion f määrittelyalue. Käytännössä kaikki ratkaisuperiaatteet koskevat normaalimuotoisia yhtälöitä (tai niitä, jotka on helppo muuntaa normaalimuotoon). Kertalukua n olevan DY:n yleinen ratkaisu on jollakin välillä määritelty funktio y = ϕ(x, C 1,..., C n ), joka (i) toteuttaa yhtälön kaikilla (sallituilla) parametrien C i arvoilla, (ii) antaa (melkein) kaikki mahdolliset yhtälön ratkaisut, kun parametreille C i annetaan eri arvoja. Parametrit C i ovat integroinneissa syntyviä vakioita. Sellaisia ratkaisuja, joita ei saada yleisen ratkaisun lausekkeesta, sanotaan yhtälön erikoisratkaisuiksi. Ratkaisu, jossa parametreilla on tietyt kiinteät arvot, on dierentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu. 1
2 Ensimmäisen kertaluvun DY Normaalimuoto y = f(x, y). Ei ole olemassa yleistä ratkaisuperiaatetta, joka soveltuisi kaikkiin tapauksiin. Siksi käsitellään tiettyjä perustapauksia, joissa ratkaiseminen onnistuu eksplisiittisessä muodossa. Onneksi nämä tapaukset ovat myös käytännössä tärkeitä. Numeerisilla menetelmillä yhtälöä y = f(x, y) voidaan käsitellä helposti, mutta niiden avulla ei saada ratkaisun lauseketta, vaan ainoastaan kuvaaja tms. 2.1 Separoituva DY Separoituva dierentiaaliyhtälö: Muotoa y = f(x)g(y). Ratkaisuperiaate: (i) Erikoisratkaisut y(x) α = vakio, missä g(α) = 0. (ii) Kirjoitetaan muotoon y /g(y) = f(x) ja integroidaan. Yleensä kirjoitetaan epätäsmällisesti dy/g(y) = f(x)dx, josta integrointi. 2.2 Ratkaisujen olemassaolo Ratkaisujen olemassaolo ja yksikäsitteisyys yleisessä tapauksessa y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. (i) Jos f on jatkuva, niin ainakin yksi ratkaisu löytyy; (ii) Jos lisäksi f on jatkuvasti derivoituva muuttujan y suhteen, niin ratkaisu on yksikäsitteinen. Ratkaisujen kuvaajat ovat yhtälön ratkaisukäyriä. Ratkaisukäyrät eivät koskaan "pääty kesken", vaan ne joko törmäävät yhtälön määrittelyalueen reunaan tai katovat ± äärettömyyteen. Tapauksessa (ii) ratkaisukäyrät eivät voi leikata toisiaan, eikä yksittäinen ratkaisukäyrä voi haarautua kahteen tai useampaan osaan. 2
2.3 Lineaarinen DY Lineaarinen dierentiaaliyhtälö: muotoa a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = r(x), missä funktiot a i (x) ja r(x) tunnetaan. Yhtälö on homogeeninen, jos r(x) 0, muuten epähomogeeninen. Se on vakiokertoiminen, jos jokainen a i (x) = vakio; sen sijaan r(x):n ei tarvitse olla vakio. Lineaarisen ja homogeenisen yhtälön perusominaisuus: Jos y 1 (x) ja y 2 (x) ovat ratkaisuja, niin myös funktio y(x) = Ay 1 (x) + By 2 (x) on ratkaisu, kun A, B ovat vakioita. Ensimmäisen kertaluvun lineaarisen yhtälön y + p(x)y = r(x) ratkaiseminen, kun p(x) ja r(x) ovat jatkuvia: Muodostetaan funktio P (x) = p(x) dx ja kerrotaan puolittain integroivalla tekijällä e P (x), jolloin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon d ) (y(x)e P (x) = r(x)e P (x). dx Tästä integroimalla saadaan yleinen ratkaisu y(x) = Ce P (x) + e P (x) r(x)e P (x) dx. Huomaa, että P (x):ssä ei tarvita integroimisvakiota, koska se ainoastaan muuttaisi yllä olevaa vakiota C. Yleinen ratkaisu on siis muotoa homogeenisen yhtälön y + p(x)y = 0 yleinen ratkaisu + yksittäisratkaisu. Joissakin tapauksissa yksittäisratkaisu on helpompi muodostaa muotoa y 0 (x) = "r(x) yleisillä kertoimilla" tms. olevalla yritteellä. Jos yhtälön lisäksi on annettu alkuehto y(x 0 ) = y 0, voidaan käyttää määrättyä integraalia välillä [x 0, x], jolloin saadaan suoraan alkuehdon toteuttava ratkaisu. Alkuehto voidaan myös tutkia jälkikäteen yleisen ratkaisun lausekkeesta, jolloin vakion C arvo kiinnittyy. 3
2.4 Numeeriset menetelmät Eulerin menetelmä: Ratkaistaan y = f(x, y), y(a) = y 0, numeerisesti pisteessä x = b valitsemalla askelpituus h = (b a)/n ja määrittelemällä x k = a + kh, 0 k n ja y k+1 = y k + hf(x k, y k ), 0 k n 1. Tällöin y n y(b). Taustalla on geometrinen idea: edetään kustakin pisteestä (x k, y k ) ratkaisukäyrän tangentin i+f(x k, y k )j suuntaan. Eulerin menetelmä on ensimmäisen kertaluvun menetelmä: approksimaation virhe on korkeintaan vakio h 1. Implisiittinen Eulerin menetelmä: Kuten Euler, mutta jokaisella askeleella y k+1 ratkaistaan yhtälöstä y k+1 = y k + hf(x k+1, y k+1 ). Sopii tavallista Euleria paremmin esim. systeemin aikakehityksen tutkimiseen. Tehokkaammissa menetelmissä (kuten RungeKutta) virhe on esim. muotoa vakio h 4, mutta välivaiheissa tarvitaan enemmän laskuja. 4
3 Korkeamman kertaluvun DY 3.1 Lineaarinen tapaus Lineaarinen ja homogeeninen n:nnen kertaluvun DY: muotoa y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0, missä funktiot a k (x) ovat jatkuvia jollakin välillä. Lyhennetään HY. Toisin kuin 1. kertaluvun lineaarisille yhtälöille, yleistä ratkaisukaavaa ei ole edes tapauksessa n = 2. Pätee: (i) Jos y 1 ja y 2 ovat HY:n ratkaisuja, niin myös y = C 1 y 1 + C 2 y 2 on ratkaisu, kun C 1, C 2 ovat vakioita. Sama yleistyy myös useammalle ratkaisulle, eli ratkaisujen lineaarikombinaatiot ovat ratkaisuja. (ii) Yhtälöllä on perusratkaisut y 1 (x),..., y n (x), joilla on se ominaisuus, että kaikki muut ratkaisut saadaan kaavasta y(x) = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x), kun C 1,..., C n ovat vakioita. Sanotaan: y 1,..., y n muodostavat perusjärjestelmän. (iii) Jollakin tavalla löydetyt ratkaisut y 1 (x),..., y n (x) muodostavat perusjärjestelmän, jos ne ovat lineaarisesti riippumattomia (LRT): ehdosta c 1 y 1 (x)+ +c n y n (x) 0 seuraa, että c 1 = = c n = 0. (iv) Ratkaisu on yksikäsitteinen, jos vaaditaan alkuehdot y(x 0 ) = α 0, y (x 0 ) = α 1,..., y (n 1) (x 0 ) = α n 1 jossakin pisteessä x 0. Käytännössä lineaarinen riippumattomuus on yhtäpitävää sen kanssa, että funktioiden Wronskin determinantti W (x) 0 jollakin x. Funktio W (x) muodostetaan laskemalla determinantti n n-matriisista, (x),..., y(i) n (x), 0 i n 1. jonka i:nnellä rivillä ovat luvut y (i) 1 Huom: y (0) = y. Kaksi funktiota y 1 (x), y 2 (x) ovat LRT y 1 (x)/y 2 (x) ei ole vakio. Alkuehtojen lisäksi DY:ihin voi liittyä reunaehtoja kuten y(x 1 ) = β 1, y(x 2 ) = β 2. Tällöin ratkaisu ei aina ole yksikäsitteinen tai niitä ei ole lainkaan. 5
3.2 Vakiokertoiminen erikoistapaus Vakiokertoimiselle toisen kertaluvun yhtälölle y + py + qy = 0 perusratkaisut saadaan yritteellä y(x) = e rx, joka johtaa karakteristiseen yhtälöön r 2 + pr + q = 0. Sen juurten r 1, r 2 C avulla perusjärjestelmä saadaan seuraavasti: (i) Jos juuret ovat erisuuret ja reaaliset, niin y 1 (x) = e r 1x ja y 2 (x) = e r 2x. (ii) Jos kyseessä on (reaalinen) kaksoisjuuri r = r 1 = r 2, niin y 1 (x) = e rx ja y 2 (x) = xe rx. (iii) Jos juuret ovat imaginaarisia ja muotoa r = α ± βi, niin y 1 (x) = e αx cos(βx) ja y 2 (x) = e αx sin(βx). 6
3.3 Epähomogeeninen DY Epähomogeenisen yhtälön (EHY) y + py + qy = r(x) yksittäisratkaisu on jokin funktio y 0 (x), joka toteuttaa yhtälön. Se löydetään usein yritteellä, joka on muotoa "r(x) yleisillä kertoimilla". Yhtälöön sijoittamalla saadaan selville nämä kertoimet, mikäli yrite oli oikean tyyppinen. Joissakin erikoistapauksissa yritteeseen täytyy lisätä ylimääräisiä x-kertoimia. Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on muotoay(x) = C 1 y 1 (x)+ C 2 y 2 (x) + y 0 (x), missä y 1 ja y 2 ovat vastaavan homogeenisen yhtälön perusratkaisut ja y 0 on jokin EHY:n yksittäisratkaisu. Vastaavanlaiset tulokset ovat voimassa myös korkeamman kertaluvun lineaarisille (ja vakiokertoimisille) dierentiaaliyhtälöille. 7
3.4 Värähtelyilmiöt Tarkastellaan dierentiaaliyhtälöä, joka on muotoa y = f(y). Tässä f on jokin funktio, joka esimerkiksi liikeyhtälöissä (voima = F = ma = my (t)) on muotoa f(y) = F (y)/m. Systeemin tasapainotiloja vastaa erikoisratkaisu y(t) y 0, missä y 0 on funktion f nollakohta. Jos f(0) = 0 (eli tasapainossa y(t) 0), niin alkuperäinen DY voidaan linearisoida korvaamalla lauseke f(y) sen sarjakehitelmän lineaarisella termillä: f(y) = f(0) + f (0)y + f (0) y 2 + f (0)y, 2! jos y on pieni. Tutkimalla linearisoitua yhtälöä y = f (0)y saadaan tietoa systeemin käyttäytymisestä tasapainotilan y = 0 lähellä. Jos f (0) = ω 2 < 0, niin tasapainotilan lähellä ratkaisut ovat likimäärin muotoa y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt), joka esittää värähdysliikettä kulmataajuudella ω. Sanotaan: ω = pienten värähtelyjen kulmataajuus. 8
4 DY-ryhmät Dierentiaaliyhtälöryhmässä on n kappaletta tuntemattomia funktioita y 1 (x),..., y n (x), joiden välillä on n kappaletta dierentiaaliyhtälöitä. Tapauksessa n = 2 DY-ryhmä on esim. muotoa { y 1 = f 1 (x, y 1, y 2 ) y 2 = f 2 (x, y 1, y 2 ). Käytännössä ainoa tapaus, johon ei tarvita numeerisia menetelmiä, on lineaarinen vakiokertoiminen DY-ryhmä, jossa f i (x, y 1, y 2 ) = a i1 y 1 + a i2 y 2 + r i (x). Tällä kurssilla ainoa ratkaisumenetelmä on ns. eliminointimenetelmä, jonka avulla saadaan lineaarisen vakiokertoimisen DY-ryhmän yleinen ratkaisu seuraavien vaiheiden kautta (n = 2): (i) Ratkaistaan ensimmäisestä yhtälöstä y 2 funktioiden y 1, y 1 ja muuttujan x avulla. (ii) Derivoidaan tätä lauseketta, jolloin saadaan y 2 ja muuttujan x avulla. funktioiden y 1, y 1 (iii) Sijoitetaan y 2 ja y 2 jälkimmäiseen yhtälöön, jolloin siihen jää ainoastaan y 1 ja sen derivaattoja. (iv) Ratkaistaan tästä DY:stä funktio y 1. (v) Ratkaistaan lopuksi y 2 käyttämällä kohdassa (i) saatua lauseketta. Tehokkaammat menetelmät perustuvat DY-ryhmän kerroinmatriisin ominaisarvoihin ja -vektoreihin. (KP3-II) DY-ryhmään voi myös liittyä alkuehtoja, jotka ovat muotoa y 1 (x 0 ) = α 1,..., y n (x 0 ) = α n. Kun nämä otetaan huomioon yleisen ratkaisun lausekkeessa, saadaan yleensä yksikäsitteinen ratkaisu. 9